Cinématique du point

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• décrire le mouvement d'un point matériel par son vecteur position dans un référentiel muni d'un repère, et distinguer déplacement, distance parcourue, équation horaire et trajectoire;
• définir la vitesse et l'accélération comme dérivées du vecteur position, et lire ces grandeurs sur les graphes $x(t)$, $v(t)$ et $a(t)$;
• établir par intégration les équations du mouvement rectiligne uniforme et uniformément accéléré, et les appliquer à la chute libre et au freinage;
• résoudre les problèmes de projectile (trajectoire, portée, hauteur maximale, angle optimal) et composer des vitesses entre référentiels en translation;
• caractériser le mouvement circulaire par la vitesse angulaire, la période et l'accélération centripète, et décomposer l'accélération d'un mouvement curviligne en composantes tangentielle et normale;
• exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées polaires à l'aide de la base mobile $({\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta })$ et de ses dérivées, puis en coordonnées cylindriques et sphériques $(r,\theta ,\phi )$ pour un mouvement dans l'espace.

Position, déplacement et trajectoire

Référentiel, repère et point matériel

La cinématique décrit le mouvement sans se demander ce qui le cause: les causes (les forces) seront l'objet du chapitre 3. Décrire un mouvement suppose d'abord de dire par rapport à quoi on le décrit. Un voyageur assis dans un TGV Lyria est immobile pour son voisin, file à $300$ km/h pour un promeneur sur le quai, et tourne avec la Terre pour un observateur situé sur la Lune. Il n'existe pas de mouvement absolu: tout mouvement est relatif à un référentiel.

Un satellite ($10$ m) sur son orbite ($10^7$ m), un skieur sur une piste de $2$ km, ou la Terre sur son orbite autour du Soleil sont, à ces échelles, des points matériels. Un ski qui pivote au moment d'un virage ne l'est plus: la description de sa rotation demande les outils du chapitre 9. Dans tout ce chapitre, le mobile est un point.

Les équations horaires contiennent toute l'information: la trajectoire dit où passe le mobile, les équations horaires disent en plus quand il y passe. Deux trains qui parcourent la même voie ont la même trajectoire, mais des équations horaires différentes. La distinction est fondamentale pour comprendre, au chapitre 3, pourquoi la loi de Newton détermine l'évolution complète d'un mobile à partir de sa position et de sa vitesse initiales.

Un coureur qui boucle un tour de piste de $400$ m a parcouru $400$ m mais son déplacement est nul. Le funiculaire Lausanne–Ouchy, lui, monte en ligne droite: son déplacement a pour norme la distance parcourue.

Vitesse et accélération

Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Le TGV Lyria relie Lausanne à Paris ($540$ km de voie environ) en $3$ h $40$ min: sa vitesse moyenne scalaire vaut $540/3,667\approx 147$ km/h, soit $40,9$ m/s, bien inférieure à ses $320$ km/h de pointe sur la ligne à grande vitesse, car elle englobe les arrêts et les tronçons lents du Jura. La vitesse moyenne ne dit rien de ce qui se passe à un instant donné: pour cela, il faut rendre l'intervalle $\Delta t$ aussi petit que possible, c'est-à-dire dériver.

Dériver un vecteur revient à dériver chacune de ses composantes, car les vecteurs de base ${\mathbf{e}}_x$, ${\mathbf{e}}_y$, ${\mathbf{e}}_z$ sont fixes; nous verrons en fin de chapitre ce qui change lorsque la base elle-même dépend du temps. Géométriquement, lorsque $\Delta t\to 0$, la corde $\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}$ s'aligne sur la tangente à la trajectoire: , orienté dans le sens du mouvement. Sa norme est la dérivée de l'abscisse curviligne, , de sorte que la distance parcourue entre et vaut .

Accélération

Lire les graphes $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$

Dans un mouvement rectiligne le long de l'axe $x$, tout se lit sur trois graphes. La vitesse $v=\dot{x}$ est la pente du graphe de $x(t)$; l'accélération $a=\dot{v}$ est la pente du graphe de $v(t)$. Réciproquement, par le théorème fondamental de l'analyse (Analyse I, chapitre 10),

l'aire algébrique sous le graphe de $v(t)$ est le déplacement, et l'aire sous $a(t)$ est la variation de vitesse.

Mouvement rectiligne

Nous plaçons maintenant l'axe $x$ le long de la trajectoire rectiligne. Position, vitesse et accélération se réduisent à leurs composantes $x$, $v=\dot{x}$ et $a=\dot{v}=\ddot{x}$, algébriques (leur signe indique le sens). Le problème de la cinématique est alors: connaissant et l'état initial à , retrouver puis par deux intégrations successives.

Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Le graphe de $x(t)$ est une droite de pente $v_0$; celui de $v(t)$ une horizontale. Un train à $200$ km/h en palier sur la ligne Olten–Berne, une goutte de pluie qui a atteint sa vitesse limite, un satellite très éloigné de toute masse: tous suivent, sur des intervalles limités, un MRU. C'est aussi, nous le verrons au chapitre 3, le mouvement d'un corps soumis à une résultante de forces nulle.

Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)

Démonstration. Comme $\dot{v}=a$ est constante, $v(t)-v(0)={\int }_0^{t}a\mathrm{d}{t}^{\prime }=at$, d'où la première relation. Puis donne . Pour (2.6), on multiplie l'identité par :

On peut aussi obtenir (2.6) directement, sans passer par le temps, en écrivant $a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$, d'où et, par intégration, . Cette forme annonce le théorème de l'énergie cinétique du chapitre 4.

Chute libre

Galilée a établi, par des expériences sur des plans inclinés, que tous les corps abandonnés près de la surface de la Terre, en l'absence de résistance de l'air, tombent avec la même accélération, verticale et dirigée vers le bas, de norme

à nos latitudes ($g$ varie de $9,78$ à l'équateur à $9,83$ m/s² aux pôles, et diminue d'environ $0,003$ m/s² par kilomètre d'altitude: nous prendrons $9,81$ partout). La chute libre est donc un MRUA d'accélération $g$. Avec l'axe $y$ vertical vers le haut, $a_y=-g$ et (2.5) s'écrit

Mouvement à accélération variable

Lorsque $a$ dépend du temps, la méthode ne change pas: on intègre $a(t)$ pour obtenir $v(t)$, puis $v(t)$ pour obtenir $x(t)$, les constantes d'intégration étant fixées par les conditions initiales.

Mouvement dans le plan et dans l'espace

Indépendance des composantes

Les définitions (2.1) et (2.2) sont vectorielles: chaque composante de $\mathbf{r}$ obéit à sa propre équation, $\ddot{x}=a_x$, $\ddot{y}=a_y$, , et s'intègre indépendamment des autres. Un mouvement dans l'espace est donc la de trois mouvements rectilignes. Cette remarque, banale mathématiquement, est physiquement profonde: le mouvement horizontal d'un projectile ignore complètement son mouvement vertical. Galilée l'a illustrée par la boule lâchée du haut du mât d'un navire en mouvement, qui tombe au pied du mât et non en arrière.

Le projectile

Démonstration. Les composantes de l'accélération sont $a_x=0$ et $a_y=-g$, constantes; celles de la vitesse initiale sont $v_0\cos \alpha$ et . L'équation (2.5) appliquée à chaque axe donne (2.8): un MRU horizontal et une chute libre verticale. Comme (pour ), on tire de la première équation et l'on reporte dans la seconde:

qui est (2.9): un polynôme du second degré en $x$ à coefficient dominant négatif, donc une parabole tournée vers le bas. Le sommet est atteint lorsque $v_y=v_0\sin \alpha -gt=0$, soit $t_s=v_0\sin \alpha /g$; en reportant dans , . Le retour au sol correspond à avec , soit et : par symétrie de la parabole, la descente dure autant que la montée. La portée est d'après l'identité . Enfin, avec égalité si et seulement si , et .

Lorsque le sol est un plan incliné de pente $\beta$ passant par le point de lancement, la distance atteinte le long de la pente, pour un tir à l'angle $\alpha$ mesuré depuis l'horizontale, vaut

en montée ($\beta >0$), et l'angle optimal est ${\alpha }^{\ast }=45°+\beta /2$, c'est-à-dire la bissectrice entre la verticale et la pente. En descente, on remplace $\beta$ par $-\beta$: l'angle optimal $45°-\beta /2$ se rapproche de la pente. La démonstration de (2.11) est l'objet de l'exercice 2.6; le problème guidé applique la même méthode au saut à ski.

Vitesse relative et composition des vitesses

Revenons au voyageur du TGV. Soit $\mathcal{R}$ le référentiel du sol et ${\mathcal{R}}^{\prime }$ celui du train, en translation à la vitesse $\mathbf{u}$ par rapport au sol (tous les points du train ont la même vitesse; le cas d'un référentiel en rotation est traité au chapitre 8). Un point $M$ (le voyageur qui marche dans le couloir) a pour position $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }M}$, où est l'origine liée au train. En dérivant par rapport au temps, et puisque les axes de ne tournent pas,

C'est la loi de composition des vitesses de Galilée: la vitesse absolue (par rapport au sol) est la somme de la vitesse relative (par rapport au train) et de la vitesse d'entraînement (celle du train). En dérivant une seconde fois, ${\mathbf{a}}_{M/\mathcal{R}}={\mathbf{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}+\dot{\mathbf{u}}$: si le train roule à vitesse constante, les accélérations sont les mêmes dans les deux référentiels, ce qui, au chapitre 3, fera de tous les référentiels en translation uniforme des référentiels équivalents pour les lois de la mécanique.

Un dernier exemple classique: pour un passager d'un train roulant à $u=30$ m/s, une pluie qui tombe verticalement à $8$ m/s par rapport au sol semble arriver de l'avant avec la vitesse ${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{v}-\mathbf{u}$, inclinée de $\arctan (30/8)=75°$ sur la verticale: c'est pourquoi les gouttes dessinent sur la vitre des traînées presque horizontales (troisième exercice de la série du chapitre).

Mouvement circulaire

Vitesse angulaire, période, fréquence

Considérons un point $M$ qui décrit un cercle de centre $O$ et de rayon $R$. Sa position est repérée par l'angle $\theta (t)$ entre ${\mathbf{e}}_x$ et $\overrightarrow{OM}$, en radians, ou par l' , longueur d'arc comptée depuis le point .

Les tours par minute des moteurs et des roues se convertissent par $\omega =2\pi \cdot N_{\text{tr/min}}/60$. Une roue de vélo de $700$ mm de diamètre ($R=0,350$ m) à $36,0$ km/h $=10,0$ m/s tourne à rad/s, soit Hz ou tr/min.

Accélération centripète

Même à vitesse scalaire constante, le vecteur vitesse tourne: le mouvement circulaire est accéléré. Le calcul de cette accélération est le résultat central de la section.

Démonstration. Dans la base fixe, $\overrightarrow{OM}=R\cos \theta {\mathbf{e}}_x+R\sin \theta {\mathbf{e}}_y=R{\mathbf{e}}_r$ avec . Posons : c'est un vecteur unitaire, orthogonal à (), et se déduit de par la rotation d'angle . Dérivons par rapport au temps, en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées, :

Comme $R$ est constant, $\mathbf{v}=R{\dot{\mathbf{e}}}_r=R\omega {\mathbf{e}}_{\theta }$, tangent au cercle, de norme $R|\omega |$. En dérivant à nouveau (règle du produit),

Si $\omega$ est constante, il reste $\mathbf{a}=-R{\omega }^2{\mathbf{e}}_r$, dirigée de $M$ vers $O$, de norme $R{\omega }^2=(R\omega {)}^2/R=v^2/R$.

Le terme $-R{\omega }^2{\mathbf{e}}_r$ est l'accélération normale (ou centripète) $a_n=v^2/R$: elle fait tourner le vecteur vitesse. Le terme $R\dot{\omega }{\mathbf{e}}_{\theta }$ est l' : elle en change la norme. Les deux sont orthogonales, donc .

Mouvement circulaire uniformément accéléré

Lorsque $\dot{\omega }=\alpha$ est constante (une roue qui accélère, une turbine qui démarre), les équations de $\theta (t)$ sont formellement identiques à celles du MRUA, avec la correspondance $x\leftrightarrow \theta$, $v\leftrightarrow \omega$, $a\leftrightarrow \alpha$:

La démonstration est celle du théorème 2.1, mot pour mot. Une meule qui démarre avec $\alpha =2,00$ rad/s² atteint $\omega =10,0$ rad/s après $5,00$ s en ayant tourné de $\theta =25,0$ rad, soit $3,98$ tours. En un point de sa périphérie, l'accélération tangentielle $R\alpha$ est constante tandis que l'accélération normale croît comme et domine rapidement.

Composantes tangentielle et normale d'un mouvement curviligne

La décomposition en accélérations tangentielle et normale ne se limite pas au cercle. En chaque point d'une trajectoire courbe, notons ${\mathbf{e}}_t=\mathbf{v}/v$ le vecteur unitaire tangent et $\rho$ le rayon de courbure, rayon du cercle qui épouse le mieux la trajectoire en ce point (le cercle osculateur, infini sur une droite). En dérivant $\mathbf{v}=v{\mathbf{e}}_t$, et en admettant que ${\dot{\mathbf{e}}}_t=(v/\rho ){\mathbf{e}}_n$ avec unitaire, orthogonal à et dirigé vers le centre de courbure (c'est exactement le calcul de (2.15) sur le cercle osculateur, avec ),

L'accélération d'un mobile a donc toujours une composante tangentielle $a_t=\dot{v}$, qui mesure la variation de la vitesse scalaire, et une composante normale $a_n=v^2/\rho$, tournée vers l'intérieur de la courbe, qui mesure la variation de direction. Une voiture qui aborde un virage de rayon m à m/s en freinant à m/s² subit m/s² et m/s², soit m/s², inclinée de vers l'arrière par rapport à la normale. C'est la somme de ces deux composantes, et non seule, que doit fournir l'adhérence des pneus (chapitre 3).

Coordonnées polaires et vecteurs mobiles

La base mobile $({\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta })$

Pour un mouvement plan qui n'est pas circulaire mais possède un centre naturel (une planète autour du Soleil, une bille qui glisse sur une tige tournante), il est commode de repérer $M$ par ses coordonnées polaires $(r,\theta )$: $r=\Vert \overrightarrow{OM}\Vert \ge 0$ et $\theta$ l'angle de à , avec , . On attache à la base orthonormée directe

déjà rencontrée dans le théorème 2.3: ${\mathbf{e}}_r$ pointe de $O$ vers $M$, ${\mathbf{e}}_{\theta }$ dans le sens des $\theta$ croissants. Cette base est mobile: elle dépend de $\theta$, donc du temps. Le vecteur position s'écrit simplement $\mathbf{r}=r{\mathbf{e}}_r$, mais la dérivation doit tenir compte de la rotation de la base.

Démonstration. C'est le calcul (2.15), que nous reprenons pour le lire géométriquement. Comme ${\mathbf{e}}_r$ et ${\mathbf{e}}_{\theta }$ ne dépendent que de $\theta$, la règle de dérivation des fonctions composées donne ${\dot{\mathbf{e}}}_r=\dot{\theta }\frac{\mathrm{d}{\mathbf{e}}_r}{\mathrm{d}\theta }$, et en dérivant les composantes, ; de même . Géométriquement (figure 2.3): dériver un vecteur unitaire par rapport à l'angle dont il dépend revient à le tourner de , car un vecteur de norme constante ne peut varier que perpendiculairement à lui-même ( donne, en dérivant, ).

Vitesse et accélération en coordonnées polaires

Démonstration. Dérivons $\mathbf{r}=r{\mathbf{e}}_r$ par la règle du produit, en utilisant (2.18): $\mathbf{v}=\dot{r}{\mathbf{e}}_r+r{\dot{\mathbf{e}}}_r=\dot{r}{\mathbf{e}}_r+r\dot{\theta }{\mathbf{e}}_{\theta }$. Dérivons encore, terme à terme:

et l'on regroupe les composantes sur ${\mathbf{e}}_r$ et sur ${\mathbf{e}}_{\theta }$. $\square$

Les quatre termes de (2.20) ont chacun un sens. $\ddot{r}$ est l'accélération radiale «naïve»; $-r{\dot{\theta }}^2$ est l'accélération centripète, présente dès que le rayon vecteur tourne; $r\ddot{\theta }$ est l'accélération tangentielle due à la variation de la vitesse angulaire; et $2\dot{r}\dot{\theta }$, le , apparaît dès que le mobile s'éloigne ou se rapproche du centre : il exprime que la vitesse orthoradiale change lorsque change, même à constant. Nous le retrouverons au chapitre 8 comme force d'inertie dans un référentiel tournant.

Le cercle retrouvé. Pour $r=R$ constant, $\dot{r}=\ddot{r}=0$ et (2.19)–(2.20) redonnent exactement (2.13): $\mathbf{v}=R\dot{\theta }{\mathbf{e}}_{\theta }$ et . Pour un mouvement rectiligne passant par ( constant), il reste et .

Coordonnées cylindriques

Dans l'espace, on complète les coordonnées polaires du plan $(x,y)$ par la cote $z$: ce sont les coordonnées cylindriques $(\rho ,\phi ,z)$, avec $x=\rho \cos \phi$, $y=\rho \sin \phi$, et la base $({\mathbf{e}}_{\rho },{\mathbf{e}}_{\phi },{\mathbf{e}}_z)$ dans laquelle et sont les vecteurs et de la section précédente, rebaptisés. Comme est fixe, le vecteur position se dérive en ajoutant simplement et à (2.19) et (2.20):

C'est le cadre naturel d'une hélice (un point du filet d'une vis, un électron dans un champ magnétique uniforme, une voiture qui monte la rampe hélicoïdale d'un parking): $\rho =R$, $\dot{\phi }=\omega$ et $\dot{z}=u$ constants donnent une vitesse constante en norme, $\sqrt{R^2{\omega }^2+u^2}$, et une accélération purement centripète , horizontale, quelle que soit la pente de l'hélice.

Coordonnées sphériques

Lorsque le problème possède un centre plutôt qu'un axe (la gravitation d'une planète, chapitre 6; un point à la surface de la Terre; un pendule dont le fil pivote autour d'un point fixe), on repère $M$ par sa distance au centre et par deux angles, comme sur un globe.

Sur la Terre, avec ${\mathbf{e}}_z$ dirigé vers le pôle Nord, la colatitude est le complément de la latitude géographique $\lambda$ utilisée au chapitre 8: $\theta =90°-\lambda$. Lausanne, à $\lambda =46,52°$ N, a donc la colatitude $\theta =43,48°$. La distance de à l'axe vaut : c'est la coordonnée cylindrique , et l'on passe d'un système à l'autre par , , la longitude étant commune.

Démonstration. Les trois vecteurs ne dépendent que de $\theta$ et de $\phi$, donc $\dot{\mathbf{e}}=\dot{\theta }\partial \mathbf{e}/\partial \theta +\dot{\phi }\partial \mathbf{e}/\partial \phi$ (règle de dérivation des fonctions composées). On dérive les composantes de la définition 2.9:

• $\partial {\mathbf{e}}_r/\partial \theta =\cos \theta \cos \phi {\mathbf{e}}_x+\cos \theta \sin \phi {\mathbf{e}}_y-\sin \theta {\mathbf{e}}_z={\mathbf{e}}_{\theta }$ et ;

En regroupant, on obtient (2.21). $\square$

Ces formules se lisent géométriquement comme (2.18). Quand $\theta$ seul varie, $M$ glisse le long de son méridien et la paire $({\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta })$ tourne dans le plan méridien exactement comme la base polaire. Quand $\phi$ seul varie, toute la base tourne autour de ${\mathbf{e}}_z$ à la vitesse angulaire , et chaque vecteur varie de : on vérifie que , et .

Démonstration. On dérive $\mathbf{r}=r{\mathbf{e}}_r$ avec (2.21): $\mathbf{v}=\dot{r}{\mathbf{e}}_r+r{\dot{\mathbf{e}}}_r$, ce qui donne (2.22). On dérive ensuite chacun des trois termes de par la règle du produit:

En additionnant et en regroupant les composantes sur ${\mathbf{e}}_r$, ${\mathbf{e}}_{\theta }$ et ${\mathbf{e}}_{\phi }$, on obtient (2.23). $\square$

Synthèse

• Le mouvement d'un point se décrit, dans un référentiel muni d'un repère, par le vecteur position $\mathbf{r}(t)$; ses équations horaires contiennent plus d'information que sa trajectoire. Le déplacement $\Delta \mathbf{r}$ est un vecteur, la distance parcourue un scalaire au moins égal à sa norme.
• Vitesse $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}$ (tangente à la trajectoire) et accélération $\mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}=\ddot{\mathbf{r}}$ se dérivent composante par composante dans une base fixe. Sur les graphes rectilignes, est la pente de , la pente de , et l'aire sous est le déplacement.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Gruber, C. et Benoit, W., Mécanique générale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chap. 2–3.
• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 1 – Mécanique, Chenelière/De Boeck, chap. 2 et 4.
• Benson, H., Physique I – Mécanique, De Boeck, Bruxelles, chap. 3–4.
• Kleppner, D. et Kolenkow, R., An Introduction to Mechanics, 2e éd., Cambridge University Press, chap. 1 (vecteurs et cinématique, coordonnées polaires).
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics, Pearson, chap. 2–3.
• Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Mécanique 1, Dunod, chap. 8–9.