Équations différentielles ordinaires

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître une équation différentielle ordinaire, son ordre, et traduire un problème d'ingénierie (décroissance, refroidissement, circuit RC, oscillateur) en un problème de Cauchy;
interpréter géométriquement une équation du premier ordre par son champ des directions et approcher sa solution par la méthode d'Euler;
résoudre les équations à variables séparables et discuter l'existence et l'unicité des solutions;
résoudre les équations linéaires du premier ordre par la méthode de variation de la constante;
résoudre les équations linéaires du second ordre à coefficients constants, avec ou sans second membre, et imposer des conditions initiales;
analyser l'oscillateur amorti (pulsation propre, taux d'amortissement, régimes) et le phénomène de résonance.

Vocabulaire et modélisation

Qu'est-ce qu'une équation différentielle?

L'Analyse I a appris à dériver et à intégrer des fonctions données. Les équations différentielles renversent le point de vue: la fonction est inconnue, et l'on connaît seulement une relation entre elle et ses dérivées. C'est la situation la plus courante en sciences de l'ingénieur, car les lois de la physique (loi de Newton, lois de Kirchhoff, lois de conservation) s'expriment naturellement comme des relations entre une grandeur et sa vitesse de variation.

Le mot «ordinaire» signifie que la fonction inconnue ne dépend que d'une variable; les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des ondes), où l'inconnue dépend de plusieurs variables, relèvent de l'Analyse III. En physique, la variable est souvent le temps, noté $t$ , et les dérivées sont notées $\overset{x}{˙}$ , $\overset{x}{¨}$ ; nous utiliserons librement les deux notations.

Une équation différentielle possède en général une infinité de solutions. Par exemple, $y^{'} = 2 x$ a pour solutions toutes les fonctions $y = x^{2} + C$ , $C \in R$ : chaque constante d'intégration correspond à une solution. Pour une équation d'ordre $n$ , on doit s'attendre à constantes, puisqu'il faut «intégrer fois».

Physiquement, les conditions initiales décrivent l'état du système à l'instant $t_{0}$ (position et vitesse pour un point matériel, charge du condensateur pour un circuit); l'équation différentielle décrit la loi d'évolution. La question centrale du chapitre est: étant donné l'état initial, le futur est-il déterminé, et comment le calculer?

Quelques modèles

Chacune des situations suivantes est décrite par une équation différentielle que nous saurons résoudre à la fin du chapitre.

Décroissance radioactive. Le nombre $N (t)$ de noyaux d'un isotope décroît à un taux proportionnel à $N$ : $N^{'} = - λ N$ , où $λ > 0$ est la constante de désintégration. La solution $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ donne la demi-vie : pour le cobalt 60, ans, donc an.

Les quatre premiers modèles sont du premier ordre, les deux derniers du second ordre. Tous sauf la logistique sont linéaires: l'inconnue et ses dérivées n'y apparaissent qu'au premier degré. Cette distinction structurera le chapitre.

Interprétation géométrique: champ des directions

Considérons une équation du premier ordre résolue $y^{'} = f (x, y)$ . En chaque point $(x, y)$ du plan, l'équation prescrit la pente $f (x, y)$ que doit avoir la tangente à toute courbe solution passant par ce point. Dessiner en chaque point d'une grille un petit segment de pente $f (x, y)$ donne le champ des directions; les graphes des solutions, appelés , sont les courbes tangentes en chacun de leurs points à ce champ. On lit ainsi qualitativement le comportement des solutions sans les calculer.

Les isoclines sont les courbes $f (x, y) = m$ le long desquelles la pente est constante; l'isocline $f (x, y) = 0$ est le lieu des tangentes horizontales, donc des extremums éventuels des solutions.

Sur la figure 1.1, on devine deux propriétés que nous démontrerons: par chaque point passe une seule courbe intégrale, et deux courbes intégrales ne se croisent jamais. Le champ des directions est aussi l'idée de départ de la méthode numérique la plus simple.

La méthode d'Euler

Pour résoudre numériquement le problème de Cauchy $y^{'} = f (x, y)$ , $y (x_{0}) = y_{0}$ , Euler propose de suivre le champ des directions par petits pas rectilignes. On fixe un pas $h > 0$ , on pose , et l'on remplace la courbe sur par sa tangente en , dont la pente est connue:

y_{k + 1} = y_{k} + h f (x_{k}, y_{k}) . (1.1)

C'est exactement l'approximation $y (x + h) \approx y (x) + h y^{'} (x)$ du chapitre 7 d'Analyse I. L'erreur commise à chaque pas est en $h^{2}$ (formule de Taylor, chapitre 9 d'Analyse I); après $n = (b - x_{0}) / h$ pas, l'erreur totale est de l'ordre de : diviser le pas par divise l'erreur par environ.

Question 1.1

Appliquez la méthode d'Euler à $y^{'} = y$ , $y (0) = 1$ , avec le pas $h = 0, 5$ . Quelle valeur approchée de $y (1)$ obtenez-vous?

Question 1.2

Parmi les équations suivantes, laquelle est linéaire?

Équations du premier ordre à variables séparables

La méthode

Démonstration. Puisque $h (y) \neq = 0$ sur $J$ , l'équation (1.2) équivaut à $\frac{y ^{'} ( x )}{h ( y ( x ))} = g (x)$ . Par la règle de dérivation des fonctions composées (chapitre 7 d'Analyse I), le membre de gauche est la dérivée de , et le membre de droite celle de . Deux fonctions dérivables sur l'intervalle ont la même dérivée si et seulement si elles diffèrent d'une constante (chapitre 8 d'Analyse I), d'où l'équivalence avec (1.3).

Exemples fondamentaux

Question 1.3

Une pièce métallique à $80 ° C$ est plongée dans un bain maintenu à $20 ° C$ . Après $10$ minutes, elle est à $50 ° C$ . Au bout de combien de minutes atteindra-t-elle $30 ° C$ ?

Existence et unicité

Les exemples précédents suggèrent que le problème de Cauchy possède une solution et une seule, au moins localement. C'est vrai sous une hypothèse de régularité sur $f$ .

Nous admettons ce théorème, dont la démonstration (par le théorème du point fixe de Picard) relève de l'Analyse II: elle consiste à écrire le problème sous la forme intégrale $y (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y (t)) d t$ et à construire la solution comme limite d'approximations successives. La régularité de en est l'hypothèse essentielle: elle assure que (condition de Lipschitz), ce qui empêche deux solutions de se séparer. Géométriquement, le théorème dit que par chaque point du rectangle passe une courbe intégrale et une seule: les courbes intégrales ne se croisent pas, comme sur la figure 1.1.

Question 1.4

Combien le problème de Cauchy $y^{'} = 2 ∣ y ∣$ , $y (0) = 1$ , admet-il de solutions au voisinage de $x = 0$ ?

Équations linéaires du premier ordre

Structure des solutions

Le mot «linéaire» renvoie à la propriété suivante: l'application $L : y \mapsto y^{'} + a y$ vérifie $L (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ L (y_{1}) + μL (y_{2})$ , ce qui découle de la linéarité de la dérivation. C'est elle qui donne à l'ensemble des solutions une structure particulièrement simple.

Démonstration. 1. Si $L (y_{1}) = L (y_{2}) = 0$ , alors $L (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ L (y_{1}) + μL (y_{2}) = 0$ . 2. Si , alors : la somme est solution. Réciproquement, si , alors , donc est solution de l'homogène et .

En résumé: solution générale = solution générale de l'homogène + une solution particulière. La résolution se fait donc en deux temps.

Démonstration. Soit $y$ dérivable sur $I$ et posons $z (x) = y (x) e^{A (x)}$ . Alors $z^{'} = (y^{'} + a y) e^{A}$ , et comme l'exponentielle ne s'annule pas, sur si et seulement si sur , c'est-à-dire si et seulement si est constante (chapitre 8 d'Analyse I), soit . Si de plus , alors .

Cette démonstration ne divise jamais par $y$ : elle évite ainsi la discussion des solutions perdues et prouve d'un coup que (1.7) donne toutes les solutions. On peut aussi retrouver (1.7) par séparation des variables, comme dans l'exemple 1.2, au prix de cette discussion.

Variation de la constante

Pour trouver une solution particulière de l'équation complète, Lagrange propose une idée féconde: chercher $y$ sous la forme (1.7), mais en laissant la «constante» dépendre de $x$ .

Démonstration. Posons $y = C (x) e^{- A (x)}$ . Par la règle du produit, $y^{'} = C^{'} e^{- A} - a C e^{- A}$ , d'où . L'équation équivaut donc à . Cette fonction est continue sur , donc possède des primitives (théorème fondamental, chapitre 10 d'Analyse I), et les choix de diffèrent d'une constante, ce qui redonne exactement la structure du théorème 1.3.

Question 1.5

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution de $y^{'} + a (x) y = b (x)$ par variation de la constante.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Revenir à

y = C (x) e^{- A (x)}

et, s'il y a lieu, fixer la constante avec la condition initiale

Intégrer pour obtenir

C (x)

à une constante près

Écrire la solution générale de l'équation homogène:

y_{h} = C e^{- A (x)}

Reporter dans l'équation complète et simplifier: il reste

C^{'} (x) = b (x) e^{A (x)}

Choisir une primitive

A

a

sur l'intervalle

I

Poser

y = C (x) e^{- A (x)}

avec

C

fonction dérivable inconnue

Exemples

Le problème de Cauchy linéaire

Démonstration. D'après (1.8), les solutions sur $I$ sont les $y = e^{- A} (B + C)$ , où $B$ est une primitive fixée de $b e^{A}$ sur $I$ ; elles sont toutes définies sur entier. La condition s'écrit , équation du premier degré en qui a exactement une solution.

Contrairement à l'exemple 1.3, une équation linéaire n'a jamais de solution qui explose à l'intérieur de l'intervalle où ses coefficients sont continus: c'est l'un des grands conforts des modèles linéaires.

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique

Le théorème 1.3 se transpose mot pour mot: les solutions de l'homogène forment un espace vectoriel, et la solution générale de (1.11) est la somme de la solution générale de l'homogène et d'une solution particulière (la démonstration est identique, avec $L (y) = y^{''} + a y^{'} + b y$ ). Reste à résoudre l'homogène. L'idée est de chercher des solutions exponentielles: $y = e^{r x}$ donne , qui s'annule si et seulement si . Le discriminant distingue trois cas.

Démonstration. Nous travaillons d'abord avec des fonctions à valeurs complexes $y : R \to C$ , dérivées composante par composante; les théorèmes 1.4 et 1.5 restent valables pour de telles fonctions et des coefficients complexes, car leurs preuves n'utilisent que les règles de dérivation et la relation $(e^{r x})^{'} = r e^{r x}$ . Vérifions cette relation pour : d'après le chapitre 2 d'Analyse I, , et en dérivant les deux composantes,

(e^{r x})^{'} = e^{α x} [(α cos β x - β sin β x) + i (α sin β x + β cos β x)] = (α + i β) e^{α x} (cos β x + i sin β x) = r e^{r x} .

Soient $r_{1}, r_{2} \in C$ les racines de $P$ (éventuellement confondues), de sorte que $r_{1} + r_{2} = - a$ et . Pour toute fonction deux fois dérivable, posons . Alors

z^{'} - r_{1} z = y^{''} - (r_{1} + r_{2}) y^{'} + r_{1} r_{2} y = y^{''} + a y^{'} + b y .

Ainsi $y$ est solution de l'homogène si et seulement si $z^{'} - r_{1} z = 0$ , c'est-à-dire (théorème 1.4) $z = K e^{r_{1} x}$ avec , puis si et seulement si . Cette équation linéaire du premier ordre se résout par variation de la constante: avec .

Si $r_{1} \neq = r_{2}$ (cas $Δ \neq = 0$ ): $C (x) = \frac{K}{r _{1} - r _{2}} e^{(r_{1} - r_{2}) x} + C_{2}$ , d'où avec arbitraires (car l'est). (cas ): , donc et .

Il reste à extraire les solutions réelles. Dans les cas 1 et 2, les racines sont réelles et $y$ est réelle si et seulement si $C_{1}, C_{2} \in R$ (évaluer $y$ et $y^{'}$ en ). Dans le cas 3, et . Une solution est réelle si et seulement si ; comme et ne sont pas proportionnelles (leur quotient n'est pas constant), cela impose , et alors . En écrivant avec ,

y = Re [(A - i B) e^{α x} (cos β x + i sin β x)] = e^{α x} (A cos β x + B sin β x),

ce qui est la forme annoncée. Dans les trois cas, les solutions dépendent linéairement de deux paramètres réels, et les deux fonctions de base ne sont pas proportionnelles: l'espace des solutions est de dimension $2$ . Enfin, résoudre $y (x_{0}) = y_{0}$ , $y^{'} (x_{0}) = y_{1}$ revient à résoudre un système linéaire en , dont le déterminant (le de l'exercice 1.5) est non nul: la solution existe et est unique.

Question 1.6

Quelle est la solution générale de $y^{''} + 4 y^{'} + 13 y = 0$ ?

Solution particulière: méthode des coefficients indéterminés

Pour un second membre $f$ quelconque, il existe une méthode de variation des constantes (à deux fonctions inconnues) que nous ne détaillerons pas. Dans les applications, $f$ est presque toujours un polynôme, une exponentielle, une sinusoïde ou un produit de ceux-ci; on cherche alors $y_{p}$ de la même forme, avec des coefficients à déterminer par identification, comme dans l'exemple 1.8.

Second membre $f (x)$	Forme de $y_{p}$ à essayer	Cas de résonance
polynôme de degré $n$	polynôme de degré $n$	multiplier par $x$ si $P (0) = 0$ (par $x^{2}$ si est racine double)

La résonance se produit lorsque le second membre est lui-même solution de l'équation homogène: la forme naïve échoue (elle donne $0$ en la reportant) et il faut la multiplier par $x$ . Le principe de superposition — si $y_{1}$ et $y_{2}$ sont des solutions particulières pour $f_{1}$ et , alors en est une pour — découle de la linéarité et permet de traiter les seconds membres composés.

L'oscillateur amorti

Revenons au système masse–ressort–amortisseur en l'absence de force extérieure: $m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = 0$ , avec $m, k > 0$ et $c \geq 0$ . En divisant par , on l'écrit sous la forme normalisée

\overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = 0, ω_{0} = \frac{k}{m}, ζ = \frac{c}{2 k m} . (1.12)

Le polynôme caractéristique $r^{2} + 2 ζ ω_{0} r + ω_{0}^{2}$ a pour discriminant réduit $ω_{0}^{2} (ζ^{2} - 1)$ : les trois cas du théorème 1.7 correspondent à trois régimes physiques.

Régime pseudo-périodique ( $0 < ζ < 1$ ). Les racines sont $- ζ ω_{0} \pm i ω_{d}$ avec la pseudo-pulsation $ω_{d} = ω_{0} 1 - ζ^{2}$ , et

x (t) = e^{- ζ ω_{0} t} (C_{1} cos ω_{d} t + C_{2} sin ω_{d} t) = A e^{- ζ ω_{0} t} cos (ω_{d} t - φ) . (1.13)

Le système oscille avec la pseudo-période $T_{d} = 2 π / ω_{d} > T_{0}$ , dans une enveloppe exponentielle de constante de temps $1/ (ζ ω_{0})$ . Le rapport de deux maximums successifs vaut ; son logarithme, le

δ = ln \frac{x ( t )}{x ( t + T _{d} )} = ζ ω_{0} T_{d} = \frac{2 π ζ}{1 - ζ ^{2}}, (1.14)

se mesure directement sur un enregistrement et permet d'estimer $ζ$ : c'est ainsi que l'on caractérise l'amortissement d'une structure réelle.

Régime critique ( $ζ = 1$ ). Racine double $- ω_{0}$ : $x (t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{- ω_{0} t}$ . Le système revient à l'équilibre sans osciller, et c'est le retour le plus rapide: c'est le réglage recherché pour les amortisseurs de véhicules et les appareils de mesure à aiguille.

Régime apériodique ( $ζ > 1$ ). Deux racines réelles négatives $r_{1, 2} = - ζ ω_{0} \pm ω_{0} ζ^{2} - 1$ : , retour à l'équilibre sans oscillation mais plus lent, car la racine la plus proche de tend vers lorsque croît.

Dans tous les cas où $ζ > 0$ , toutes les solutions tendent vers $0$ : l'équilibre est asymptotiquement stable, l'énergie mécanique étant dissipée par l'amortisseur. Pour $ζ = 0$ , on retrouve l'oscillateur harmonique, dont les solutions oscillent indéfiniment.

Explorateur 1.1 · Explorateur de l'oscillateur amorti

Réponse libre de ẍ + 2ζω₀ẋ + ω₀²x = 0 avec x(0) = 1 et ẋ(0) = 0. Faites varier le taux d'amortissement ζ et la pulsation propre ω₀: observez le passage du régime pseudo-périodique au régime apériodique en passant par le régime critique (ζ = 1), qui ramène le système à l'équilibre le plus vite sans oscillation.

Taux d'amortissement ζ0,20

Pulsation propre ω₀3,0rad/s

Régime

pseudo-périodique

Pseudo-pulsation ω_d = ω₀√(1 − ζ²)

2,939rad/s

Pseudo-période T_d = 2π/ω_d

2,138s

Constante de temps 1/(ζω₀)

1,667s

Décrément logarithmique δ

1,283

Question 1.7

Un oscillateur a une masse $m = 0, 5$ kg, une raideur $k = 72$ N/m et un amortissement $c = 3$ N·s/m. Calculez sa pseudo-pulsation $ω_{d}$ en rad/s.

Oscillateur forcé et résonance

Soumettons l'oscillateur à une force sinusoïdale $F (t) = F_{0} cos ω t$ : $\overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = (F_{0} / m) cos ω t$ . Pour , la solution homogène s'éteint (régime transitoire) et seule subsiste la solution particulière , calculée comme dans l'exemple 1.8. On trouve

X (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ ω _{0} ω ) ^{2}}, tan φ = \frac{2 ζ ω _{0} ω}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}} . (1.15)

Pour $ω \to 0$ , $X \to F_{0} / k$ : c'est la déformation statique. Lorsque $ω$ approche $ω_{0}$ , le premier terme sous la racine s'annule et l'amplitude est limitée seulement par l'amortissement: $X (ω_{0}) = \frac{F _{0} / k}{2 ζ}$ , soit fois la déformation statique pour , et fois pour . Le maximum de est atteint en (pour ) et vaut . C'est la ; pour , on retrouve l'amplitude infinie (croissance linéaire) de l'exemple 1.11. Pour , l'amplitude décroît comme : le système ne suit plus l'excitation, principe de l'isolation vibratoire.

Le circuit RLC série, $L \overset{q}{¨} + R \overset{q}{˙} + q / C = e (t)$ , obéit à la même équation avec $ω_{0} = 1/ L C$ et . Pour mH, nF et : rad/s, soit kHz, et : le circuit est très faiblement amorti, et son amplification à la résonance, , permet de sélectionner une fréquence (accord d'un récepteur radio). La résistance critique vaudrait .

Aperçu: au-delà des coefficients constants

Équations d'Euler. L'équation $x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = 0$ sur $] 0, + \infty [$ n'est pas à coefficients constants, mais le changement de variable (soit ), avec , l'y ramène: on calcule et , d'où . Les solutions de la forme correspondent à , où est racine de l'équation indicielle . Par exemple, donne , soit ou , et la solution générale (vérifiez-le). Cette équation apparaît dans les problèmes à symétrie radiale, comme le calcul des contraintes dans un tube sous pression.

Systèmes et ordre supérieur. Une équation d'ordre $n$ se ramène à un système de $n$ équations du premier ordre en prenant pour inconnues $y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}$ ; réciproquement, les systèmes linéaires $Y^{'} = A Y$ se résolvent avec les valeurs propres de la matrice , qui généralisent les racines de l'équation caractéristique. Le théorème de Cauchy–Lipschitz s'étend aux systèmes, et le résultat de dimension du théorème 1.7 devient: L'Analyse II et l'algèbre linéaire fourniront ces outils, ainsi que l'étude qualitative (stabilité, portraits de phase) des équations non linéaires que l'on ne sait pas résoudre explicitement — c'est-à-dire la plupart.

Synthèse

Une équation différentielle d'ordre $n$ possède une solution générale à $n$ constantes; un problème de Cauchy la fixe par $n$ conditions initiales. Le champ des directions donne l'allure des solutions de $y^{'} = f (x, y)$ , et la méthode d'Euler $y_{k + 1} = y_{k} + h f (x_{k}, y_{k})$ les approche avec une erreur en .

Série d'exercices du chapitre 1Exercice 1 sur 5

Question 1.8

Laquelle de ces équations est à la fois du premier ordre, linéaire et à variables séparables?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 1.1 · Séparation des variables

Résoudre les problèmes de Cauchy suivants et préciser l'intervalle de définition de la solution maximale.

$y^{'} = x y^{2}$ , $y (0) = 1$ .
$y^{'} = \frac{1 + y ^{2}}{1 + x ^{2}}$ , .

Exercice 1.2 · Équations linéaires du premier ordre

Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle indiqué.

$y^{'} + 2 x y = x$ sur $R$ , puis la solution vérifiant $y (0) = 2$ .
$x y^{'} + y = sin x$ sur .

Exercice 1.3 · Second ordre et conditions initiales

Résoudre $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0$ avec $y (0) = 1$ , . Mettre la solution sous la forme et donner ses zéros.

Exercice 1.4 · Cuve de mélange

Une cuve contient $1000$ L d'eau dans laquelle sont dissous $50$ kg de sel. À partir de $t = 0$ , on y verse de la saumure à $0, 02$ kg/L au débit de $10$ L/min; le mélange, supposé homogène à chaque instant, s'écoule au même débit. On note $m (t)$ la masse de sel (en kg) dans la cuve à l'instant $t$ (en minutes).

Établir l'équation différentielle vérifiée par $m$ et identifier sa solution stationnaire.

Exercice 1.5 · Superposition et wronskien

Soient $a, b \in R$ et $L (y) = y^{''} + a y^{'} + b y$ .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles, chap. 7.
Boyce, W. E. et DiPrima, R. C., Équations différentielles, Chenelière Éducation, Montréal.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2e éd., Wiley, New York, chap. 8.
Rao, S. S., Mechanical Vibrations, 6e éd., Pearson, Harlow, chap. 2–3 (oscillateur amorti et résonance).

$x_{k}$	0	0,25	0,5	0,75	1
$y_{k}$ (Euler)	1	1,25	1,5625	1,9531	2,4414
$e^{x_{k}}$ (exact)	1	1,2840	1,6487	2,1170	2,7183

Objectifs du chapitre

Vocabulaire et modélisation

Qu'est-ce qu'une équation différentielle?

Quelques modèles

Interprétation géométrique: champ des directions

La méthode d'Euler

Équations du premier ordre à variables séparables

La méthode

Exemples fondamentaux

Existence et unicité

Équations linéaires du premier ordre

Structure des solutions

Variation de la constante

Exemples

Le problème de Cauchy linéaire

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique

Solution particulière: méthode des coefficients indéterminés

L'oscillateur amorti

Oscillateur forcé et résonance

Aperçu: au-delà des coefficients constants

Synthèse

Exercices

Références

Mise en équation

Équation homogène

Solution particulière et condition initiale

Temps de charge à 95 %