Intégrales doubles

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• construire l'intégrale double d'une fonction sur un pavé comme limite de sommes de Riemann, et énoncer le critère d'intégrabilité des fonctions continues ainsi que le rôle des ensembles de mesure nulle;
• utiliser les propriétés de l'intégrale double (linéarité, additivité, croissance, majoration du module) et le théorème de la moyenne;
• calculer une intégrale double par le théorème de Fubini, décrire un domaine élémentaire de type I ou de type II à partir d'un dessin, et inverser l'ordre d'intégration;
• reconnaître les situations où un seul des deux ordres conduit à un calcul élémentaire;
• appliquer le théorème du changement de variables, calculer un jacobien et l'interpréter comme facteur local de dilatation des aires, en particulier en coordonnées polaires;
• calculer des aires, des volumes, des masses, des centres de gravité, des moments d'inertie et des valeurs moyennes, et évaluer l'intégrale de Gauss.

Trois problèmes, une seule intégrale

L'Analyse I a construit l'intégrale ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ d'une fonction d'une variable comme limite de sommes de Riemann (chapitre 10 d'Analyse I), et lui a donné trois lectures: l'aire sous une courbe, le total d'une densité linéique, la moyenne d'une grandeur sur un intervalle. Ce chapitre fait la même construction avec une variable de plus. Les trois lectures se transposent, et ce sont elles qui motivent tout ce qui suit.

Le volume sous une surface. Soit $f$ une fonction continue et positive sur un rectangle $R=[a,b]\times [c,d]$ du plan. Le graphe de $f$ est une surface de ${\mathbb{R}}^3$ (chapitre 2), et l'on cherche le volume du solide compris entre le rectangle $R$, dans le plan $z=0$, et cette surface. Pour un solide quelconque, on ne dispose d'aucune formule; en revanche, on sait calculer le volume d'un à base rectangulaire: c'est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur. L'idée est donc de découper en petits rectangles, de remplacer sur chacun la surface par un plan horizontal, et de sommer les volumes des prismes obtenus.

La masse d'une plaque de densité variable. Une plaque mince occupe un domaine $D$ du plan; sa densité surfacique $\sigma (x,y)$, en kg·m⁻², varie d'un point à l'autre — pensez à une tôle dont l'épaisseur n'est pas constante, à un matériau composite, à un dépôt inhomogène. Si la densité était constante, la masse vaudrait $\sigma \cdot \mathrm{aire}(D)$. Elle ne l'est pas: on découpe alors $D$ en petits morceaux sur lesquels $\sigma$ varie peu, on approche la masse de chaque morceau par $\sigma (\text{un point du morceau})\times \text{son aire}$, et l'on somme.

Le total d'une densité sur une région. Le schéma est le même chaque fois qu'une grandeur extensive est décrite par une densité surfacique: la charge électrique portée par une électrode plane, l'énergie reçue par un capteur solaire dont l'éclairement varie, le nombre d'habitants d'un canton dont on connaît la densité de population, la probabilité qu'un couple de mesures tombe dans une région donnée. Dans tous les cas, on cherche ${\iint }_D(\text{densiteˊ})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Les trois problèmes conduisent littéralement au même calcul: découper, évaluer, sommer, raffiner. C'est cette limite que l'on va définir.

L'intégrale double sur un pavé

Subdivisions et sommes de Riemann

On commence, comme en Analyse I, par le cas le plus simple: le domaine d'intégration est un rectangle, que l'on appelle aussi un pavé.

Si $f\ge 0$, chaque terme $f({\mathbf{\xi }}_{ij})\Delta A_{ij}$ est le volume du prisme droit de base $R_{ij}$ et de hauteur : la somme (9.1) est le volume total de l'empilement de prismes qui approche le solide cherché. Si est une densité, c'est la masse de la plaque obtenue en supposant la densité constante sur chaque sous-pavé.

L'exigence est forte: la même limite doit être atteinte quelle que soit la façon de découper et quel que soit le point choisi dans chaque morceau. Comme en dimension un, on dispose d'un critère plus maniable au moyen des sommes de Darboux

où $m_{ij}={\inf }_{R_{ij}}f$ et $M_{ij}={\sup }_{R_{ij}}f$: toute somme de Riemann est encadrée par ces deux-là, et est intégrable si et seulement si, pour tout , il existe une subdivision telle que . La démonstration est mot pour mot celle du chapitre 10 d'Analyse I.

Quelles fonctions sont intégrables?

Tout ce chapitre repose sur un énoncé de topologie que le chapitre 2 n'a pas donné et que nous admettons ici, une fois pour toutes.

Nous l'admettons parce que sa démonstration — par l'absurde au moyen de Bolzano–Weierstrass, ou directement par un recouvrement fini — relève d'un cours de topologie. Le chapitre 2 en contient bien les ingrédients, Bolzano–Weierstrass (théorème 2.7) et Heine–Borel (théorème 2.8), mais il n'énonce pas ce résultat-ci: c'est ici qu'il sert pour la première fois, et il servira encore aux théorèmes 9.3 et 9.7, puis au chapitre 10 pour les intégrales triples. La différence avec la continuité simple est le mot «le même»: pour la continuité ordinaire, $\delta$ peut dépendre du point considéré; la compacité permet d'en choisir un qui convient partout. C'est exactement ce dont on a besoin pour contrôler tous les sous-pavés d'une subdivision à la fois.

Esquisse de démonstration. Le pavé $R$ est fermé et borné, donc compact (chapitre 2, théorème 2.8). Le théorème 9.1 s'applique: pour tout $\epsilon >0$ il existe $\delta >0$ tel que $\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert <\delta$ entraîne $|f(\mathbf{u})-f(\mathbf{v})|<{\epsilon }^{\prime }$, où l'on pose . Prenons une subdivision de pas inférieur à . Sur chaque sous-pavé, deux points sont à distance moindre que , donc (les bornes sont atteintes, étant continue sur le compact ). Par conséquent

et le critère de Darboux s'applique. $\square$

Cette démonstration fonctionne aussi bien en dimension deux qu'en dimension un, parce que le seul ingrédient est la compacité du domaine. En revanche, dès que l'on veut intégrer une fonction qui n'est pas continue partout — et ce sera le cas systématique dès que le domaine n'est plus un pavé — il faut savoir combien de discontinuités on peut tolérer. La réponse tient dans une notion de taille.

Un point est de mesure nulle, une réunion dénombrable d'ensembles de mesure nulle aussi (recouvrez le $k$-ième par des pavés d'aire totale $\epsilon /2^k$). Le fait vraiment utile est le suivant.

Démonstration. $\phi$ est uniformément continue sur le compact $[a,b]$. Soit $\epsilon >0$ et posons $\eta =\epsilon /(2(b-a))$; il existe $\delta >0$ tel que $|s-t|<\delta$ entraîne . Découpons en intervalles de longueur . Au-dessus du -ième, le graphe est contenu dans le pavé de largeur et de hauteur centré sur du point milieu. L'aire totale de ces pavés vaut .

Ainsi un segment, un cercle, une parabole, le bord d'un triangle ou d'un disque — bref le bord de tous les domaines que nous rencontrerons — sont de mesure nulle. Le théorème général, que nous admettons, dit que ce sont exactement les ensembles que l'intégrale ne voit pas.

Nous admettons ce critère: sa démonstration demande la théorie de la mesure de Lebesgue (recouvrements, sous-additivité dénombrable, lemme de Borel–Lebesgue appliqué aux ensembles d'oscillation), qui relève d'un cours de théorie de la mesure et d'intégration, en général en troisième année. Ce que nous en retiendrons est son usage: il autorise à intégrer des fonctions discontinues le long d'une courbe, ce qui est exactement ce dont on a besoin pour passer d'un pavé à un domaine quelconque.

Le prolongement $\tilde{f}$ est en général discontinu sur le bord $\partial D$, et seulement là si $f$ est continue. Le critère de Lebesgue donne donc immédiatement: si $f$ est continue et bornée sur $D$ et si $\partial D$ est de mesure nulle, alors $f$ est intégrable sur $D$. Un domaine borné dont le bord est de mesure nulle est dit ; son aire est par définition . Tous les domaines de ce chapitre sont quarrables, parce que leur bord est une réunion finie de graphes de fonctions continues.

Propriétés de l'intégrale double

Les propriétés suivantes se démontrent toutes à partir des sommes de Riemann, exactement comme en dimension un: on écrit la propriété au niveau des sommes, où elle est évidente, puis on passe à la limite.

Démonstration. 1. Pour une subdivision et des points d'échantillonnage fixés, $S(\lambda f+\mu g,\sigma ,\mathbf{\xi })=\lambda S(f,\sigma ,\mathbf{\xi })+\mu S(g,\sigma ,\mathbf{\xi })$, car la somme (9.1) est linéaire en $f$. On passe à la limite quand le pas tend vers .

2. Avec les prolongements par zéro, $\widetilde{f{1}_D}=\widetilde{f{1}_{D_1}}+\widetilde{f{1}_{D_2}}$ partout sauf sur , qui est de mesure nulle; le critère de Lebesgue (théorème 9.4) dit que cette différence n'affecte pas les intégrales, et l'on conclut par linéarité.

Le théorème de la moyenne

Démonstration. $D$ est compact et $f$ continue, donc $f$ atteint son minimum $m$ en un point $\mathbf{p}$ et son maximum $M$ en un point $\mathbf{q}$ (théorème des bornes de Weierstrass, chapitre 2, théorème 2.11). Le point 5 du théorème 9.5 donne

est la valeur moyenne de $f$ sur $D$. Comme $D$ est connexe par arcs, il existe un chemin continu $\mathbf{\gamma }:[0,1]\to D$ avec $\mathbf{\gamma }(0)=\mathbf{p}$ et $\mathbf{\gamma }(1)=\mathbf{q}$. La fonction est continue de dans , vaut en et en : par le théorème des valeurs intermédiaires d'une variable (Analyse I, chapitre 5), elle prend la valeur en un certain . Le point convient. C'est exactement l'argument du théorème des valeurs intermédiaires du chapitre 2 (théorème 2.12), dont on pourrait aussi invoquer directement la conséquence: une fonction continue sur un compact connexe par arcs a pour image le segment .

La lecture géométrique est limpide lorsque $f\ge 0$: le volume sous le graphe de $f$ est égal à celui du cylindre droit de base $D$ et de hauteur $\bar{f}$. On a remplacé une surface bosselée par un couvercle plat sans changer le volume — c'est la version à deux variables du «rectangle de même aire» de l'Analyse I. L'hypothèse de connexité est essentielle: sur un domaine formé de deux disques disjoints où $f$ vaut $0$ et $1$, la moyenne vaut et n'est atteinte nulle part.

Le théorème de Fubini

Une somme de Riemann double est une somme à deux indices. Rien n'empêche de la calculer en sommant d'abord sur $j$, à $i$ fixé, puis sur $i$: c'est exactement ce que dit le théorème de Fubini, qui ramène le calcul d'une intégrale double à deux intégrations successives d'une variable. C'est le théorème de calcul de ce chapitre.

Démonstration. La continuité de $F$ se lit sur l'uniforme continuité de $f$: si $|x-x^{\prime }|<\delta$, alors $|f(x,y)-f(x^{\prime },y)|<\epsilon$ pour tout , donc . En particulier est intégrable sur .

Fixons une subdivision de $R$ comme dans la définition. Par additivité de l'intégrale simple,

Sur le sous-pavé $R_{ij}$ on a $m_{ij}\le f\le M_{ij}$, donc, par croissance de l'intégrale simple appliquée deux fois,

En sommant sur $i$ et $j$, il vient $s(f,\sigma )\le {\int }_a^{b}F\le \overline{S}(f,\sigma )$. Or est continue donc intégrable (théorème 9.2), et les sommes de Darboux encadrantes tendent toutes deux vers quand le pas tend vers . Le nombre , qui ne dépend pas de la subdivision, est donc égal à . Le même raisonnement, en échangeant les rôles de et , donne la seconde égalité.

Domaines élémentaires et bornes variables

Un pavé est un domaine bien commode, mais rarement celui d'un problème réel. Le pas décisif consiste à autoriser les bornes de l'intégrale intérieure à dépendre de la variable extérieure.

Le bord d'un tel domaine est une réunion de quatre graphes de fonctions continues (deux courbes, deux segments verticaux ou horizontaux éventuellement réduits à un point), donc de mesure nulle par le théorème 9.3: tout domaine élémentaire est quarrable, et toute fonction continue bornée y est intégrable.

Démonstration (esquisse). Plaçons $D$ dans un pavé $R=[a,b]\times [c,d]$ et prolongeons $f$ par $\tilde{f}=0$ hors de $D$. La fonction est bornée et ses discontinuités sont contenues dans , de mesure nulle: elle est intégrable sur . À fixé, la coupe est le segment , donc

Le théorème de Fubini (dans sa version pour une fonction intégrable, pas nécessairement continue — c'est là que le passage se paie d'un argument technique supplémentaire, que nous admettons) donne alors (9.6). $\square$

Lire les bornes sur un dessin

La difficulté pratique n'est jamais le calcul des primitives: c'est la mise en place des bornes. La méthode est toujours la même, et elle commence par un dessin.

Quand un seul ordre est praticable

Inverser l'ordre d'intégration n'est pas un exercice gratuit: il arrive qu'un ordre conduise à une primitive qui n'existe pas en termes de fonctions élémentaires, tandis que l'autre se calcule en deux lignes.

Aires et volumes

Deux conséquences directes méritent d'être isolées, parce qu'elles sont à l'origine de la plupart des applications géométriques.

Le point 1 est la définition même de l'aire; ce qui est remarquable, c'est qu'elle redonne les formules connues (on vérifiera plus bas que le disque de rayon $a$ a pour aire $\pi a^2$). Le point 2 s'obtient en écrivant $h-g\ge 0$ et en appliquant l'interprétation du volume sous un graphe, après translation verticale.

Le théorème du changement de variables

Énoncé

En dimension un, le changement de variable $x=\varphi (u)$ transforme ${\int }_{\varphi (\alpha )}^{\varphi (\beta )}f(x)\mathrm{d}x$ en ${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (u)){\varphi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u$ (chapitre 11 d'Analyse I). Le facteur mesure la dilatation locale des longueurs. En dimension deux, la dilatation locale des est mesurée par le déterminant jacobien.

Rappelons la définition posée au chapitre 6, sur laquelle tout repose ici.

Par le théorème d'inversion locale (chapitre 6), une application ${\mathcal{C}}^1$ injective dont le jacobien $\det J_{\mathbf{\Phi }}$ ne s'annule pas sur $U$ est automatiquement un difféomorphisme de $U$ sur son image, et l'on a la relation utile

Nous admettons ce théorème. La raison en est technique et vaut d'être dite: la démonstration complète demande de découper $\Delta$ en morceaux arbitrairement petits, de contrôler uniformément l'écart entre $\mathbf{\Phi }$ et son approximation affine sur chacun, puis de recoller ces estimations — ce qui exige soit un argument de recouvrement de type Vitali, soit une partition de l'unité, soit la construction de la mesure image. Ces outils appartiennent à un cours de théorie de la mesure. Ce que nous pouvons faire ici, c'est comprendre pourquoi le facteur $|\det J|$ est celui-là.

Le jacobien est un facteur de dilatation des aires

Trois arguments, du plus simple au plus général.

Cas linéaire. Si $\mathbf{\Phi }(\mathbf{u})=A\mathbf{u}$ avec $A$ une matrice $2\times 2$ inversible, l'image du carré unité de sommets $0,{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_2$ est le parallélogramme construit sur les colonnes et , dont l'aire est (annexe A). Comme partout, la formule (9.10) dit simplement, pour , que .

Cas général, localement. Si $\mathbf{\Phi }$ est ${\mathcal{C}}^1$, la différentiabilité au point ${\mathbf{u}}_0$ (chapitre 3) donne

au premier ordre, $\mathbf{\Phi }$ est l'application affine de partie linéaire $J_{\mathbf{\Phi }}({\mathbf{u}}_0)$. Un petit pavé de côtés $\Delta u$, $\Delta v$ accroché en ${\mathbf{u}}_0$ a donc pour image un petit parallélogramme d'aire . En sommant ces contributions et en passant à la limite, on obtient (9.10). Le symbole est la forme mnémotechnique de cet énoncé.

La valeur absolue. En dimension un, le signe de ${\varphi }^{\prime }$ est absorbé par l'orientation des bornes (${\int }_{\beta }^{\alpha }=-{\int }_{\alpha }^{\beta }$). En dimension deux, un domaine n'a pas d'orientation: on intègre sur , point. C'est pourquoi le module est indispensable — un jacobien négatif signale seulement que renverse l'orientation.

Les coordonnées polaires

Démonstration. Avec $x=r\cos \theta$ et $y=r\sin \theta$, les quatre dérivées partielles valent

d'où

Ce jacobien est strictement positif sur $U$ (où $r>0$) et $\mathbf{\Phi }$ y est injective, car l'angle est astreint à un intervalle de longueur $2\pi$ ouvert et le module $r$ est déterminé par $\sqrt{x^2+y^2}$: c'est donc un difféomorphisme sur son image (chapitre 6).

L'intégrale de Gauss

Voici l'application la plus élégante du chapitre. Elle calcule, au moyen d'une intégrale double, une intégrale simple dont aucune technique d'une variable ne vient à bout.

Démonstration. Convergence. Pour $|x|\ge 1$ on a $x^2\ge |x|$, donc $0<{\mathrm{e}}^{-x^2}\le {\mathrm{e}}^{-|x|}$, dont l'intégrale sur converge: le critère de comparaison (chapitre 11 d'Analyse I) donne la convergence. Notons la valeur cherchée; puisque l'intégrande est strictement positive.

Le carré de $I$ est une intégrale double. Pour $R>0$, posons $C_R=[-R,R{]}^2$. La fonction $(x,y)\mapsto {\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}={\mathrm{e}}^{-x^2}{\mathrm{e}}^{-y^2}$ est continue, et Fubini sur le pavé donne, la fonction étant un produit de deux fonctions d'une seule variable,

Quand $R\to +\infty$, le membre de droite tend vers $I^2$.

Le même carré, calculé en polaires. Soit $D_{\rho }$ le disque de centre l'origine et de rayon $\rho$. En polaires (théorème 9.11),

Voilà où le facteur $r$ sauve tout: sans lui, $\int {\mathrm{e}}^{-r^2}\mathrm{d}r$ serait aussi inaccessible que l'intégrale de départ; avec lui, c'est une substitution immédiate.

L'encadrement. L'intégrande est positive, et les inclusions $D_R\subset C_R\subset D_{R\sqrt{2}}$ sont géométriquement évidentes (le disque inscrit, le carré, le disque circonscrit). La croissance de l'intégrale donne

Les deux bornes tendent vers $\pi$ lorsque $R\to +\infty$; par le théorème des gendarmes, $I^2=\pi$, et comme $I>0$, $I=\sqrt{\pi }$.

Applications: masses, centres de gravité, moyennes

Les définitions

Soit une plaque mince occupant le domaine quarrable $D$, de densité surfacique continue $\sigma (x,y)$ (en kg·m⁻²). On pose:

le point $G=(\bar{x},\bar{y})$ étant le centre de gravité (ou centre de masse). Les moments d'inertie par rapport aux axes et par rapport à l'origine valent

Chacune de ces quantités est le total d'une densité: on «pèse» $\sigma$ pour la masse, $x\sigma$ pour le moment statique, $(x^2+y^2)\sigma$ pour le moment d'inertie. Si $\sigma$ est constante, elle sort des intégrales et disparaît de $\bar{x}$ et $\bar{y}$: le centre de gravité d'une plaque homogène ne dépend que de sa forme, et l'on parle de .

La température moyenne de la plaque chauffée

Intégrales doubles impropres

Jusqu'ici, le domaine était borné et la fonction bornée. Les deux hypothèses tombent souvent: on intègre sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier (l'intégrale de Gauss en est l'exemple), ou l'intégrande explose en un point du domaine.

L'indépendance vis-à-vis de la suite exhaustive est admise: c'est un énoncé de théorie de la mesure (théorème de convergence monotone). Pour $f$ positive, elle a une conséquence pratique agréable: on peut choisir la suite exhaustive la plus commode — des disques concentriques plutôt que des carrés, par exemple, ce que nous avons fait sans le dire dans la démonstration du théorème 9.12.

Synthèse

• L'intégrale double ${\iint }_{D}f$ est la limite des sommes de Riemann $\sum f({\mathbf{\xi }}_{ij})\Delta A_{ij}$ quand le pas de la subdivision tend vers zéro; elle se lit comme un volume, une masse, ou le total d'une densité surfacique.
• Toute fonction continue sur un pavé y est intégrable, par le théorème de Heine — — que ce chapitre admet parce qu'il relève d'un cours de topologie, et qui resservira à chaque fois qu'il faudra contrôler d'un coup tous les morceaux d'une subdivision. Le critère de Lebesgue, admis lui parce qu'il relève de la théorie de la mesure, dit qu'une fonction bornée est intégrable si et seulement si ses discontinuités forment un ensemble de mesure nulle. Les courbes du plan étant négligeables, on peut intégrer sur n'importe quel domaine dont le bord est une réunion de graphes continus.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (intégrales multiples et changement de variables).
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 2, De Boeck, Bruxelles, chap. 12 (intégrales multiples, coordonnées polaires, applications).
• Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, 6e éd., Freeman, New York, chap. 5–6.
• Adams, R. A. et Essex, C., Calculus: A Complete Course, Pearson, Toronto, chap. 14.
• Apostol, T. M., Calculus, vol. 2, 2e éd., Wiley, New York, chap. 11 (construction de l'intégrale multiple et théorème de Fubini).
• Liret, F. et Martinais, D., Analyse 2e année, Dunod, Paris (intégrales doubles et changements de variables usuels).