Fonctions implicites et inversion locale

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître quand une équation $F (x, y) = 0$ définit localement $y$ comme fonction de $x$ , et dire exactement ce qui empêche cette résolution lorsqu'elle est impossible;
énoncer le théorème des fonctions implicites, dans le plan puis pour un système de $m$ équations, et l'appliquer à une courbe ou à une surface donnée par une équation;
calculer $φ^{'}$ et $φ^{''}$ par dérivation implicite, sans jamais expliciter $φ$ , et écrire l'équation de la tangente;
énoncer le théorème d'inversion locale, calculer la jacobienne de la réciproque, et distinguer soigneusement l'inversibilité locale de l'inversibilité globale;
écrire les matrices jacobiennes des coordonnées polaires, cylindriques et sphériques, calculer leurs déterminants et préciser les ouverts sur lesquels ces changements sont des difféomorphismes;
appliquer ces outils au calcul numérique (méthode de Newton pour un système) et aux relations entre dérivées partielles d'une équation d'état.

Une équation définit-elle une fonction?

Le point de départ

Jusqu'ici, une fonction de deux variables était donnée par une formule explicite, $z = f (x, y)$ , et l'on savait dériver, différentier, développer. Mais l'immense majorité des relations rencontrées en sciences de l'ingénieur ne se présentent pas ainsi. Une loi de comportement lie une contrainte et une déformation par une relation $σ = g (ε)$ qui n'est jamais explicitée; une équation d'état lie pression, volume et température par une relation du type $Φ (p, V, T) = 0$ que l'on ne sait résoudre ni en $V$ ni en ; la condition de résonance d'un circuit s'écrit comme l'annulation d'une expression où la pulsation apparaît sous plusieurs formes. Dans chacun de ces cas, la question est la même:

La réponse est l'un des deux ou trois théorèmes les plus utiles de tout le calcul différentiel. Elle est locale: on ne peut presque jamais résoudre globalement, mais on peut presque toujours résoudre au voisinage d'un point — et le «presque» se lit sur une seule dérivée partielle.

Le cercle, cas d'école

Prenons la relation la plus simple qui ne soit pas un graphe:

F (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1 = 0. (6.1)

Son ensemble de solutions est le cercle unité. Ce n'est évidemment pas le graphe d'une fonction de $x$ : pour $x = 0$ , deux valeurs de $y$ conviennent, $y = 1$ et $y = - 1$ . La question globale a donc une réponse négative. Regardons alors ce qui se passe près d'un point.

Près de $(0, 1)$ . Si l'on impose en plus $y > 0$ , il reste une seule solution, $y = 1 - x^{2}$ . Plus précisément, sur le rectangle , l'équation (6.1) équivaut à avec . Cette fonction est de classe sur , elle vaut en , et sa dérivée est . Au voisinage de , la relation bien une fonction.

Près de $(1, 0)$ . Là, tout change. Pour $x$ légèrement inférieur à $1$ , l'équation a deux solutions $y = \pm 1 - x^{2}$ , aussi proches l'une de l'autre que l'on veut de ; et pour elle n'en a aucune. Aucun rectangle centré en , si petit soit-il, ne permet de choisir valeur de pour chaque de : il y en a deux à gauche et zéro à droite. La résolution en est impossible, même localement.

Qu'est-ce qui distingue les deux points? Calculons les dérivées partielles: $\frac{\partial F}{\partial x} = 2 x$ et $\frac{\partial F}{\partial y} = 2 y$ . En $(0, 1)$ , ; en , . Géométriquement, le gradient est horizontal, donc la tangente au cercle — orthogonale au gradient, comme on l'a vu au chapitre 4 — y est . Or une tangente verticale est précisément l'obstruction: au voisinage d'un point où la courbe est verticale, elle ne peut pas être le graphe d'une fonction de .

Remarquons au passage que rien n'est perdu en $(1, 0)$ : c'est $\partial F / \partial x = 2 \neq = 0$ qui y est non nulle, et l'on peut résoudre en $x$ , c'est-à-dire écrire $x = ψ (y) = 1 - y^{2}$ près de ce point. La courbe reste parfaitement régulière; c'est le qu'il faut échanger.

Question 6.1

Sur le cercle $x^{2} + y^{2} = 1$ , en combien de points l'équation ne définit-elle pas $y$ comme fonction de $x$ au voisinage du point?

Le théorème des fonctions implicites dans le plan

Ce que l'on cherche exactement

Avant d'énoncer le théorème, il faut dire ce que «définir $y$ comme fonction de $x$ » signifie. L'exemple du cercle montre que l'énoncé doit être localisé des deux côtés: on restreint $x$ à un intervalle $I$ et $y$ à un intervalle $J$ .

L'équivalence est plus forte qu'une simple existence: elle dit que dans la fenêtre $I \times J$ , le graphe de $φ$ est la courbe $F = 0$ tout entière — pas un morceau, pas une branche parmi d'autres.

Le théorème

Démonstration (admise). La partie «existence et unicité de $φ$ » se démontre entièrement avec les outils de l'Analyse I, et nous en donnons ci-dessous la marche complète. En revanche, la différentiabilité de $φ$ , et surtout la généralisation au cas de plusieurs équations (théorème 6.2), reposent sur le théorème du point fixe de Banach appliqué à une suite d'approximations successives dans un espace de fonctions complet — ou, ce qui revient au même, sur le théorème d'inversion locale, lui-même démontré par un argument de point fixe. Cet outil relève d'un cours de topologie et d'espaces métriques, qui n'est pas un prérequis ici: nous admettons donc le théorème et nous nous contentons de rendre son mécanisme visible. $□$

Esquisse: pourquoi c'est vrai. Supposons $\frac{\partial F}{\partial y} (a, b) > 0$ (sinon, on remplace $F$ par $- F$ , ce qui ne change pas l'ensemble ${F = 0}$ ). Comme $F$ est de classe , la fonction est continue et reste donc strictement positive sur un rectangle fermé

R = [a - δ_{0}, a + δ_{0}] \times [b - ε, b + ε] \subset U .

Sur $R$ , pour chaque $x$ fixé, la fonction d'une variable $y \mapsto F (x, y)$ a une dérivée strictement positive: elle est strictement croissante. En particulier, puisque $F (a, b) = 0$ ,

F (a, b - ε) < 0 < F (a, b + ε) .

Les deux fonctions $x \mapsto F (x, b - ε)$ et $x \mapsto F (x, b + ε)$ sont continues; par conservation du signe, il existe $δ \in] 0, δ_{0}]$ tel que

F (x, b - ε) < 0 < F (x, b + ε) pour tout x \in] a - δ, a + δ [.

Fixons un tel $x$ . La fonction $y \mapsto F (x, y)$ est continue sur $[b - ε, b + ε]$ , strictement croissante, et change de signe entre les deux bornes: par le théorème des valeurs intermédiaires (Analyse I, chapitre 5), elle s'annule, et la stricte croissance garantit qu'elle s'annule en un seul point. Ce point, qui dépend de $x$ , est $φ (x)$ . L'existence et l'unicité sont acquises.

La continuité s'obtient en refaisant l'argument avec un $ε^{'} < ε$ quelconque: on trouve $δ^{'} \leq δ$ tel que $∣ φ (x) - b ∣ < ε^{'}$ dès que , ce qui est exactement la continuité en ; et comme le raisonnement vaut en tout point du graphe, est continue sur . Reste la dérivabilité, seule étape réellement technique, qui utilise le théorème des accroissements finis (Analyse I, chapitre 8) appliqué séparément aux deux variables.

Retenez surtout ceci: tout repose sur la monotonie stricte en $y$ , elle-même conséquence de $\partial F / \partial y \neq = 0$ et de la continuité de cette dérivée. C'est pourquoi l'hypothèse $F \in C^{1}$ ne peut pas être affaiblie en « $F$ admet des dérivées partielles»: sans continuité de $\partial F / \partial y$ , rien ne garantit qu'elle garde son signe sur un rectangle. Et en dimension supérieure, où n'est pas ordonné, l'argument de monotonie disparaît: c'est là qu'intervient le point fixe.

La formule de la dérivée

La formule (6.2) ne s'apprend pas par cœur: elle se retrouve en une ligne, et c'est ainsi qu'il faut la manipuler. Posons $g (x) = F (x, φ (x))$ pour $x \in I$ . Par définition de $φ$ , $g$ est identiquement nulle, donc $g^{'} \equiv 0$ . Or est la composée de et de ; la règle de la chaîne (chapitre 4) donne

0 = g^{'} (x) = \frac{\partial F}{\partial x} (x, φ (x)) \cdot 1 + \frac{\partial F}{\partial y} (x, φ (x)) \cdot φ^{'} (x) . (6.3)

Comme $\partial F / \partial y$ est continue et non nulle en $(a, b)$ , elle reste non nulle sur un voisinage, et l'on peut diviser: on obtient (6.2). C'est la dérivation implicite: on dérive la relation par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une fonction de $x$ , puis on isole $y^{'}$ .

Deux conséquences immédiates. D'abord, l'équation de la tangente à la courbe $F = 0$ au point $(a, b)$ :

y - b = φ^{'} (a) (x - a) ⟺ \frac{\partial F}{\partial x} (a, b) (x - a) + \frac{\partial F}{\partial y} (a, b) (y - b) = 0, (6.4)

c'est-à-dire $⟨ \nabla F (a, b), (x - a, y - b)⟩ = 0$ : la tangente est la droite passant par $(a, b)$ et orthogonale au gradient. Cette écriture-là est symétrique en $x$ et $y$ , donc valable aussi quand $\partial F / \partial y = 0$ (la tangente est alors verticale), pourvu que . Ensuite, la formule (6.2) explique le phénomène du cercle: lorsque avec , la pente tend vers l'infini — la tangente bascule à la verticale.

La dérivée seconde, pour la courbure

Si $F$ est de classe $C^{2}$ , on peut recommencer. Dérivons (6.3) par rapport à $x$ , toujours par la règle de la chaîne, en abrégeant $F_{x} = \partial F / \partial x$ , $F_{x y} = \partial^{2} F / \partial y \partial x$ , etc., et en écrivant pour :

F_{xx} + F_{x y} φ^{'} + (F_{y x} + F_{y y} φ^{'}) φ^{'} + F_{y} φ^{''} = 0.

Le théorème de Schwarz (chapitre 5) donne $F_{x y} = F_{y x}$ , d'où

φ^{''} = - \frac{F _{xx} + 2 F _{x y} φ ^{'} + F _{y y} ( φ ^{'} ) ^{2}}{F _{y}}, (6.5)

et, en y reportant $φ^{'} = - F_{x} / F_{y}$ et en réduisant au même dénominateur,

φ^{''} = - \frac{F _{xx} F _{y}^{2} - 2 F _{x y} F _{x} F _{y} + F _{y y} F _{x}^{2}}{F _{y}^{3}} . (6.6)

En pratique, on n'utilise presque jamais (6.6): on redérive (6.3) à la main, ce qui est plus court et moins fautif. Le signe de $φ^{''}$ donne la convexité locale de la courbe vue comme graphe, et intervient au chapitre 7 pour classer les extremums d'une fonction restreinte à une courbe.

Question 6.2

La relation $x e^{y} + y = 1$ est vérifiée au point $(0; 1)$ . Calculez la pente $φ^{'} (0)$ de la courbe en ce point.

Quatre exemples

Question 6.3

Remettez dans l'ordre les étapes de l'application du théorème des fonctions implicites à une relation donnée.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer

\partial F / \partial y

(a; b)

et vérifier qu'elle n'est pas nulle

Vérifier que le point étudié

(a; b)

annule bien

F

Calculer

φ^{'} (a) = - F_{x} / F_{y}

et écrire l'équation de la tangente

Écrire la relation sous la forme

F (x, y) = 0

et vérifier que

F

est de classe

C^{1}

sur un ouvert

Conclure à l'existence d'une unique fonction implicite

φ

de classe

C^{1}

sur un voisinage de

a

Faire varier le niveau

Les exemples précédents portaient tous sur une équation $F (x, y) = 0$ . Rien ne change si le second membre est une constante $c$ : il suffit de remplacer $F$ par $F - c$ , qui a les mêmes dérivées partielles. La famille des courbes $F (x, y) = c$ est donc la famille des lignes de niveau de $F$ étudiée au chapitre 2, et le théorème dit:

L'explorateur ci-dessous met cette phrase en mouvement sur la fonction témoin $F (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y$ . Faites varier le niveau $c$ et observez trois choses. Pour $c > 0$ , la courbe est une seule branche infinie. Pour , elle a composantes: un petit ovale autour du minimum local et une branche infinie. Pour , les deux se rejoignent exactement au point de selle — la topologie de la ligne de niveau change au passage d'une valeur critique, ce qui est l'idée de départ de la théorie de Morse. Et pour , l'ovale a disparu: le niveau est passé sous le minimum.

Promenez ensuite le point le long de la courbe et lisez la pente. Elle passe par toutes les valeurs, et là où $F_{y} = 3 y^{2} - 3 x$ s'annule l'indicateur affiche «tangente verticale» au lieu d'un nombre: c'est l'hypothèse du théorème qui tombe, et le point mobile porte alors une tangente parfaitement verticale.

Explorateur 6.1 · Explorateur des courbes implicites F(x, y) = c

Lignes de niveau de la fonction témoin F(x, y) = x³ + y³ − 3xy, recalculées par marching squares à chaque déplacement du curseur. Le second curseur promène un point le long de la courbe et les indicateurs donnent les deux dérivées partielles de F et la pente de la fonction implicite y = φ(x). Là où la dérivée partielle en y s'annule, la tangente est verticale et aucune résolution en y n'est possible: c'est exactement l'hypothèse du théorème des fonctions implicites qui tombe en défaut.

Niveau c0,00

Position du point sur la courbe50 %

Point (x ; y)

(-2,09 ; 1,19)

F_x = 3x² − 3y

9,529

F_y = 3y² − 3x

10,497

Pente φ′ = −F_x/F_y

-0,908

Composantes de la courbe

Le cas général: un système de plusieurs équations

Ce qui se généralise

En ingénierie, la situation usuelle est un système: plusieurs relations entre plusieurs variables, dont on veut exprimer certaines en fonction des autres. Un bilan de matière et un bilan d'énergie relient quatre débits; deux conditions d'équilibre relient deux angles et deux longueurs. La bonne façon de compter est simple: pour exprimer $m$ inconnues, il faut $m$ équations, et la condition scalaire $\partial F / \partial y \neq = 0$ devient l'inversibilité d'une matrice carrée $m \times m$ .

Notons donc $R^{n} \times R^{m}$ l'espace des variables, un point s'écrivant $(x, y)$ avec $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ les variables et les variables . Pour de classe , on découpe la matrice jacobienne , de taille , en deux blocs:

J_{F} = m \times n \frac{\partial F}{\partial x} m \times m \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial F _{1}}{\partial y _{1}} ⋮ \frac{\partial F _{m}}{\partial y _{1}} \dots \dots \frac{\partial F _{1}}{\partial y _{m}} ⋮ \frac{\partial F _{m}}{\partial y _{m}} .

Démonstration (admise). Même raison qu'au théorème 6.1, et cette fois sans échappatoire: $R^{m}$ n'étant pas ordonné, l'argument de monotonie du cas scalaire ne se transpose pas. La preuve standard applique le théorème du point fixe de Banach à l'application $y \mapsto y - [\partial F / \partial y (a, b)]^{- 1} F (x, y)$ , dont les points fixes sont exactement les solutions de $F (x, y) = 0$ — on reconnaîtra au passage une méthode de Newton à jacobienne figée. Montrer que cette application est contractante sur une petite boule est un exercice d'inégalité des accroissements finis; conclure demande la complétude de .

En revanche, la formule (6.11) se démontre en une ligne, exactement comme (6.2). L'application $x \mapsto F (x, φ (x))$ est identiquement nulle sur $V$ ; sa jacobienne l'est donc aussi. Par la règle de la chaîne pour les applications composées (chapitre 4), en dérivant bloc par bloc,

\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} J_{φ} = 0, (6.12)

et comme $\partial F / \partial y$ est inversible en $(a, b)$ — donc, par continuité du déterminant, sur un voisinage — on multiplie à gauche par son inverse. $□$

Question 6.4

Dans l'exemple 6.5, quelle est la valeur de $\partial u / \partial y$ au point $(1; 1; 1; 1)$ ?

Le théorème d'inversion locale

Difféomorphismes

Le second grand théorème du chapitre répond à une question jumelle: quand une application $F : R^{n} \to R^{n}$ est-elle inversible, et sa réciproque est-elle dérivable? En dimension un, on connaît la réponse depuis l'Analyse I (chapitre 8): si $f$ est de classe $C^{1}$ sur un intervalle et $f^{'} (a) \neq = 0$ , alors est strictement monotone près de , donc bijective sur un petit intervalle, et . Le théorème d'inversion locale est la version en dimension de cet énoncé, le rôle de étant tenu par .

L'exigence sur la réciproque n'est pas gratuite. L'application $f (x) = x^{3}$ est une bijection de classe $C^{\infty}$ de $R$ sur $R$ , mais sa réciproque $x \mapsto x^{1/3}$ n'est pas dérivable en : est un homéomorphisme, pas un difféomorphisme. L'obstruction est exactement .

Démonstration (admise). Comme le théorème 6.2, dont il est une conséquence immédiate (voir ci-dessous), il repose sur le théorème du point fixe de Banach: on montre que pour $w$ proche de $F (a)$ l'application $x \mapsto x + [J_{F} (a)]^{- 1} (w - F (x))$ est une contraction d'une petite boule fermée dans elle-même, et son unique point fixe est l'antécédent cherché. Cette technique appartient au cours d'analyse fonctionnelle.

La formule (6.13), en revanche, se démontre immédiatement une fois l'inversibilité admise. Sur $V$ , l'identité $F^{- 1} \circ F = id_{V}$ est vraie; les deux membres sont de classe $C^{1}$ , et la règle de la chaîne pour les jacobiennes (chapitre 4) donne

J_{F^{- 1}} (F (x)) \cdot J_{F} (x) = J_{id} (x) = I_{n},

ce qui est exactement (6.13). En prenant les déterminants,

det J_{F^{- 1}} (F (x)) = \frac{1}{det J _{F} ( x )}, (6.14)

formule qui servira telle quelle au changement de variables des intégrales multiples (chapitres 9 et 10). $□$

Les deux théorèmes n'en font qu'un

Il vaut la peine de voir que les théorèmes 6.2 et 6.3 sont équivalents: chacun se déduit de l'autre en quelques lignes, et c'est un excellent exercice de manipulation des blocs jacobiens.

De l'inversion locale aux fonctions implicites. Soit $F (x, y)$ comme au théorème 6.2. Définissons

Ψ : U \to R^{n} \times R^{m}, Ψ (x, y) = (x, F (x, y)) .

C'est une application de classe $C^{1}$ d'un ouvert de $R^{n + m}$ dans $R^{n + m}$ , et sa jacobienne est triangulaire par blocs:

J_{Ψ} = I_{n} \frac{\partial F}{\partial x} 0 \frac{\partial F}{\partial y}, det J_{Ψ} = det \frac{\partial F}{\partial y} \neq = 0 en (a, b) .

Par le théorème 6.3, $Ψ$ est un difféomorphisme d'un voisinage de $(a, b)$ sur un voisinage de $(a, 0)$ . Sa réciproque conserve la première composante, donc elle s'écrit $Ψ^{- 1} (x, w) = (x, G (x, w))$ avec $G$ de classe . Alors

F (x, y) = 0 ⟺ Ψ (x, y) = (x, 0) ⟺ y = G (x, 0),

et $φ (x) = G (x, 0)$ est la fonction implicite cherchée. $□$

Des fonctions implicites à l'inversion locale. Réciproquement, soit $F : U \subset R^{n} \to R^{n}$ avec $det J_{F} (a) \neq = 0$ . Posons et considérons

G (w, x) = F (x) - w

comme une fonction des variables libres $w \in R^{n}$ et des variables à déterminer $x \in R^{n}$ . On a $G (w_{0}, a) = 0$ et $\partial G / \partial x = J_{F} (a)$ , inversible. Le théorème 6.2 fournit donc une application , définie près de , telle que et que ce soit la seule solution dans un voisinage: c'est la réciproque locale de . Sa jacobienne, donnée par (6.11), vaut , ce qui redonne (6.13).

Local ne veut pas dire global

Question 6.5

Une application $F$ de classe $C^{1}$ d'un ouvert connexe $U \subset R^{n}$ dans $R^{n}$ vérifie $det J_{F} (x) \neq = 0$ pour tout $x \in U$ . Que peut-on en conclure?

Changements de coordonnées

Le théorème d'inversion locale donne son statut précis à une pratique constante de l'ingénieur: changer de coordonnées. Un changement de coordonnées sur un ouvert $V$ de $R^{n}$ , c'est un difféomorphisme de $V$ sur un ouvert $W$ ; les trois qui suivent sont ceux dont les chapitres 9 et 10 auront besoin, et il faut en connaître par cœur les jacobiens.

Coordonnées polaires du plan

Φ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ), J_{Φ} = (cos θ sin θ - r sin θ - r cos θ),

det J_{Φ} = r cos^{2} θ + r sin^{2} θ = r . (6.15)

Le déterminant est strictement positif dès que $r > 0$ . Le théorème 6.3 assure donc l'inversibilité locale en tout point de ${r > 0}$ ; pour une bijection, il faut restreindre l'angle. Pour tout $α \in R$ ,

Φ :] 0, + \infty [\times] α, α + 2 π [⟶ R^{2} ∖ D_{α}

est un $C^{\infty}$ -difféomorphisme, où $D_{α}$ est la demi-droite fermée issue de l'origine et d'angle $α$ . Le choix usuel est $α = 0$ : on retire le demi-axe ${y = 0, x \geq 0}$ . La réciproque est et , de classe hors de la coupure. La formule (6.14) donne au passage .

Coordonnées cylindriques

Φ (r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z), J_{Φ} = cos θ sin θ 0 - r sin θ - r cos θ 0 001 .

En développant selon la dernière ligne, on retrouve le déterminant du cas plan:

det J_{Φ} = r . (6.16)

L'application est un $C^{\infty}$ -difféomorphisme de $] 0, + \infty [\times] 0, 2 π [\times R$ sur $R^{3}$ privé du demi-plan ${y = 0, x \geq 0}$ . Ces coordonnées sont celles de toute géométrie à symétrie de révolution autour d'un axe: tube, arbre de transmission, bobine, réservoir cylindrique.

Coordonnées sphériques

Avec $ρ \geq 0$ la distance à l'origine, $φ \in [0, π]$ la colatitude mesurée depuis l'axe $O z$ et $θ \in [0, 2 π [$ la longitude,

Φ (ρ, φ, θ) = (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ),

J_{Φ} = sin φ cos θ sin φ sin θ cos φ ρ cos φ cos θ ρ cos φ sin θ - ρ sin φ - ρ sin φ sin θ - ρ sin φ cos θ 0 .

Développons selon la troisième ligne, dont le dernier coefficient est nul. Le premier mineur vaut

ρ cos φ cos θ \cdot ρ sin φ cos θ - (- ρ sin φ sin θ) \cdot ρ cos φ sin θ = ρ^{2} sin φ cos φ,

et le second

sin φ cos θ \cdot ρ sin φ cos θ - (- ρ sin φ sin θ) \cdot sin φ sin θ = ρ sin^{2} φ .

D'où, avec les signes de la règle des cofacteurs,

det J_{Φ} = cos φ \cdot ρ^{2} sin φ cos φ + ρ sin φ \cdot ρ sin^{2} φ = ρ^{2} sin φ (cos^{2} φ + sin^{2} φ) = ρ^{2} sin φ . (6.17)

Ce déterminant est strictement positif sur $] 0, + \infty [\times] 0, π [\times] 0, 2 π [$ , et $Φ$ y est un $C^{\infty}$ -difféomorphisme sur $R^{3}$ privé du demi-plan ${y = 0, x \geq 0}$ . Il s'annule pour et (les pôles, où la longitude n'est pas définie) et pour : ce sont exactement les points où le système de coordonnées dégénère.

Question 6.6

Calculez le déterminant jacobien du passage aux coordonnées sphériques au point $ρ = 2$ , $φ = π /6$ , $θ = π /3$ .

Application numérique: la méthode de Newton pour un système

Le théorème d'inversion locale n'est pas seulement un énoncé d'existence: il justifie l'algorithme le plus employé pour résoudre un système non linéaire. Soit $f : U \subset R^{n} \to R^{n}$ de classe $C^{1}$ , dont on cherche un zéro. Au voisinage d'un point $z_{k}$ , l'approximation affine (chapitre 3) donne . Annuler le membre de droite fournit l'itération de :

z_{k + 1} = z_{k} - [J_{f} (z_{k})]^{- 1} f (z_{k}) . (6.18)

C'est licite tant que $J_{f} (z_{k})$ est inversible — l'hypothèse du théorème 6.3. En pratique, on ne calcule pas l'inverse: on résout le système linéaire $J_{f} (z_{k}) d_{k} = - f (z_{k})$ puis on pose .

Synthèse

Une équation $F (x, y) = 0$ définit $y$ comme fonction de $x$ au voisinage d'un point $(a, b)$ de la courbe dès que $F$ est de classe $C^{1}$ et que $\frac{\partial F}{\partial y} (a, b) \neq = 0$ (théorème 6.1). L'énoncé est local des deux côtés: il fournit un rectangle dans lequel la courbe le graphe de , et rien au-delà.

Série d'exercices du chapitre 6Exercice 1 sur 5

Question 6.7

Sur le folium $x^{3} + y^{3} - 3 x y = 0$ , en quel point la tangente est-elle verticale?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Dérivation implicite

Pour chacune des relations suivantes, vérifier que le point indiqué la satisfait, montrer que la relation définit localement $y$ comme fonction de $x$ , calculer $φ^{'}$ en ce point et donner l'équation de la tangente.

$x^{2} + x y + y^{3} = 7$ au point ; calculer aussi .

Exercice 6.2 · Étude complète du folium

Soit $F (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y$ et $C$ la courbe $F = 0$ .

Exercice 6.3 · Un système de deux équations

Soit le système

{u + v + x^{2} + y^{2} = 4, u v + x y = 2,

Exercice 6.4 · Inversion locale de l'exponentielle complexe

Soit $F : R^{2} \to R^{2}$ définie par $F (x, y) = (e^{x} cos y, e^{x} sin y)$ .

Exercice 6.5 · Équivalence des deux théorèmes et relation cyclique

Soit $F : U \subset R^{n} \times R^{m} \to R^{m}$ de classe $C^{1}$ , avec et inversible. En admettant le théorème d'inversion locale, démontrer le théorème des fonctions implicites.

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (fonctions implicites et inversion locale).
Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, 6e éd., Freeman, New York, chap. 3 (théorème des fonctions implicites et applications).
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 2, De Boeck, Bruxelles (dérivation implicite et coordonnées).
Apostol, T. M., Calculus, vol. 2, 2e éd., Wiley, New York, chap. 9 (démonstrations complètes par le point fixe).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 2e année, Dunod, Paris (exercices sur les courbes implicites et les difféomorphismes).
Callen, H. B., Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 2e éd., Wiley, New York, chap. 7 (relations entre dérivées partielles et relation cyclique).

$k$	$x_{k}$	$y_{k}$	$x_{k}^{2} + y_{k}^{2} - 4$	$x_{k} y_{k} - 1$
0	2,000000	0,500000	$+ 2, 50 \cdot 1 0^{- 1}$	$0$
1	1,933333	0,516667	$+ 4, 72 \cdot 1 0^{- 3}$	$- 1, 11 \cdot 1 0^{- 3}$

Objectifs du chapitre

Une équation définit-elle une fonction?

Le point de départ

Le cercle, cas d'école

Le théorème des fonctions implicites dans le plan

Ce que l'on cherche exactement

Le théorème

La formule de la dérivée

La dérivée seconde, pour la courbure

Quatre exemples

Faire varier le niveau

Le cas général: un système de plusieurs équations

Ce qui se généralise

Le théorème d'inversion locale

Difféomorphismes

Les deux théorèmes n'en font qu'un

Local ne veut pas dire global

Changements de coordonnées

Coordonnées polaires du plan

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques

Application numérique: la méthode de Newton pour un système

Synthèse

Exercices

Références

La pression

Variation de la pression avec la température, à volume constant

Dilatation à pression constante

La relation cyclique