L'espace R^n et les fonctions de plusieurs variables

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• manipuler le produit scalaire et la norme euclidienne de ${\mathbb{R}}^n$, démontrer l'inégalité de Cauchy–Schwarz et l'inégalité triangulaire, et comparer les normes $\Vert \cdot {\Vert }_1$, $\Vert \cdot {\Vert }_2$ et $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$;
• reconnaître un ouvert, un fermé, un borné, un compact de ${\mathbb{R}}^n$, et déterminer l'intérieur, la frontière et l'adhérence d'une partie du plan;
• caractériser la convergence d'une suite de ${\mathbb{R}}^n$ composante par composante et énoncer le théorème de Bolzano–Weierstrass en dimension $n$;
• décrire une fonction de deux variables par son graphe, ses coupes et ses lignes de niveau, et lire une carte topographique ou un réseau d'isothermes comme un jeu de lignes de niveau;
• calculer une limite en un point par majoration, par les coordonnées polaires ou par le théorème des gendarmes, et démontrer qu'une limite n'existe pas en exhibant deux chemins d'approche;
• appliquer le théorème des bornes de Weierstrass sur un compact et le théorème des valeurs intermédiaires sur un ouvert connexe par arcs.

L'espace ${\mathbb{R}}^n$

Structure vectorielle

L'Analyse I étudiait des fonctions d'une variable réelle. Or la plupart des grandeurs de l'ingénieur dépendent de plusieurs paramètres: la pression d'un gaz dépend du volume et de la température, la déformée d'une plaque de ses deux coordonnées, le coût d'une production des quantités de chaque facteur, la température d'une pièce de sa position et du temps. Le cadre naturel de leur étude est l'espace

muni de l'addition $\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)$ et de la multiplication par un scalaire . Ces deux opérations en font un , dont la base canonique est formée des vecteurs , …, . Nous supposons ce vocabulaire connu — famille libre, base, dimension: c'est le prérequis d'algèbre linéaire annoncé du cours, et il ne sera pas redémontré ici.

Nous écrirons $\mathbf{x}=(x,y)$ dans ${\mathbb{R}}^2$ et $\mathbf{x}=(x,y,z)$ dans ${\mathbb{R}}^3$, et nous confondrons librement le point $\mathbf{x}$ et le qui le joint à l'origine: c'est un abus commode, à condition de se souvenir que l'analyse à plusieurs variables ne parle presque jamais que de la structure vectorielle. Il lui faut aussi une notion de , sans quoi le mot «limite» n'a pas de sens. C'est ce que fournit le produit scalaire.

Produit scalaire et norme euclidienne

Le produit scalaire est bilinéaire ($⟨\lambda \mathbf{x}+\mu {\mathbf{x}}^{\prime },\mathbf{y}⟩=\lambda ⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩+\mu ⟨{\mathbf{x}}^{\prime },\mathbf{y}⟩$, et de même en la seconde variable), symétrique et défini positif: $⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩\ge 0$, avec égalité si et seulement si . Ces trois propriétés se lisent directement sur (2.1) et ce sont les seules que nous utiliserons: tout ce qui suit vaut donc pour n'importe quel produit scalaire, pas seulement pour le produit canonique.

Dans ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^3$, la norme euclidienne est la longueur du vecteur au sens de Pythagore, et $d(\mathbf{x},\mathbf{y})$ la distance ordinaire entre deux points. La première propriété non triviale du produit scalaire est la suivante.

Démonstration. Si $\mathbf{y}=0$, les deux membres sont nuls et les vecteurs sont colinéaires: l'énoncé est vrai. Supposons donc $\mathbf{y}\ne 0$ et considérons, pour $t\in \mathbb{R}$, la fonction

où le développement utilise la bilinéarité et la symétrie. C'est un trinôme du second degré en $t$, de coefficient dominant $\Vert \mathbf{y}{\Vert }^2>0$, et il est positif ou nul pour tout $t$ puisque c'est un carré de norme. Un tel trinôme a un discriminant négatif ou nul:

ce qui donne $⟨\mathbf{x},\mathbf{y}{⟩}^2\le \Vert \mathbf{x}{\Vert }^2\Vert \mathbf{y}{\Vert }^2$, puis (2.3) en prenant les racines carrées.

Le cas d'égalité: $|⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩|=\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert$ équivaut à $\Delta =0$, c'est-à-dire à l'existence d'une racine double $t_0$ de $q$. Alors $\Vert \mathbf{x}+t_0\mathbf{y}{\Vert }^2=0$, donc par le caractère défini positif: les vecteurs sont colinéaires. Réciproquement, si , les deux membres de (2.3) valent .

Cauchy–Schwarz permet de définir l'angle $\theta \in [0,\pi ]$ entre deux vecteurs non nuls par $\cos \theta =\frac{⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩}{\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert }$, puisque le quotient est bien dans $[-1,1]$. Deux vecteurs sont lorsque . L'annexe A reprend ce produit scalaire, cette norme et cette inégalité (son théorème A.1), et les prolonge par le théorème de Pythagore et les bases orthonormées, dont les chapitres sur la hessienne et les extrema auront besoin. Cauchy–Schwarz donne surtout l'inégalité triangulaire.

Démonstration. 1 et 2 découlent immédiatement de (2.2). Pour 3, on développe le carré et l'on majore le double produit par Cauchy–Schwarz:

et l'on prend les racines carrées, la fonction racine étant croissante. Pour 4, on écrit $\mathbf{x}=(\mathbf{x}-\mathbf{y})+\mathbf{y}$, d'où $\Vert \mathbf{x}\Vert \le \Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert +\Vert \mathbf{y}\Vert$, soit $\Vert \mathbf{x}\Vert -\Vert \mathbf{y}\Vert \le \Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$; en échangeant les rôles de et on obtient aussi , et les deux ensemble donnent 4.

Une conséquence de l'inégalité triangulaire mérite d'être retenue: pour tout $i$,

La minoration vient de $x_i^2\le x_1^2+\cdots +x_n^2$, la majoration de l'inégalité triangulaire appliquée à . C'est (2.4) qui rendra équivalentes « est petit» et «chaque coordonnée de est petite», et donc la convergence dans et la convergence coordonnée par coordonnée.

D'autres normes, et pourquoi le choix n'importe pas

La norme euclidienne n'est pas la seule mesure raisonnable de la taille d'un vecteur.

Les trois normes de (2.5) portent des noms parlants: $\Vert \cdot {\Vert }_1$ est la «distance du taxi» (on ne se déplace que parallèlement aux axes), $\Vert \cdot {\Vert }_2$ la distance à vol d'oiseau, $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ la norme du maximum, celle de l'ingénieur qui majore une erreur composante par composante. Leurs boules unités dans ${\mathbb{R}}^2$ sont respectivement un carré posé sur la pointe, un disque et un carré à côtés parallèles aux axes.

Démonstration des inégalités (2.6). Si $|x_k|=\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }$, alors $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2^2\ge x_k^2=\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }^2$, d'où la première inégalité; et donne la deuxième. Ensuite . Enfin, Cauchy–Schwarz appliquée aux vecteurs et donne .

L'énoncé général est admis. Sa démonstration consiste à comparer une norme quelconque $N$ à $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$: on montre d'abord que $N$ est continue pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ grâce à l'inégalité $N(\mathbf{x})\le ({\sum }_{i}N({\mathbf{e}}_i))\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }$, puis on applique le (théorème 2.11, en fin de chapitre) à sur la sphère unité , qui est un compact: y atteint un minimum , nécessairement strictement positif puisque ne s'annule qu'en . L'argument est donc circulaire tant que le théorème des bornes n'est pas établi; nous l'admettons ici et les outils pour le reprendre seront tous disponibles à la fin du chapitre. Retenons-en la portée pratique: . C'est faux en dimension infinie — sur l'espace des fonctions continues de , la norme du maximum et la norme ne donnent pas les mêmes suites convergentes — et c'est pourquoi l'énoncé porte un nom.

Topologie de ${\mathbb{R}}^n$

Pour parler de limite, il faut pouvoir dire «assez près de $\mathbf{a}$». Le vocabulaire qui suit — boules, ouverts, fermés, intérieur, frontière — est celui de la topologie; il est le prix d'entrée de toute l'analyse à plusieurs variables, et il paie immédiatement.

Boules

Dans $\mathbb{R}$, $B(a,r)=]a-r,a+r[$ est un intervalle ouvert; dans ${\mathbb{R}}^2$, c'est un disque sans son cercle de bord; dans ${\mathbb{R}}^3$, une boule sans sa surface. On appelle de toute partie contenant une boule avec .

Ouverts, fermés, bornés

«Ouvert» et «fermé» ne sont pas des contraires: ${\mathbb{R}}^n$ et $\varnothing$ sont à la fois ouverts et fermés, et l'exemple 2.3 en donne un qui n'est ni l'un ni l'autre. Vérifions d'abord que la boule ouverte porte bien son nom.

Démonstration. 1. Soit $\mathbf{x}\in B(\mathbf{a},r)$ et posons $\rho =r-\Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert >0$. Si $\Vert \mathbf{y}-\mathbf{x}\Vert <\rho$, l'inégalité triangulaire donne

donc $B(\mathbf{x},\rho )\subset B(\mathbf{a},r)$. Pour la boule fermée, on montre de même que son complémentaire $\{\Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert >r\}$ est ouvert, avec $\rho =\Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert -r$.

2. Si $U={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$ et $\mathbf{a}\in U$, alors $\mathbf{a}$ appartient à l'un des $U_i$, qui contient une boule , elle-même contenue dans . Si et , chaque contient une boule ; alors — c'est ici que la finitude sert, un minimum d'une infinité de nombres strictement positifs pouvant être nul — et .

L'intersection infinie ${\bigcap }_{k\ge 1}B(0,1/k)=\{0\}$ montre que la restriction «finie» est indispensable: $\{0\}$ n'est pas ouvert.

Intérieur, frontière, adhérence

Suites de ${\mathbb{R}}^n$

Convergence

L'unicité se démontre comme dans $\mathbb{R}$: si ${\mathbf{x}}_k\to \mathbf{a}$ et ${\mathbf{x}}_k\to \mathbf{b}$, alors $\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}\Vert \le \Vert \mathbf{a}-{\mathbf{x}}_k\Vert +\Vert {\mathbf{x}}_k-\mathbf{b}\Vert \to 0$, donc et . La définition (2.8) dit exactement que finit par entrer dans toute boule centrée en , si petite soit-elle. Le théorème suivant ramène tout au cas d'une variable.

Démonstration. L'encadrement (2.4) appliqué au vecteur ${\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}$ s'écrit

Si $\Vert {\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}\Vert \to 0$, la minoration et le théorème des gendarmes (Analyse I, chapitre 3) donnent $x_{k,i}\to a_i$ pour chaque . Réciproquement, si chaque coordonnée converge, la somme de droite tend vers comme somme finie de suites tendant vers , donc . Enfin, une suite convergente a toutes ses coordonnées convergentes, donc bornées (Analyse I, chapitre 3), donc elle est bornée par (2.4).

Ce résultat est confortable: une suite de ${\mathbb{R}}^n$ converge si et seulement si ses $n$ suites de coordonnées convergent. Attention cependant, il n'a pas d'analogue pour les fonctions: nous verrons qu'une fonction peut être continue en chaque variable séparément sans être continue.

Caractérisation séquentielle des fermés

Démonstration. Montrons d'abord la caractérisation de l'adhérence. Si $\mathbf{a}\in \bar{A}$, alors pour chaque $k\ge 1$ la boule $B(\mathbf{a},1/k)$ rencontre $A$: choisissons ${\mathbf{x}}_k$ dans cette intersection. Alors , donc . Réciproquement, si et , toute boule contient des pour assez grand, donc rencontre : .

Le premier énoncé en découle: $F$ est fermé si et seulement si $F=\bar{F}$, c'est-à-dire si et seulement si toute limite d'une suite de $F$ est dans $F$. $\square$

C'est le critère que l'on utilise en pratique: pour montrer qu'un ensemble est fermé, on prend une suite de ses points qui converge et l'on vérifie que la limite y reste. Par exemple $F=\{(x,y):xy\ge 1\}$ est fermé, car si $x_k{y}_k\ge 1$ et , alors et donc et par passage à la limite dans une inégalité large.

Bolzano–Weierstrass en dimension $n$

Démonstration. Nous extrayons coordonnée par coordonnée, en $n$ étapes.

Soit $({\mathbf{x}}_k)$ une suite bornée: il existe $M$ tel que $\Vert {\mathbf{x}}_k\Vert \le M$ pour tout $k$. Par (2.4), chaque suite de coordonnées $(x_{k,i}{)}_k$ est alors bornée par dans .

Étape 1. La suite réelle $(x_{k,1}{)}_k$ est bornée; par le théorème de Bolzano–Weierstrass dans $\mathbb{R}$ (Analyse I, chapitre 3), il existe une extraction ${\phi }_1:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que .

Étape 2. La suite réelle $(x_{{\phi }_1(k),2}{)}_k$ est encore bornée; on en extrait ${\phi }_2$ telle que $x_{{\phi }_1\circ {\phi }_2(k),2}\to a_2$. Comme est une sous-suite de la suite convergente , elle converge encore vers : .

Étapes 3 à $n$. On répète. Après $n$ extractions successives, la composée $\phi ={\phi }_1\circ {\phi }_2\circ \cdots \circ {\phi }_n$ est une extraction (composée d'applications strictement croissantes) telle que pour .

Par le théorème 2.5, ${\mathbf{x}}_{\phi (k)}\to \mathbf{a}=(a_1,\dots ,a_n)$. $\square$

Compacts

Démonstration. ($\Leftarrow$) Soit $K$ fermé borné et $({\mathbf{x}}_k)$ une suite de $K$. Elle est bornée, donc le théorème 2.7 en extrait une sous-suite convergeant vers un $\mathbf{a}\in {\mathbb{R}}^n$; comme $K$ est fermé, le théorème 2.6 donne $\mathbf{a}\in K$. Donc est compact.

($\Rightarrow$) Soit $K$ compact. S'il n'était pas borné, on pourrait choisir ${\mathbf{x}}_k\in K$ avec $\Vert {\mathbf{x}}_k\Vert \ge k$; aucune sous-suite ne serait bornée, donc aucune ne convergerait (théorème 2.5), contradiction. S'il n'était pas fermé, il existerait (théorème 2.6) une suite de $K$ convergeant vers ; toute sous-suite convergerait vers ce même , contredisant la compacité.

L'équivalence de la compacité séquentielle avec la définition topologique — «de tout recouvrement de $K$ par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini» — est admise: sa démonstration relève d'un cours de topologie et n'apporte rien au calcul différentiel. Retenez plutôt le critère pratique, qui est d'une simplicité trompeuse: dans ${\mathbb{R}}^n$, et seulement en dimension finie, compact = fermé + borné. Un segment $[a,b]$, un disque fermé, une sphère, un pavé $[0,1{]}^n$, un triangle plein avec ses côtés sont compacts; un disque ouvert, une droite, la couronne de l'exemple 2.3 ne le sont pas.

Fonctions de plusieurs variables

Définitions et vocabulaire

Quelques exemples d'origines diverses: la température $T(x,y,z)$ d'un solide ($n=3$, $m=1$); la vitesse $\mathbf{v}(x,y,z)$ d'un fluide ($n=m=3$); le passage en coordonnées polaires (); la loi des gaz parfaits sur ; une fonction de coût de deux quantités produites. Lorsque la formule est donnée sans domaine, on convient que est l'ensemble des points où elle a un sens: ainsi a pour domaine le disque unité , et la région située au-dessus de la parabole, fermée celle-là.

Graphe, coupes, lignes de niveau

Les surfaces de niveau sont l'outil de travail dès que l'on a trois variables. Pour $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, elles sont les sphères de rayon $\sqrt{c}$ centrées à l'origine (et , pour ). Pour le potentiel d'une charge ponctuelle, ce sont les , encore des sphères. Pour la température d'une pièce mécanique, ce sont les , que l'on visualise en pratique en n'en traçant que quelques-unes, ou en les coupant par un plan — on retombe alors sur des lignes de niveau.

La ligne de niveau $L_c$ est la projection sur le plan $(x,y)$ de l'intersection du graphe avec le plan horizontal $z=c$: c'est l'ombre d'une tranche horizontale. Dessiner plusieurs lignes de niveau régulièrement espacées, comme on le fait sur une carte, donne une image fidèle du relief: les lignes serrées signalent une pente forte, les lignes espacées un terrain plat, une ligne fermée qui se réduit peu à peu à un point signale un sommet ou une cuvette, et une ligne qui se croise elle-même signale un col.

La fonction témoin du cours

Nous suivrons dans tout ce cours la fonction

dont les chapitres 3, 5 et 7 étudieront les dérivées, la formule de Taylor et les points critiques. Ce chapitre se contente de la regarder. Trois observations élémentaires suffisent déjà à en deviner la forme.

Symétrie. $f(y,x)=f(x,y)$: le graphe est symétrique par rapport au plan vertical $y=x$, et les lignes de niveau le sont par rapport à cette droite.

La coupe diagonale $y=x$. On trouve $f(t,t)=2t^3-3t^2$, une cubique dont la dérivée $6t^2-6t=6t(t-1)$ s'annule en (maximum local, valeur ) et en (minimum local, valeur ). Elle s'annule aussi en , puisque .

La coupe anti-diagonale $y=-x$. On trouve $f(t,-t)=t^3-t^3+3t^2=3t^2\ge 0$, nulle seulement en .

Ces deux coupes se croisent à l'origine, où $f$ vaut $0$: le long de $y=x$, la fonction descend au voisinage de $0$ (car $2t^3-3t^2<0$ pour $0<t<3/2$), tandis que le long de elle (). L'origine est donc un point de selle, ce que le chapitre 7 confirmera par la hessienne.

Les lignes de niveau se calculent, elles, avec un peu d'algèbre. Posons $s=x+y$ et $p=xy$; comme $x^3+y^3=s^3-3ps$, l'équation s'écrit . Pour on obtient , c'est-à-dire . Or

comme on le vérifie en développant les deux membres. Le niveau $c=-1$ est donc exactement la réunion de la droite $x+y=-1$ et du point isolé $(1,1)$:

Un point isolé dans une ligne de niveau est la signature d'un extremum strict: au voisinage de $(1,1)$, la fonction vaut $-1$ seulement en ce point et strictement plus ailleurs, donc $(1,1)$ est un minimum local strict avec $f(1,1)=1+1-3=-1$. On peut le vérifier à la main: $f(1,1;1)=-0,969$, , , — toutes ces valeurs sont . Le minimum n'est que : quand .

Le niveau $c=0$, lui, est la courbe $x^3+y^3=3xy$, connue depuis Descartes sous le nom de folium. Elle possède une boucle qui part de l'origine, passe par le point $(3/2,3/2)$ déjà rencontré, et revient à l'origine: elle se croise elle-même en $(0,0)$, et l'on retrouve la signature du point de selle. Sa branche infinie longe la droite , qui n'est autre que le niveau .

Limites et continuité

Définition de la limite

Toute la difficulté du passage d'une à plusieurs variables tient dans un mot: en dimension $1$, on ne peut approcher un point que par la gauche ou par la droite; en dimension $2$, on peut l'approcher par une infinité de directions, et même par des chemins qui tournent. La définition, elle, ne change pas.

La limite, quand elle existe, est unique (même démonstration que pour les suites). Deux reformulations sont constamment utiles:

• Caractérisation séquentielle. ${\lim }_{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}f(\mathbf{x})=L$ si et seulement si $f({\mathbf{x}}_k)\to L$ pour toute suite $({\mathbf{x}}_k)$ de convergeant vers . La démonstration est mot pour mot celle d'Analyse I, chapitre 5, en remplaçant par .

Démonstration. Les trois premières identités se démontrent exactement comme en une variable (Analyse I, chapitre 5): seule la quantité $\Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert$ y remplace $|x-a|$, et les manipulations portent sur les valeurs $f(\mathbf{x})$, qui sont des réels. Pour la composition: soit $\epsilon >0$; la continuité de $h$ en $\mathbf{b}=\mathbf{F}(\mathbf{a})$ fournit tel que ; la continuité de en fournit ensuite tel que ; en composant, . Le dernier point est l'encadrement (2.4) appliqué à , comme au théorème 2.5.

Ce théorème couvre presque tous les cas rencontrés. Les fonctions coordonnées $(x,y)\mapsto x$ et $(x,y)\mapsto y$ sont continues (car $|x-a|\le \Vert (x,y)-(a,b)\Vert$), donc tout en et est continu sur , toute est continue là où son dénominateur ne s'annule pas, et toute composée du type , , , est continue sur son domaine. , typiquement pour un quotient dont le dénominateur s'y annule. C'est là que se jouent les exemples de ce chapitre.

Trois techniques pour prouver qu'une limite existe

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Comme $\epsilon (r)\to 0$, il existe $\delta >0$ tel que $0<r<\delta$ entraîne $\epsilon (r)<\epsilon$. Alors entraîne , ce qui est (2.13).

En pratique on utilise trois outils, dans cet ordre de préférence:

1. La majoration directe. On majore $|f-L|$ par une expression ne dépendant que de $\Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert$. Les inégalités les plus utiles sont $|x|\le r$, $|y|\le r$, $|xy|\le \frac{1}{2}(x^2+y^2)=\frac{1}{2}{r}^2$ (qui vient de ) et , où .

Les deux contre-exemples classiques

L'explorateur ci-dessous met ces deux phénomènes en mouvement. À gauche, le curseur $\theta$ choisit la direction d'approche et le curseur $r$ rapproche le point mobile de l'origine: la valeur lue ne bouge pas quand $r$ diminue, mais change dès que $\theta$ change. À droite, la parabole $y=k{x}^2$ joue le même rôle pour la seconde fonction. Les deux lectures qui ne bougent pas quand on se rapproche de l'origine sont tout l'enseignement de la figure: se rapprocher ne fait pas converger.

Fonctions continues sur un compact

Le théorème des bornes

En une variable, une fonction continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes (Analyse I, chapitre 5). L'énoncé se transporte tel quel à ${\mathbb{R}}^n$, à condition de remplacer «segment» par «compact» — et la démonstration, elle, est exactement la même, ce qui est le meilleur argument en faveur du vocabulaire introduit plus haut.

Démonstration. $f$ est majorée. Supposons le contraire: pour chaque $k\in \mathbb{N}$, il existerait ${\mathbf{x}}_k\in K$ avec $f({\mathbf{x}}_k)>k$. Par compacité, on extrait une sous-suite . La continuité de en et la caractérisation séquentielle donnent : la suite converge, donc elle est bornée. Or : contradiction. Donc est majorée, et minorée par le même raisonnement appliqué à .

Le maximum est atteint. L'ensemble $f(K)\subset \mathbb{R}$ est non vide et majoré, donc il possède une borne supérieure $M={\sup }_{K}f$ (axiome de la borne supérieure, Analyse I, chapitre 1). Par définition du supremum, pour chaque $k\ge 1$ il existe ${\mathbf{y}}_k\in K$ avec

donc $f({\mathbf{y}}_k)\to M$. Par compacité, on extrait ${\mathbf{y}}_{\psi (k)}\to \mathbf{q}\in K$, et la continuité donne $f({\mathbf{y}}_{\psi (k)})\to f(\mathbf{q})$. Mais est une sous-suite d'une suite convergeant vers , donc elle converge vers : par unicité de la limite, . Le maximum est donc atteint en . En appliquant ce qui précède à , on obtient le minimum.

Connexité par arcs et valeurs intermédiaires

Le second grand théorème d'Analyse I sur les fonctions continues, celui des valeurs intermédiaires, repose sur le fait qu'un intervalle est «d'un seul tenant». En dimension $n$, la bonne notion est la suivante.

Toute partie convexe (une boule, un pavé, un demi-plan, ${\mathbb{R}}^n$ lui-même) est connexe par arcs: le segment $\mathbf{\gamma }(t)=(1-t)\mathbf{a}+t\mathbf{b}$ y convient. Une couronne, un disque privé de son centre le sont aussi, sans être convexes. En revanche, la réunion de deux disques disjoints ne l'est pas.

Démonstration. Soient $\mathbf{a},\mathbf{b}\in A$ et $\lambda$ entre $f(\mathbf{a})$ et $f(\mathbf{b})$. Choisissons un chemin continu $\mathbf{\gamma }:[0,1]\to A$ joignant $\mathbf{a}$ à $\mathbf{b}$. La fonction est continue (théorème 2.9, composition), avec et . Le théorème des valeurs intermédiaires d'une variable (Analyse I, chapitre 5) fournit avec ; le point convient.

Une conséquence pratique: si une fonction continue sur un ouvert connexe par arcs prend une valeur strictement positive et une valeur strictement négative, elle s'annule quelque part. Et si elle ne s'annule nulle part sur un tel ensemble, elle y garde un signe constant — argument que nous utiliserons au chapitre 6 pour les fonctions implicites. Si l'on ajoute la compacité, on obtient le tableau complet: une fonction continue sur un compact connexe par arcs a pour image un segment $[m,M]$, où $m$ et $M$ sont son minimum et son maximum, tous deux atteints.

Synthèse

• ${\mathbb{R}}^n$ est un espace vectoriel muni du produit scalaire $⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩={\sum }_i{x}_i{y}_i$ et de la norme euclidienne . L'inégalité de Cauchy–Schwarz , démontrée par le discriminant du trinôme , entraîne l'inégalité triangulaire. Toutes les normes de étant équivalentes, aucune notion topologique ne dépend du choix de la norme.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (topologie de ${\mathbb{R}}^n$, limites et continuité).
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 2, De Boeck, Bruxelles, chap. 11 (graphes, lignes de niveau, limites à deux variables).
• Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, 6e éd., Freeman, New York, chap. 1–2.
• Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, 9e éd., Pearson, Toronto, chap. 10 et 12.
• Apostol, T. M., Calculus, vol. 2, 2e éd., Wiley, New York, chap. 3 (espaces euclidiens et continuité).
• Liret, F. et Martinais, D., Analyse 2e année, Dunod, Paris (exercices sur les limites à plusieurs variables).