Constantes, unités et données · Mécanique

Cette annexe rassemble les constantes, les unités et les données numériques utilisées dans les exemples et les exercices de ce cours. Elle est conçue pour être consultée pendant la résolution d'un problème: on y cherche une valeur, on vérifie une unité, on contrôle un ordre de grandeur. Elle ne remplace ni les définitions du chapitre 1, ni le formulaire de l'annexe A.

Sources et précision

Les constantes fondamentales sont celles de l'ajustement CODATA 2018, publiées par le NIST, qui intègrent la refonte du Système international entrée en vigueur le 20 mai 2019. Depuis cette date, sept constantes ( $Δ ν_{Cs}$ , $c$ , $h$ , $e$ , $k_{B}$ , $N_{A}$ , $K_{c d}$ ) ont une valeur exacte par définition, et les unités de base en découlent. Les constantes qui ne sont pas fixées (comme $G$ , $ε_{0}$ , $μ_{0}$ ou les masses des particules) restent des grandeurs mesurées, affectées d'une incertitude; la colonne «exacte depuis 2019» distingue les deux cas.

Les valeurs sont données avec plus de chiffres qu'il n'en faut pour les calculs du cours: dans un exercice, on arrondit à trois ou quatre chiffres significatifs, ce qui est cohérent avec la précision des données d'entrée. Retenez les arrondis usuels $c \approx 3, 00 \cdot 1 0^{8}$ m/s, $G \approx 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ SI, $g \approx 9, 81$ m/s², J/(mol·K); ils suffisent presque toujours. Lorsqu'un exercice utilise m/s² pour alléger les calculs, il le précise.

Les données astronomiques proviennent des Planetary Fact Sheets de la NASA, les propriétés des matériaux du CRC Handbook of Chemistry and Physics et des tables usuelles d'ingénierie; ces dernières sont des valeurs typiques, qui varient selon la nuance de l'alliage, la température ou l'humidité. Une valeur de la section «matériaux» est donc une donnée d'exercice, pas une donnée de dimensionnement.

Convention typographique: la virgule est le séparateur décimal, l'espace sépare les groupes de trois chiffres («299 792 458»), la notation scientifique s'écrit $6, 674 \cdot 1 0^{- 11}$ .

Constantes fondamentales

Grandeur	Symbole	Valeur	Unité	Exacte depuis 2019
Vitesse de la lumière dans le vide	$c$	299 792 458	m/s	oui
Constante de gravitation	$G$	$6, 67430 \cdot 1 0^{- 11}$	m³/(kg·s²)	non ( $\pm 2, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ relatif)

Quelques remarques d'usage:

Depuis 2019, $μ_{0}$ n'est plus fixée à $4 π \cdot 1 0^{- 7}$ N/A²: elle est mesurée, et sa valeur ne diffère de $4 π \cdot 1 0^{- 7}$ que de $5, 5 \cdot 1 0^{- 10}$ en relatif. Pour ce cours, reste une excellente approximation. La relation est toujours exacte.

Unités SI

Les sept unités de base

Depuis 2019, chaque unité de base est définie en fixant la valeur numérique d'une constante. Les définitions ci-dessous sont des reformulations en une phrase de la brochure du BIPM.

Grandeur	Unité	Symbole	Définition (2019)
Temps	seconde	s	La seconde est définie en fixant la fréquence de la transition hyperfine du césium 133 à $Δ ν_{Cs} = 9192631770$ Hz.
Longueur	mètre	m	Le mètre est défini en fixant la vitesse de la lumière dans le vide à $c = 299792458$ m/s, la seconde étant définie par $Δ ν_{Cs}$ .

Le kilogramme est la seule unité de base dont le nom contient un préfixe: les multiples se forment à partir du gramme (mg, g, Mg), jamais à partir du kilogramme (on n'écrit pas «µkg»).

Unités dérivées portant un nom spécial

En mécanique et dans les chapitres voisins, on rencontre les unités dérivées suivantes. La colonne «expression en unités de base» est celle qu'il faut utiliser pour une analyse dimensionnelle.

Grandeur	Unité	Symbole	Expression usuelle	Expression en unités de base
Angle plan	radian	rad	m/m	1
Angle solide	stéradian	sr	m²/m²	1
Fréquence	hertz	Hz	s⁻¹	s⁻¹
Force	newton	N	kg·m/s²	kg·m·s⁻²
Pression, contrainte	pascal	Pa	N/m²	kg·m⁻¹·s⁻²
Énergie, travail, chaleur	joule	J	N·m	kg·m²·s⁻²
Puissance	watt	W	J/s	kg·m²·s⁻³
Charge électrique	coulomb	C	A·s	A·s
Tension, potentiel	volt	V	W/A	kg·m²·s⁻³·A⁻¹
Résistance	ohm	Ω	V/A	kg·m²·s⁻³·A⁻²
Induction magnétique	tesla	T	V·s/m²	kg·s⁻²·A⁻¹

Le radian et le stéradian sont sans dimension: on les écrit pour la clarté (ω en rad/s), mais ils disparaissent dans les calculs ( $v = ω r$ donne des m/s, pas des rad·m/s). Certaines grandeurs mécaniques n'ont pas d'unité à nom spécial: la vitesse (m/s), l'accélération (m/s²), la quantité de mouvement (kg·m/s), le moment de force (N·m, qu'on ne remplace pas par J bien que les deux soient dimensionnellement identiques), le moment cinétique (kg·m²/s = J·s), la viscosité dynamique (Pa·s).

Préfixes

Les préfixes SI multiplient l'unité par une puissance de dix. Ils s'attachent sans espace ni trait d'union (km, µs, MPa), et l'ensemble préfixe–unité se comporte comme un seul symbole: $1 km^{2} = (1 0^{3} m)^{2} = 1 0^{6} m^{2}$ .

Préfixe	Symbole	Facteur	Préfixe	Symbole	Facteur
yotta	Y	$1 0^{24}$	déci	d	$1 0^{- 1}$
zetta	Z	$1 0^{21}$	centi	c	$1 0^{- 2}$
exa

Depuis 2022, les préfixes ronna (R, $1 0^{27}$ ), quetta (Q, $1 0^{30}$ ), ronto (r, $1 0^{- 27}$ ) et quecto (q, $1 0^{- 30}$ ) complètent la liste; ils ne sont pas utilisés dans ce cours. Attention à la casse: «m» est milli et «M» méga, «k» est toujours minuscule.

Unités hors SI et conversions

Les unités suivantes sont admises avec le SI ou restent d'usage courant dans la pratique de l'ingénieur. Les facteurs marqués «exact» résultent d'une définition; les autres sont arrondis à six chiffres significatifs.

Unité	Symbole	Équivalent SI	Remarque
kilomètre par heure	km/h	$1 km/h = 1/3, 6 m/s = 0, 277778$ m/s	exact
nœud	kn	1 kn = 1 mille marin/h = 0,514 444 m/s	exact (1 852 m/h)
litre	L, l	$1 L = 1 dm^{3} = 1 0^{- 3}$ m³

Deux conversions demandent un peu d'attention:

Vitesses: pour passer de km/h en m/s, on divise par 3,6; pour passer de m/s en km/h, on multiplie par 3,6. Un TGV à 320 km/h roule à 88,9 m/s; un piéton à 5 km/h avance à 1,39 m/s.
Températures: le kelvin et le degré Celsius ont la même taille, seule l'origine change:

T [K] = θ [^{\circ} C] + 273, 15, θ_{F} [^{\circ} F] = \frac{9}{5} θ [^{\circ} C] + 32, θ [^{\circ} C] = \frac{5}{9} (θ_{F} [^{\circ} F] - 32) .

Une différence de température se convertit sans décalage: $Δ T = 10$ K équivaut à $Δ θ = 10^{\circ}$ C et à 18 °F. Dans les lois où la température apparaît comme facteur ( $p V = n R T$ , agitation thermique $\frac{3}{2} k_{B} T$ ), il faut impérativement des kelvins.

Données astronomiques

Les masses, rayons moyens et éléments orbitaux sont tirés des Planetary Fact Sheets de la NASA (valeurs arrondies à quatre chiffres). Les deux dernières colonnes, la pesanteur de surface $g = GM / R^{2}$ et la vitesse de libération $v_{l ib} = 2 GM / R$ , à partir de , du rayon moyen et de SI, puis arrondies à trois chiffres. Elles ignorent donc la rotation et l'aplatissement: pour les planètes géantes, qui sont fortement aplaties, la NASA publie des valeurs à l'équateur un peu plus faibles (24,8 m/s² pour Jupiter au lieu de 25,9). Pour le Soleil, «demi-grand axe» et «période orbitale» n'ont pas de sens (n.a.); pour la Lune, ils se rapportent à l'orbite autour de la Terre. Une période de rotation négative indique une rotation rétrograde.

Corps	Masse (kg)	Rayon moyen (km)	Demi-grand axe ( $1 0^{6}$ km)	Période orbitale	Période de rotation	$g$ (m/s²)	$v_{l ib}$ (km/s)
Soleil	$1, 989 \cdot 1 0^{30}$

Quelques données complémentaires sur la Terre, utiles aux chapitres 6 et 8:

Grandeur	Valeur
Rayon équatorial	6 378,1 km
Rayon polaire	6 356,8 km
Vitesse angulaire de rotation (jour sidéral)	$ω = 7, 292 \cdot 1 0^{- 5}$ rad/s
Vitesse orbitale moyenne autour du Soleil	29,8 km/s
Vitesse à l'équateur due à la rotation	465 m/s
Paramètre gravitationnel $G M_{T}$	$3, 986004 \cdot 1 0^{14}$ m³/s²

Les produits $GM$ sont connus avec bien plus de précision que $G$ et $M$ séparément; c'est eux qu'utilisent les calculs d'orbites. La table permet de vérifier la troisième loi de Kepler: pour la Terre, $a^{3} / T^{2} = (1, 496 \cdot 1 0^{11})^{3} / (3, 156 \cdot 1 0^{7})^{2} = 3, 36 \cdot 1 0^{18}$ m³/s², et pour Jupiter m³/s²; les deux valent bien m³/s².

Propriétés des matériaux et des fluides

Valeurs typiques à 20 °C et à la pression atmosphérique, sauf indication contraire. Les masses volumiques des solides et des liquides varient de quelques pour cent selon la composition; celles des gaz sont données à 0 °C et 101 325 Pa (conditions normales) et se ramènent à une autre température par la loi des gaz parfaits.

Masses volumiques

Solides	$ρ$ (kg/m³)	Liquides	$ρ$ (kg/m³)	Gaz (0 °C, 1 atm)	$ρ$ (kg/m³)
Osmium	22 590	Mercure	13 546	Hydrogène	0,089 9
Or	19 300	Glycérine	1 261	Hélium	0,178 6
Plomb	11 340	Eau de mer	1 025	Méthane	0,716
Cuivre	8 960	Eau (4 °C)	1 000	Air	1,293
Acier	7 850	Eau (20 °C)	998	Azote	1,251
Fer	7 870	Huile d'olive	915	Oxygène	1,429
Titane	4 510	Éthanol	789	Argon	1,784
Aluminium	2 700	Essence	720 à 750	Dioxyde de carbone	1,977
Granite	2 650 à 2 750	Air (20 °C, 1 atm)	1,204
Béton	2 300 à 2 500
Verre	2 500
Glace (0 °C)	917
Bois (chêne)	600 à 900
Bois (sapin)	400 à 500
Liège	240

Module d'Young et limite d'élasticité

Matériau	Module d'Young $E$ (GPa)	Limite d'élasticité $σ_{e}$ (MPa)	Résistance à la rupture (MPa)	Coefficient de Poisson $ν$
Acier de construction (S235)	210	235	360 à 510	0,30
Acier à haute résistance (S355)	210	355	470 à 630	0,30
Aluminium (alliage 6060)	69	160 à 215	190 à 250	0,33
Aluminium pur	69	15 à 30	40 à 90	0,33
Cuivre	120	70 (recuit)	220	0,34
Titane (Ti-6Al-4V)	114	880	950	0,34
Béton (C30/37)	32	n.a. (fragile)	30 en compression, 3 en traction	0,20
Bois (sapin, sens des fibres)	11	n.a.	40 en traction, 20 en compression	variable
Verre	70	n.a. (fragile)	30 à 90 en traction	0,22
Nylon	2 à 4	45	70	0,40
Caoutchouc	0,001 à 0,01	n.a.	15	0,49

Le module d'Young relie la contrainte $σ = F / A$ à la déformation $ε = Δ L / L$ dans le domaine élastique, $σ = E ε$ ; il fixe la raideur $k = E A / L$ d'une barre, utile pour les oscillations du chapitre 7. La limite d'élasticité $σ_{e}$ marque la fin de ce domaine: au-delà, la déformation devient permanente. Pour un matériau fragile (béton, verre), il n'y a pas de limite d'élasticité distincte de la rupture, d'où le «n.a.» de la table. Une barre d'acier de 1 m chargée à 200 MPa s'allonge de mm: les déformations élastiques des métaux sont de l'ordre du millième.

Coefficients de frottement

Coefficients statique $μ_{s}$ et cinétique $μ_{c}$ pour des surfaces sèches et propres, sauf mention. Ces valeurs dépendent fortement de l'état de surface: les fourchettes couvrent les cas usuels.

Couple de matériaux	$μ_{s}$	$μ_{c}$
Acier sur acier (sec)	0,6 à 0,8	0,4 à 0,6
Acier sur acier (lubrifié)	0,1 à 0,15	0,05 à 0,1
Acier sur glace	0,03	0,015
Aluminium sur acier	0,6	0,45
Cuivre sur acier	0,5	0,35
Bois sur bois	0,3 à 0,5	0,2 à 0,4
Bois sur béton	0,6	0,45
Caoutchouc sur béton sec	0,9 à 1,0	0,7 à 0,8
Caoutchouc sur béton mouillé	0,5 à 0,7	0,4 à 0,5
Pneu sur route verglacée	0,1 à 0,2	0,05 à 0,1
Ski fartés sur neige	0,1	0,05
Téflon sur téflon	0,04	0,04
Roue d'acier sur rail (adhérence, sec)	0,25 à 0,35	0,2
Articulation humaine (synoviale)	0,01	0,003

Rappelons l'usage de ces coefficients (chapitre 3): tant que l'objet ne glisse pas, la force de frottement statique prend la valeur imposée par l'équilibre, bornée par $F_{s} \leq μ_{s} N$ ; dès qu'il glisse, la force vaut $F_{c} = μ_{c} N$ , opposée à la vitesse relative. On a toujours , ce qui explique le démarrage brutal d'un objet qu'on pousse progressivement. Le coefficient ne dépend ni de l'aire de contact ni, en première approximation, de la vitesse; il dépend en revanche de l'humidité, de la température et de l'usure, d'où les fourchettes.

Fluides: viscosité, vitesse du son, tension superficielle

Grandeur	Valeur
Viscosité dynamique de l'eau à 20 °C	$η = 1, 002 \cdot 1 0^{- 3}$ Pa·s
Viscosité dynamique de l'eau à 0 °C / 50 °C / 100 °C	$1, 79 \cdot 1 0^{- 3}$ / $0, 547 \cdot 1 0^{- 3}$ / Pa·s

La vitesse du son dans l'air varie comme $T$ : $v \approx 20, 05 T$ m/s avec en kelvins, soit 331 m/s à 0 °C et 343 m/s à 20 °C. Dans l'eau et dans les solides, elle vaut (compression) ou (barre mince), voir chapitre 12.

Ordres de grandeur utiles

Cette table donne des repères pour contrôler la plausibilité d'un résultat: si un calcul de saut à ski donne une vitesse de 300 m/s, une erreur s'est glissée quelque part. Les valeurs sont volontairement arrondies à deux ou trois chiffres; les références suisses sont signalées.

Pour estimer un ordre de grandeur, on décompose la question en facteurs qu'on connaît à un facteur 2 ou 3 près, on multiplie, puis on compare au repère le plus proche de cette table. Par exemple, l'énergie potentielle stockée dans la Grande Dixence se retrouve à partir du volume (400 millions de m³), de la masse volumique de l'eau et de la hauteur de chute jusqu'à Bieudron (1 883 m): $4 \cdot 1 0^{11} \cdot 9, 81 \cdot 1883 \approx 7 \cdot 1 0^{15}$ J, soit environ 2 TWh, ce qui représente près de 4 % de la consommation électrique annuelle du pays.

Longueurs

Objet ou distance	Longueur (m)
Rayon d'un proton	$8, 4 \cdot 1 0^{- 16}$
Rayon de Bohr (atome d'hydrogène)	$5, 3 \cdot 1 0^{- 11}$
Distance entre atomes dans un solide	$2 \cdot 1 0^{- 10}$ à

Masses

Objet	Masse (kg)
Électron	$9, 11 \cdot 1 0^{- 31}$
Proton	$1, 67 \cdot 1 0^{- 27}$
Molécule d'eau	$3, 0 \cdot 1 0^{- 26}$

Temps

Phénomène	Durée (s)
Période d'une lumière visible	$2 \cdot 1 0^{- 15}$
Période d'une horloge d'ordinateur à 3 GHz	$3, 3 \cdot 1 0^{- 10}$
Période d'un son à 1 kHz	$1 0^{- 3}$
Temps de réaction humain	0,2 à 0,3
Période du cœur au repos

Vitesses

Mouvement	Vitesse (m/s)
Escargot	$1 0^{- 3}$
Marche	1,4
Sprint (record du 100 m)	10,4 (moyenne), 12,4 en pointe
Cabine du téléphérique du Petit Cervin	10
Skieur de descente en course	30 à 40
Sauteur à ski à la table du tremplin (Engelberg)	25 à 27
Jet d'eau de Genève à la buse	55
TGV / train Giruno	89 / 69 (320 / 250 km/h)
Vitesse du son dans l'air	343
Avion de ligne	250
Rotation de la Terre à l'équateur	465
Satellite en orbite basse	$7, 7 \cdot 1 0^{3}$
Vitesse de libération terrestre	$1, 12 \cdot 1 0^{4}$

Énergies

Phénomène	Énergie (J)
Agitation thermique d'une molécule à 20 °C ( $k_{B} T$ )	$4, 0 \cdot 1 0^{- 21}$
Photon visible	$3 \cdot 1 0^{- 19}$ à (2 à 3 eV)

Puissances

Système	Puissance (W)
Métabolisme de base d'un être humain	80 à 100
Cycliste professionnel (une heure)	400
Bouilloire électrique	$2 \cdot 1 0^{3}$
Voiture de tourisme (moteur)	$1 0^{5}$ (135 ch)
Locomotive Re 460 (CFF)	$6, 1 \cdot 1 0^{6}$
Éolienne terrestre moderne	$3 \cdot 1 0^{6}$ à

Débits et pressions

Grandeur	Valeur
Débit du Rhône à la sortie du Léman (Genève, moyenne annuelle)	250 m³/s environ
Débit du Rhône à son embouchure (Méditerranée)	1 700 m³/s environ
Débit du Rhin à Bâle (moyenne annuelle)	1 050 m³/s environ
Débit du Jet d'eau de Genève	0,5 m³/s (500 L/s)
Débit nominal de la centrale de Bieudron	75 m³/s
Pression atmosphérique au niveau de la mer	101 325 Pa
Pression atmosphérique au sommet du Cervin (4 478 m)	58 kPa environ
Pression dans un pneu de voiture (relative)	220 à 250 kPa (2,2 à 2,5 bar)
Pression au fond du Léman (310 m)	3,0 MPa (relative)
Pression à la base de la conduite forcée de Bieudron (1 883 m de chute)	18,5 MPa environ
Pression au fond de la fosse des Mariannes (11 000 m)	110 MPa environ

Alphabet grec et symboles

Les lettres grecques désignent des grandeurs précises dans ce cours; la colonne «usage» rappelle les plus fréquentes.

Minuscule	Majuscule	Nom	Usage courant en mécanique
$α$	$A$	alpha	accélération angulaire, angle
$β$	$B$	bêta	angle, coefficient d'amortissement
$γ$	$Γ$	gamma	coefficient d'amortissement, poids volumique, tension superficielle, facteur de Lorentz
$δ$	$Δ$	delta	petite variation ( $δ$ ), variation finie ( $Δ$ ), déphasage

Certaines lettres sont surchargées: $γ$ désigne le poids volumique en mécanique des sols et le coefficient d'amortissement en oscillations, $μ$ le coefficient de frottement au chapitre 3 et la masse linéique d'une corde au chapitre 12, $ν$ la fréquence ou la viscosité cinématique. Le contexte lève toujours l'ambiguïté, et chaque chapitre rappelle sa notation lorsqu'il introduit un symbole déjà utilisé ailleurs. Les majuscules qui ressemblent à des lettres latines (A, B, E, Z, H, I, K, M, N, O, P, T, X) ne sont jamais employées comme lettres grecques.

Autres symboles rencontrés dans le texte:

Symbole	Signification
$\approx$	approximativement égal à
$\sim$	de l'ordre de
$\propto$	proportionnel à
$\equiv$	égal par définition, identique à
$≫$ , $≪$	très grand devant, très petit devant
$\nabla$	opérateur nabla (gradient, divergence, rotationnel)
$\partial$	dérivée partielle
$\overset{x}{˙}$ ,

Références

Tiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., Taylor, B. N., CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018, Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); valeurs en ligne sur physics.nist.gov/constants.
Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités (SI), 9ᵉ édition, Sèvres, 2019 (mise à jour 2022 pour les nouveaux préfixes).
Rumble, J. R. (éd.), CRC Handbook of Chemistry and Physics, 104ᵉ édition, CRC Press, 2023.
Williams, D. R., NASA Planetary Fact Sheets, NASA Goddard Space Flight Center, nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet.
Institut fédéral de métrologie METAS, Unités de mesure et constantes, Berne (ressources en ligne sur les unités légales en Suisse).
Office fédéral de l'énergie OFEN, Statistique suisse de l'électricité, Berne (édition annuelle).