Dynamique du solide

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décomposer le mouvement d'un solide en une translation de son centre de masse et une rotation autour de celui-ci, et appliquer les deux théorèmes (centre de masse, moment cinétique) qui gouvernent chacune de ces parties;
calculer l'énergie cinétique d'un solide en mouvement plan grâce au théorème de König;
traduire la condition de roulement sans glissement en relations cinématiques, résoudre les problèmes de roue, de cylindre ou de sphère sur une pente, de yo-yo et de bobine, et décider à partir du coefficient de frottement statique si le solide roule sans glisser;
écrire et résoudre les conditions d'équilibre d'un solide (échelle, pont-levis, grue) et discuter la stabilité d'un équilibre;
calculer le tenseur d'inertie d'un solide, en trouver les axes principaux, en déduire le moment cinétique $L = I ω$ et l'énergie cinétique d'une rotation quelconque, et évaluer les couples qu'exerce sur ses paliers un rotor mal équilibré;
expliquer la précession d'un gyroscope, calculer sa vitesse angulaire et traiter un choc mettant en jeu un solide en rotation (centre de percussion).

Le mouvement général d'un solide

Translation et rotation

Au chapitre 5, nous avons décrit un système de points matériels par son centre de masse; au chapitre 9, nous avons étudié la rotation d'un solide autour d'un axe fixe. Le présent chapitre réunit ces deux points de vue pour traiter un solide libre de se déplacer: la roue d'un vélo qui dévale la route du Grand-Saint-Bernard, l'échelle du couvreur appuyée contre une façade, la toupie qui précesse sur la table. La clé est une décomposition simple du mouvement.

Le champ des vitesses d'un solide a une structure très particulière. Si $ω$ désigne le vecteur rotation instantané du solide, la vitesse de l'un quelconque de ses points $P$ s'écrit

v_{P} = v_{G} + ω \land GP . (10.1)

C'est la formule de distribution des vitesses (Euler): à chaque instant, le mouvement le plus général d'un solide est la superposition d'une translation à la vitesse $v_{G}$ et d'une rotation de vecteur $ω$ autour d'un axe passant par $G$ . La rotation est la même quel que soit le point choisi pour la décrire (le vecteur $ω$ est une caractéristique du solide, pas d'un point); seule la vitesse de translation dépend du point de référence. Ce que nous savons de chacun de ces deux mouvements se transpose au solide grâce à deux théorèmes.

Ce théorème a été démontré au chapitre 5 pour un système quelconque de points matériels, en sommant les lois de Newton et en utilisant le fait que les forces intérieures se compensent deux à deux (troisième loi). Il décrit la translation; il ne dit rien de la rotation, pour laquelle il faut un second énoncé.

Démonstration. Écrivons $O P_{i} = O G + G P_{i}$ et par rapport à un point fixe d'un référentiel galiléen. Le moment cinétique en se développe en quatre termes:

L_{O} = i \sum (O G + G P_{i}) \land m_{i} (v_{G} + v_{i}^{*}) = O G \land M v_{G} + O G \land i \sum m_{i} v_{i}^{*} + (i \sum m_{i} G P_{i}) \land v_{G} + L^{*} .

Par définition du centre de masse, $\sum_{i} m_{i} G P_{i} = 0$ , et en dérivant, : les deux termes croisés disparaissent et (premier théorème de König). Le théorème du moment cinétique en un point fixe (chapitre 9) donne . Or, d'une part,

\frac{d}{d t} (O G \land M v_{G}) = = 0 v_{G} \land M v_{G} + O G \land M a_{G} = O G \land \sum F^{ext}

d'après (10.2); d'autre part, $M_{O}^{ext} = \sum_{i} (O G + G P_{i}) \land F_{i}^{ext} = O G \land \sum F^{ext} + M_{G}^{ext}$ . En soustrayant, il reste exactement (10.3). Le cas plan découle de et du calcul du chapitre 9 avec l'axe passant par .

Les théorèmes 10.1 et 10.2 forment un système de six équations scalaires (trois pour la translation, trois pour la rotation) pour les six degrés de liberté du solide: le problème est «bien posé». En mouvement plan, il reste trois équations, $M a_{G x} = \sum F_{x}$ , $M a_{G y} = \sum F_{y}$ et , pour trois inconnues.

Énergie cinétique: théorème de König

Démonstration. Avec $v_{i} = v_{G} + v_{i}^{*}$ ,

E_{c} = \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∥ v_{G} + v_{i}^{*} ∥^{2} = \frac{1}{2} (i \sum m_{i}) v_{G}^{2} + v_{G} \cdot i \sum m_{i} v_{i}^{*} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∥ v_{i}^{*} ∥^{2} .

Le terme du milieu est nul, comme dans la démonstration précédente. Le dernier terme est l'énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse; pour un solide en rotation autour d'un axe passant par $G$ , $∥ v_{i}^{*} ∥ = ω r_{i}$ où $r_{i}$ est la distance de à l'axe, et (chapitre 9).

Question 10.1

Un solide est lancé en l'air en tournoyant: son centre de masse décrit une parabole. Sous quelle condition peut-on écrire $d L^{*} / d t = M_{G}$ pour son moment cinétique par rapport au centre de masse?

Roulement sans glissement

La condition cinématique

Démonstration. Plaçons l'axe $x$ le long du plan, dans le sens du mouvement, et l'axe $y$ vers le haut; la roue tourne dans le sens horaire, $ω = - ω e_{z}$ avec $ω > 0$ , et le point de contact est $GP = - R e_{y}$ . D'après (10.1),

v_{P} = v_{G} e_{x} + (- ω e_{z}) \land (- R e_{y}) = v_{G} e_{x} + ω R (e_{z} \land e_{y}) = (v_{G} - ω R) e_{x} .

La condition $v_{P} = 0$ équivaut donc à $v_{G} = ω R$ . Les deux autres relations s'obtiennent en dérivant et en intégrant par rapport au temps, avec $x_{G} = 0$ pour .

La figure 10.1 illustre une conséquence surprenante mais bien réelle de (10.1): le sommet de la roue avance à $2 v_{G}$ , tandis que le point de contact est immobile. C'est pourquoi les rayons d'une roue de vélo photographiée en mouvement sont flous en haut et nets en bas, et pourquoi la boue projetée par un pneu part du haut de la roue. Un point de la jante décrit une cycloïde, courbe dont la vitesse s'annule à chaque contact avec le sol.

Roue qui descend une pente

Considérons un solide de révolution (anneau, cylindre, sphère) de masse $M$ , de rayon $R$ et de moment d'inertie $I_{G} = k M R^{2}$ par rapport à son axe, lâché sans vitesse sur un plan incliné d'angle $α$ . Le coefficient sans dimension $k$ caractérise la répartition de la masse: $k = 1$ pour un anneau ou un cylindre creux mince, pour un cylindre plein, pour une sphère pleine, pour une sphère creuse (chapitre 9).

Démonstration (méthode dynamique). Isolons le solide. Il subit son poids $M g$ appliqué en $G$ , la réaction normale $N$ et la force de frottement statique $f$ du plan, toutes deux appliquées au point de contact $P$ . Prenons l'axe $x$ le long de la pente vers le bas. Le théorème du centre de masse projeté sur $x$ et le théorème du moment cinétique en $G$ donnent

M a_{G} = M g sin α - f, I_{G} \overset{ω}{˙} = f R,

le poids et la réaction normale ayant un moment nul en $G$ (leurs lignes d'action passent par $G$ ). La condition de roulement (10.5), $a_{G} = R \overset{ω}{˙}$ , transforme la seconde équation en $f = I_{G} a_{G} / R^{2} = k M a_{G}$ . En reportant dans la première, , d'où (10.6), puis .

Démonstration (méthode énergétique). La réaction normale ne travaille pas (perpendiculaire au déplacement) et la force de frottement statique non plus, car son point d'application $P$ a une vitesse nulle (voir le Callout suivant). Seul le poids travaille: l'énergie mécanique se conserve. Lorsque $G$ a parcouru la distance $x$ le long de la pente, il est descendu de $x sin α$ , et le théorème de König avec $ω = v_{G} / R$ donne

\frac{1}{2} M v_{G}^{2} + \frac{1}{2} k M R^{2} \frac{v _{G}^{2}}{R ^{2}} = M g x sin α ⟺ \frac{1}{2} (1 + k) v_{G}^{2} = g x sin α .

En dérivant par rapport au temps, $(1 + k) v_{G} a_{G} = g v_{G} sin α$ , ce qui redonne (10.6). Enfin, la méthode de l'axe instantané fournit une troisième preuve en une ligne: avec donne .

Le résultat (10.6) est remarquable: sur une même pente, une bille d'acier de 1 cm et une boule de pétanque arrivent en même temps, mais toutes deux battent n'importe quel cylindre plein, qui bat lui-même n'importe quel anneau. Seule la forme compte, par l'intermédiaire de $k$ . L'explorateur suivant met en scène cette course.

Explorateur 10.1 · Course de roulement sur un plan incliné

Quatre solides de même rayon partent sans vitesse du haut d'une pente de 4 m et roulent sans glisser. Faites varier l'angle α et l'instant t: l'accélération a = g sin α/(1 + k) ne dépend ni de la masse ni du rayon, mais seulement du coefficient k = I_G/(MR²). Le trait dans chaque solide montre l'angle tourné φ = x/R (pour R = 0,2 m).

Angle de la pente α20°

Instant t1,20s

a (anneau, k = 1,0)

1,68m/s²

a (cylindre creux épais, k = 0,7)

1,97m/s²

a (cylindre plein, k = 0,5)

2,24m/s²

a (sphère pleine, k = 0,4)

2,40m/s²

Arrivée (anneau)

2,18s

Arrivée (cylindre creux épais)

2,01s

Arrivée (cylindre plein)

1,89s

Arrivée (sphère pleine)

1,83s

μ_s requis, sphère (k = 0,4)

0,104

μ_s requis, anneau (k = 1)

0,182

Démonstration. La force de frottement statique ne peut pas dépasser $μ_{s} N$ (chapitre 3). La projection de (10.2) perpendiculairement à la pente donne $N = M g cos α$ , et le théorème 10.5 impose $f = \frac{k}{1 + k} M g sin α$ . La condition s'écrit , soit (10.7).

La condition (10.7) est d'autant plus facile à satisfaire que $k$ est petit: une sphère ( $k / (1 + k) = 2/7$ ) roule sans glisser sur des pentes plus raides qu'un anneau ( $k / (1 + k) = 1/2$ ). Pour $μ_{s} = 0, 3$ , une sphère roule sans glisser jusqu'à , soit , un anneau seulement jusqu'à .

Question 10.2

Une sphère pleine ( $k = 2/5$ ) est lâchée sur une pente inclinée de $30°$ , avec un frottement suffisant pour rouler sans glisser. Calculez l'accélération de son centre en m/s² ( $g = 9, 81$ m/s²).

Glissement puis roulement: la boule de billard

Lorsqu'un solide est lancé avec une vitesse qui ne satisfait pas $v_{G} = R ω$ , il glisse d'abord, et le frottement cinétique le ramène vers le roulement sans glissement.

Yo-yo et bobine

Question 10.3

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration dynamique de l'accélération $a_{G} = g sin α / (1 + k)$ d'un solide roulant sans glisser sur une pente.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Imposer la condition de roulement sans glissement

a_{G} = R \overset{ω}{˙}

, d'où

f = k M a_{G}

avec

k = I_{G} / (M R^{2})

Écrire le théorème du moment cinétique en

G

, où seul le frottement a un moment:

I_{G} \overset{ω}{˙} = f R

Vérifier a posteriori la condition de non-glissement

f \leq μ_{s} N

avec

N = M g cos α

Projeter le théorème du centre de masse le long de la pente:

M a_{G} = M g sin α - f

Éliminer

f

entre les deux équations et résoudre:

a_{G} = g sin α / (1 + k)

Isoler le solide et dessiner les trois forces: poids

M g

G

, réaction normale

N

et frottement statique

f

au point de contact,

f

dirigée vers le haut de la pente

Statique du solide

Conditions d'équilibre

Démonstration. D'après les théorèmes 10.1 et 10.2, $a_{G} = 0$ et $d L^{*} / d t = 0$ équivalent à $\sum F^{ext} = 0$ et ; partant du repos, le solide reste alors immobile. Montrons que le point de calcul du moment est libre. Pour deux points et quelconques,

M_{B} = i \sum B P_{i} \land F_{i} = i \sum (B A + A P_{i}) \land F_{i} = B A \land i \sum F_{i} + M_{A} .

Si $\sum_{i} F_{i} = 0$ , alors $M_{B} = M_{A}$ : le moment résultant ne dépend pas du point. En particulier pour tout dès que , et réciproquement.

Cette liberté est précieuse: on choisit le point $A$ de façon que le plus grand nombre possible de forces inconnues y aient un moment nul (leur ligne d'action passe par $A$ ), ce qui découple les équations.

L'échelle contre un mur

Question 10.4

Une échelle homogène est appuyée contre un mur lisse sur un sol de coefficient de frottement statique $μ_{s} = 0, 35$ . Quel est l'angle minimal (en degrés) qu'elle doit faire avec le sol pour ne pas glisser, personne ne se trouvant dessus?

Pont-levis, grue et contrepoids

Stabilité de l'équilibre

Pour un solide posé sur un plan, la règle est géométrique: l'équilibre existe tant que la verticale du centre de masse tombe à l'intérieur de la base de sustentation (le polygone convexe enveloppant les points d'appui), et il est d'autant plus stable que le centre de masse est bas et la base large. Un cône posé sur sa base est stable, sur sa pointe instable, couché sur sa génératrice indifférent. Le funambule abaisse son centre de masse avec son balancier; une voiture de course a un centre de masse à 30 cm du sol, un camion chargé à près de 2 m.

Rotation dans l'espace: le tenseur d'inertie

Jusqu'ici, nous avons écrit $L = I ω$ comme si le moment cinétique était toujours parallèle au vecteur rotation. Le chapitre 9 avait pourtant prévenu: le théorème 9.4 ne donne que la composante $L_{z}$ le long de l'axe, et pour une roue mal équilibrée $L$ n'est pas parallèle à $ω$ . Cette section dit exactement quand $L$ et $ω$ sont parallèles, comment calculer $L$ quand ils ne le sont pas, et pourquoi c'est l'affaire des ingénieurs qui équilibrent les roues de voiture, les rotors de turbine et les tambours de machine à laver.

Moment cinétique d'un solide autour d'un point fixe

Considérons un solide qui tourne autour d'un point fixe $O$ avec le vecteur rotation $ω$ (direction quelconque), ou bien le mouvement d'un solide libre autour de son centre de masse, avec $O = G$ et les vitesses relatives $v_{i}^{*}$ du théorème 10.2. Le point $P_{i}$ , de position , a la vitesse d'après (10.1). Avec la formule du double produit vectoriel ,

L_{O} = i \sum m_{i} r_{i} \land (ω \land r_{i}) = i \sum m_{i} [r_{i}^{2} ω - (r_{i} \cdot ω) r_{i}] .

Le second terme montre d'emblée que $L_{O}$ n'a aucune raison d'être parallèle à $ω$ : il ajoute à $ω$ des vecteurs dirigés selon les positions $r_{i}$ . En revanche, $L_{O}$ dépend de : en composantes, , et de même pour et . Une application linéaire se représente par une matrice.

Démonstration. La relation (10.10) est le calcul qui précède la définition 10.5, écrit pour les trois composantes. Pour l'énergie, $E_{c} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} (ω \land r_{i}) \cdot (ω \land r_{i})$ . Par la propriété du produit mixte avec , et , chaque terme vaut , et la somme donne . Enfin, pour , le solide tourne autour de l'axe et le chapitre 9 donne ; en comparant avec , on obtient .

Retrouvons le chapitre 9. Pour une rotation autour de l'axe $O z$ , $ω = ω e_{z}$ et (10.10) donne

L_{O} = ω (I_{x z} e_{x} + I_{y z} e_{y} + I_{z z} e_{z}) .

La composante axiale $L_{z} = I_{z z} ω$ est exactement le théorème 9.4. Les composantes transversales, proportionnelles aux produits d'inertie $I_{x z}$ et $I_{y z}$ , sont celles que le chapitre 9 avait laissées de côté: elles sont nulles si et seulement si est parallèle à l'axe de rotation.

Axes principaux d'inertie

Démonstration. La matrice $I_{O}$ est réelle et symétrique. Le théorème spectral (cours d'Algèbre linéaire) affirme qu'une telle matrice possède une base orthonormée de vecteurs propres, dans laquelle elle est diagonale; ses valeurs propres sont les moments d'inertie par rapport aux axes correspondants, $I_{k} = e_{k}^{T} I_{O} e_{k} = \sum_{i} m_{i} R_{ik}^{2} \geq 0$ , où est la distance de à l'axe . Dans cette base, (10.10) et (10.11) prennent la forme diagonale annoncée. Enfin, signifie pour un réel , c'est-à-dire que est un vecteur propre; si les valeurs propres sont distinctes, les seuls vecteurs propres sont les multiples de , et .

Lorsque deux moments principaux sont égaux, par exemple $I_{1} = I_{2}$ , toute direction du plan $(e_{1}, e_{2})$ est un axe principal; lorsque les trois sont égaux, toutes les directions le sont, et pour toute rotation. En pratique, on trouve presque toujours les axes principaux sans diagonaliser, par la symétrie.

C'est ce résultat qui justifie toutes les formules $L = I ω$ des chapitres 9 et 10: une roue qui tourne autour de son axe, un cylindre qui roule, un gyroscope qui tourne vite autour de son axe de symétrie tournent tous autour d'un axe principal. Lorsque ce n'est plus le cas, le vecteur $L$ n'est plus porté par l'axe de rotation et il tourne avec le solide, comme le montre la figure 10.3.

Un solide mal équilibré: couples sur les paliers

Si un solide tourne à vitesse angulaire constante $ω$ autour d'un axe fixe, son tenseur d'inertie dans un repère lié au solide est constant, et donc $L_{O}$ aussi par rapport au solide. Dans le référentiel fixe, un vecteur lié à un solide en rotation varie comme les vecteurs de base au chapitre 2 (2.21): $d L_{O} / d t = ω \land L_{O}$ . Le théorème du moment cinétique exige alors un moment extérieur

M_{O}^{ext} = ω \land L_{O},

nul si et seulement si $L_{O} ∥ ω$ , c'est-à-dire si l'axe de rotation est un axe principal. Ce moment, perpendiculaire à l'axe et qui tourne avec le solide, ne peut venir que des paliers.

Équilibrage statique et équilibrage dynamique

Un rotor est statiquement équilibré si son centre de masse est sur l'axe: aucune force résultante ne tourne avec lui, et il reste en équilibre dans toutes les positions quand on le pose sur des paliers à l'arrêt. Il est dynamiquement équilibré si, de plus, l'axe de rotation est un axe principal d'inertie: les produits d'inertie $I_{x z}$ et $I_{y z}$ sont nuls et aucun couple ne tourne avec lui. L'haltère de l'exemple 10.8 est équilibrée statiquement mais pas dynamiquement, et seule une mesure en rotation peut le révéler. C'est pourquoi le garagiste équilibre une roue de voiture sur une machine qui la fait tourner, et fixe des masselottes de plomb ou de zinc sur flancs de la jante: corriger un produit d'inertie demande deux masses dans deux plans différents. À km/h, une roue de m de rayon tourne à environ rad/s, et les efforts croissent comme .

Démonstration. Écrivons $A P_{i} = d + r_{i}^{'}$ avec , et . Chaque élément de est une somme de termes quadratiques en les coordonnées de ; en développant, les termes croisés, linéaires en , disparaissent après sommation, exactement comme dans la démonstration du théorème 9.5. Il reste les termes en seul, qui forment , et les termes en seul, qui forment le tenseur d'inertie d'un point de masse placé en , .

Les éléments diagonaux redonnent le théorème 9.5 ( $d_{y}^{2} + d_{z}^{2}$ est le carré de la distance entre les deux axes parallèles à $O x$ ). Les produits d'inertie, eux, sont modifiés dès que $d$ a deux composantes non nulles: un axe principal en $G$ n'est en général plus principal en un autre point. Une roue parfaitement équilibrée mais montée excentrée sur son arbre ( perpendiculaire à l'axe) reste sans produit d'inertie selon l'axe et ne subit «que» la force tournante du balourd statique; une roue voilée (axe de révolution incliné sur l'arbre) a un produit d'inertie et subit un couple, comme l'haltère.

Question 10.5

Une plaque rectangulaire homogène, non carrée, tourne à vitesse angulaire constante autour d'un axe passant par son centre. Pour lequel de ces axes le moment cinétique n'est-il pas parallèle à $ω$ , de sorte que les paliers subissent un couple tournant?

Question 10.6

Une haltère formée de deux masses de $1, 0$ kg aux extrémités d'une tige sans masse de $0, 50$ m de long est soudée en son milieu sur un arbre, en faisant l'angle $α = 45°$ avec lui. L'arbre tourne à $20$ rad/s. Calculez le moment (en N·m) que les paliers doivent exercer sur l'arbre.

Gyroscope et précession

Le moment cinétique d'une roue rapide

Une roue de moment d'inertie $I$ tournant à la vitesse angulaire $ω$ autour de son axe possède le moment cinétique $L = I ω$ , dirigé le long de l'axe, puisque l'axe d'un solide de révolution est un axe principal d'inertie (théorème 10.9). Si $ω$ est grand, $L$ est grand, et la loi $d L / d t = M$ implique qu'un moment de force donné ne modifie la direction de l'axe que lentement: l'axe d'une roue rapide est «rigide». C'est le principe du gyroscope, dont le comportement, contraire à l'intuition, découle pourtant directement du théorème du moment cinétique.

Démonstration. Les forces extérieures sont le poids $m g$ en $G$ et la réaction du pivot en $O$ . Cette dernière a un moment nul en $O$ , point fixe; le moment du poids vaut $M_{O} = O G \land m g$ , vecteur de norme , perpendiculaire à l'axe (figure 10.4). Le théorème du moment cinétique en s'écrit , avec dirigé le long de l'axe. Comme est perpendiculaire à , la variation est perpendiculaire à : la norme de ne change pas (), seule sa direction tourne, et elle tourne dans le plan horizontal puisque est horizontal. Pendant , l'extrémité de décrit l'arc sur un cercle de rayon , ce qui correspond à l'angle . La vitesse angulaire de précession est donc , constante. Sous forme vectorielle, avec , on vérifie que : l'équation du mouvement de est celle d'un vecteur de norme constante en rotation uniforme autour de la verticale.

L'approximation $L \approx I ω$ néglige le moment cinétique dû à la précession elle-même, de l'ordre de $I^{'} Ω$ avec $I^{'}$ le moment d'inertie par rapport à la verticale: elle est légitime si $Ω ≪ ω$ , ce que l'on appelle l'approximation gyroscopique. Le résultat (10.12) montre qu'elle est auto-cohérente pour $ω$ grand, puisque décroît comme . On démontre à l'exercice 10.6 que ne dépend pas de l'inclinaison de l'axe. Le comportement du gyroscope est paradoxal au premier abord: on s'attend à ce que la roue tombe, et elle se déplace . Il n'y a pourtant aucun mystère: la force est bien verticale, mais c'est le qui compte pour la rotation, et le moment d'une force verticale est horizontal.

Stabilité gyroscopique et applications

Du vélo au smartphone

Toupie. Une toupie est un gyroscope dont l'axe est incliné; le moment du poids par rapport à la pointe la fait précesser au lieu de tomber, tant qu'elle tourne vite. Quand la toupie ralentit, la précession s'accélère, la nutation apparaît et la toupie finit par se coucher.
Vélo. Les roues d'un vélo sont des gyroscopes qui contribuent à sa stabilité: si le vélo penche à gauche, le moment du poids fait précesser la roue avant vers la gauche, ce qui engage le virage et redresse le vélo. Ce n'est toutefois qu'une partie de l'explication, la géométrie de la fourche (chasse) joue un rôle au moins aussi important.
Navigation inertielle. Un gyroscope à suspension à la Cardan, isolé de tout moment extérieur, conserve la direction de son axe quel que soit le mouvement du véhicule: il fournit une référence d'orientation aux avions, aux navires et aux fusées. Les centrales inertielles modernes utilisent des gyromètres à fibre optique ou à laser, et les smartphones des gyromètres MEMS qui mesurent la vitesse de rotation par la force de Coriolis (chapitre 8) agissant sur une masse vibrante, sans aucune roue.
Précession des équinoxes. La Terre est un gyroscope aplati aux pôles; l'attraction de la Lune et du Soleil sur son bourrelet équatorial exerce un moment qui fait précesser son axe de rotation autour de la perpendiculaire à l'écliptique, avec une période d'environ $25800$ ans (Hipparque, vers 130 av. J.-C.). L'étoile polaire n'est donc pas éternelle: dans $12000$ ans, ce sera Véga.
Moteurs d'avion. Le rotor d'un moteur ou d'une hélice est un gyroscope: lorsque le pilote fait tourner l'avion en lacet, le moment qu'il applique produit une rotation en tangage (perpendiculaire), et réciproquement. Les monoplaces de 1917 à moteur rotatif, dont tout le bloc-cylindres tournait avec l'hélice, viraient pour cette raison beaucoup plus vite d'un côté que de l'autre.

Le mouvement complet d'une toupie ou d'un gyroscope, sans l'approximation $Ω ≪ ω$ , fait apparaître, superposée à la précession, une oscillation rapide de l'inclinaison de l'axe, la nutation; sa théorie (Euler, Lagrange) dépasse le cadre de ce cours.

Question 10.7

Le disque d'un gyroscope pesant ralentit progressivement à cause du frottement des paliers. Comment évolue la vitesse de précession $Ω$ , tant que l'approximation gyroscopique reste valable?

Chocs et rotation

Conservation du moment cinétique lors d'un choc

Lors d'un choc, les forces de contact sont très grandes pendant une durée très courte. Comme au chapitre 5, on néglige pendant cette durée les forces ordinaires (poids, frottement) devant les forces de choc. Si le solide est monté sur un pivot fixe $O$ , la force du pivot est elle aussi une force de choc, mais son moment en $O$ est nul: le moment cinétique par rapport au pivot est conservé pendant le choc, alors que la quantité de mouvement ne l'est pas. Le choix du point $O$ est donc dicté par la géométrie.

Le centre de percussion

Qui a frappé une balle avec une batte ou planté un clou avec un marteau sait qu'il existe un point de l'outil où l'impact ne «pique» pas les mains: le centre de percussion. La statique du choc l'explique.

Démonstration. Pendant le choc, le solide reçoit la percussion $J$ au point d'impact et la percussion $J_{O}$ du pivot (toutes deux perpendiculaires à $O G$ , prises dans le même sens). Les théorèmes du centre de masse et du moment cinétique en $O$ , intégrés sur la durée du choc, donnent

M Δ v_{G} = J + J_{O}, I_{O} Δ ω = J ℓ,

la percussion du pivot n'ayant pas de moment en $O$ . Comme le solide tourne autour de $O$ , $Δ v_{G} = h Δ ω$ . En éliminant $Δ ω$ ,

J_{O} = M h Δ ω - J = J (\frac{M h ℓ}{I _{O}} - 1),

qui s'annule si et seulement si $ℓ = I_{O} / (M h)$ . Pour la tige, $I_{O} = \frac{1}{3} M L^{2}$ et donnent .

Pour $ℓ < ℓ_{p}$ , $J_{O}$ est de sens opposé à $J$ (le pivot retient le solide); pour $ℓ > ℓ_{p}$ , il est de même sens. D'après le théorème de Huygens–Steiner, , donc : le centre de percussion est toujours au-delà du centre de masse. Une batte de baseball frappée à son centre de percussion ne transmet aucune secousse aux mains (c'est le ); un marteau bien conçu a sa tête au centre de percussion par rapport au poignet; et le point d'impact du marteau du pendule de Charpy (essai de résilience) est placé au centre de percussion pour que l'axe ne subisse aucun effort. Remarquez enfin que est aussi la longueur du pendule simple synchrone du pendule pesant (chapitre 7): ce n'est pas un hasard, les deux calculs font intervenir le même rapport .

Synthèse

Le mouvement d'un solide se décompose en la translation de son centre de masse, régie par $M a_{G} = \sum F^{ext}$ , et une rotation autour de $G$ , régie par $d L^{*} / d t = M_{G}^{ext}$ , valable même si accélère. En mouvement plan: . L'énergie cinétique vaut (König).

Série d'exercices du chapitre 10Exercice 1 sur 5

Question 10.8

Un anneau, un cylindre plein et une sphère pleine, de masses et de rayons différents, sont lâchés en même temps du haut d'une même pente et roulent sans glisser. Dans quel ordre arrivent-ils en bas?

Exercices

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Exercice 10.1 · Énergie cinétique d'un vélo

Un cycliste et son vélo ont une masse totale de $80$ kg (roues comprises). Chaque roue, de masse $1, 2$ kg et de rayon $0, 33$ m, est assimilée à un anneau. Le vélo roule à $25$ km/h sur une route horizontale.

Calculer la vitesse angulaire des roues et l'énergie cinétique (translation et rotation) de l'une d'elles.
Calculer l'énergie cinétique totale du système et la fraction due à la rotation des roues.
Le cycliste remplace ses roues par des roues de $0, 9$ kg. De combien l'énergie cinétique à $25$ km/h diminue-t-elle? Comparer avec l'effet d'une perte de $0, 6$ kg sur le cadre.

Exercice 10.2 · Identifier un solide à sa vitesse d'arrivée

Un solide de révolution inconnu (masse $M$ , rayon $R$ ) est lâché sans vitesse en haut d'une pente inclinée de $25°$ et longue de $2, 0$ m. On mesure sa vitesse en bas: $v = 3, 3$ m/s. On suppose qu'il roule sans glisser.

Déterminer le coefficient $k = I_{G} / (M R^{2})$ et identifier la forme du solide.

Exercice 10.3 · Potence d'enseigne

Une poutre horizontale homogène de masse $m_{b} = 15$ kg et de longueur $L = 2, 4$ m est articulée à un mur en $O$ . Un câble, fixé à la poutre à $1, 8$ m de $O$ et au mur au-dessus de , fait un angle de avec la poutre. Une enseigne de masse kg est suspendue à l'extrémité libre de la poutre.

Exercice 10.4 · Où frapper une boule de billard?

Une boule de billard (masse $M$ , rayon $R$ , $I_{G} = \frac{2}{5} M R^{2}$ ) est frappée horizontalement par la queue en un point situé à la hauteur au-dessus de son centre. La percussion est très brève, de sorte que le frottement du tapis est négligeable pendant le choc.

Exercice 10.5 · Plaque rectangulaire tournant autour de sa diagonale

Une plaque mince homogène de masse $M = 2, 0$ kg, de côtés $a = 0, 40$ m et $b = 0, 30$ m, est soudée sur un arbre qui passe par deux coins opposés: l'arbre est porté par la diagonale, longue de $0, 50$ m, et les paliers sont placés à ces deux coins. L'arbre tourne à $ω = 20, 0$ rad/s. On prend le centre de la plaque pour origine, parallèle au côté , parallèle au côté et perpendiculaire à la plaque.

Exercice 10.6 · Précession du gyroscope: démonstration vectorielle

Un gyroscope est constitué d'un disque de masse $m$ et de moment d'inertie $I$ par rapport à son axe, tournant à la vitesse angulaire $ω$ , monté sur un axe sans masse dont l'extrémité $O$ repose sur un pivot. Le centre de masse $G$ est à la distance $d$ de $O$ , et l'axe fait l'angle $θ$ avec la verticale ascendante $e_{z}$ (pour , l'axe est horizontal). On note le vecteur unitaire de l'axe, orienté de vers , et l'on admet l'approximation gyroscopique .

Références

Gruber, C. et Benoit, W., Mécanique générale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chap. 12–14 (dynamique du solide, gyroscope).
Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 1 – Mécanique, Chenelière Éducation, Montréal, chap. 11–12 (roulement, moment cinétique, équilibre).
Benson, H., Physique I – Mécanique, De Boeck, Bruxelles, chap. 12–13.
Kleppner, D. et Kolenkow, R. J., An Introduction to Mechanics, 2e éd., Cambridge University Press, chap. 7–8 (rigid body motion, gyroscopes).
Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics, 15e éd., Pearson, chap. 10–11.
Feynman, R. P., Leighton, R. B. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Mécanique 1, Dunod, Paris, chap. 20 (rotation dans l'espace, gyroscope).

Objectifs du chapitre

Le mouvement général d'un solide

Translation et rotation

Énergie cinétique: théorème de König

Roulement sans glissement

La condition cinématique

Roue qui descend une pente

Glissement puis roulement: la boule de billard

Yo-yo et bobine

Statique du solide

Conditions d'équilibre

L'échelle contre un mur

Pont-levis, grue et contrepoids

Stabilité de l'équilibre

Rotation dans l'espace: le tenseur d'inertie

Moment cinétique d'un solide autour d'un point fixe

Axes principaux d'inertie

Un solide mal équilibré: couples sur les paliers

Gyroscope et précession

Le moment cinétique d'une roue rapide

Stabilité gyroscopique et applications

Chocs et rotation

Conservation du moment cinétique lors d'un choc

Le centre de percussion

Synthèse

Exercices

Références

Accélération du centre de masse

Vitesse en bas de la pente

Force de frottement statique

Coefficient de frottement minimal