Intégrales triples et changements de variables

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• définir l'intégrale triple d'une fonction continue sur un pavé puis sur un domaine borné de ${\mathbb{R}}^3$, et reconnaître les domaines sur lesquels elle existe;
• ramener une intégrale triple à trois intégrales simples par le théorème de Fubini, en organisant le calcul par piles ou par tranches, et vérifier un résultat en changeant l'ordre;
• poser les bornes d'intégration sur un tétraèdre, un cylindre tronqué, une région comprise entre un paraboloïde et un plan, une boule, et écrire plusieurs des six ordres possibles;
• appliquer le théorème du changement de variables en dimension trois, et en particulier les coordonnées cylindriques ($\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$) et sphériques ($\mathrm{d}V={\rho }^2\sin \phi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$), dont vous saurez retrouver les jacobiens;
• calculer des volumes classiques (boule, cône, ellipsoïde, calotte sphérique, bicylindre) et les vérifier par un second calcul;
• calculer une masse, un centre de gravité et un moment d'inertie par intégration, et retrouver les résultats $\bar{z}=3R/8$ de l'hémisphère, $I=\frac{2}{5}M{R}^2$ de la boule et $I=\frac{1}{2}M{R}^2$ du cylindre.

De l'intégrale double à l'intégrale triple

L'intégrale sur un pavé

Le chapitre 9 a construit l'intégrale double sur un rectangle à partir de sommes de Riemann, puis l'a étendue aux domaines élémentaires du plan. Le passage à trois variables ne demande aucune idée nouvelle: on remplace le rectangle par un pavé, l'aire d'un petit rectangle par le volume d'une petite boîte, et tout le reste suit. Nous irons donc vite sur la construction, en insistant sur ce qui change vraiment: la manière de poser les bornes, qui devient nettement plus délicate, et le changement de variables, qui devient nettement plus utile.

La notation $\mathrm{d}V$ rappelle que l'intégrale triple somme des contributions $f\times (\text{volume eˊleˊmentaire})$: c'est la lecture physique dont vivra tout ce chapitre. Si $f$ est une masse volumique, ${\iiint }_{V}f\mathrm{d}V$ est une masse; si est une densité d'énergie, c'est une énergie; si , c'est un volume.

Démonstration (esquisse). Elle est mot pour mot celle du chapitre 9 en dimension deux. Le pavé $P$ est compact (fermé et borné, chapitre 2), donc $f$ y est uniformément continue. Nous admettons ce point — le théorème de Heine: toute fonction continue sur un compact de ${\mathbb{R}}^n$ y est uniformément continue — dont la démonstration, par recouvrement fini ou par extraction de Bolzano–Weierstrass, relève d'un cours de topologie; c'est le même ingrédient qui sert au chapitre 9 pour l'intégrale double. Uniforme continuité signifie: pour tout $\epsilon >0$ il existe $\eta >0$ tel que $\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert <\eta$ implique . Dès que le pas est plus petit que , l'oscillation de sur chaque petit pavé est majorée par , donc la différence entre la somme de Darboux supérieure et l'inférieure est majorée par . Les deux sommes de Darboux encadrent toutes les sommes de Riemann et convergent vers une limite commune.

Domaines bornés de l'espace

Un solide n'est presque jamais un pavé. Comme au chapitre 9, on ramène le cas général au cas du pavé par prolongement par zéro.

Le prolongement crée une discontinuité le long de la frontière $\partial V$. Tout dépend donc de la «taille» de cette frontière.

Les graphes des fonctions continues de deux variables, les morceaux de sphères, de cylindres, de cônes, de plans et de quadriques sont négligeables dans ${\mathbb{R}}^3$; une réunion finie d'ensembles négligeables l'est encore. Tous les solides de ce chapitre — polyèdres, boules, cylindres, régions comprises entre deux graphes — sont donc admissibles.

Ce théorème est admis. La raison est la même qu'en dimension deux: sa démonstration complète repose sur le critère de Lebesgue — une fonction bornée est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle — dont la preuve relève d'un cours de théorie de la mesure. Ce qu'il faut en retenir est opérationnel: en pratique, tous les solides que l'ingénieur rencontre sont admissibles, et toute fonction continue sur un tel solide est intégrable. Le seul cas où la prudence s'impose est celui des fonctions non bornées (par exemple $1/\Vert \mathbf{x}\Vert$ près de l'origine), qui relèvent des intégrales impropres: l'exercice 10.5 en rencontre une, convergente.

Toutes se lisent directement sur les sommes de Riemann (10.1) et se démontrent comme en dimension un. La deuxième est celle qu'on utilise le plus: elle autorise à découper un solide compliqué en morceaux simples, à condition que les morceaux ne se chevauchent que par des surfaces.

Le théorème de Fubini dans l'espace

Sur un pavé

Démonstration. On applique deux fois le théorème de Fubini du chapitre 9. Écrivons $P=Q\times [a_3,b_3]$ avec $Q=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]$. La fonction est continue sur (continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre, conséquence de l'uniforme continuité de sur le compact ), et le regroupement des sommes de Riemann de par colonnes verticales montre que . Le théorème de Fubini en dimension deux transforme ensuite cette intégrale double en deux intégrales simples, dans l'ordre que l'on veut. Comme les trois variables jouent des rôles symétriques, les six ordres donnent la même valeur.

Deux façons d'organiser le calcul

Sur un domaine quelconque, l'intégration d'une variable ne se fait plus entre deux constantes: les bornes dépendent des variables restantes. Il y a deux manières systématiques de s'y prendre, et les deux servent constamment.

Ces deux théorèmes se démontrent comme le théorème 10.4, en prolongeant $f$ par zéro à un pavé contenant $V$ et en regroupant les sommes de Riemann, verticalement pour (10.3), horizontalement pour (10.4). Nous les admettons sous cette forme générale, en signalant que la seule difficulté technique est de vérifier que le prolongement par zéro reste intégrable, ce qui est exactement le théorème 10.2.

La différence entre les deux est une différence de projection. Par piles, on projette le solide sur le plan $Oxy$ et l'on parcourt les colonnes verticales: la variable intérieure est $z$, ses bornes sont deux surfaces. Par tranches, on coupe le solide par les plans horizontaux et l'on parcourt les sections: la variable extérieure est $z$, ses bornes sont deux constantes, et l'intégrale intérieure est une intégrale double sur une section plane. Le choix se fait sur un critère simple: par piles quand le solide est décrit comme «entre deux surfaces», par tranches quand les sections sont des figures simples dont on connaît l'aire.

Poser les bornes: un catalogue

Poser les bornes est l'unique vraie difficulté du calcul d'une intégrale triple. La méthode est toujours la même et tient en trois questions, posées dans l'ordre:

1. Quelle variable intégrer en premier? C'est celle dont les bornes sont deux surfaces ou deux fonctions des deux autres. Ses bornes dépendent des deux variables restantes.
2. Sur quoi porte l'intégrale double restante? C'est la projection du solide sur le plan des deux autres variables, ou la tranche, selon l'organisation choisie.
3. Quelles sont les bornes de la variable extérieure? Ce sont toujours deux constantes. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.

Cette règle de contrôle est précieuse: dans une intégrale itérée correctement posée, la variable la plus extérieure a des bornes numériques, la suivante des bornes qui ne dépendent que de la plus extérieure, la plus intérieure des bornes qui peuvent dépendre des deux autres. Une borne qui contient la variable qu'elle borne est une faute; une borne extérieure qui contient encore $x$, $y$ ou $z$ aussi.

Un tétraèdre

Soit $T$ le tétraèdre de sommets $O=(0,0,0)$, $A=(2,0,0)$, $B=(0,3,0)$, $C=(0,0,4)$. Le plan a pour équation

et $T=\{(x,y,z):x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0,\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}\le 1\}$. Prenons comme variable intérieure. À fixé, varie de à . La projection de sur le plan est le triangle de sommets , , , c'est-à-dire l'ensemble des pour lesquels la borne supérieure ci-dessus est positive: . Sur ce triangle, va de à et, à fixé, de à . D'où

Avec $f=1$, en posant $u=1-\frac{x}{2}$: l'intégrale intérieure vaut $4(u-\frac{y}{3})$, celle en vaut , et enfin

ce qui est bien $\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 3\cdot 4$, la formule du volume d'un tétraèdre rectangle en $O$.

Un cylindre coupé par un plan

Soit $V=\{x^2+y^2\le 4,0\le z\le 6-x\}$: un cylindre droit de rayon $2$ et d'axe , tronché par un plan incliné. Comme sur le disque, le solide est bien au-dessus du plan . L'organisation est ici la seule raisonnable, car les tranches horizontales ne sont des disques que pour et deviennent des segments circulaires ensuite. Avec le disque ,

l'intégrale de $x$ sur le disque étant nulle par symétrie. Le centre de gravité s'obtient de même. En polaires, ${\iint }_D{x}^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{r}^3{\cos }^2\theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\pi \cdot 4=4\pi$, donc

d'où $\bar{x}=\frac{-4\pi }{24\pi }=-\frac{1}{6}\approx -0,167$ et . Le centre de gravité est décalé vers les négatifs, c'est-à-dire du côté où le solide est le plus haut: le signe est celui qu'on attend.

Entre un paraboloïde et un plan

C'est le solide de l'exemple 10.1. Retenons-en la description double, car elle se rencontre partout:

Le passage d'une écriture à l'autre est le même mouvement d'esprit que le passage du type I au type II en dimension deux: on relit l'inégalité $x^2+y^2\le z\le 4$ tantôt comme un encadrement de $z$, tantôt comme une condition sur $(x,y)$ à $z$ fixé.

Une boule

Pour $B=\{x^2+y^2+z^2\le R^2\}$, les bornes cartésiennes sont

Elles sont correctes et presque inutilisables: déjà pour $f=1$, l'intégrale en $y$ fait apparaître un $\arcsin$. Par tranches, en revanche, $V_z$ est le disque de rayon $\sqrt{R^2-z^2}$ et

C'est le premier signe que le choix des coordonnées, et non seulement celui de l'ordre, décide de la difficulté d'un calcul. Les coordonnées sphériques feront mieux encore.

Le volume et les six ordres d'intégration

Le cas $f=1$ mérite d'être isolé, car c'est celui qui sert le plus:

Là où l'intégrale simple donne une aire sous une courbe et l'intégrale double un volume sous une surface, l'intégrale triple de la fonction $1$ donne directement le volume du domaine d'intégration. Un même volume peut donc s'écrire de six façons, selon l'ordre dans lequel on épuise les trois variables. Les six valent la même chose, mais elles ne coûtent pas le même travail.

Le changement de variables en dimension trois

Le théorème

Le chapitre 9 a établi la formule du changement de variables pour les intégrales doubles; le chapitre 6 a montré, par le théorème d'inversion locale, qu'un changement de coordonnées de classe ${\mathcal{C}}^1$ à jacobien non nul est localement bijectif et transforme un petit pavé en un petit parallélogramme d'aire multipliée par $|\det J|$. En dimension trois, le même énoncé vaut, avec un volume à la place d'une aire.

Ce théorème est admis, pour la même raison qu'en dimension deux: sa démonstration rigoureuse demande de contrôler uniformément la déformation des pavés par $\mathbf{\Phi }$, ce qui repose sur des arguments de recouvrement et de mesure qui relèvent d'un cours de théorie de la mesure. L'idée, elle, se comprend parfaitement et il faut la retenir: au voisinage d'un point $\mathbf{a}$, la différentiabilité de $\mathbf{\Phi }$ — c'est-à-dire la définition même de la différentielle d'une fonction vectorielle, relation (3.10) et théorème 3.5 du chapitre 3 — donne $\mathbf{\Phi }(\mathbf{a}+\mathbf{h})=\mathbf{\Phi }(\mathbf{a})+J_{\mathbf{\Phi }}(\mathbf{a})\mathbf{h}+\mathrm{o}(\Vert \mathbf{h}\Vert )$, la matrice jacobienne étant exactement la matrice de cette différentielle. (La formule de Taylor du chapitre 5 est écrite pour des fonctions à valeurs ; ici l'arrivée est , et c'est la différentiabilité vectorielle du chapitre 3 qu'il faut invoquer — le chapitre 4 rappelle d'ailleurs que, pour une fonction vectorielle, l'égalité des accroissements finis tombe en défaut.) Un petit pavé de côtés , , est donc envoyé, à un près, sur le parallélépipède engendré par les trois colonnes de multipliées par ces longueurs. Or le volume d'un parallélépipède engendré par trois vecteurs est la valeur absolue du déterminant de la matrice de ces vecteurs (annexe A). D'où

le jacobien est le coefficient local de dilatation des volumes. La dernière clause du théorème est ce qui rend l'énoncé utilisable: les coordonnées sphériques échouent à être bijectives sur l'axe $Oz$, et cet axe est négligeable.

Les coordonnées cylindriques

Calculons le jacobien. La matrice jacobienne de $\mathbf{\Phi }(r,\theta ,z)=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)$ est

En développant selon la troisième ligne, dont les deux premiers termes sont nuls,

qui est positif ou nul. La formule (10.8) s'écrit donc

Le jacobien s'annule sur l'axe $r=0$, qui est négligeable: le théorème s'applique. Les coordonnées cylindriques sont le bon choix dès qu'il y a symétrie de révolution autour d'un axe, ou simplement dès que la projection sur un plan est un disque, une couronne ou un secteur.

Les coordonnées sphériques

La convention adoptée ici — $\phi$ depuis le pôle nord, $\theta$ dans le plan horizontal — est celle du chapitre 6 et de toute la suite du cours; elle est aussi celle de la physique et des normes ISO. Nous la fixons une fois pour toutes et nous n'en changerons pas.

La relation entre les deux systèmes se lit sur la figure 10.2: $r=\rho \sin \phi$ et $z=\rho \cos \phi$, le $\theta$ étant le même. Calculons maintenant le jacobien de $\mathbf{\Phi }(\rho ,\phi ,\theta )=(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )$:

Développons selon la troisième ligne, qui contient un zéro. Le cofacteur de $\cos \phi$ (position $3,1$, signe $+$) vaut

et le cofacteur de $-\rho \sin \phi$ (position $3,2$, signe $-$) vaut

Par conséquent

Comme $\phi \in [0,\pi ]$, on a $\sin \phi \ge 0$ et donc $|\det J_{\mathbf{\Phi }}|={\rho }^2\sin \phi$:

Le jacobien s'annule pour $\rho =0$ et pour $\phi \in \{0,\pi \}$, c'est-à-dire sur l'axe $Oz$ — un ensemble négligeable, donc sans conséquence.

La figure 10.3 donne la lecture géométrique des deux jacobiens, et c'est de loin la meilleure façon de les retenir. La cellule élémentaire est, au premier ordre, un petit parallélépipède dont les arêtes sont portées par les trois directions coordonnées. En cylindriques, deux arêtes sont des longueurs ($\mathrm{d}r$ et $\mathrm{d}z$) et une est un arc de cercle de rayon $r$, donc de longueur $r\mathrm{d}\theta$. En sphériques, l'arête radiale mesure $\mathrm{d}\rho$; l'arête de méridien est un arc du cercle de rayon $\rho$, donc $\rho \mathrm{d}\phi$; l'arête de parallèle est un arc du cercle de rayon $\rho \sin \phi$, donc . Le facteur n'est pas une curiosité algébrique: il traduit que les parallèles se resserrent près des pôles.

Volumes classiques

L'explorateur ci-dessus met la formule (10.13) à l'épreuve: à gauche, l'intégrale triple $\iiint \mathrm{d}V$ évaluée numériquement en coordonnées cylindriques par la règle du point milieu; à droite, la valeur exacte $\pi h^2(3R-h)/3$. Le rapport des deux ne bouge pas: il affiche $1,0000$ quelles que soient les positions des curseurs, et c'est là tout l'enseignement. Les deux valeurs dégénérées sont traitées explicitement: $h=0$ donne une calotte vide et un volume nul, $h=2R$ redonne la boule entière, et exactement la moitié.

Masse, centre de gravité, moment d'inertie

Les trois définitions

Lorsque $\mu$ est constante, elle se simplifie dans (10.14) et le centre de gravité ne dépend plus que de la géométrie: on parle alors de centroïde. Les numérateurs des formules (10.14) s'appellent moments statiques. Deux remarques de contrôle, à utiliser systématiquement: le centre de gravité appartient à l'enveloppe convexe du solide, et il est situé sur tout axe ou tout plan de symétrie du couple (solide, masse volumique).

Les deux moments d'inertie de référence

Démonstration. (1) Prenons l'axe $Oz$ comme diamètre. En coordonnées sphériques, la distance à cet axe est $r=\rho \sin \phi$, donc $x^2+y^2={\rho }^2{\sin }^2\phi$ et

Les trois intégrales se séparent. Celle en $\rho$ vaut $R^5/5$, celle en $\theta$ vaut $2\pi$, et celle en $\phi$ se calcule avec ${\sin }^3\phi =\sin \phi (1-{\cos }^2\phi )$ et le changement :

Donc $I_z=\mu \cdot 2\pi \cdot \frac{R^5}{5}\cdot \frac{4}{3}=\frac{8\pi \mu R^5}{15}$. Comme , on a et

(2) Pour le cylindre $\{r\le R,0\le z\le h\}$, la distance à l'axe est $r$ et, en cylindriques,

Avec $M=\pi R^{2}h\mu$, il vient $I_z=\frac{\pi h{R}^4}{2}\cdot \frac{M}{\pi R^{2}h}=\frac{1}{2}M{R}^2$.

Ces deux résultats sont les briques de toute la dynamique du solide, et il vaut mieux savoir les retrouver que les retenir: les coefficients $\frac{2}{5}$ et $\frac{1}{2}$ n'ont aucune chance d'être reconstitués de mémoire au bon moment, alors que les deux intégrales ci-dessus tiennent chacune en trois lignes. Le fait que $\frac{2}{5}<\frac{1}{2}$ a une signification physique claire: à masse et rayon égaux, la matière de la boule est en moyenne plus proche de l'axe que celle du cylindre, donc la boule est plus facile à mettre en rotation. On vérifie aussi les ordres de grandeur: pour une bille d'acier de rayon cm ( kg·m⁻³), kg et kg·m².

Une application avec des unités: la cuve partiellement remplie

Le changement de variables en dimension quelconque

Tout ce qui précède se transpose mot pour mot en dimension $n$, et il vaut la peine de l'énoncer une fois: les intégrales multiples de dimension supérieure à trois sont le pain quotidien des probabilités (lois de $n$ variables), de la mécanique statistique (espace des phases) et de l'analyse numérique.

Le cas $n=1$ redonne le changement de variable de l'Analyse I, ${\int }_a^{b}f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$, à ceci près que (10.16) fait intervenir $|{\phi }^{\prime }|$ et un domaine, là où la formule à une variable garde le signe grâce à l'orientation des bornes. Le cas est celui du chapitre 9, le cas celui de ce chapitre. Le cas particulier le plus utile est celui d'une avec inversible: le jacobien est la constante , et (10.16) devient

ce qui donne enfin l'interprétation géométrique complète du déterminant vue en algèbre linéaire: le déterminant est le facteur par lequel une application linéaire multiplie les volumes. Le volume de l'ellipsoïde calculé plus haut en est l'application la plus simple.

Vers l'Analyse III

Ce chapitre clôt l'Analyse II, et il est aussi la porte d'entrée de la suite. Nous avons appris à intégrer sur des domaines de dimension trois; il reste à intégrer sur des objets de dimension inférieure plongés dans l'espace — les courbes et les surfaces — et à découvrir que ces intégrales-là sont liées entre elles par des théorèmes d'une élégance remarquable.

L'Analyse III introduira les intégrales curvilignes ${\int }_{\gamma }\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$, qui mesurent le travail d'un champ de vecteurs le long d'un chemin, et les intégrales de surface ${\iint }_{\Sigma }\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S$, qui mesurent le flux d'un champ à travers une surface. Trois théorèmes relieront alors ces intégrales aux intégrales multiples de ce cours: le théorème de Green dans le plan, qui transforme une intégrale double sur un domaine en une intégrale curviligne sur son bord; le théorème de la divergence (Gauss–Ostrogradski), qui transforme exactement l'intégrale triple de ce chapitre en un flux à travers la surface qui borde ; et le , qui relie une intégrale de surface à une intégrale curviligne sur son bord.

Ces trois énoncés sont trois visages d'un même principe, celui du théorème fondamental de l'analyse: l'intégrale d'une dérivée sur un domaine ne dépend que des valeurs de la fonction au bord. Vous les retrouverez dès qu'il y aura un bilan à écrire — conservation de la masse en mécanique des fluides, équations de Maxwell en électromagnétisme, équation de la chaleur en thermique. Rien de tout cela n'est enseigné ici; mais il est utile de savoir, en fermant ce cours, que le $\mathrm{d}V$ dont on vient d'apprendre le maniement est précisément l'objet que ces théorèmes vont faire dialoguer avec le bord des solides.

Synthèse

• L'intégrale triple se construit comme l'intégrale double, par sommes de Riemann sur des pavés, puis par prolongement par zéro à un domaine borné. Toute fonction continue sur un domaine compact dont la frontière est négligeable y est intégrable (théorème 10.2, admis: la preuve complète relève de la théorie de la mesure).
• Fubini ramène le calcul à trois intégrales simples, par piles (projeter sur un plan, intégrer d'abord en $z$) ou par tranches (couper par $z=\text{const}$, intégrer d'abord sur la section). Les six ordres donnent la même valeur mais pas le même travail; recalculer dans un second ordre est la vérification la plus rentable.
• Dans une intégrale itérée correctement posée, les bornes de la variable extérieure sont deux constantes, celles de la médiane ne dépendent que d'elle, celles de l'intérieure des deux autres. Toute violation de cette règle signale une faute.
• Le changement de variables (théorème 10.7) fait apparaître $|\det J|$, coefficient local de dilatation des volumes. En cylindriques $\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$, en sphériques , avec mesuré depuis l'axe positif; les deux jacobiens se lisent sur la cellule élémentaire de la figure 10.3.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (intégrales multiples et changements de variables).
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 2, De Boeck, Bruxelles, chap. 12 (intégrales triples, coordonnées cylindriques et sphériques, applications).
• Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, 6e éd., Freeman, New York, chap. 5–6.
• Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, 9e éd., Pearson, Toronto, chap. 14.
• Apostol, T. M., Calculus, vol. 2, 2e éd., Wiley, New York, chap. 11 (théorème du changement de variables et sa démonstration).
• Beer, F. P. et Johnston, E. R., Mécanique pour ingénieurs: statique et dynamique, McGraw-Hill (centres de gravité et moments d'inertie des solides usuels).