Travail, énergie et puissance

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer le travail d'une force constante ou variable le long d'un déplacement, en particulier celui du poids, d'un ressort et du frottement, et en discuter le signe;
énoncer et démontrer le théorème de l'énergie cinétique et l'utiliser pour déterminer des vitesses et des distances sans résoudre les équations du mouvement;
reconnaître une force conservative, lui associer une énergie potentielle $U$ telle que $F = - d U / d x$ et lire sur le graphe de $U$ les équilibres, leur stabilité et les points de rebroussement;
appliquer la conservation de l'énergie mécanique et sa forme générale $Δ E_{m} = W_{n c}$ à des pendules, des loopings, des montagnes russes et des sauts à l'élastique;
calculer une puissance instantanée ou moyenne, convertir entre watts et chevaux, et estimer la puissance d'un cycliste, d'une voiture ou d'une centrale hydroélectrique;
définir un rendement et interpréter l'énergie dissipée par les forces non conservatives.

Le travail d'une force

Pourquoi une nouvelle grandeur?

Les lois de Newton (chapitre 3) permettent en principe de tout calculer: connaissant les forces, on intègre $F = m a$ et l'on obtient la trajectoire. En pratique, cette intégration est souvent pénible, voire impossible à la main. Or beaucoup de questions concrètes ne demandent pas la trajectoire complète: à quelle vitesse le skieur arrive-t-il en bas de la pente? Jusqu'où remonte le wagonnet? Quelle force le pieu oppose-t-il au mouton qui le frappe? Pour ces questions, il existe un raccourci: au lieu de suivre le mouvement instant par instant, on fait un bilan entre l'état initial et l'état final. La grandeur qui permet ce bilan est l'énergie, et la porte d'entrée vers l'énergie est le travail.

Trois cas méritent d'être retenus. Si la force est dans le sens du déplacement ( $θ = 0$ ), le travail vaut $F d$ : il est moteur. Si elle s'oppose au déplacement ( $θ = π$ ), $W = - F d$ : il est résistant. Si elle est perpendiculaire au déplacement ( $θ = π /2$ ), $W = 0$ : la force ne travaille pas, même si elle est intense. C'est le cas de la force normale exercée par un rail ou une piste sur un wagonnet, de la tension du fil d'un pendule et de la force magnétique sur une particule chargée. Lorsque vous portez une valise à vitesse constante sur un quai horizontal, la force de votre main est verticale et le déplacement horizontal: mécaniquement, vous ne fournissez aucun travail à la valise, ce qui ne signifie pas que vos muscles ne se fatiguent pas.

Une force variable le long du trajet, ou un trajet courbe, demande de découper le déplacement en éléments $d l$ assez petits pour que la force y soit constante, d'y appliquer (4.1) et de sommer.

Travail du poids

Le poids $P = m g$ est constant au voisinage de la surface terrestre. Prenons l'axe $z$ vertical ascendant, de sorte que $P = - m g e_{z}$ . Le long d'un déplacement quelconque $d l = d x e_{x} + d y e_{y} + d z e_{z}$ , le produit scalaire vaut , donc

W_{P} = \int_{A}^{B} (- m g) d z = - m g (z_{B} - z_{A}) = - m g Δ z . (4.3)

Ce résultat a une conséquence importante: le travail du poids ne dépend que de la dénivellation $Δ z$ , pas du chemin suivi. Un randonneur qui monte de $800$ m par un sentier en lacets ou par une via ferrata verticale reçoit du poids le même travail négatif; un skieur qui descend de $800$ m, quelle que soit la piste, reçoit le même travail positif. Nous reviendrons sur cette propriété, qui définit les forces conservatives.

Travail d'un ressort

Un ressort de raideur $k$ , d'extrémité libre repérée par l'allongement $x$ à partir de sa longueur naturelle, exerce la force de rappel $F = - k x$ (loi de Hooke, valable tant que le ressort n'est pas déformé de façon permanente). Cette force n'est pas constante: on doit intégrer.

W_{ressort} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} (- k x) d x = - \frac{k}{2} (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) . (4.4)

En particulier, lorsqu'on étire (ou comprime) le ressort depuis sa longueur naturelle jusqu'à l'allongement $x$ , le ressort fournit le travail $W = - \frac{1}{2} k x^{2}$ : il résiste, que l'on tire ou que l'on pousse, puisque $x^{2}$ ne distingue pas les deux cas. C'est l'aire du triangle de la figure 4.1b: base $x$ , hauteur , aire , comptée négativement parce que la force est opposée au déplacement. L'opérateur qui étire le ressort quasi statiquement exerce à chaque instant la force opposée et fournit le travail . Pour un ressort de raideur étiré de : .

Travail du frottement

Le frottement cinétique a une intensité $f = μ_{c} N$ et il est toujours dirigé à l'opposé de la vitesse. Sur un trajet de longueur $s$ (la longueur parcourue, pas la distance entre les extrémités), il fournit donc

W_{f} = - μ_{c} N s < 0. (4.5)

Contrairement au poids, ce travail dépend du chemin: un bloc de $5, 00 kg$ traîné sur $4, 00 m$ d'un sol horizontal avec $μ_{c} = 0, 300$ reçoit $W_{f} = - 0, 300 \times 5, 00 \times 9, 81 \times 4, 00 = - 58, 9 J$ ; ramené à son point de départ, il reçoit à nouveau , soit sur l'aller-retour, alors que le travail du poids sur ce même aller-retour est nul. Le frottement est l'exemple type d'une force .

Question 4.1

Un wagonnet descend une piste courbe sans frottement. Parmi les forces qui s'exercent sur lui, laquelle ou lesquelles ont un travail nul sur la descente?

Question 4.2

Un ressort de raideur $k = 250 N/m$ est comprimé de $8, 00 cm$ à partir de sa longueur naturelle. Quel travail (en joules, avec son signe) l'opérateur a-t-il fourni au ressort?

Le théorème de l'énergie cinétique

Énoncé et démonstration

Démonstration. Traitons d'abord le cas d'un mouvement rectiligne selon $x$ , avec une force résultante $F (x)$ . La deuxième loi de Newton s'écrit $m \frac{d v}{d t} = F$ . Multiplions les deux membres par $v = \frac{d x}{d t}$ : à gauche, par la règle de dérivation d'une fonction composée; à droite, . Intégrons de à : le membre de gauche donne et le membre de droite par changement de variable.

Le cas général se traite de la même manière avec un produit scalaire. Partons de $m \dot{v} = F_{tot}$ et multiplions scalairement par $v$ :

m \dot{v} \cdot v = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v \cdot v) = \frac{d E _{c}}{d t}, F_{tot} \cdot v = F_{tot} \cdot \frac{d l}{d t},

où l'on a utilisé $\frac{d}{d t} (v \cdot v) = 2 \dot{v} \cdot v$ . En intégrant entre $t_{A}$ et et en reconnaissant (4.2) à droite, on obtient (4.7). Comme le travail d'une somme de forces est la somme des travaux (linéarité du produit scalaire et de l'intégrale), on peut calculer chaque travail séparément.

Le théorème ne contient rien de plus que la deuxième loi de Newton, mais il l'a déjà intégrée une fois. Il ne donne ni la durée du mouvement ni la trajectoire, seulement la vitesse scalaire en $B$ connaissant celle en $A$ . En échange, il ignore toutes les forces qui ne travaillent pas — normale, tension d'un fil inextensible — et il s'applique sans changement aux trajectoires courbes.

Applications

Question 4.3

Une voiture roule à $90, 0 km/h$ sur une route horizontale mouillée où le coefficient de frottement pneus–route vaut $μ = 0, 600$ . Calculez sa distance de freinage en mètres, sans temps de réaction.

Forces conservatives et énergie potentielle

Définition

Le travail du poids ne dépend que des positions de départ et d'arrivée; celui du frottement dépend du chemin. Cette différence est fondamentale et mérite un nom.

L'équivalence des deux formulations est immédiate: si le travail ne dépend pas du chemin, un aller par le chemin 1 et un retour par le chemin 2 donnent $W_{1} - W_{2} = 0$ ; réciproquement, si le travail sur toute boucle est nul, deux chemins de $A$ à $B$ forment une boucle avec l'un parcouru à l'envers, donc ont le même travail. Le poids (4.3) est conservatif; la force d'un ressort l'est aussi, puisque (4.4) ne dépend que de $x_{A}$ et ; la force gravitationnelle de Newton et la force électrostatique le sont également, comme toute force dont l'intensité ne dépend que de la distance. Le frottement ne l'est pas: son travail sur une boucle est strictement négatif. La force normale et la tension d'un fil sont un cas à part: elles ne travaillent pas du tout, et on peut les ignorer dans tous les bilans.

Énergie potentielle

Pour une force conservative, le travail $W_{A \to B}$ est une fonction des seuls points $A$ et $B$ . On peut donc fixer un point de référence $O$ et définir une fonction de la position par $U (P) = - W_{O \to P}$ ; le travail de à est alors le travail de à plus celui de à , d'où .

Démonstration de (4.9). Par (4.8) appliquée entre $x$ et $x + d x$ , le travail élémentaire vaut $F (x) d x = - [U (x + d x) - U (x)]$ . En divisant par $d x$ et en faisant tendre $d x$ vers , on obtient . Réciproquement, si , alors par le théorème fondamental de l'analyse: le travail ne dépend pas du chemin et la force est conservative. En trois dimensions, la relation devient , c'est-à-dire , etc.; la force «descend la pente» de .

Les trois énergies potentielles du cours s'obtiennent en intégrant les forces déjà rencontrées:

Pesanteur (près du sol, axe $z$ ascendant): de (4.3), $W = - m g Δ z = - Δ U$ avec

U_{pes} (z) = m g z (r \overset{e}{ˊ} f \overset{e}{ˊ} rence U = 0 en z = 0) . (4.10)

Ressort (allongement $x$ ): de (4.4),

U_{\overset{e}{ˊ} l} (x) = \frac{1}{2} k x^{2} (r \overset{e}{ˊ} f \overset{e}{ˊ} rence: longueur naturelle) . (4.11)

Gravitation universelle (chapitre 6): la force $F = - \frac{GM m}{r ^{2}}$ le long de $e_{r}$ dérive de

U_{grav} (r) = - \frac{GM m}{r} (r \overset{e}{ˊ} f \overset{e}{ˊ} rence: U \to 0 lorsque r \to \infty), (4.12)

puisque $- \frac{d}{d r} (- \frac{GM m}{r}) = - \frac{GM m}{r ^{2}}$ . Pour de petites variations d'altitude , on retrouve (4.10): avec .

Lecture graphique de U(x)

La relation $F = - U^{'} (x)$ permet de lire la dynamique sur le graphe de l'énergie potentielle sans aucun calcul. Là où $U$ décroît, la force est positive (vers les $x$ croissants); là où $U$ croît, elle est négative: la force pousse toujours «vers le bas» de la courbe, comme une bille sur un relief. Les positions où $U^{'} (x_{0}) = 0$ sont les : la force y est nulle et un point placé là sans vitesse y reste.

Si de plus l'énergie mécanique $E_{m} = E_{c} + U$ est conservée, comme nous le montrerons au paragraphe suivant, alors $E_{c} = E_{m} - U (x) \geq 0$ impose que le mouvement se déroule uniquement là où : ce sont les . Les points où sont les : la vitesse s'y annule et le point fait demi-tour. Un point piégé entre deux points de rebroussement effectue un , périodique; un point dont la région permise s'étend à l'infini a un mouvement . Sur la figure 4.2, l'énergie choisie est inférieure à la hauteur de la barrière qui sépare les deux puits: le point oscille dans l'un ou l'autre puits, sans pouvoir passer de l'un à l'autre.

Explorateur 4.1 · Explorateur du paysage d'énergie potentielle

Point matériel de masse m = 1 kg dans le potentiel U(x) = a x⁴ − b x² (double puits pour b > 0). Faites varier a, b et l'énergie mécanique E: les zones colorées sont les positions permises (E ≥ U), les points marqués sur la droite E les points de rebroussement où la vitesse s'annule, les disques les équilibres (plein: stable, creux: instable). Le mouvement est toujours borné puisque U tend vers l'infini; il reste confiné dans un puits tant que E est inférieure à la hauteur de la barrière U(0) = 0.

Coefficient a (J/m⁴)1,0

Coefficient b (J/m²)2,0

Énergie mécanique E1,0J

Minimums x = ±√(b/2a)

±1,00m

Profondeur des puits U min = −b²/4a

−1,00J

E_c en x = 0

1,00J

Points de rebroussement

−1,55; 1,55m

Mouvement

lié, franchit la barrière en x = 0

Question 4.4

Un point matériel se déplace sur l'axe $x$ dans le potentiel $U (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ (en joules, $x$ en mètres). Quelle affirmation est correcte?

Conservation de l'énergie mécanique

Le théorème

Reprenons le théorème de l'énergie cinétique en séparant les forces conservatives, dont les travaux s'écrivent $- Δ U_{i}$ , des forces non conservatives:

Δ E_{c} = cons. \sum W_{i} + non cons. \sum W_{j} = - Δ U + W_{n c},

où $U = \sum_{i} U_{i}$ est l'énergie potentielle totale. En regroupant les termes, $Δ (E_{c} + U) = W_{n c}$ .

Démonstration. C'est le calcul qui précède la définition: le théorème 4.1 donne $Δ E_{c} = W_{cons} + W_{n c}$ , et (4.8) appliquée à chaque force conservative donne $W_{cons} = - Δ U$ . Donc , soit . Si pour tout couple de positions, prend la même valeur en tout point de la trajectoire.

L'énergie mécanique est le premier exemple de loi de conservation du cours; la quantité de mouvement (chapitre 5) et le moment cinétique (chapitre 9) en fourniront deux autres. Une loi de conservation remplace une équation différentielle vectorielle par une seule équation algébrique scalaire: c'est un outil d'une efficacité redoutable, à condition de bien identifier ce qui se conserve et dans quelles conditions. Ici, la condition est l'absence de travail des forces non conservatives, ce qui inclut les cas fréquents où elles existent mais ne travaillent pas (normale, tension d'un fil, rail).

Question 4.5

Un bloc glisse depuis le repos le long d'un toboggan courbe avec frottement, puis s'arrête sur une piste horizontale. Remettez dans l'ordre les étapes du raisonnement qui donne la distance d'arrêt.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Écrire

Δ E_{m} = W_{n c}

0 - m g h = W_{f, toboggan} + W_{f, piste}

Classer les forces: poids conservatif (

U = m g z

), normale sans travail, frottement non conservatif

Résoudre pour

d

et vérifier que le résultat est positif et cohérent avec les ordres de grandeur

Fixer la référence de l'énergie potentielle de pesanteur au niveau de la piste horizontale

Exprimer le travail du frottement sur la piste horizontale:

W_{f, piste} = - μ m g d

Choisir le système (le bloc) et les états:

A

au départ (vitesse nulle, hauteur

h

B

à l'arrêt sur la piste horizontale

Applications

Question 4.6

Un ascenseur de masse totale $800 kg$ (cabine et passagers) monte à la vitesse constante de $2, 00 m/s$ . Quelle puissance mécanique (en watts) le moteur fournit-il, sans contrepoids ni frottement?

Puissance

Définition et unités

Deux moteurs peuvent fournir le même travail, l'un en une seconde, l'autre en une heure. Le travail seul ne dit rien de la rapidité avec laquelle l'énergie est transférée; c'est le rôle de la puissance.

La seconde égalité de (4.15) vient de $d W = F \cdot d l = F \cdot v d t$ . Elle montre que, pour une force donnée, la puissance croît avec la vitesse: un moteur de puissance limitée $P$ ne peut fournir à la vitesse $v$ qu'une force $F = P / v$ , d'où la nécessité d'une boîte de vitesses pour disposer d'une grande force au démarrage. Le théorème de l'énergie cinétique se réécrit sous forme instantanée: $\frac{d E _{c}}{d t} = P_{tot}$ , la puissance totale des forces appliquées.

Réciproquement, l'énergie est une puissance intégrée sur le temps: c'est l'origine du kilowattheure, unité commerciale de l'énergie électrique, $1 kWh = 1 0^{3} W \times 3600 s = 3, 6 MJ$ . Un radiateur de $1 kW$ allumé une heure consomme $1 kWh$ ; soulever $2, 5 t$ de $30 m$ (exemple 4.2) ne demande que .

Exemples

Synthèse

Le travail d'une force est $W = \int F \cdot d l$ , aire sous la courbe force–position; il est moteur, résistant ou nul selon l'angle entre la force et le déplacement. Poids: $- m g Δ z$ ; ressort: $- \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2})$ ; frottement: ; normale et tension d'un fil: .

Série d'exercices du chapitre 4Exercice 1 sur 5

Question 4.7

Une voiture double sa vitesse. Sur la même route, avec les mêmes pneus, sa distance de freinage est:

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 4.1 · Caisse tirée par une corde

Une caisse de masse $m = 20, 0 kg$ , initialement au repos sur un sol horizontal, est tirée sur $d = 10, 0 m$ par une corde faisant un angle de $30, 0°$ avec l'horizontale, avec une tension constante $T = 80, 0 N$ . Le coefficient de frottement cinétique caisse–sol vaut .

Exercice 4.2 · Piste de luge

Un lugeur de masse $m = 75, 0 kg$ part sans vitesse du sommet d'une piste rectiligne inclinée de $θ = 25, 0°$ , dont la dénivellation est $h = 30, 0 m$ , puis continue sur un replat horizontal. Le coefficient de frottement luge–neige vaut $μ_{c} = 0, 0800$ partout. On néglige la résistance de l'air.

Exercice 4.3 · Ressort et plan incliné

Un ressort de raideur $k = 800 N/m$ , comprimé de $x_{0} = 10, 0 cm$ , propulse un bloc de masse $m = 0, 500 kg$ sur un plan incliné de . Le bloc part de la position du ressort détendu, au pied du plan, et glisse vers le haut avec un coefficient de frottement .

Exercice 4.4 · Train du Gornergrat

Le chemin de fer à crémaillère du Gornergrat relie Zermatt ( $1605 m$ ) au Gornergrat ( $3089 m$ ) en $9, 40 km$ de voie et $33, 0 min$ . On considère une rame de masse totale $m = 40, 0 t$ et l'on modélise les résistances (roulement, crémaillère, air) par une force constante égale à $1, 50 %$ du poids. Le rendement de la chaîne moteur–transmission vaut .

Exercice 4.5 · De la force à la conservation, et retour aux petites oscillations

Un point matériel de masse $m$ se déplace sur l'axe $x$ , soumis à la seule force $F (x) = - U^{'} (x)$ , où $U$ est une fonction deux fois dérivable.

Démontrer directement, à partir de la deuxième loi de Newton, que $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2} + U (x)$ est constante au cours du mouvement.

Références

Gruber, C. et Benoit, W., Mécanique générale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chap. 6–7.
Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 1 – Mécanique, Chenelière Éducation, Montréal, chap. 7–8.
Benson, H., Physique I – Mécanique, De Boeck, Bruxelles, chap. 7–8.
Kleppner, D. et Kolenkow, R., An Introduction to Mechanics, 2e éd., Cambridge University Press, chap. 5.
Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics, 15e éd., Pearson, chap. 6–7.
Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Mécanique 1, Dunod, Paris, chap. 4, 13 et 14.

Objectifs du chapitre

Le travail d'une force

Pourquoi une nouvelle grandeur?

Travail du poids

Travail d'un ressort

Travail du frottement

Le théorème de l'énergie cinétique

Énoncé et démonstration

Applications

Forces conservatives et énergie potentielle

Définition

Énergie potentielle

Lecture graphique de U(x)

Conservation de l'énergie mécanique

Le théorème

Applications

Puissance

Définition et unités

Exemples

Synthèse

Exercices

Références

Vitesse au bas de la première descente

Vitesse au sommet de la boucle

Force normale au sommet

Énergie dissipée