Référentiels non inertiels

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

énoncer le principe de relativité galiléenne, écrire la transformation de Galilée et démontrer que les lois de Newton gardent la même forme dans tous les référentiels galiléens;
établir la loi du mouvement dans un référentiel en translation accélérée et utiliser la force d'inertie d'entraînement pour traiter le pendule dans un véhicule, l'ascenseur et l'impesanteur;
dériver un vecteur dans un repère tournant et en déduire la composition des vitesses et des accélérations dans un référentiel en rotation uniforme;
définir la force centrifuge et la force de Coriolis, connaître leurs propriétés et les appliquer à un plateau tournant, à une centrifugeuse et à une station spatiale;
quantifier les effets de la rotation de la Terre: pesanteur effective, déviation du fil à plomb, déviation vers l'est d'un corps en chute, sens de rotation des cyclones, précession du pendule de Foucault;
décider, dans une situation d'ingénierie, si les forces d'inertie sont négligeables ou non.

Référentiels galiléens et relativité galiléenne

Le problème du point de vue

Les lois de Newton (chapitre 3) ont été énoncées dans un référentiel galiléen, c'est-à-dire un référentiel dans lequel un point matériel isolé est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Or l'ingénieur ne travaille presque jamais dans un tel référentiel: le laboratoire est entraîné par la rotation de la Terre, la cabine du téléphérique accélère au départ de la station, le wagon du Gornergrat freine en descente, le tambour de la centrifugeuse tourne à plusieurs milliers de tours par minute. Deux questions se posent alors. D'abord, si un référentiel est galiléen, lesquels le sont aussi? Ensuite, que deviennent les lois de la mécanique dans un référentiel qui ne l'est pas? La réponse à la seconde question est remarquablement simple: la deuxième loi de Newton reste valable, à condition d'ajouter aux forces réelles des termes correctifs, les forces d'inertie, entièrement déterminés par le mouvement du référentiel.

Transformation de Galilée

Considérons un référentiel galiléen $R$ , d'origine $O$ , et un second référentiel $R^{'}$ , d'origine $O^{'}$ , dont les axes restent parallèles à ceux de $R$ et dont l'origine se déplace à vitesse constante $V$ : on dit que $R^{'}$ est en par rapport à . En choisissant l'instant initial de sorte que à , la position d'un point dans les deux référentiels vérifie , soit

r = r^{'} + V t, t^{'} = t . (8.1)

En dérivant (8.1) par rapport au temps, qui est le même pour les deux observateurs, on retrouve la loi de composition des vitesses du chapitre 2 puis, en dérivant une seconde fois, l'égalité des accélérations:

v = v^{'} + V, a = a^{'} . (8.2)

La première relation dit qu'un voyageur marchant à $1, 5$ m/s vers l'avant d'un train roulant à $50$ m/s est vu du quai à $51, 5$ m/s. La seconde est le fait essentiel: l'accélération est la même dans tous les référentiels en translation uniforme les uns par rapport aux autres.

Invariance des lois de Newton

Démonstration. Soit un point matériel de masse $m$ soumis à la force résultante $F$ . Dans $R$ , la deuxième loi de Newton s'écrit $m a = F$ . D'après (8.2), $a = a^{'}$ , donc $m a^{'} = F$ pourvu que prenne la même valeur pour les deux observateurs. Or les forces fondamentales de la mécanique — gravitation, forces de contact, tension d'un fil, force de rappel d'un ressort, frottement visqueux — dépendent des positions relatives ou des vitesses relatives des corps, quantités invariantes par (8.1) et (8.2). La masse étant elle-même un scalaire invariant, les deux observateurs écrivent exactement la même équation. Un point isolé () a donc une accélération nulle dans , ce qui est la définition d'un référentiel galiléen.

Il existe ainsi une infinité de référentiels galiléens, tous en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres, et aucune expérience de mécanique ne permet d'en distinguer un «vrai repos». C'est le principe de relativité galiléenne: les lois de la mécanique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens.

Galilée et le navire (1632)

Dans le Dialogue sur les deux grands systèmes du monde, Galilée invite le lecteur à s'enfermer avec un ami dans la cabine d'un navire, avec des mouches, des poissons dans un bocal et une bouteille qui goutte dans un vase. Que le navire soit immobile ou qu'il avance «aussi vite que l'on veut, pourvu que le mouvement soit uniforme et sans balancement», les mouches volent de la même façon, les gouttes tombent dans le vase, et l'on saute aussi loin vers la proue que vers la poupe. Aucune expérience faite dans la cabine ne révèle le mouvement du navire. L'argument visait à répondre à l'objection classique contre le mouvement de la Terre: si elle tournait, une pierre lâchée d'une tour devrait tomber à l'ouest du pied de la tour. Elle tombe au pied — à un détail près, la déviation vers l'est que nous calculerons à la fin du chapitre, mais qui provient de la rotation et non de la translation.

Question 8.1

Un wagon roule sur une voie rectiligne à la vitesse constante de $30$ m/s. Un voyageur lâche une pomme. Que voit un observateur immobile sur le quai?

Référentiel en translation accélérée

Loi du mouvement et force d'inertie d'entraînement

Passons maintenant à un référentiel $R^{'}$ dont les axes restent parallèles à ceux d'un référentiel galiléen $R$ , mais dont l'origine $O^{'}$ suit un mouvement quelconque $r_{O^{'}} (t)$ : cabine d'ascenseur, voiture qui freine, avion en vol parabolique. La relation de Chasles donne encore $r = r_{O^{'}} + r^{'}$ , et deux dérivations successives, licites puisque les axes ne tournent pas,

v = v^{'} + v_{O^{'}}, a = a^{'} + a_{e}, avec a_{e} = \ddot{r}_{O^{'}} . (8.3)

Démonstration. Dans le référentiel galiléen, $m a = F$ . En remplaçant $a$ par $a^{'} + a_{e}$ d'après (8.3) et en isolant $m a^{'}$ , on obtient $m a^{'} = F - m a_{e}$ , ce qui est (8.4).

La force d'inertie n'est pas une interaction: aucun corps ne l'exerce, elle ne possède pas de «réaction» au sens de la troisième loi de Newton, et elle disparaît dès que l'on revient à un référentiel galiléen. Elle traduit seulement l'obstination des corps à garder leur vitesse pendant que le référentiel change la sienne: quand le tram démarre, le passager debout «est projeté» vers l'arrière parce qu'il tend à rester immobile alors que le plancher part vers l'avant. Deux propriétés la rendent cependant très commode. D'une part, elle est proportionnelle à la masse, comme le poids: tout se passe donc comme si la pesanteur $g$ était remplacée par une pesanteur apparente $g_{app} = g - a_{e}$ . D'autre part, elle est uniforme dans $R^{'}$ et, si est constante, elle dérive d'une énergie potentielle , exactement comme le poids.

Le pendule dans un train: un accéléromètre

L'ascenseur et le poids apparent

Impesanteur

Le dernier cas de l'exemple 8.2 est général. Dans un référentiel en chute libre — cabine qui tombe, capsule spatiale, station en orbite (chapitre 6) — l'accélération d'entraînement vaut exactement $g$ , si bien que $F_{e} = - m g$ compense le poids de chaque corps, quelle que soit sa masse. Les objets ne sont pas soustraits à la gravitation, qui vaut encore $8, 7 m/s^{2}$ à l'altitude de la Station spatiale internationale; ils tombent simplement tous ensemble, avec les parois qui les entourent. C'est l'impesanteur, à ne pas confondre avec une absence de pesanteur.

Liquide dans un récipient accéléré

Question 8.2

Un parfum désodorisant pend au rétroviseur d'une voiture qui accélère uniformément de $0$ à $90$ km/h en $10, 0$ s. Calculez l'angle d'inclinaison du fil par rapport à la verticale, en degrés ( $g = 9, 81$ m/s²).

Référentiel en rotation uniforme

Dériver un vecteur dans un repère tournant

Le cas de la rotation est plus subtil que celui de la translation, parce que les axes de $R^{'}$ changent de direction au cours du temps: un vecteur constant pour un observateur tournant est variable pour un observateur fixe. Considérons un référentiel $R^{'}$ de même origine $O$ qu'un référentiel galiléen $R$ , en rotation autour d'un axe fixe passant par $O$ avec le vecteur vitesse angulaire $ω$ : sa direction est celle de l'axe, son sens est donné par la règle de la main droite et sa norme $ω$ est la vitesse angulaire en rad/s (chapitre 2). Notons la base orthonormée liée à . Un point fixe de décrit dans un cercle autour de l'axe, et sa vitesse vaut (chapitre 2, mouvement circulaire): en particulier, chaque vecteur de base, de norme constante et entraîné par la rotation, vérifie

\frac{d e _{i}^{'}}{d t} = ω \land e_{i}^{'}, i = 1, 2, 3. (8.6)

Démonstration. Décomposons $A$ dans la base tournante: $A = A_{1}^{'} e_{1}^{'} + A_{2}^{'} e_{2}^{'} + A_{3}^{'} e_{3}^{'}$ . Pour l'observateur de , les vecteurs sont fixes et seules les composantes varient: . Pour l'observateur de , il faut aussi dériver les vecteurs de base, par la règle du produit:

(\frac{d A}{d t})_{R} = i = 1 \sum 3 \dot{A}_{i}^{'} e_{i}^{'} + i = 1 \sum 3 A_{i}^{'} \frac{d e _{i}^{'}}{d t} = (\frac{d A}{d t})_{R^{'}} + i = 1 \sum 3 A_{i}^{'} ω \land e_{i}^{'}

d'après (8.6). Par linéarité du produit vectoriel, la dernière somme vaut $ω \land \sum_{i} A_{i}^{'} e_{i}^{'} = ω \land A$ .

Appliquée à $A = ω$ lui-même, la formule donne $\dot{ω}_{R} = \dot{ω}_{R^{'}}$ , puisque : la dérivée du vecteur rotation est la même pour les deux observateurs.

Composition des vitesses et des accélérations

Démonstration. Appliquons (8.7) au vecteur position $r$ , le même pour les deux observateurs puisque les origines coïncident: $v = (d r / d t)_{R} = (d r / d t)_{R^{'}} + ω \land r = v^{'} + ω \land r$ , ce qui est (8.8). Appliquons ensuite (8.7) au vecteur :

a = (\frac{d v}{d t})_{R} = (\frac{d v}{d t})_{R^{'}} + ω \land v .

Calculons séparément les deux termes à partir de (8.8). Le premier, dérivée de $v^{'} + ω \land r$ par l'observateur tournant, vaut $a^{'} + \dot{ω} \land r + ω \land v^{'}$ , car et la dérivée de est la même dans les deux référentiels. Le second vaut . En additionnant, les deux termes se regroupent et l'on obtient (8.9).

Le facteur $2$ de l'accélération de Coriolis a donc une double origine: l'observateur tournant voit la vitesse d'entraînement $ω \land r$ changer parce que $r$ change (le point s'éloigne de l'axe, sa vitesse d'entraînement croît), et l'observateur fixe voit la vitesse relative $v^{'}$ tourner avec les axes.

Question 8.3

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration de la formule de composition des accélérations (8.9) pour une rotation uniforme.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

L'appliquer au vecteur vitesse

v

a = (d v / d t)_{R^{'}} + ω \land v

L'appliquer au vecteur position:

v = v^{'} + ω \land r

Regrouper les deux termes

ω \land v^{'}

pour obtenir

2 ω \land v^{'} + ω \land (ω \land r)

En déduire la formule de dérivation

(d A / d t)_{R} = (d A / d t)_{R^{'}} + ω \land A

pour tout vecteur

A

Dériver

v^{'} + ω \land r

dans

R^{'}

et développer

ω \land v

Écrire la dérivée des vecteurs de base tournants:

d e_{i}^{'} / d t = ω \land e_{i}^{'}

Forces centrifuge et de Coriolis

En multipliant (8.9) par $m$ et en utilisant $m a = F$ dans le référentiel galiléen, on obtient la loi du mouvement pour l'observateur tournant, dans le cas d'une rotation uniforme:

m a^{'} = F - m ω \land (ω \land r) - 2 m ω \land v^{'} . (8.10)

L'expression $m ω^{2} ρ e_{ρ}$ s'obtient par la formule du double produit vectoriel: $ω \land (ω \land r) = (ω \cdot r) ω - ω^{2} r = - ω^{2} (r - (r \cdot e_{ω}) e_{ω}) = - ω^{2} ρ e_{ρ}$ , le vecteur entre parenthèses étant la projection de sur le plan perpendiculaire à l'axe. Les deux forces d'inertie ont des caractères très différents:

La force centrifuge ne dépend que de la position. Elle est dirigée vers l'extérieur, perpendiculairement à l'axe, et croît comme le carré de la vitesse angulaire et comme la distance à l'axe. Elle dérive de l'énergie potentielle $E_{p, cf} = - \frac{1}{2} m ω^{2} ρ^{2}$ : un point qui s'éloigne de l'axe «descend» dans ce potentiel.

Démonstration. Le produit vectoriel $ω \land v^{'}$ est, par définition, orthogonal à $v^{'}$ ; donc $F_{C} \cdot v^{'} = - 2 m (ω \land v^{'}) \cdot v^{'} = 0$ . D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué dans (chapitre 4, valable avec les forces d'inertie incluses), la variation de est égale au travail des forces réelles et de la force centrifuge seulement.

Le plateau tournant

Le meilleur moyen de voir la force de Coriolis à l'œuvre est de lancer une bille depuis le centre d'un manège. Pour l'observateur au sol, la bille, soumise à son seul poids compensé par la réaction du plateau (frottement négligé), décrit une ligne droite à vitesse constante $v$ : elle atteint le bord, à la distance $R$ , au temps $t_{e} = R / v$ . Pour l'observateur assis sur le plateau, qui tourne de l'angle $ω t$ pendant ce temps, la bille semble décrire une courbe: en coordonnées polaires liées au plateau, $r^{'} (t) = v t$ et , une . La bille arrive au bord avec un retard angulaire par rapport au point visé; pour , et , ce retard vaut et l'accélération de Coriolis, , dépasse le tiers de . L'explorateur ci-dessous trace les deux trajectoires: essayez d'inverser le signe de et d'augmenter .

Explorateur 8.1 · Explorateur de la force de Coriolis

Une bille est lancée du centre d’un plateau tournant de rayon 3 m, avec la vitesse v par rapport au sol. Vue du sol (référentiel galiléen), elle va tout droit (trait gris). Vue du plateau, sa trajectoire se courbe: la déviation est due à la force de Coriolis −2mω ∧ v′ et, loin du centre, à la force centrifuge. Changez le signe de ω pour inverser le sens de la déviation.

Vitesse de lancement v2,0m/s

Vitesse angulaire ω1,0rad/s

Temps pour atteindre le bord R/v

1,50s

Déviation angulaire au bord ωR/v

85,9° (1,50 rad)

Accélération de Coriolis 2ωv

4,00m/s²

La centrifugeuse

Une centrifugeuse fait tourner rapidement un échantillon: dans le référentiel du rotor, tout se passe comme si la pesanteur était remplacée par la pesanteur apparente $g + ω^{2} ρ e_{ρ}$ , dont la composante radiale $ω^{2} ρ$ peut atteindre des milliers de fois $g$ . Les particules plus denses que le liquide «tombent» vers l'extérieur avec une vitesse de sédimentation proportionnelle à $ω^{2} ρ$ (chapitre 11, loi de Stokes): ce qui prendrait des heures par gravité se fait en minutes.

Gravité artificielle

Question 8.4

Une centrifugeuse de laboratoire tourne à $3000$ tr/min. Les fonds des tubes sont à $ρ = 15, 0$ cm de l'axe. Exprimez l'accélération centrifuge au fond des tubes en multiples de $g = 9, 81$ m/s².

La Terre, référentiel tournant

Vitesse angulaire de la Terre

La Terre tourne sur elle-même d'un tour par jour sidéral, $T = 23 h 56 min 4 s = 86164 s$ (le jour solaire de $24$ h inclut la fraction de tour nécessaire pour retrouver le Soleil, qui s'est déplacé sur l'écliptique). Sa vitesse angulaire vaut donc

ω_{T} = \frac{2 π}{86 164} = 7, 29 \cdot 1 0^{- 5} rad/s,

le vecteur $ω_{T}$ étant dirigé du pôle Sud vers le pôle Nord. Un référentiel lié au sol est donc en rotation, et les résultats de la section précédente s'appliquent avec cette valeur minuscule. Deux nombres fixent les ordres de grandeur: $ω_{T}^{2} R_{T} = (7, 29 \cdot 1 0^{- 5})^{2} \times 6, 371 \cdot 1 0^{6} = 3, 39 \cdot 1 0^{- 2} m/s^{2}$ , soit , pour la force centrifuge à l'équateur; et pour la force de Coriolis, soit pour une vitesse de m/s. Ces effets sont faibles, mais mesurables, et ils gouvernent la météorologie parce qu'ils s'exercent sans relâche sur des masses d'air qui ne subissent presque aucune autre force horizontale.

Pesanteur effective et fil à plomb

En un point $P$ de latitude $λ$ , la distance à l'axe vaut $ρ = R_{T} cos λ$ . Un corps immobile par rapport au sol subit l'attraction gravitationnelle $m g_{0}$ , dirigée vers le centre de la Terre (chapitre 6), et la force centrifuge $m ω_{T}^{2} R_{T} cos λ e_{ρ}$ , perpendiculaire à l'axe. Ce que mesurent une balance ou un fil à plomb est la somme des deux, divisée par : c'est la .

Démonstration. Plaçons-nous dans le plan méridien de $P$ (figure 8.3) et projetons sur la direction radiale $e_{r}$ (vers l'extérieur) et sur la direction tangente au méridien $e_{λ}$ (vers le nord). L'attraction vaut $- g_{0} e_{r}$ . La force centrifuge par unité de masse, , fait l'angle avec : sa composante radiale est et sa composante méridienne, dirigée vers l'équateur, . Ainsi

g = - (g_{0} - ω_{T}^{2} R_{T} cos^{2} λ) e_{r} - ω_{T}^{2} R_{T} cos λ sin λ e_{λ} .

La composante méridienne est d'ordre $ε g_{0}$ , donc sa contribution à la norme, $A^{2} + B^{2} = A 1 + B^{2} / A^{2} \approx A + B^{2} / (2 A)$ , est d'ordre et se néglige: on obtient (8.11). L'angle entre et vérifie au premier ordre, et pour un si petit angle.

Numériquement, avec $g_{0} = 9, 81 m/s^{2}$ : à l'équateur, $g = 9, 81 - 0, 0339 = 9, 776 m/s^{2}$ et ; aux pôles, et ; à Lausanne (), et d'arc, maximal à . La différence réelle entre les pôles () et l'équateur () est de , plus grande que les calculés: la Terre, aplatie par cette même force centrifuge, a un rayon équatorial plus grand de km, et l'attraction y est plus faible. Le fil à plomb définit la ; les géodésiens appellent «géoïde» la surface perpendiculaire en tout point à , qui sert de référence aux altitudes suisses (niveau du Repère Pierre du Niton, à Genève).

Déviation vers l'est d'un corps en chute libre

Introduisons le repère local de $P$ : $e_{x}$ vers l'est, $e_{y}$ vers le nord, $e_{z}$ vertical ascendant. Le vecteur rotation de la Terre s'y décompose en $ω_{T} = ω_{T} (0, cos λ, sin λ)$ : une composante horizontale vers le nord et une composante verticale , nulle à l'équateur et maximale au pôle.

Démonstration. Dans le référentiel terrestre, l'équation (8.10) s'écrit $m a^{'} = m g - 2 m ω_{T} \land v^{'}$ , la force centrifuge étant déjà incluse dans $g$ . La force de Coriolis est d'ordre : pour la calculer au premier ordre, il suffit d'y reporter la vitesse d'ordre zéro, c'est-à-dire celle de la chute libre ordinaire, . Avec et ,

ω_{T} \land v^{'} = ω_{T} cos λ \cdot (- g t) - sin λ \cdot 0 sin λ \cdot 0 - 0 \cdot (- g t) 0 = - ω_{T} g t cos λ e_{x},

donc $a^{'} = g + 2 ω_{T} g t cos λ e_{x}$ : la correction est horizontale, dirigée vers l'est, et croît linéairement avec le temps. En intégrant deux fois avec $x (0) = 0$ et : , puis . En remplaçant par , , d'où la seconde forme. Les termes négligés (déviation vers le sud due à la vitesse vers l'est, correction de la durée de chute) sont d'ordre .

L'interprétation est simple vue de l'espace: au sommet de la tour, à la distance $R_{T} + h$ de l'axe, le corps possède une vitesse d'entraînement vers l'est légèrement plus grande que celle du sol; conservant cette vitesse pendant sa chute, il «prend de l'avance» sur le sol. C'est l'inverse de la prédiction des adversaires de Copernic, et Gauss, puis Reich en 1831 dans un puits de mine de Freiberg ( $158, 5$ m), ont confirmé l'ordre de grandeur.

Question 8.5

Dans l'hémisphère nord, un train roule vers le nord. Vers quel côté la force de Coriolis due à la rotation de la Terre le pousse-t-elle, et lequel des deux rails s'use-t-il donc davantage?

Mouvements horizontaux: cyclones, courants et fleuves

Pour un mouvement horizontal $v^{'} = (v_{x}^{'}, v_{y}^{'}, 0)$ , la force de Coriolis a une composante horizontale $2 m ω_{T} sin λ (v_{y}^{'}, - v_{x}^{'}, 0)$ , perpendiculaire à et dirigée vers la droite dans l'hémisphère nord (), vers la gauche dans l'hémisphère sud, et une composante verticale qui allège légèrement un mobile allant vers l'est (effet Eötvös). Seule la composante verticale du vecteur rotation intervient dans la déviation horizontale: tout se passe comme si le sol tournait sur lui-même autour de la verticale à la vitesse angulaire , soit un tour en .

L'accélération $2 ω_{T} v^{'} sin λ$ étant minuscule, elle ne compte que si elle agit longtemps. Un mobile libre de toute autre force horizontale décrit, sous l'effet de Coriolis seul, un cercle d'inertie de rayon $r = v^{'} / (2 ω_{T} sin λ)$ : à , km pour m/s, km pour m/s. Les mouvements dont l'échelle dépasse la dizaine de kilomètres et la durée dépasse l'heure sont donc profondément marqués par la rotation de la Terre; les autres ne le sont pas.

Ce que la force de Coriolis explique

Cyclones et anticyclones. L'air aspiré vers une zone de basse pression (dépression, notée D sur les cartes) devrait converger en ligne droite; dévié vers la droite dans l'hémisphère nord, il finit par tourner autour de la dépression dans le sens antihoraire, la force de Coriolis équilibrant presque le gradient de pression (équilibre géostrophique). Autour d'un anticyclone, l'air s'écoule dans le sens horaire. Dans l'hémisphère sud, tout est inversé: c'est pourquoi les ouragans de l'Atlantique nord et les cyclones de l'océan Indien sud tournent en sens contraire. Sur les cartes météorologiques, le vent souffle le long des isobares, non à travers.

Alizés et courants marins. L'air qui revient vers l'équateur est dévié vers l'ouest: ce sont les alizés de nord-est. Les grands courants océaniques (Gulf Stream, Kuroshio) forment des gyres tournant dans le sens horaire dans l'hémisphère nord, et l'eau poussée par le vent dérive à $45°$ à droite de celui-ci (spirale d'Ekman).

Lit des fleuves. Selon la loi de Baer (1860), les fleuves de l'hémisphère nord qui coulent vers le nord ou le sud érodent davantage leur rive droite, la force de Coriolis y poussant l'eau. L'effet, très faible, est masqué par les méandres; l'exercice 8.4 en donne l'ordre de grandeur.

Le pendule de Foucault

En 1851, Léon Foucault suspend au dôme du Panthéon, à Paris, une sphère de $28$ kg au bout d'un fil de $67$ m et montre que le plan d'oscillation du pendule tourne lentement, dans le sens horaire vu de dessus, d'environ $11°$ par heure. C'est la première démonstration directe de la rotation de la Terre, sans observation du ciel. L'explication est immédiate au pôle: le plan d'oscillation, fixé par la gravitation et la tension du fil, toutes deux verticales ou presque, reste fixe dans le référentiel galiléen tandis que la Terre tourne dessous en un jour sidéral; pour l'observateur terrestre, c'est le plan qui semble tourner d'un tour en $23 h 56 min$ , dans le sens rétrograde.

À la latitude $λ$ , seule la composante verticale $ω_{T} sin λ$ de la rotation fait tourner le plan d'oscillation autour de la verticale, la composante horizontale $ω_{T} cos λ$ tendant à basculer ce plan autour d'un axe horizontal, ce que la pesanteur interdit. On peut le vérifier avec la force de Coriolis: pour une vitesse horizontale $v^{'}$ , sa composante horizontale est , exactement la force qu'exercerait un plateau tournant à la vitesse angulaire autour de la verticale, et le pendule «voit» le sol tourner sous lui à cette vitesse. La période de précession du plan d'oscillation vaut donc

T_{F} = \frac{2 π}{ω _{T} sin λ} = \frac{T _{sid}}{sin λ} \approx \frac{24 h}{sin λ} . (8.14)

À Paris ( $λ = 48, 85°$ ): $T_{F} = 24/0, 753 = 31, 9$ h, soit $11, 3°$ par heure, la valeur observée par Foucault. À Lausanne ( $λ = 46, 52°$ ): h, soit par heure. À l'équateur, et le plan ne tourne pas. Le pendule de Foucault du Musée d'histoire des sciences de Genève et celui de l'EPFL permettent de vérifier ces valeurs en quelques heures d'observation; la difficulté expérimentale est d'éviter que le pendule ne décrive une ellipse, ce qui produit une précession parasite bien plus rapide que celle de Foucault.

Question 8.6

Un pendule de Foucault est installé à la latitude $λ = 30, 0°$ . Combien d'heures faut-il à son plan d'oscillation pour faire un tour complet? Utilisez $24$ h pour la période de rotation de la Terre.

Balistique et artillerie

Synthèse

Les référentiels galiléens sont tous en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres; la transformation de Galilée $r = r^{'} + V t$ conserve les accélérations et les forces, donc la forme des lois de Newton (principe de relativité galiléenne).
Dans un référentiel en translation d'accélération $a_{e}$ , la deuxième loi devient $m a^{'} = F - m a_{e}$ : la force d'inertie d'entraînement, proportionnelle à la masse, revient à remplacer par la pesanteur apparente (pendule incliné de , poids apparent , impesanteur en chute libre).

Série d'exercices du chapitre 8Exercice 1 sur 5

Question 8.7

Laquelle de ces grandeurs a la même valeur dans tous les référentiels galiléens?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 8.1 · Bus qui freine

Un bus des TL freine sur une route horizontale avec une décélération constante de $1, 50 m/s^{2}$ . On prend $g = 9, 81 m/s^{2}$ .

Une poignée souple pend du plafond. De quel angle s'incline-t-elle par rapport à la verticale, et dans quel sens?
Un sac de $5, 00$ kg est suspendu à la même poignée par une sangle. Calculez la tension de la sangle pendant le freinage.

Exercice 8.2 · Pendule dans un ascenseur

Un pendule simple de longueur $L = 1, 00$ m oscille avec de petites amplitudes dans un ascenseur. On rappelle (chapitre 7) que sa période dans un laboratoire immobile vaut $T_{0} = 2 π L / g$ .

Exercice 8.3 · Bille lancée sur un plateau tournant

Un plateau horizontal de rayon $R = 3, 00$ m tourne à $ω = 1, 00 rad/s$ dans le sens trigonométrique vu de dessus. À $t = 0$ , une bille est lancée depuis le centre avec la vitesse $v = 2, 00$ m/s par rapport au ; on néglige tout frottement, de sorte que, vue du sol, elle se déplace en ligne droite à vitesse constante.

Exercice 8.4 · Fleuve, force de Coriolis et loi de Baer

Le Rhône, entre Martigny et le Léman, coule vers le nord-ouest; on assimile ici son cours à un canal rectiligne de largeur $ℓ = 200$ m, orienté plein nord, dans lequel l'eau coule uniformément à $v^{'} = 2, 00$ m/s, à la latitude $λ = 46, 2°$ ( $ω_{T} = 7, 29 \cdot 1 0^{- 5}$ rad/s).

Exercice 8.5 · Surface libre d'un liquide en rotation

Un récipient cylindrique de rayon $R = 10, 0$ cm contenant de l'eau tourne autour de son axe vertical à $n = 60, 0$ tr/min. Après un régime transitoire, l'eau tourne en bloc avec le récipient.

Dans le référentiel tournant, écrire la pesanteur apparente $g_{app} (ρ, z)$ en un point à la distance de l'axe et montrer qu'elle dérive d'une énergie potentielle par unité de masse .

Références

Gruber, C. et Benoit, W., Mécanique générale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chap. 8 (référentiels en mouvement, forces d'inertie).
Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 1 – Mécanique, Chenelière Éducation, Montréal, chap. 4 et 6.
Benson, H., Physique I – Mécanique, De Boeck, Bruxelles, chap. 6 (dynamique du mouvement circulaire et référentiels non inertiels).
Kleppner, D. et Kolenkow, R., An Introduction to Mechanics, 2e éd., Cambridge University Press, chap. 9 (Non-inertial systems and fictitious forces).
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