Dérivées d'ordre supérieur, Taylor et hessienne

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer les dérivées partielles d'ordre deux et plus d'une fonction de plusieurs variables, et lire sans hésiter les deux notations $\partial^{2} f / \partial x \partial y$ et $f_{x y}$ ;
énoncer et démontrer le théorème de Schwarz, reconnaître les hypothèses dont il a besoin et savoir que le contre-exemple classique existe;
former la matrice hessienne $H_{f} (a)$ d'une fonction de classe $C^{2}$ et justifier qu'elle est symétrique;
écrire la formule de Taylor à l'ordre un et à l'ordre deux, avec le reste de Young $o (∥ h ∥^{2})$ ou le reste de Lagrange, et la démontrer en se ramenant à une variable;
classer une forme quadratique $q (h) = h^{T} A h$ par ses valeurs propres, par le discriminant $r t - s^{2}$ en dimension deux et par les mineurs principaux de Sylvester;
utiliser la hessienne pour décider de la nature d'un point critique, et reconnaître les cas dégénérés où elle ne décide rien;
calculer le laplacien $Δ f$ , reconnaître une fonction harmonique et interpréter la trace de la hessienne.

Dérivées partielles d'ordre supérieur

Dériver une dérivée

Le chapitre 3 a construit les dérivées partielles $\partial f / \partial x$ et $\partial f / \partial y$ d'une fonction $f$ de deux variables: on fige une variable et l'on dérive par rapport à l'autre, exactement comme en Analyse I. Le chapitre 4 en a fait le gradient $\nabla f$ et a montré comment il se propage à travers une composition. Rien n'empêche de recommencer: si $\partial f / \partial x$ est elle-même une fonction de $(x, y)$ définie sur l'ouvert $U$ , on peut lui appliquer à nouveau ou . On obtient les , et il y en a quatre pour une fonction de deux variables.

Il existe une seconde notation, plus compacte, qui rend les calculs lisibles et que nous emploierons dès que la première devient lourde: on écrit $f_{x}$ pour $\partial f / \partial x$ , puis

f_{xx} = (f_{x})_{x}, f_{x y} = (f_{x})_{y}, f_{y x} = (f_{y})_{x}, f_{y y} = (f_{y})_{y} . (5.1)

Le chapitre 3 a également introduit la notation $\partial_{x} f$ ; nous écrirons donc indifféremment $\partial_{x y}^{2} f$ , $f_{x y}$ ou la fraction de Leibniz, selon ce qui se lit le mieux.

Dans quel ordre lit-on les symboles?

Les classes de régularité

Les inclusions $C^{\infty} (U) \subset \dots \subset C^{2} (U) \subset C^{1} (U) \subset C^{0} (U)$ sont strictes, et elles sont strictes: est sans être , car pour n'a pas de limite en .

Le théorème central du chapitre 3 — une fonction de classe $C^{1}$ est différentiable — se propage sans effort: si $f \in C^{2} (U)$ , alors $f$ et ses deux dérivées partielles premières sont différentiables sur $U$ . Retenez aussi que les classes $C^{k}$ sont stables par les opérations usuelles: somme, produit, quotient à dénominateur non nul, composition. Les polynômes, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques, le logarithme sur son domaine et toutes leurs combinaisons algébriques sont là où elles sont définies. En pratique, , et les seuls points délicats sont ceux où un dénominateur s'annule ou bien un prolongement a été imposé à la main — ce sera précisément le cas du contre-exemple de la section suivante.

Question 5.1

Pour une fonction $f$ dont les dérivées partielles premières admettent elles-mêmes des dérivées partielles, que désigne $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ avec la convention de ce cours?

Le théorème de Schwarz

L'énoncé et sa démonstration

Dans l'exemple 5.1, les deux dérivées croisées ont donné le même résultat. Ce n'est pas un hasard de calcul: c'est un théorème, dû à Clairaut (1740) puis démontré proprement par Schwarz (1873).

Démonstration. Fixons $a = (a, b) \in U$ . Comme $U$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que le carré $[a - r, a + r] \times [b - r, b + r]$ soit contenu dans . Pour et , considérons l'

Δ (h, k) = f (a + h, b + k) - f (a + h, b) - f (a, b + k) + f (a, b) . (5.3)

Cette quantité est visiblement symétrique en les deux variables: on peut la grouper de deux façons, et c'est tout le ressort de la preuve.

Premier groupement. Posons $φ (x) = f (x, b + k) - f (x, b)$ pour $x \in [a - r, a + r]$ . Alors $Δ (h, k) = φ (a + h) - φ (a)$ . La fonction est dérivable, de dérivée . Le théorème des accroissements finis (Analyse I, chapitre 8) fournit un réel strictement compris entre et tel que

Δ (h, k) = h φ^{'} (c) = h [f_{x} (c, b + k) - f_{x} (c, b)] .

Appliquons à nouveau le théorème des accroissements finis, cette fois à la fonction d'une variable $y \mapsto f_{x} (c, y)$ , qui est dérivable de dérivée $f_{x y} (c, y)$ puisque $f \in C^{2}$ . Il existe strictement compris entre et tel que

Δ (h, k) = h k f_{x y} (c, d) . (5.4)

Second groupement. Posons cette fois $ψ (y) = f (a + h, y) - f (a, y)$ . Alors $Δ (h, k) = ψ (b + k) - ψ (b)$ , et le même raisonnement mené dans l'autre ordre donne des réels entre et et entre et tels que

Δ (h, k) = k h f_{y x} (c^{'}, d^{'}) . (5.5)

Conclusion. En égalant (5.4) et (5.5) et en divisant par $hk \neq = 0$ ,

f_{x y} (c, d) = f_{y x} (c^{'}, d^{'}) .

Les quatre nombres $c, c^{'}$ sont entre $a$ et $a + h$ , et $d, d^{'}$ entre $b$ et $b + k$ : lorsque , les deux points et tendent vers . Comme et sont en — c'est ici, et seulement ici, que l'hypothèse est utilisée —, le passage à la limite donne .

Le cas général ( $n$ variables, ordre $k$ ) s'en déduit: une permutation quelconque des dérivations s'obtient par une suite de transpositions de deux dérivations consécutives, et chaque transposition relève du cas de deux variables que l'on vient de traiter, les autres variables étant figées.

Question 5.2

Reprenez $f (x, y) = x^{3} y^{2} + e^{x y}$ de l'exemple 5.1 et calculez la dérivée croisée $f_{x y} (1, 1)$ .

Le contre-exemple: quand les dérivées croisées diffèrent

L'hypothèse de continuité des dérivées secondes n'est pas une précaution d'écriture. Sans elle, l'égalité tombe.

La matrice hessienne

Le théorème de Schwarz donne son sens au regroupement suivant, qui sera l'objet central du reste du chapitre et des chapitres 7 et 8.

Démonstration. C'est exactement le théorème de Schwarz appliqué à chaque couple d'indices $(i, j)$ : le coefficient d'indice $(i, j)$ et celui d'indice $(j, i)$ sont les deux dérivées croisées par rapport à $x_{i}$ et $x_{j}$ , les autres variables étant figées, et elles coïncident.

Cette symétrie n'est pas un détail esthétique. Elle place $H_{f} (a)$ dans la classe des matrices symétriques réelles, dont l'algèbre linéaire dit tout ce dont nous aurons besoin: elles sont diagonalisables dans une base orthonormée et toutes leurs valeurs propres sont réelles (théorème spectral). L'annexe A du cours rappelle cet énoncé, la définition des formes quadratiques et le critère des mineurs principaux; relisez-la maintenant si ces mots ne vous sont pas familiers, car la fin du chapitre s'y appuie continuellement.

Deux remarques d'organisation. D'abord, la hessienne est à la dérivée seconde ce que le gradient est à la dérivée première: $\nabla f$ est le vecteur des dérivées premières, $H_{f}$ la matrice des dérivées secondes. Ensuite, $H_{f} (a)$ est exactement la matrice jacobienne du champ de vecteurs $\nabla f$ (chapitre 4): en dérivant les $n$ composantes de $\nabla f$ par rapport aux variables, on retrouve ligne par ligne les dérivées secondes,

H_{f} = J_{\nabla f} . (5.9)

La formule de Taylor à deux variables

L'idée: se ramener à une variable

L'Analyse I a établi la formule de Taylor pour une fonction d'une variable (Analyse I, chapitre 9): au voisinage d'un point, une fonction suffisamment régulière est approchée par un polynôme, avec un reste que l'on sait contrôler. Nous voulons le même énoncé pour $f : U \subset R^{n} \to R$ . La stratégie est celle, déjà utilisée au chapitre 4 pour les dérivées directionnelles, de la restriction à un segment: on ne regarde $f$ que le long de la droite qui joint le point $a$ au point $a + h$ , ce qui ramène la question à une fonction d'une seule variable réelle, et l'on applique le résultat d'Analyse I.

Démonstration. Notons $r (t) = a + t h$ , un chemin affine de vitesse constante $r^{'} (t) = h$ . La règle de la chaîne du chapitre 4 s'écrit $\frac{d}{d t} f (r (t)) = ⟨ \nabla f (r (t)), r^{'} (t)⟩$ , ce qui est exactement (5.11). Chaque est de classe puisque ; on peut donc dériver (5.11) une seconde fois, terme à terme, en réappliquant la règle de la chaîne à chacune des fonctions :

g^{''} (t) = i = 1 \sum n h_{i} \frac{d}{d t} [\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (r (t))] = i = 1 \sum n h_{i} j = 1 \sum n h_{j} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{j} \partial x _{i}} (r (t)),

qui est bien (5.12) — l'ordre des deux indices étant indifférent grâce au théorème de Schwarz. La continuité de $g^{''}$ découle de celle des dérivées secondes de $f$ et de la continuité de $t \mapsto r (t)$ . $□$

En dimension deux, avec $h = (h, k)$ , ces deux formules s'écrivent explicitement

g^{'} (t) = h f_{x} + k f_{y}, g^{''} (t) = h^{2} f_{xx} + 2 hk f_{x y} + k^{2} f_{y y}, (5.13)

les dérivées étant évaluées au point $a + t h$ . Le facteur $2$ devant le terme croisé vient précisément de Schwarz: les deux termes $hk f_{x y}$ et $k h f_{y x}$ de la double somme sont égaux et se cumulent. C'est la source de bien des erreurs de signe et de facteur; encadrez-le.

Question 5.3

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration de la formule de Taylor à l'ordre deux pour une fonction de plusieurs variables.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Appliquer à

g

la formule de Taylor d'une variable entre

0

1

(Analyse I, chapitre 9)

Remplacer

g (1)

g (0)

g^{'} (0)

g^{''}

par leurs expressions en

f

\nabla f

H_{f}

Vérifier que le segment joignant

a

a + h

est contenu dans l'ouvert

U

Calculer

g^{'} (t) = ⟨ \nabla f (a + t h), h ⟩

par la règle de la chaîne

Dériver une seconde fois:

g^{''} (t) = h^{T} H_{f} (a + t h) h

Poser

g (t) = f (a + t h)

, fonction d'une seule variable réelle sur

[0, 1]

Les deux formules

Démonstration des théorèmes 5.4 et 5.5. Comme $U$ est ouvert et $[a, a + h] \subset U$ , la fonction $g (t) = f (a + t h)$ du théorème 5.3 est de classe $C^{2}$ sur un intervalle ouvert contenant .

Reste de Lagrange. La formule de Taylor–Lagrange d'une variable à l'ordre un (Analyse I, chapitre 9), appliquée à $g$ entre $0$ et $1$ , fournit $θ \in] 0, 1 [$ tel que

g (1) = g (0) + g^{'} (0) + \frac{1}{2} g^{''} (θ) .

Or $g (1) = f (a + h)$ , $g (0) = f (a)$ , et (5.11)–(5.12) donnent $g^{'} (0) = ⟨ \nabla f (a), h ⟩$ et . On obtient (5.14).

Reste de Young. Partons de (5.14) et retranchons-y le terme quadratique évalué en $a$ :

f (a + h) - T_{2} (h) = \frac{1}{2} h^{T} [H_{f} (a + θ h) - H_{f} (a)] h .

Notons $m_{ij} (h) = \partial_{ij}^{2} f (a + θ h) - \partial_{ij}^{2} f (a)$ . Comme pour tout ,

f (a + h) - T_{2} (h) \leq \frac{∥ h ∥ ^{2}}{2} i, j \sum m_{ij} (h) .

Les dérivées secondes de $f$ sont continues en $a$ et $∥ θ h ∥ \leq ∥ h ∥ \to 0$ , donc chaque $m_{ij} (h) \to 0$ quand $h \to 0$ ; la somme tend vers et le membre de gauche est bien .

La forme explicite en dimension deux

Pour $n = 2$ , $a = (a, b)$ et $h = (h, k)$ , la formule (5.15) s'écrit sans aucun multi-indice:

f (a + h, b + k) = f (a, b) + h f_{x} (a, b) + k f_{y} (a, b) + \frac{1}{2} [h^{2} f_{xx} (a, b) + 2 hk f_{x y} (a, b) + k^{2} f_{y y} (a, b)] + o (h^{2} + k^{2}) . (5.16)

Avec les notations de Monge $r = f_{xx} (a, b)$ , $s = f_{x y} (a, b)$ , $t = f_{y y} (a, b)$ , le crochet est . On reconnaît une des accroissements: c'est tout le sujet de la section suivante. Notez que et sont la même chose, puisque .

En dimension quelconque, la forme matricielle est plus courte et se retient mieux:

f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + \frac{1}{2} h^{T} H_{f} (a) h + o (∥ h ∥^{2}) . (5.17)

Trois étages, trois objets: une valeur (un scalaire), un gradient (un vecteur), une hessienne (une matrice symétrique). L'ordre trois ferait apparaître un tenseur à trois indices, que l'on n'écrit plus en matrices; c'est l'une des raisons pour lesquelles on s'arrête presque toujours à l'ordre deux en calcul à plusieurs variables.

Question 5.4

Avec le développement (5.18), calculez la valeur approchée $T_{2} (0, 1; 0, 05)$ de $ln (1 + x + 2 y + x y)$ au point $(0, 1; 0, 05)$ .

Formes quadratiques: reconnaître le signe

Définitions

Le terme d'ordre deux de la formule de Taylor est une forme quadratique. Son signe va décider de tout; il faut donc savoir le déterminer sans calculer la forme point par point.

Cette section est délibérément brève, parce qu'elle a une annexe. L'annexe A traite les formes quadratiques pour elles-mêmes: elle démontre le théorème spectral (A.7), l'encadrement par les valeurs propres extrêmes (A.8) et la géométrie des demi-axes, elle énonce le critère de Sylvester (A.9), et elle classe huit matrices en détail par les deux méthodes. Nous n'en reprenons ici que le vocabulaire, les trois critères sous leur forme utilisable, et l'unique démonstration qui ne s'y trouve pas. Pour tout le reste — les preuves, les contre-exemples supplémentaires, les classifications travaillées — allez-y.

Premier critère: les valeurs propres

C'est le théorème A.8 de l'annexe A, qui le démontre: on diagonalise $A$ en base orthonormée par le théorème spectral (A.7), on écrit $h = \sum_{i} c_{i} v_{i}$ , et $q (h) = \sum_{i} λ_{i} c_{i}^{2}$ apparaît comme une moyenne pondérée des valeurs propres par les poids positifs , de somme . Nous ne la refaisons pas ici. Le chapitre 7 la refera, lui, dans le cas défini positif qui lui sert (son théorème 7.2), avec une lecture par compacité de la sphère unité.

Retenez la forme sous laquelle nous l'utiliserons, car c'est elle qui compte pour la suite: l'encadrement (5.19) transforme une information qualitative (la forme est définie positive) en une inégalité quantitative ( $q (h) \geq λ_{1} ∥ h ∥^{2}$ avec $λ_{1} > 0$ ). Un $o (∥ h ∥^{2})$ ne peut pas rivaliser avec un ; c'est tout l'argument du théorème 5.9, et c'est la seule raison pour laquelle ce chapitre a besoin d'algèbre linéaire.

Deuxième critère: le discriminant en dimension deux

L'annexe A déduit ce tableau du théorème A.8 en une ligne: le produit des deux valeurs propres vaut $Δ$ , leur somme vaut $r + t$ , et les trois cas se lisent sur ces deux nombres. Voici l'autre démonstration, élémentaire, qui n'utilise aucune valeur propre et qui ne figure pas dans l'annexe.

Démonstration. Supposons $r \neq = 0$ et complétons le carré:

q (h, k) = r (h + \frac{s}{r} k)^{2} + \frac{r t - s ^{2}}{r} k^{2}, (5.20)

identité que l'on vérifie en développant. Les deux carrés sont indépendants: en choisissant $k$ puis $h$ , on réalise n'importe quel couple de valeurs pour les deux parenthèses. Si $Δ > 0$ , les coefficients $r$ et $Δ/ r$ sont de même signe, donc $q$ garde le signe de $r$ et ne s'annule que si les deux carrés sont nuls, c'est-à-dire en $(0, 0)$ : la forme est définie, du signe de $r$ . Si , les deux coefficients sont de signes opposés: et sont de signes contraires, la forme est indéfinie. Si , il reste le seul carré , qui s'annule sur toute une droite sans changer de signe: la forme est dégénérée. Le cas se traite en échangeant les rôles de et si , et se réduit à , indéfinie dès que , si .

Un mot sur le facteur $2$ , qui est le piège de toute la section: le terme de Taylor s'écrit $r h^{2} + 2 s hk + t k^{2}$ , mais le discriminant s'écrit $r t - s^{2}$ , sans facteur . Le coefficient hors diagonale de la matrice est la de celui du terme croisé, et c'est le déterminant de cette matrice-là que l'on calcule. Écrivez toujours la matrice avant de calculer quoi que ce soit; l'annexe A fait de cette erreur un avertissement à part entière, avec le contre-exemple chiffré.

Troisième critère: les mineurs principaux de Sylvester

Pour $n \geq 3$ , calculer les valeurs propres devient pénible; les déterminants, eux, restent accessibles.

C'est le théorème A.9 de l'annexe A, où il est admis de la même façon: il se démontre par récurrence sur $n$ à partir de la réduction de Gauss d'une forme quadratique, qui appartient au cours d'algèbre linéaire. Le sens «définie négative» se ramène au sens «définie positive» appliqué à $- A$ , dont les mineurs valent $(- 1)^{k} D_{k}$ .

Une seule mise en garde, et elle est opératoire: Sylvester ne teste que le cas strictement défini. Dès qu'un mineur dominant s'annule, le critère devient muet — il ne dit surtout pas «semi-défini» — et il faut passer aux valeurs propres. L'exercice 5.3 vous fera rencontrer ce cas; l'annexe A explique pourquoi avec deux contre-exemples, en taille $2$ et en taille $3$ .

Le tableau de décision

Voici, pour $n = 2$ , le tableau que vous utiliserez réellement. Il regroupe tout ce qui précède, avec dans la dernière colonne l'usage qui en sera fait à la section suivante et au chapitre 7. Il figure aussi dans l'annexe A et dans le formulaire, et cette répétition est voulue: c'est l'objet que l'on consulte au milieu d'un exercice, pas celui que l'on va chercher.

Discriminant $Δ = r t - s^{2}$	Signe de $r$	Valeurs propres	Nature de $q$	Lignes de niveau	Si $\nabla f (a) = 0$
$Δ > 0$

Explorateur 5.1 · Explorateur des formes quadratiques

q(x, y) = a x² + 2 b x y + c y². Les lignes de niveau q = ±1, ±3, ±6 sont recalculées à chaque mouvement: ellipses lorsque ac − b² > 0, hyperboles lorsque ac − b² < 0, droites parallèles dans le cas dégénéré ac − b² = 0. Les lignes en couleur portent q > 0, les bleues q < 0, les pointillés sont les directions isotropes q = 0.

Coefficient a2,00

Coefficient b1,00

Coefficient c3,00

Discriminant ac − b²

5,00

Trace a + c

5,00

Valeur propre λ₁

1,38

Valeur propre λ₂

3,62

Produit λ₁λ₂

5,00

Nature de la forme

définie positive

Question 5.5

La forme quadratique $q (h, k) = 3 h^{2} - 4 hk + 2 k^{2}$ est-elle définie positive, définie négative, indéfinie ou dégénérée?

Hessienne et nature d'un point critique

Le critère du second ordre

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat qui porte le chapitre et que les chapitres 7 et 8 utiliseront sans le redémontrer.

Démonstration. Comme $\nabla f (a) = 0$ , la formule de Taylor–Young (5.15) se réduit à

f (a + h) - f (a) = \frac{1}{2} q (h) + ε (h) ∥ h ∥^{2}, ε (h) h \to 0 0. (5.21)

(1) Supposons $q$ définie positive et notons $λ_{1} > 0$ la plus petite valeur propre de $H_{f} (a)$ . L'encadrement (5.19) donne $q (h) \geq λ_{1} ∥ h ∥^{2}$ , donc

f (a + h) - f (a) \geq (\frac{λ _{1}}{2} + ε (h)) ∥ h ∥^{2} .

Puisque $ε (h) \to 0$ , il existe $ρ > 0$ tel que $∣ ε (h)∣ < λ_{1} /4$ dès que $∥ h ∥ < ρ$ . Pour de tels $h$ , non nuls,

f (a + h) - f (a) \geq \frac{λ _{1}}{4} ∥ h ∥^{2} > 0 :

$a$ est un minimum local strict sur la boule $B (a, ρ)$ . C'est ici que la compacité de la sphère unité travaille, à travers le théorème spectral: sans la borne uniforme $λ_{1}$ , l'argument échouerait, car $q$ pourrait être positive tout en devenant arbitrairement petite dans certaines directions.

(2) S'applique à $- f$ , dont la hessienne est $- H_{f} (a)$ .

(3) Supposons $q$ indéfinie: il existe $u$ et $v$ unitaires avec $q (u) > 0$ et $q (v) < 0$ . Le long du segment $h = τ u$ , (5.21) donne

f (a + τ u) - f (a) = τ^{2} (\frac{q ( u )}{2} + ε (τ u)) > 0

pour $τ \neq = 0$ assez petit, et de même $f (a + τ v) - f (a) < 0$ . Dans toute boule centrée en $a$ , $f$ prend donc des valeurs strictement supérieures et strictement inférieures à $f (a)$ : le point n'est ni un minimum ni un maximum local.

(4) L'exemple du paragraphe suivant montre que les trois comportements possibles se produisent effectivement avec la même hessienne dégénérée. $□$

Un déterminant nul ne décide de rien

Si $det H_{f} (a) = 0$ , le terme d'ordre deux s'annule dans au moins une direction et l'ordre trois, quatre ou davantage devient déterminant. Voici trois fonctions dont la hessienne à l'origine est dégénérée et qui s'y comportent de trois façons différentes; toutes trois ont $\nabla f (0, 0) = 0$ .

Fonction	Hessienne en $(0, 0)$

La fonction témoin du cours

Le chapitre 7 transformera ce va-et-vient en méthode: chercher tous les points critiques en résolvant $\nabla f = 0$ , calculer $H_{f}$ en chacun, appliquer le tableau de décision, puis traiter séparément le bord du domaine lorsqu'il y en a un. Le chapitre 8 étendra la démarche aux extrema sous contrainte, où la hessienne réapparaîtra — restreinte à l'espace tangent à la contrainte. Ce chapitre-ci vous a donné l'outil; les deux suivants en font une discipline.

Le laplacien et les fonctions harmoniques

Définition et invariance

La hessienne est une matrice; on peut en extraire des scalaires. Le plus simple, sa trace, porte un nom et une importance considérables.

Deux remarques. D'abord, $Δ f$ est la somme des valeurs propres de $H_{f}$ , puisque la trace d'une matrice est la somme de ses valeurs propres. Une fonction harmonique a donc, en chaque point, une hessienne de trace nulle: soit elle est nulle, soit elle a une valeur propre positive et une négative. Ensuite — et c'est ce qui fait du laplacien l'opérateur privilégié de la physique — la trace est invariante par changement de base orthonormée: $Δ f$ ne dépend pas du repère cartésien choisi, alors que $f_{xx}$ seul en dépend. C'est la version «ordre deux» du fait que $∥ \nabla f ∥$ est invariant alors que ne l'est pas.

Ce que le laplacien annonce

Le laplacien est le point de contact entre ce cours et presque toute la physique des milieux continus. Trois équations aux dérivées partielles fondamentales le contiennent, et vous les rencontrerez en Analyse III et en physique:

Δ u = 0 (Laplace), \frac{\partial u}{\partial t} = α Δ u (chaleur), \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = c^{2} Δ u (ondes) .

L'équation de la chaleur se lit d'ailleurs très bien avec ce que nous venons de faire: $Δ u$ compare la valeur de $u$ en un point à sa moyenne sur un petit cercle autour de ce point. Là où $Δ u > 0$ , le point est plus froid que son entourage et se réchauffe; là où $Δ u < 0$ , il se refroidit; et $Δ u = 0$ est exactement le régime stationnaire. De cette propriété de moyenne découle le principe du maximum: une fonction harmonique sur un domaine borné atteint son maximum et son minimum sur le bord, jamais strictement à l'intérieur (sauf si elle est constante). Nous en avons déjà une trace: l'exercice 5.4 vous fera montrer que la hessienne d'une fonction harmonique vérifie $det H_{u} \leq 0$ , si bien que le critère du second ordre ne peut jamais y diagnostiquer un extremum.

Application: la matrice de raideur d'un potentiel

Synthèse

Les dérivées partielles secondes sont les dérivées des dérivées premières; les deux notations se lisent en sens contraires, $f_{x y} = \partial^{2} f / \partial y \partial x$ , et une fonction est de classe $C^{k}$ si toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre $k$ existent et sont continues.

Série d'exercices du chapitre 5Exercice 1 sur 5

Question 5.6

Sous quelle hypothèse le théorème de Schwarz garantit-il $f_{x y} (a) = f_{y x} (a)$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 5.1 · Dérivées secondes et vérification de Schwarz

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer les quatre dérivées partielles secondes et vérifier que les deux dérivées croisées coïncident.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - x^{4} y$ sur ; évaluer la hessienne en .

Exercice 5.2 · Développements de Taylor à l'ordre deux

Écrire le développement de Taylor à l'ordre deux des fonctions suivantes au point indiqué, puis estimer numériquement l'erreur commise pour un accroissement de $0, 1$ dans chaque variable.

$f (x, y) = 1 + x^{2} + y^{2}$ en .

Exercice 5.3 · Classement de formes quadratiques

Classer les formes quadratiques suivantes (définie positive, définie négative, indéfinie, semi-définie dégénérée) en utilisant à chaque fois les deux critères disponibles: valeurs propres et mineurs principaux dominants.

$q (x, y) = 5 x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ .
$q (x, y) = x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ .

Exercice 5.4 · Laplacien et fonctions harmoniques

Vérifier que $u (x, y) = e^{x} cos y$ est harmonique sur $R^{2}$ , et calculer sa hessienne.
Déterminer tous les réels $a$ et $b$ pour lesquels est harmonique sur .

Exercice 5.5 · Autour du critère du second ordre

Soit $U \subset R^{n}$ un ouvert, $f \in C^{2} (U)$ et $a \in U$ .

Montrer que si est un minimum local de , alors est semi-définie positive (condition du second ordre).

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (chapitre sur les dérivées d'ordre supérieur et la formule de Taylor).
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 2, De Boeck, Bruxelles, chap. 11.
Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson, Toronto, chap. 12 (Taylor's formula for functions of several variables).
Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, Freeman, New York, chap. 3.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 2e année, Dunod, Paris (formes quadratiques et extrema).
Apostol, T. M., Calculus, vol. 2, 2e éd., Wiley, New York, chap. 9 (démonstration du théorème de Schwarz et de la formule de Taylor).

$t$	$f (t, t)$	$T_{1}$	$T_{2}$	$∣ f - T_{1} ∣$	$∣ f - T_{2} ∣$	$∣ f - T_{2} ∣ / ∥ h ∥^{2}$
0,2	0,494696	0,600000	0,460000	1,053·10⁻¹	3,470·10⁻²	0,434
0,1	0,270027	0,300000	0,265000	2,997·10⁻²	5,027·10⁻³	0,251
0,05	0,141933	0,150000	0,141250	8,067·10⁻³	6,835·10⁻⁴	0,137
0,02	0,058646	0,060000	0,058600	1,354·10⁻³	4,620·10⁻⁵	0,0577
0,01	0,029656	0,030000	0,029650	3,441·10⁻⁴	5,885·10⁻⁶	0,0294

$f = x^{4} + y^{4}$	$(0000)$	$0$	minimum global strict
$f = x^{4} - y^{4}$	$(0000)$
$f = x^{2} + y^{4}$	$(2000)$

Objectifs du chapitre

Dérivées partielles d'ordre supérieur

Dériver une dérivée

Dans quel ordre lit-on les symboles?

Les classes de régularité

Le théorème de Schwarz

L'énoncé et sa démonstration

Le contre-exemple: quand les dérivées croisées diffèrent

La matrice hessienne

La formule de Taylor à deux variables

L'idée: se ramener à une variable

Les deux formules

La forme explicite en dimension deux

Formes quadratiques: reconnaître le signe

Définitions

Premier critère: les valeurs propres

Deuxième critère: le discriminant en dimension deux

Troisième critère: les mineurs principaux de Sylvester

Le tableau de décision

Hessienne et nature d'un point critique

Le critère du second ordre

La fonction témoin du cours

Le laplacien et les fonctions harmoniques

Définition et invariance

Ce que le laplacien annonce

Application: la matrice de raideur d'un potentiel

Synthèse

Exercices

Références

La valeur nominale

Les dérivées premières

Approximation d'ordre un

Correction d'ordre deux et comparaison