Dérivées partielles et différentiabilité

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables, par les règles usuelles ou, aux points délicats, par la définition, et les interpréter comme les pentes des coupes verticales du graphe;
expliquer pourquoi l'existence des dérivées partielles ne suffit pas et produire le contre-exemple classique d'une fonction dont les deux dérivées partielles existent en un point où elle n'est même pas continue;
définir la différentiabilité par un développement $f (a + h) = f (a) + L (h) + o (∥ h ∥)$ , démontrer l'unicité de $L$ et identifier la différentielle au gradient;
écrire l'équation du plan tangent au graphe et l'utiliser comme approximation affine;
démontrer que toute fonction de classe $C^{1}$ sur un ouvert y est différentiable, et savoir que la réciproque est fausse;
propager les incertitudes de mesure sur une grandeur calculée et dire quelle variable domine l'erreur;
écrire la matrice jacobienne d'une fonction vectorielle et reconnaître qu'elle représente la différentielle.

Dérivées partielles

Une dérivée ordinaire déguisée

Le chapitre 2 a construit l'espace $R^{n}$ , ses boules, ses ouverts, et la notion de limite et de continuité pour une fonction de plusieurs variables. Il reste à dériver. Or la définition de la dérivée en une variable, $f^{'} (a) = lim_{t \to 0} \frac{f ( a + t ) - f ( a )}{t}$ , ne se transpose pas telle quelle: pour et , le quotient n'a aucun sens, car on ne divise pas par un vecteur.

L'idée la plus simple consiste à ne bouger qu'une variable à la fois. Si l'on gèle toutes les variables sauf la $i$ -ième, il ne reste qu'une fonction d'une variable réelle — une fonction partielle — et l'on sait la dériver.

Deux remarques tout de suite. D'abord, la définition a bien un sens: $U$ est ouvert, donc il existe $r > 0$ tel que $B (a, r) \subset U$ , et $φ_{i}$ est définie au moins sur l'intervalle $] a_{i} - r, a_{i} + r [$ . Ensuite, (3.1) est une limite d'un quotient de nombres réels: , celle d'une fonction d'une seule variable. Tout ce que l'Analyse I a démontré sur la dérivation (linéarité, produit, quotient, composition) s'applique donc directement, à condition de se souvenir que les autres variables sont des constantes pendant le calcul.

En dimension $2$ et $3$ , où les variables ont un nom, on écrit $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ , $\frac{\partial f}{\partial z}$ . Les notations abrégées et sont d'usage courant; nous les utiliserons à partir d'ici lorsque la place manque, mais la notation de référence de ce cours reste . Le symbole (un «d rond») rappelle qu'il ne s'agit pas d'une dérivée totale: n'est pas le taux de variation de tout court, mais son taux de variation .

Lecture géométrique: les pentes de deux coupes

Le graphe d'une fonction de deux variables est la surface ${(x, y, f (x, y)) : (x, y) \in U}$ de $R^{3}$ . Fixer $y = b$ revient à couper cette surface par le plan vertical d'équation $y = b$ ; l'intersection est une courbe, le graphe de la fonction partielle . La dérivée est donc la au point . Symétriquement, est la pente de la tangente à la coupe par le plan .

Cette lecture rend immédiate une interprétation physique: si $f$ est une altitude, $\partial_{x} f$ est la pente que vous ressentez en marchant plein est, et $\partial_{y} f$ celle que vous ressentez en marchant plein nord. Un randonneur qui ne connaît que ces deux nombres ignore tout de la pente dans la direction du nord-est, et surtout de la direction de plus grande pente — c'est l'objet du chapitre 4.

Fonctions dérivées partielles et classe $C^{1}$

Lorsque $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x)$ existe en tout point $x$ d'un ouvert $U$ , on obtient une nouvelle fonction $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} : U \to R$ . On peut alors poser une exigence de régularité.

Cette classe est très large et très commode: toute fonction polynomiale est $C^{1}$ sur $R^{n}$ , et toute fonction obtenue par somme, produit, quotient (hors des zéros du dénominateur) ou composition de fonctions élémentaires est $C^{1}$ sur l'ouvert où l'expression a un sens. C'est de cette classe que viendra, plus loin, le théorème central du chapitre.

Question 3.1

Soit $f (x, y) = x^{2} y + sin y$ . Que vaut $\frac{\partial f}{\partial y}$ ?

Question 3.2

Pour la plaque de l'exemple 3.2, $T (x, y) = 100 - 10 x^{2} - 5 y^{2}$ , utilisez l'approximation linéaire issue du point $(1; 1)$ pour estimer $T (1, 02; 0, 97)$ , en °C.

Ce que les dérivées partielles ne disent pas

Le contre-exemple qu'il faut connaître

Une fonction d'une variable dérivable en un point y est continue: c'est un des tout premiers théorèmes de l'Analyse I. On pourrait espérer l'analogue: si les $n$ dérivées partielles existent en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ . C'est faux, et spectaculairement faux.

Le mécanisme de l'échec est instructif. Les deux dérivées partielles n'interrogent la fonction que le long de deux droites, et sur ces deux droites $f$ est aussi régulière qu'on veut — elle y est nulle. Tout ce qui se passe entre les axes leur échappe. Or dans $R^{2}$ , «tendre vers un point» autorise une infinité de chemins: deux directions ne suffisent pas à contrôler ce qui arrive sur les autres.

On peut faire pire

On pourrait croire qu'il suffit d'exiger l'existence des dérivées dans toutes les directions, et non seulement selon les axes. Rappelons la définition, qui servira surtout au chapitre 4.

Exiger toutes les directions est bien plus fort — et pourtant encore insuffisant. Considérons

f (x, y) = \frac{x ^{2} y}{x ^{4} + y ^{2}} pour (x, y) \neq = (0, 0), f (0, 0) = 0.

Pour $u = (cos θ, sin θ)$ avec $sin θ \neq = 0$ ,

\frac{f ( t cos θ , t sin θ )}{t} = \frac{1}{t} \cdot \frac{t ^{3} cos ^{2} θ sin θ}{t ^{4} cos ^{4} θ + t ^{2} sin ^{2} θ} = \frac{cos ^{2} θ sin θ}{t ^{2} cos ^{4} θ + sin ^{2} θ} t \to 0 \frac{cos ^{2} θ}{sin θ},

et pour $sin θ = 0$ la fonction est nulle sur l'axe, donc la limite vaut $0$ . Toutes les dérivées directionnelles existent en $(0, 0)$ . Mais le long de la parabole $y = x^{2}$ on trouve $f (x, x^{2}) = \frac{x ^{4}}{2 x ^{4}} = \frac{1}{2}$ pour tout : la fonction n'est pas continue en . Ce contre-exemple, déjà rencontré au chapitre 2 pour les limites, montre qu'aucune collection de limites ne capture le comportement d'une fonction au voisinage d'un point. Il faut une condition qui contrôle sur tout un voisinage à la fois.

Question 3.3

Classez ces quatre propriétés de la plus forte à la plus faible: chacune entraîne la suivante, et aucune des réciproques n'est vraie.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

f

est de classe

C^{1}

au voisinage de

a

toutes les dérivées directionnelles de

f

existent en

a

les dérivées partielles de

f

existent en

a

f

est différentiable en

a

La différentiabilité

Ce qu'il faut demander

Revenons à une variable pour voir ce qui se généralise. Dire que $f$ est dérivable en $a$ , c'est dire que $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} \to f^{'} (a)$ , ce qui s'écrit encore

f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + o (h) (h \to 0) .

Sous cette forme, plus rien ne divise par $h$ : la dérivabilité dit que $f$ est bien approchée, au premier ordre, par une fonction affine. Or la notion de fonction affine existe en toute dimension, et c'est elle que l'on généralise.

Trois points méritent d'être soulignés. Premièrement, $L$ doit être linéaire: $L (λ h + μ k) = λ L (h) + μL (k)$ . C'est cette exigence que les dérivées directionnelles seules ne garantissent pas. Deuxièmement, le reste doit être un $o (∥ h ∥)$ quand $h$ tend vers $0$ de n'importe quelle façon, et pas seulement le long de droites: c'est là que se joue tout l'écart avec la section précédente. Troisièmement, $d f_{a}$ est une , pas un nombre: c'est l'objet qui remplace la dérivée , laquelle n'était un nombre que parce qu'une application linéaire de dans est la multiplication par un scalaire.

Démonstration. Supposons que $L_{1}$ et $L_{2}$ conviennent toutes deux et posons $D = L_{1} - L_{2}$ , qui est linéaire. En soustrayant les deux développements, . Fixons et appliquons cette relation à avec : par linéarité , donc

∣ D (u)∣ = \frac{∣ D ( t u )∣}{t} = ∥ u ∥ \cdot \frac{∣ D ( t u )∣}{∥ t u ∥} t \to 0^{+} 0.

Le membre de gauche ne dépend pas de $t$ : il est donc nul. Ainsi $D (u) = 0$ pour tout $u$ , c'est-à-dire $L_{1} = L_{2}$ . $□$

Différentiable entraîne continue

Démonstration. Écrivons $L = d f_{a}$ et $h = \sum_{i = 1}^{n} h_{i} e_{i}$ . Par linéarité et par l'inégalité triangulaire,

∣ L (h)∣ = i = 1 \sum n h_{i} L (e_{i}) \leq i = 1 \sum n ∣ h_{i} ∣ ∣ L (e_{i})∣ \leq M ∥ h ∥, M = i = 1 \sum n ∣ L (e_{i})∣,

puisque $∣ h_{i} ∣ \leq ∥ h ∥$ pour chaque $i$ . En reportant dans (3.4),

∣ f (a + h) - f (a)∣ \leq ∣ L (h)∣ + ∥ h ∥ ∣ ε (h)∣ \leq (M + ∣ ε (h)∣) ∥ h ∥ h \to 0 0,

car $M$ est une constante et $ε (h) \to 0$ . Donc $f (a + h) \to f (a)$ : $f$ est continue en $a$ . $□$

Ce théorème, joint à l'exemple 3.3, règle déjà une question: la fonction (3.2) n'est pas différentiable en $(0, 0)$ , puisqu'elle n'y est pas continue. Ses deux dérivées partielles existent pourtant. La différentiabilité est donc strictement plus forte que l'existence des dérivées partielles.

Le gradient

Démonstration. Soit $u \neq = 0$ fixé. Appliquons (3.4) à $h = t u$ , $t \neq = 0$ :

\frac{f ( a + t u ) - f ( a )}{t} = \frac{t L ( u ) + ∣ t ∣ ∥ u ∥ ε ( t u )}{t} = L (u) \pm ∥ u ∥ ε (t u) .

Comme $t u \to 0$ quand $t \to 0$ , le second terme tend vers $0$ : la limite existe et vaut $L (u)$ . Avec $u = e_{i}$ on obtient $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) = L (e_{i})$ , puis, par linéarité de ,

L (h) = L (i \sum h_{i} e_{i}) = i \sum h_{i} L (e_{i}) = i \sum h_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) = ⟨ \nabla f (a), h ⟩ .

Pour $u$ unitaire, la même limite donne $D_{u} f (a) = L (u) = ⟨ \nabla f (a), u ⟩$ . $□$

La formule (3.5) a une conséquence pratique décisive: si l'on sait que $f$ est différentiable, il suffit de calculer les dérivées partielles pour connaître toute la différentielle. La différentiabilité est la garantie; les dérivées partielles sont les coefficients. C'est aussi la raison pour laquelle on écrit souvent, en physique et en ingénierie,

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y, (3.6)

où $d x$ et $d y$ désignent les applications coordonnées $h \mapsto h_{1}$ et $h \mapsto h_{2}$ , qui forment la base duale. L'égalité (3.6) n'est rien d'autre que (3.5) écrite sans le symbole de somme.

La réciproque est fausse, même pour une fonction continue

L'exemple 3.3 fournit une fonction à dérivées partielles non différentiable, mais elle triche un peu: elle n'est même pas continue. En voici une qui l'est.

Question 3.4

Parmi ces quatre implications, laquelle est FAUSSE?

Le plan tangent

Le graphe de l'approximation affine

Quand $f$ est différentiable en $a = (a, b)$ , la relation (3.4) dit que la fonction affine

A (x, y) = f (a, b) + \frac{\partial f}{\partial x} (a, b) (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) (y - b) (3.7)

approche $f$ au voisinage de $(a, b)$ avec une erreur négligeable devant la distance au point. Le graphe de $A$ est un plan de $R^{3}$ : c'est le plan tangent.

L'équivalence se vérifie d'un trait: (3.8) s'écrit $\partial_{x} f \cdot (x - a) + \partial_{y} f \cdot (y - b) - (z - f (a, b)) = 0$ , c'est-à-dire .

Le plan tangent contient les deux tangentes de la figure 3.1: en posant $y = b$ dans (3.8) on obtient la droite $z = f (a, b) + \partial_{x} f (a, b) (x - a)$ , qui est exactement la tangente à la coupe $y = b$ ; de même pour l'autre. Le plan tangent est donc le plan engendré par les deux tangentes de coupe — mais attention, . Pour la fonction de l'exemple 3.5, les deux tangentes de coupe existent (horizontales toutes les deux) et engendrent un plan candidat, le plan ; la surface s'en écarte pourtant proportionnellement à dans la direction diagonale, et ce plan ne mérite pas le nom de tangent.

Faites varier le point de base dans l'explorateur ci-dessous: le plan bascule, s'aplatit aux deux points critiques, et les indicateurs numériques montrent ce que la figure ne peut pas montrer — la vitesse à laquelle l'écart disparaît.

Explorateur 3.1 · Plan tangent mobile

Graphe de la fonction témoin du cours f(x, y) = x³ + y³ − 3xy. Les deux premiers curseurs déplacent le point de base (a, b) : le plan tangent suit et bascule, horizontal aux deux points critiques (0, 0) et (1, 1). Le troisième règle la longueur du pas h = t·u, avec u = (0,8 ; −0,6) unitaire, donc ‖h‖ = t. L'écart entre la surface et le plan est trop petit pour se voir sur le dessin dès que t est petit — c'est exactement ce que dit o(‖h‖) : lisez-le dans les indicateurs. Faites décroître t et comparez les deux derniers : écart/‖h‖ tend vers 0, écart/‖h‖² reste bloqué autour d'une constante. C'est la signature du second ordre.

Abscisse a du point de base0,60

Ordonnée b du point de base0,20

Longueur du pas ‖h‖ = t0,30

f(a, b)

−0,136

Gradient ∇f(a,b) = (3a² − 3b, 3b² − 3a)

(0,48 ; −1,68)

Norme ‖∇f(a,b)‖

1,747

Valeur exacte f(a+h, b+k)

0,542

Plan tangent en (a+h, b+k)

0,282

Écart |f − plan|

0,2607

Écart / ‖h‖ (tend vers 0)

0,8690

Écart / ‖h‖² (reste borné)

2,897

Question 3.5

Le plan tangent au graphe de $f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y$ au point $(2; 1)$ a pour équation $z = 9 x - 3 y - 12$ . Quelle valeur ce plan donne-t-il au point $(2, 05; 1, 05)$ ?

Le théorème fondamental: de classe $C^{1}$ entraîne différentiable

Nous savons maintenant que la différentiabilité est la bonne notion, mais la vérifier par la définition, comme à l'exemple 3.4, est laborieux. Le théorème suivant transforme le problème en un calcul de routine: il suffit de dériver partiellement et de constater que le résultat est continu.

Démonstration. Faisons-la en dimension $2$ , où toutes les idées sont présentes; le cas général s'obtient en enchaînant $n$ pas au lieu de deux. Écrivons $a = (a, b)$ et choisissons $r > 0$ tel que la boule $B (a, r)$ soit contenue dans $U$ . Soit $h = (h, k)$ avec .

Premier pas: décomposer l'accroissement en deux accroissements à une variable. On écrit

f (a + h, b + k) - f (a, b) = (1) [f (a + h, b + k) - f (a, b + k)] + (2) [f (a, b + k) - f (a, b)] .

Dans le crochet $(1)$ seule la première variable bouge; dans $(2)$ , seule la seconde. Tous les points utilisés restent dans $B (a, r)$ : un point $(a + s, b + k)$ avec $∣ s ∣ \leq ∣ h ∣$ est à distance $s^{2} + k^{2} \leq h^{2} + k^{2} < r$ de , et de même pour avec .

Deuxième pas: le théorème des accroissements finis. Posons $φ (s) = f (a + s, b + k)$ pour $s$ entre $0$ et $h$ . Cette fonction d'une variable réelle est dérivable, de dérivée $φ^{'} (s) = \frac{\partial f}{\partial x} (a + s, b + k)$ , puisque la dérivée partielle existe en tout point de . Le théorème des accroissements finis (Analyse I, chapitre 8) fournit tel que

(1) = φ (h) - φ (0) = h \frac{\partial f}{\partial x} (a + θ_{1} h, b + k) .

De même, avec $ψ (s) = f (a, b + s)$ , il existe $θ_{2} \in] 0, 1 [$ tel que

(2) = k \frac{\partial f}{\partial y} (a, b + θ_{2} k) .

Troisième pas: faire apparaître les dérivées partielles au point $a$ . Posons

α (h) = \frac{\partial f}{\partial x} (a + θ_{1} h, b + k) - \frac{\partial f}{\partial x} (a, b), β (h) = \frac{\partial f}{\partial y} (a, b + θ_{2} k) - \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) .

En additionnant les deux crochets,

f (a + h, b + k) - f (a, b) = h \frac{\partial f}{\partial x} (a, b) + k \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) + h α (h) + k β (h) .

Quatrième pas: le reste est un petit o. Les points $(a + θ_{1} h, b + k)$ et $(a, b + θ_{2} k)$ tendent vers $(a, b)$ quand , car et . La des deux dérivées partielles au point donne alors et . Comme et ,

h α (h) + k β (h) \leq (∣ α (h)∣ + ∣ β (h)∣) ∥ h ∥ = o (∥ h ∥) .

La relation (3.4) est donc vérifiée avec $L (h) = h \partial_{x} f (a, b) + k \partial_{y} f (a, b)$ , qui est linéaire: $f$ est différentiable en et .

Ce que l'on fait vraiment en pratique

Ce théorème est celui que l'on utilise cent fois pour une fois où l'on revient à la définition. Devant une fonction donnée par une formule, la démarche est: (i) calculer les dérivées partielles avec les règles usuelles; (ii) constater qu'elles sont continues sur l'ouvert considéré, ce qui est immédiat pour une expression construite à partir de polynômes, exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques, quotients et racines, hors des points où l'expression cesse d'être définie; (iii) conclure que $f$ est différentiable et que $d f_{a} (h) = ⟨ \nabla f (a), h ⟩$ . On ne retourne à la définition que sur les points de recollement — origine d'une fonction définie par morceaux, zéro d'un dénominateur, valeur absolue — c'est-à-dire précisément là où les contre-exemples vivent.

Notez la dissymétrie des hypothèses dans l'énoncé du théorème 3.4: on demande l'existence des dérivées partielles sur tout un voisinage, mais leur continuité au seul point $a$ . C'est l'hypothèse minimale que la démonstration utilise: le théorème des accroissements finis a besoin de la dérivabilité sur un segment, et le passage à la limite n'a besoin de la continuité qu'au point d'arrivée.

La réciproque est fausse: différentiable sans être $C^{1}$

Nous disposons donc de la chaîne complète, dans laquelle aucune flèche ne se retourne:

f \in C^{1} ⟹ f diff \overset{e}{ˊ} rentiable ⟹ {f continue toutes les D_{u} f existent ⟹ les \frac{\partial f}{\partial x _{i}} existent .

Approximation linéaire et propagation des erreurs

Le calcul d'incertitude comme application directe

La formule (3.7) n'est pas seulement un objet géométrique: c'est l'outil de base du calcul d'incertitude. Une grandeur $Q$ est rarement mesurée directement; on mesure $x$ et $y$ , chacune avec une incertitude $Δ x$ et $Δ y$ , et l'on calcule $Q = f (x, y)$ . Quelle incertitude $Δ Q$ en résulte?

Si $f$ est différentiable et si les erreurs sont petites devant les grandeurs mesurées, alors

Q + δ Q = f (x + δ x, y + δ y) \approx f (x, y) + \frac{\partial f}{\partial x} δ x + \frac{\partial f}{\partial y} δ y,

et en majorant chaque terme par sa valeur absolue on obtient la formule de propagation des erreurs dans sa version majorante:

Δ Q \approx \frac{\partial f}{\partial x} Δ x + \frac{\partial f}{\partial y} Δ y . (3.9)

Les dérivées partielles jouent ici le rôle de coefficients de sensibilité: elles disent de combien la grandeur calculée se déplace par unité d'erreur sur chaque mesure. La comparaison des deux termes de (3.9) dit lequel des deux instruments il faut améliorer.

Fonctions vectorielles et matrice jacobienne

Différentiabilité composante par composante

Jusqu'ici l'arrivée était $R$ . Beaucoup d'applications sont vectorielles: un changement de coordonnées $R^{2} \to R^{2}$ , un champ de vitesses $R^{3} \to R^{3}$ , une paramétrisation de surface $R^{2} \to R^{3}$ . La définition ne change pas d'un iota.

Démonstration. Une application $R : V \to R^{m}$ est un $o (∥ h ∥)$ si et seulement si chacune de ses composantes en est un: c'est l'encadrement $∣ R_{i} (h)∣ \leq ∥ R (h)∥ \leq \sum_{i} ∣ R_{i} (h)∣$ , valable pour la norme euclidienne. De plus une application est linéaire si et seulement si ses composantes le sont. En lisant (3.10) composante par composante, on obtient donc exactement les relations (3.4) pour , et réciproquement. La dernière affirmation découle alors du théorème 3.4 appliqué à chaque .

Un mot sur les conventions, parce qu'elles déroutent souvent. Pour $m = 1$ , la matrice jacobienne est une matrice ligne $1 \times n$ , alors que le gradient est un vecteur colonne: $J_{f} (a) = \nabla f (a)^{T}$ . Les deux objets portent la même information; le premier est la matrice d'une application linéaire, le second le vecteur qui la représente par le produit scalaire. Pour , la matrice est et l'on retrouve l'Analyse I.

La matrice jacobienne prend tout son sens avec la règle de la chaîne, qui sera l'objet du chapitre 4: la jacobienne d'une composée est le produit des jacobiennes, $J_{G \circ F} (a) = J_{G} (F (a)) J_{F} (a)$ . C'est la véritable raison d'être du formalisme matriciel: il transforme la dérivation d'une composée en une multiplication de matrices, et rend la règle aussi mécanique qu'en une variable.

Synthèse

La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ est la dérivée ordinaire de la $i$ -ième fonction partielle: on gèle les autres variables et l'on dérive avec les règles de l'Analyse I. Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la coupe verticale du graphe par le plan correspondant.
L'existence des dérivées partielles, et même de toutes les dérivées directionnelles, ne garantit ni la continuité ni quoi que ce soit d'autre: $x y / (x^{2} + y^{2})$ a ses deux dérivées partielles nulles en sans y être continue, et y est continue, y possède toutes ses dérivées directionnelles, et n'y est pas différentiable.

Série d'exercices du chapitre 3Exercice 1 sur 5

Question 3.6

Soit $f$ définie sur un ouvert $U$ de $R^{2}$ et $a \in U$ . Quelle affirmation est correcte?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 3.1 · Calculs de dérivées partielles

Calculer toutes les dérivées partielles des fonctions suivantes, puis les évaluer au point indiqué.

$f (x, y) = x^{3} y^{2} - 2 x y + 5$ en $(1, 2)$ .

Exercice 3.2 · Plan tangent et approximation affine

Déterminer le plan tangent au graphe de $f (x, y) = x^{2} + 3 x y - y^{2}$ au point $(1, 2)$ , puis estimer par l'approximation affine et comparer à la valeur exacte.

Exercice 3.3 · Différentiabilité à l'origine

Pour chacune des fonctions suivantes, prolongées par $f (0, 0) = 0$ , étudier en $(0, 0)$ : la continuité, l'existence des dérivées partielles, et la différentiabilité.

$f (x, y) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} + y ^{2}}$ .

Exercice 3.4 · Propagation des incertitudes sur la mesure de g

On mesure l'accélération de la pesanteur à l'aide d'un pendule simple, dont la période des petites oscillations vaut $T = 2 π L / g$ .

On mesure $L = 1, 000 \pm 0, 005$ m et l'on adopte . Calculer , puis par la formule (3.9), et l'incertitude relative. Laquelle des deux mesures domine?

Exercice 3.5 · Unicité, dérivées directionnelles et linéarité

Soient $U \subset R^{n}$ un ouvert, $f : U \to R$ et $a \in U$ .

Redémontrer l'unicité de la différentielle (théorème 3.1) sans regarder la démonstration du cours.
Montrer que si $f$ est différentiable en , alors pour tout unitaire la dérivée directionnelle existe, vaut , et que l'application est la restriction d'une application linéaire.

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (chapitres sur la différentiabilité des fonctions de plusieurs variables).
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 2, De Boeck, Bruxelles, chap. 11 (dérivées partielles, plans tangents, approximations linéaires).
Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson, Toronto, chap. 12.
Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, W. H. Freeman, New York, chap. 2.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 2e année, Dunod, Paris (contre-exemples classiques de différentiabilité).
Apostol, T. M., Calculus, vol. 2, 2e éd., Wiley, New York, chap. 8 (démonstration du théorème de différentiabilité des fonctions de classe C1).

Objectifs du chapitre