Dynamique de rotation et moment cinétique

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décrire la rotation d'un solide autour d'un axe fixe par l'angle, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire, et relier ces grandeurs à la vitesse et à l'accélération d'un point du solide;
calculer le moment d'une force par rapport à un point ou à un axe, reconnaître un bras de levier et un couple, et distinguer le newton-mètre du joule;
définir le moment cinétique d'un point matériel et d'un système, énoncer et démontrer le théorème du moment cinétique et appliquer sa conservation (patineuse, plongeur, planètes);
calculer le moment d'inertie de corps simples par intégration et utiliser le théorème de Huygens–Steiner;
résoudre des problèmes de dynamique de rotation avec l'équation $I α = M_{z}$ (volant, poulie massive, machine d'Atwood, tambour de téléphérique);
calculer l'énergie cinétique de rotation, le travail et la puissance d'un moment de force, et appliquer le théorème de l'énergie cinétique aux solides en rotation.

Cinématique de la rotation autour d'un axe fixe

Angle, vitesse angulaire et accélération angulaire

Les chapitres 2 à 5 traitaient de points matériels: la position d'un point suffisait à décrire son mouvement. Une roue de vélo, une pale d'éolienne, le tambour d'un téléphérique ou la Terre elle-même sont des solides: des ensembles de points dont les distances mutuelles ne changent pas. Lorsqu'un solide tourne autour d'un axe fixe, chaque point décrit un cercle centré sur l'axe, mais tous ces cercles sont parcourus en phase: un seul angle suffit à repérer le solide entier. C'est ce qui rend la rotation aussi simple, et aussi riche, que la translation rectiligne du chapitre 2.

Le radian est l'unité naturelle: un angle $θ$ en radians est le rapport de l'arc au rayon, de sorte que les formules ci-dessous ne contiennent aucun facteur de conversion. Dans la pratique industrielle, on donne souvent la vitesse de rotation $n$ en tours par minute (tr/min); on convertit par $ω = 2 π n /60$ . Ainsi $3000$ tr/min correspondent à $ω = 314$ rad/s. Lorsque $α$ est constante, les relations du mouvement uniformément accéléré du chapitre 2 se transposent mot pour mot: $ω = ω_{0} + α t$ , et .

Lien avec la vitesse et l'accélération d'un point

Un point $P$ du solide situé à la distance $R$ de l'axe parcourt un cercle de rayon $R$ : son abscisse curviligne est $s = R θ$ , donc sa vitesse vaut $v = R ω$ , tangente au cercle. Au chapitre 2, nous avons décomposé l'accélération du mouvement circulaire en une composante tangentielle et une composante normale (centripète):

v = ω \land r, a_{t} = R α, a_{n} = R ω^{2} = \frac{v ^{2}}{R} . (9.2)

La première écriture, avec le produit vectoriel, vaut pour tout point du solide, $r$ étant le vecteur position depuis un point quelconque de l'axe: $ω \land r$ est perpendiculaire à l'axe et à $r$ , donc tangent au cercle, et sa norme vaut $ω r sin φ = ω R$ , où $φ$ est l'angle entre $r$ et l'axe. Plus un point est loin de l'axe, plus il va vite: c'est la raison pour laquelle le bout d'une pale d'éolienne avance à plusieurs centaines de kilomètres à l'heure alors que le moyeu tourne lentement.

Le tableau suivant, que nous compléterons au fil du chapitre, résume l'analogie translation – rotation qui en est le fil conducteur.

Translation (chapitres 2 à 5)	Rotation autour d'un axe fixe
position $x$	angle $θ$
vitesse $v = \overset{x}{˙}$	vitesse angulaire $ω = \dot{θ}$
accélération $a = \overset{v}{˙}$

Question 9.1

Un disque dur d'ordinateur portable tourne à $5400$ tr/min. Calculez la vitesse (en m/s) d'un point situé à $R = 32$ mm de l'axe.

Moment d'une force

Définition et bras de levier

Pour ouvrir une porte, on pousse loin des gonds et perpendiculairement à la porte: une force appliquée près de l'axe, ou dirigée vers lui, ne la fait pas tourner. L'efficacité d'une force pour produire une rotation dépend donc non seulement de son intensité, mais de son point d'application et de sa direction. Le produit vectoriel du chapitre 1 est exactement l'outil qui code ces trois informations.

La figure 9.1 illustre les deux lectures équivalentes de (9.3): on peut décomposer la force en une composante $F_{∥}$ le long de $r$ , sans effet, et une composante $F_{⊥} = F sin θ$ perpendiculaire, seule active, ou bien garder toute la force et remplacer $r$ par le bras de levier $d$ . Faire glisser une force le long de sa droite d'action ne change ni ni le moment.

Somme des moments, couple, moment par rapport à un axe

Lorsqu'un solide est soumis à plusieurs forces, leurs moments par rapport à un même point s'additionnent vectoriellement: $M_{O} = \sum_{i} r_{i} \land F_{i}$ . Le moment dépend en général du point choisi: si l'on change en , on a , et en reportant dans la somme,

M_{O} = M_{O^{'}} + O O^{'} \land i \sum F_{i} . (9.5)

Le moment est indépendant du point si et seulement si la résultante des forces est nulle. C'est le cas d'un couple: deux forces opposées $F$ et $- F$ appliquées en deux points distants de $d$ (mesuré perpendiculairement aux forces) ont une résultante nulle et un moment de norme $F d$ , le même par rapport à tout point. Les deux mains sur un volant, les deux doigts qui tournent un robinet, le rotor d'un moteur électrique exercent des couples: ils font tourner sans pousser.

Pour une rotation autour d'un axe fixe $Δ$ , seule compte la composante du moment le long de l'axe: le moment par rapport à l'axe $M_{Δ} = M_{O} \cdot e_{Δ}$ , où $O$ est un point quelconque de l'axe (il ne dépend pas du choix de $O$ sur l'axe, d'après (9.5)). Une force parallèle à l'axe, ou dont la droite d'action coupe l'axe, a un moment nul par rapport à celui-ci: elle est reprise par les paliers et ne fait pas tourner. En pratique, on se ramène au plan perpendiculaire à l'axe et l'on applique (9.4).

Question 9.2

On applique une force de $100$ N à une clé de $30$ cm. Laquelle des configurations suivantes produit le plus grand moment sur le boulon?

Moment cinétique

Point matériel et théorème du moment cinétique

La deuxième loi de Newton relie la force à la dérivée de la quantité de mouvement. Pour la rotation, la grandeur qui joue le rôle de $p$ s'obtient par la même opération que pour passer de la force au moment: un produit vectoriel par $r$ .

Démonstration. La dérivée d'un produit vectoriel obéit à la règle de Leibniz (les deux facteurs se dérivent tour à tour, en respectant l'ordre): $\frac{d}{d t} (r \land p) = \dot{r} \land p + r \land \dot{p}$ . Le premier terme est , car le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. Le second vaut d'après la deuxième loi de Newton , valable dans un référentiel galiléen.

Système de points matériels

Le résultat s'étend à un système quelconque, ce qui est essentiel: c'est ce qui permet de parler du moment cinétique d'un solide, d'une patineuse ou du système solaire sans suivre chacun de leurs points.

Démonstration. Appliquons le théorème 9.1 à chaque point $i$ , soumis à la force extérieure $F_{i}^{ext}$ et aux forces intérieures $f_{ij}$ exercées par les autres points $j$ , puis sommons:

\frac{d L _{O}}{d t} = i \sum r_{i} \land F_{i}^{ext} + i \sum j \neq = i \sum r_{i} \land f_{ij} .

Dans la double somme, regroupons les termes par paires ${i, j}$ : $r_{i} \land f_{ij} + r_{j} \land f_{j i} = (r_{i} - r_{j}) \land f_{ij}$ puisque (troisième loi). Or est portée par (forme forte de la troisième loi, vérifiée par la gravitation, les forces électrostatiques et les forces de contact): le produit vectoriel est nul. Toutes les paires s'annulent et il ne reste que le moment des forces extérieures. Pour le point , on écrit ; le terme supplémentaire s'annule par définition du centre de masse (, chapitre 5).

Conservation du moment cinétique

Démonstration. C'est (9.8) avec $M_{O}^{ext} = 0$ : une dérivée nulle sur un intervalle signifie une fonction constante. Pour une force centrale, $F = F (r) e_{r}$ est colinéaire à $r$ , donc $r \land F = 0$ .

La conservation du moment cinétique pour une force centrale a deux conséquences géométriques. D'abord, $r$ reste perpendiculaire au vecteur constant $L_{O}$ : le mouvement est plan. Ensuite, en coordonnées polaires dans ce plan, $v = \overset{r}{˙} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ}$ (chapitre 2), d'où . L'aire balayée par le rayon vecteur pendant vaut , donc

\frac{d A}{d t} = \frac{r ^{2} θ ˙}{2} = \frac{L _{O}}{2 m} = constante : (9.9)

le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux. C'est la deuxième loi de Kepler, que le chapitre 6 avait énoncée comme un fait d'observation: elle exprime simplement la conservation du moment cinétique d'une planète soumise à l'attraction centrale du Soleil. Près du périhélie, $r$ est petit et $\dot{θ}$ grand; à l'aphélie, l'inverse.

Question 9.3

Un patineur tourne à $1, 5$ tr/s avec un moment d'inertie de $3, 2$ kg·m². Il ramène les bras et son moment d'inertie tombe à $0, 8$ kg·m². Quelle est sa nouvelle vitesse de rotation, en tours par seconde?

Le solide en rotation autour d'un axe fixe

Moment cinétique d'un solide et moment d'inertie

Appliquons la définition (9.6) à un solide tournant à la vitesse angulaire $ω$ autour de l'axe fixe $O z$ . Un point $i$ du solide, de masse $m_{i}$ , situé à la distance $R_{i}$ de l'axe, décrit un cercle de rayon $R_{i}$ à la vitesse . Sa contribution à la composante du moment cinétique le long de l'axe vaut : le facteur est commun à tous les points, et ce qui reste ne dépend que de la répartition des masses.

Démonstration. Prenons l'origine $O$ sur l'axe et écrivons $r_{i} = R_{i} + z_{i} e_{z}$ , où est la composante perpendiculaire à l'axe, de norme . La vitesse est perpendiculaire à et à , de norme . Alors . Le terme en est perpendiculaire à et ne contribue pas; le terme est porté par (deux vecteurs perpendiculaires à l'axe), de composante avec le signe de . Ainsi .

Le moment d'inertie joue pour la rotation le rôle de la masse pour la translation: il mesure la résistance du solide à une modification de sa vitesse angulaire. Mais, contrairement à la masse, il dépend de l'axe: la même tige est facile à faire tourner autour de son axe longitudinal et difficile à faire tourner autour d'un axe perpendiculaire, et d'autant plus que l'axe est loin de son centre. Notez que le théorème ne dit rien des composantes $L_{x}$ et $L_{y}$ : pour un solide non symétrique par rapport à l'axe (une roue mal équilibrée), $L_{O}$ n'est pas parallèle à $ω$ et tourne avec le solide, ce qui exige des paliers un moment variable: c'est le balourd que corrige l'équilibrage des roues.

Calcul de moments d'inertie par intégration

Les moments d'inertie de la sphère pleine ( $\frac{2}{5} M R^{2}$ , exercice 9.5) et de la coquille sphérique ( $\frac{2}{3} M R^{2}$ ) s'obtiennent par la même méthode, en empilant des disques ou des anneaux. Pour la Terre, le coefficient mesuré vaut au lieu de : la planète est plus dense au centre (noyau de fer) qu'en surface, et sa masse est donc plus concentrée près de l'axe qu'une sphère homogène.

Théorème de Huygens–Steiner

Les tables donnent les moments d'inertie par rapport à des axes passant par le centre de masse. Pour tout autre axe parallèle, un seul théorème suffit.

Démonstration. Choisissons les axes de sorte que $Δ_{G}$ soit l'axe $G z$ et que $Δ$ soit la droite $x = d$ , $y = 0$ , parallèle à $G z$ . Notons $R_{i} = (x_{i}, y_{i})$ la projection de la position du point (relative à ) sur le plan perpendiculaire à l'axe, et . La distance du point à est , donc

I_{Δ} = i \sum m_{i} ∥ R_{i} - d ∥^{2} = i \sum m_{i} R_{i}^{2} - 2 d \cdot i \sum m_{i} R_{i} + d^{2} i \sum m_{i} = I_{G} - 2 d \cdot i \sum m_{i} R_{i} + M d^{2} .

Le terme du milieu contient $\sum_{i} m_{i} R_{i}$ , projection de $\sum_{i} m_{i} G P_{i} = 0$ (définition du centre de masse, chapitre 5): il est nul, et il reste (9.12). Comme , le minimum est atteint pour .

Vérifions sur la tige: $I_{A} = I_{G} + M (L /2)^{2} = \frac{1}{12} M L^{2} + \frac{1}{4} M L^{2} = \frac{1}{3} M L^{2}$ , ce que l'intégration directe avait donné. Un disque tournant autour d'un axe perpendiculaire passant par son bord a pour moment d'inertie . Attention: le théorème relie toujours un axe à un autre; pour passer de l'axe à un axe quelconque, il faut passer par deux fois.

Démonstration. Pour un point de la plaque, $z_{i} = 0$ : sa distance à $O z$ est $x_{i}^{2} + y_{i}^{2}$ , sa distance à est et sa distance à est . Donc .

Par symétrie, un disque a le même moment d'inertie $I_{x} = I_{y}$ par rapport à tout diamètre; le théorème donne $2 I_{x} = \frac{1}{2} M R^{2}$ , donc : la roue d'un vélo est deux fois plus facile à faire basculer qu'à faire tourner.

L'explorateur suivant permet de vérifier toutes ces propriétés sur un système simple: une tige portant deux masses ponctuelles. Déplacez l'axe et observez comment le moment d'inertie varie en $d^{2}$ autour de son minimum au centre de masse, et comment la contribution de chaque masse dépend du carré de sa distance à l'axe.

Explorateur 9.1 · Explorateur du moment d'inertie

Une tige mince de 2 m porte deux masses ponctuelles m₁ et m₂. Déplacez l'axe de rotation et les masses: le moment d'inertie I dépend du carré des distances à l'axe, et il est minimal lorsque l'axe passe par le centre de masse (théorème de Huygens–Steiner).

Masse de la tige m_tige2,0kg

Masse m₁1,0kg

Position x₁-0,60m

Masse m₂3,0kg

Position x₂0,80m

Position de l'axe x_a0,00m

I par rapport à l'axe

2,947kg·m²

Centre de masse x_G

0,300m

I_G (axe par le centre de masse)

2,407kg·m²

Huygens–Steiner: I_G + M d²

2,947kg·m²

Rayon de giration √(I/M)

0,701m

Masse totale M

6,0kg

Question 9.4

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration du théorème de Huygens–Steiner $I_{Δ} = I_{G} + M d^{2}$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Reconnaître

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I_{G}

\sum_{i} m_{i} = M

Développer le carré:

∥ R_{i} - d ∥^{2} = R_{i}^{2} - 2 d \cdot R_{i} + d^{2}

et sommer avec les masses

m_{i}

Conclure

I_{Δ} = I_{G} + M d^{2}

et remarquer que

I_{Δ}

est minimal pour

d = 0

Écrire la distance du point

i

Δ

comme

∥ R_{i} - d ∥

, où

R_{i}

est la projection de

G P_{i}

sur le plan perpendiculaire

Constater que

\sum_{i} m_{i} R_{i} = 0

par définition du centre de masse, ce qui annule le terme croisé

Choisir des axes tels que

Δ_{G}

soit l'axe

G z

et que

Δ

soit la parallèle passant par le point

d = (d, 0)

du plan perpendiculaire

Équation du mouvement de rotation

Nous disposons maintenant de tous les ingrédients pour écrire l'analogue de $F = ma$ .

Démonstration. Projetons le théorème du moment cinétique (9.8) sur l'axe $Δ$ , en prenant pour $O$ un point de l'axe: $d L_{Δ} / d t = M_{Δ}^{ext}$ . Par le théorème 9.4, $L_{Δ} = I ω$ , et est constant puisque le solide est indéformable et l'axe fixe par rapport à lui. Donc .

Question 9.5

Un disque homogène de masse $2$ kg et de rayon $0, 3$ m tourne autour d'un axe perpendiculaire à son plan et passant par un point de son bord. Calculez son moment d'inertie en kg·m².

Énergie cinétique de rotation, travail et puissance

Énergie cinétique

Démonstration. Chaque point $i$ a la vitesse $v_{i} = R_{i} ω$ , donc $E_{c} = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω^{2} = \frac{1}{2} I ω^{2}$ . La seconde forme s'obtient en remplaçant .

La forme $L_{z}^{2} / (2 I)$ éclaire l'exemple 9.3: à moment cinétique constant, diminuer $I$ augmente l'énergie cinétique. Ce n'est pas une nouvelle forme d'énergie: l'énergie cinétique de rotation est la somme des énergies cinétiques ordinaires des points du solide, simplement regroupées grâce à la relation $v_{i} = R_{i} ω$ .

Travail et puissance d'un moment

Soit une force $F$ appliquée en un point $P$ du solide, à la distance $R$ de l'axe. Pendant une rotation $d θ$ , le point $P$ se déplace de $d r$ , tangent au cercle, de longueur $R d θ$ . Le travail élémentaire vaut $d W = F \cdot d r = F_{t} R d θ$ , où est la composante tangentielle de la force. Or est précisément le moment de par rapport à l'axe (la composante radiale et la composante axiale n'ont pas de moment). Ainsi

d W = M_{Δ} d θ, W = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} M_{Δ} d θ, P = \frac{d W}{d t} = M_{Δ} ω . (9.15)

Un moment constant qui fait tourner de $θ$ fournit le travail $W = M θ$ : c'est ici que le newton-mètre du moment devient le joule du travail, l'angle en radians étant sans dimension. La relation $P = M ω$ est celle qu'utilisent tous les constructeurs de machines tournantes.

Démonstration. Multiplions (9.13) par $ω d t = d θ$ : $I α ω d t = M_{Δ} d θ$ . Or $I α ω d t = I ω d ω = d (\frac{1}{2} I ω^{2})$ . En intégrant entre les deux instants, on obtient .

Question 9.6

Deux volants d'inertie de même masse $M$ et de même rayon $R$ tournent à la même vitesse angulaire: l'un est un disque plein, l'autre un anneau mince. Que peut-on dire de leurs énergies cinétiques?

Synthèse

La rotation autour d'un axe fixe se décrit par $θ$ , $ω = \dot{θ}$ et $α = \ddot{θ}$ ; un point à la distance $R$ de l'axe a la vitesse $v = R ω$ (soit ), l'accélération tangentielle et l'accélération centripète . Le vecteur est porté par l'axe, orienté par la règle de la main droite.

Série d'exercices du chapitre 9Exercice 1 sur 5

Question 9.7

Une patineuse en pirouette ramène ses bras le long du corps. Parmi les grandeurs suivantes, laquelle reste constante pendant cette manœuvre?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 9.1 · Démarrage d'une éolienne

Le rotor d'une éolienne, de rayon $R = 55$ m, passe du repos à sa vitesse nominale de $14$ tr/min en $60$ s, avec une accélération angulaire constante.

Calculer la vitesse angulaire nominale $ω$ et l'accélération angulaire $α$ .
Combien de tours le rotor effectue-t-il pendant la mise en vitesse?
À la vitesse nominale, calculer la vitesse du bout de pale (en m/s et en km/h) et son accélération centripète.
Pendant la mise en vitesse, quelle est l'accélération tangentielle du bout de pale? Comparer aux composantes normales à mi-parcours ( $t = 30$ s) et à la fin.

Exercice 9.2 · Moments de plusieurs forces et changement de point

Une plaque rectangulaire de $40$ cm sur $30$ cm, posée dans le plan $O x y$ avec un sommet en $O$ , est soumise à trois forces: $F_{1} = (0; 60)$ N en , N en et N en (composantes en newtons, positions en mètres).

Exercice 9.3 · Bloc, poulie massive et masse suspendue

Un bloc de masse $m_{1} = 2$ kg glisse sur une table horizontale (coefficient de frottement cinétique $μ_{c} = 0, 2$ ). Il est relié par une corde inextensible, passant sur une poulie assimilée à un disque plein de masse $M = 1$ kg et de rayon cm, à une masse suspendue kg. La corde ne glisse pas sur la poulie, dont l'axe est sans frottement. Le système est lâché sans vitesse.

Exercice 9.4 · Le Gyrobus d'Yverdon

De 1953 à 1960, la ville d'Yverdon-les-Bains a exploité des gyrobus: des autobus électriques sans caténaire, propulsés par l'énergie d'un volant d'inertie rechargé aux arrêts. On assimile le volant à un disque plein d'acier de masse $1500$ kg et de diamètre $1, 6$ m, tournant à $3000$ tr/min à pleine charge.

Calculer le moment d'inertie du volant et l'énergie cinétique stockée, en MJ et en kWh.
Le bus consomme en moyenne $30$ kW. Combien de temps peut-il rouler avant que la vitesse du volant ne tombe à $1500$ tr/min, régime minimal d'exploitation? Quelle fraction de l'énergie initiale a-t-il utilisée?
Si, sur ce parcours de $10$ minutes, le volant ralentit uniformément de $3000$ à $1500$ tr/min, quel moment de freinage constant la génératrice exerce-t-elle sur lui? Quelle est alors la puissance prélevée au début et à la fin du parcours?

Exercice 9.5 · Moment d'inertie de la sphère pleine et vérification de Huygens–Steiner

Soit une sphère pleine homogène de masse $M$ , de rayon $R$ et de masse volumique $ρ = 3 M / (4 π R^{3})$ . En la découpant en disques d'épaisseur $d z$ perpendiculaires à l'axe $O z$ , démontrer que son moment d'inertie par rapport à un axe passant par son centre vaut .

Références

Gruber, C. et Benoit, W., Mécanique générale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chap. 12–14 (moment cinétique, solide en rotation).
Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 1 – Mécanique, Chenelière Éducation, Montréal, chap. 10–11.
Benson, H., Physique I – Mécanique, De Boeck, Bruxelles, chap. 11–12 (rotation, moment cinétique).
Kleppner, D. et Kolenkow, R., An Introduction to Mechanics, 2e éd., Cambridge University Press, chap. 7 (angular momentum and fixed axis rotation).
Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics, 15e éd., Pearson, chap. 9–10.
Feynman, R. P., Leighton, R. B. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Mécanique, Dunod, Paris, chap. 18–20 (rotation, moment cinétique, gyroscope).