Résistance au cisaillement

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• énoncer le critère de rupture de Mohr-Coulomb en contraintes effectives et en contraintes totales, et l'exploiter sur le cercle de Mohr;
• expliquer l'origine physique de la résistance au cisaillement (contacts et chaînes de forces, frottement, enchevêtrement, dilatance) et la différence entre résistance de pic, d'état critique et résiduelle;
• décrire les essais de cisaillement direct et triaxial (UU, CU, CD) et interpréter leurs résultats pour obtenir $c^{\prime }$, ${\phi }^{\prime }$ ou $c_u$;
• choisir entre une analyse drainée et une analyse non drainée selon le sol et l'échéance considérée;
• utiliser les valeurs typiques et les facteurs partiels de la norme SIA 267 pour passer des valeurs caractéristiques aux valeurs de calcul.

La rupture des sols par cisaillement

Un sol ne se rompt pratiquement jamais par traction ni par écrasement: il se rompt par glissement d'une masse de sol sur une autre le long d'une surface où la contrainte de cisaillement atteint la résistance disponible. Le glissement de terrain de la Cité à Lausanne ou les ruptures de talus dans les moraines du Plateau, le poinçonnement d'une fondation dans une argile lacustre, le basculement d'un mur de soutènement poussé par son remblai: tous ces mécanismes se ramènent à un problème de résistance au cisaillement. Elle est, avec la compressibilité, la propriété mécanique fondamentale des sols.

Le critère de Mohr-Coulomb

Coulomb a observé dès 1773 que la résistance au cisaillement d'un sol sur un plan croît linéairement avec la contrainte normale qui s'exerce sur ce plan. Terzaghi a précisé, un siècle et demi plus tard, que c'est la contrainte normale effective qui compte, puisque seul le squelette solide transmet du frottement.

Dans le plan $({\sigma }^{\prime },\tau )$, l'équation (7.1) est une droite appelée enveloppe de rupture (figure 7.1). L'état de contrainte en un point est représenté par un cercle de Mohr (chapitre 5); tant que le cercle reste sous l'enveloppe, le sol est stable; lorsqu'il vient la toucher, la rupture se produit sur la facette correspondant au point de tangence. Le cercle ne peut jamais couper l'enveloppe.

La géométrie du cercle tangent fournit deux résultats essentiels. Le rayon vaut $({\sigma }_1^{\prime }-{\sigma }_3^{\prime })/2$ et le centre est en $({\sigma }_1^{\prime }+{\sigma }_3^{\prime })/2$; la condition de tangence s'écrit

ce qui, après réarrangement, donne la relation entre contraintes principales à la rupture:

Le coefficient $N_{\phi }={\tan }^2(45°+{\phi }^{\prime }/2)=(1+\sin {\phi }^{\prime })/(1-\sin {\phi }^{\prime })$ réapparaîtra dans les coefficients de poussée et de butée (chapitre 10) et dans les facteurs de portance (chapitre 11). Par ailleurs, le point de tangence se trouve à l'angle du centre, mesuré depuis l'axe des : la fait donc un angle

avec le plan sur lequel agit la contrainte principale majeure ${\sigma }_1^{\prime }$. Pour ${\phi }^{\prime }=30°$, $\theta =60°$: dans une éprouvette triaxiale comprimée verticalement, la fissure de rupture est inclinée d'environ 60° sur l'horizontale, ce que l'on observe effectivement.

Le critère en conditions non drainées

Lorsqu'une argile saturée est chargée trop vite pour que l'eau interstitielle puisse s'échapper, son volume ne peut changer et sa résistance ne dépend pas de la contrainte totale appliquée: toute augmentation de $\sigma$ est reprise par l'eau, et ${\sigma }^{\prime }$ reste inchangée. Le critère s'écrit alors en contraintes totales:

où $c_u$ est la résistance au cisaillement non drainée (ou cohésion non drainée). Dans le plan $(\sigma ,\tau )$, l'enveloppe est horizontale et tous les cercles de Mohr à la rupture ont le même diamètre ${\sigma }_1-{\sigma }_3=2c_u$. Il faut bien comprendre que n'est pas une propriété intrinsèque du sol, mais l'expression, en contraintes totales, de la résistance frottante du squelette sous la contrainte effective qui règne dans l'échantillon au moment de l'essai. Elle dépend donc de la profondeur (via ) et de l'histoire du sol (via l'OCR), comme nous le verrons plus loin.

Origine physique de la résistance

Frottement, enchevêtrement et dilatance

À l'échelle des grains, la résistance au cisaillement d'un sol grenu a deux origines: le frottement aux contacts entre grains (angle de frottement interparticulaire ${\phi }_{\mu }$, de l'ordre de 20 à 30° pour le quartz) et l'enchevêtrement des grains, qui doivent se soulever les uns par-dessus les autres pour glisser. Ce second mécanisme dépend de la compacité: un sable dense doit augmenter de volume pour se cisailler (dilatance), ce qui consomme du travail et augmente la résistance apparente; un sable lâche, au contraire, se resserre (contractance).

Taylor (1948) a formalisé cette idée: la résistance de pic d'un sable dense vaut approximativement

où ${\phi }_{cv}^{\prime }$ est l'angle de frottement à volume constant (ou d'état critique) et $\mathrm{d}h/\mathrm{d}\delta$ le taux de dilatance au pic. Aux grandes déformations, dense ou lâche, le sable atteint le même état critique: il se cisaille à volume constant, avec un indice des vides critique $e_{cv}$ qui ne dépend que de la contrainte normale, et un angle ${\phi }_{cv}^{\prime }$ qui ne dépend que de la nature des grains (figure 7.2).

Micromécanique: contacts, chaînes de forces et dilatance

Pourquoi un assemblage de grains possède-t-il un angle de frottement, et pourquoi celui-ci dépasse-t-il l'angle de frottement ${\phi }_{\mu }$ du minéral? Le regard microscopique éclaire les paramètres macroscopiques que nous utilisons.

Contacts. Un sable ne transmet les efforts que par les contacts entre grains, de très petite surface; la contrainte effective ${\sigma }^{\prime }$ n'est qu'une moyenne, sur un volume contenant de nombreux grains, de ces forces de contact. Le nombre moyen de contacts par grain, ou nombre de coordination, croît avec la compacité: un sable lâche compte moins de contacts par grain qu'un sable dense, et chaque contact y est plus chargé. Chaque contact obéit à une loi de frottement de Coulomb: il glisse lorsque la force tangentielle atteint $\tan {\phi }_{\mu }$ fois la force normale.

Chaînes de forces. Les expériences sur des disques et des rouleaux photoélastiques, qui rendent visibles les efforts sous lumière polarisée (Dantu, 1957; Drescher et de Josselin de Jong, 1972), puis les simulations numériques par éléments discrets introduites par Cundall et Strack (1979) ont montré que les forces de contact sont très inégales. Dans les simulations de Radjai et al. (1998), les contacts dont la force dépasse la moyenne, environ 40 % du total, forment un réseau fort de chaînes de forces orientées en moyenne selon ${\sigma }_1^{\prime }$, qui porte la quasi-totalité du déviateur; les quelque 60 % restants forment un réseau faible qui ne contribue guère qu'à la pression moyenne et étaye latéralement les chaînes contre le flambement. Le glissement n'y est mobilisé qu'à une petite fraction des contacts, de l'ordre de 10 %, presque tous dans le réseau faible: l'essentiel du mouvement se fait par roulement. Cisailler un sol, c'est faire tourner, flamber et se reconstituer ces chaînes; la résistance macroscopique dépend donc autant de la géométrie de l'assemblage (orientation des contacts, possibilité de rouler) que du frottement aux contacts. C'est ce qui explique que ${\phi }_{cv}^{\prime }$ dépasse en général alors que les grains roulent en partie au lieu de glisser, et qu'il dépende surtout de la et de la des grains: les grains anguleux d'une grave concassée ou d'une moraine donnent des plus élevés que les grains arrondis d'un sable de rivière.

Dilatance. Dans un assemblage dense, les grains sont imbriqués: pour qu'une couche glisse sur la suivante, ses grains doivent monter sur ceux du dessous. Le modèle en dents de scie le montre simplement. Un bloc glisse sur une surface dentée dont les dents sont inclinées de l'angle $\psi$ sur la direction moyenne du cisaillement; sur la facette de la dent, seul le frottement ${\phi }_{\mu }$ agit. En projetant les forces sur la facette, on trouve que le rapport entre la force de cisaillement et la force normale moyennes vaut à la rupture

et que le bloc se soulève de $\mathrm{d}h=\tan \psi \mathrm{d}\delta$ quand il avance de $\mathrm{d}\delta$.

La relation (7.6) et celle de Taylor (7.5) disent la même chose sous deux formes: la résistance de pic est la somme d'une part frottante, qui ne dépend que de la nature des grains, et d'une part géométrique, liée à la dilatance, qui dépend de la compacité et du niveau de contrainte. Remplacer ${\phi }_{\mu }$ par ${\phi }_{cv}^{\prime }$ dans (7.6) surestime toutefois le pic, car un assemblage réel ne se dilate pas comme un bloc rigide: Bolton (1986) a montré, sur une large base d'essais sur sables, que ${\phi }_p^{\prime }-{\phi }_{cv}^{\prime }\approx 0,8\psi$ en déformation plane. La dilatance n'est jamais un paramètre constant: elle décroît avec la contrainte (sous forte contrainte, les grains se brisent plutôt que de se soulever) et s'annule lorsque le sol atteint l'état critique. Le chapitre 8 en fera l'un des ingrédients de la plasticité des sols.

Résistance résiduelle des argiles

Dans les argiles, un phénomène supplémentaire intervient aux très grandes déformations: les particules en plaquettes s'orientent parallèlement à la surface de glissement, et l'angle de frottement tombe à une valeur résiduelle ${\phi }_r^{\prime }$ qui peut n'être que de 8 à 15° pour les argiles très plastiques, contre 20 à 28° au pic. C'est la valeur qui régit les glissements réactivés: un versant ayant déjà glissé (nombreux cas dans les argiles glacio-lacustres du Plateau et dans les schistes altérés des Préalpes) ne dispose plus que de ${\phi }_r^{\prime }$ sur l'ancienne surface de rupture. On mesure ${\phi }_r^{\prime }$ à la boîte de cisaillement par allers-retours répétés, ou à l'appareil de cisaillement annulaire.

L'essai de cisaillement direct

L'essai est simple, rapide et bien adapté aux sols grenus; il permet la mesure de ${\phi }_r^{\prime }$ par cycles. Ses limites sont connues: le plan de rupture est imposé et non choisi par le sol, la répartition des contraintes n'est pas uniforme, la surface cisaillée diminue au cours de l'essai, et l'on ne peut ni contrôler le drainage ni mesurer la pression interstitielle. Pour les sols fins, la vitesse de cisaillement doit être assez faible (parfois moins de 0,01 mm/min) pour garantir des conditions drainées, ce qui rend l'essai long.

L'essai triaxial

• Essai UU (non consolidé, non drainé): drainage fermé pendant toute la durée de l'essai, cisaillement rapide (quelques minutes). L'éprouvette conserve sa teneur en eau: on mesure $c_u$ directement, sans connaître $u$. Sur une argile saturée, tous les cercles ont le même diamètre $2c_u$, quel que soit ${\sigma }_3$.
• Essai CU (consolidé, non drainé): l'éprouvette est d'abord consolidée sous ${\sigma }_3$ (drainage ouvert, 24 h ou plus), puis cisaillée à drainage fermé . On obtient pour l'état de consolidation imposé et, grâce à la mesure de , les cercles effectifs (, ) qui donnent et . C'est l'essai le plus courant sur les argiles, car il fournit les deux jeux de paramètres en un temps raisonnable.

Interprétation dans le plan (s', t)

Tracer trois cercles et une droite tangente est peu précis. On préfère représenter chaque essai par un point de coordonnées

c'est-à-dire le sommet du cercle de Mohr. Les sommets des cercles tangents à l'enveloppe sont alignés sur la droite $K_f$, d'équation $t=a+s^{\prime }\tan \alpha$, et l'on montre que

La régression linéaire sur les points $(s^{\prime },t)$ de plusieurs essais donne $\alpha$ et $a$, donc ${\phi }^{\prime }$ et $c^{\prime }$. On rencontre aussi le plan $(p^{\prime },q)$ de Cambridge avec et ; la pente de l'enveloppe y vaut . Dans ces plans, on peut aussi suivre le d'un essai (figure 7.3): en CD, le chemin est une droite de pente 1:1 partant de ; en CU sur une argile NC, la surpression interstitielle positive fait dévier le chemin effectif vers la gauche, et la rupture survient à un inférieur au initial.

Génération de pression interstitielle: paramètres de Skempton

Dans un essai non drainé, la variation de pression interstitielle sous un accroissement des contraintes principales totales s'écrit, d'après Skempton (1954),

Le paramètre $B$ traduit la saturation: $B=1$ pour un sol saturé (l'eau reprend intégralement une compression isotrope), $B<1$ dès que des bulles d'air sont présentes. Sa mesure en début d'essai triaxial sert de contrôle de saturation ($B\ge 0,95$ exigé). Le paramètre $A$ dépend du sol et du niveau de déformation: à la rupture, $A_f$ vaut 0,5 à 1 pour une argile NC (contractante, ; les argiles sensibles dépassent 1), 0 à 0,5 pour une argile légèrement OC, et devient négatif pour les argiles fortement OC et les sables denses (dilatants), dont la résistance non drainée est alors supérieure à la résistance drainée.

Résistance non drainée et comportement à court et long terme

Signification de $c_u$ et corrélations

Pour une argile normalement consolidée, la résistance non drainée croît proportionnellement à la contrainte effective verticale en place. Skempton a proposé, pour les argiles NC,

Pour une argile surconsolidée, la résistance est plus élevée à même ${\sigma }_{v0}^{\prime }$; la relation SHANSEP (Ladd et Foott, 1974) généralise (7.11):

L'exposant $m$ varie d'une argile à l'autre, d'environ 0,75 à 0,95 selon la synthèse de Jamiolkowski et al. (1985), qui proposent $c_u/{\sigma }_{v0}^{\prime }=(0,23\pm 0,04){\text{OCR}}^{0,8}$; la valeur 0,8 est celle qu'on retient faute d'essais. Ces relations permettent de vérifier la cohérence des mesures de et d'extrapoler un profil en fonction de la profondeur. Inversement, un profil de mesuré au scissomètre renseigne sur l'OCR.

Essais in situ pour $c_u$

Le prélèvement d'échantillons intacts d'argile molle est délicat; on complète les essais de laboratoire par des essais en place.

• Scissomètre de chantier (SN EN ISO 22476-9): un moulinet à quatre pales est foncé dans le sol puis mis en rotation; le couple maximal $M_{max}$ donne $c_u=M_{max}/K$, $K$ dépendant des dimensions des pales (pour : ). La valeur mesurée doit être corrigée par le facteur de Bjerrum (0,6 à 1, fonction de ) pour tenir compte de la vitesse et de l'anisotropie.

Analyse drainée ou non drainée?

Le choix du type d'analyse est l'une des décisions les plus importantes du géotechnicien; il dépend de la perméabilité du sol par rapport à la vitesse de chargement.

Pour les sables, la consolidation est immédiate: l'analyse est toujours drainée. Pour les argiles, il faut se demander quelle échéance est la plus défavorable:

• Chargement (remblai, fondation): la surpression interstitielle est positive à court terme et se dissipe ensuite, ce qui augmente ${\sigma }^{\prime }$ et la résistance. Le cas critique est le court terme, à traiter avec $c_u$. C'est pourquoi un remblai sur argile molle se construit par étapes, chacune laissant le temps au sol de gagner en résistance.
• Déchargement (excavation, talus de déblai): la surpression est négative à court terme; avec le temps, l'eau revient, ${\sigma }^{\prime }$ diminue et la résistance aussi. Le cas critique est le long terme, à traiter avec $c^{\prime }$ et et le régime hydraulique stabilisé. Les ruptures différées de talus de déblai dans les argiles du Plateau, parfois des décennies après les travaux, en sont l'illustration.

En cas de doute, on vérifie les deux situations.

Valeurs typiques et valeurs de calcul

Ordres de grandeur

Ces valeurs servent aux études préliminaires et à la vérification de la plausibilité des essais; l'annexe A en donne une liste plus complète. Une cohésion effective $c^{\prime }$ notable ne doit être retenue que si elle est confirmée par des essais, car elle disparaît souvent avec le remaniement, l'altération ou la saturation.

Valeurs caractéristiques et de calcul selon SIA 267

Synthèse

• Critère de Mohr-Coulomb: ${\tau }_f=c^{\prime }+{\sigma }^{\prime }\tan {\phi }^{\prime }$ en contraintes effectives; ${\tau }_f=c_u$ en conditions non drainées. À la rupture, avec , et la facette de rupture est inclinée à sur le plan de .

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• SN EN ISO 17892-8, -9 et -10, Reconnaissance et essais géotechniques – Essais de laboratoire sur les sols: essai triaxial non consolidé non drainé, essais triaxiaux consolidés, essai de cisaillement direct.
• SN EN ISO 22476-1 et -9, Reconnaissance et essais géotechniques – Essais en place: essai de pénétration au cône, essai au scissomètre.
• SIA 267, Géotechnique, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zurich, 2013.
• Lang, H.-J., Huder, J., Amann, P., Puzrin, A. M., Bodenmechanik und Grundbau, 9e éd., Springer, Berlin, 2011.
• Schlosser, F., Éléments de mécanique des sols, Presses de l'ENPC, Paris.
• Bolton, M. D., «The strength and dilatancy of sands», Géotechnique, 36(1), 1986, p. 65–78.
• Radjai, F., Wolf, D. E., Jean, M., Moreau, J.-J., «Bimodal character of stress transmission in granular packings», Physical Review Letters, 80, 1998, p. 61–64.
• Jamiolkowski, M., Ladd, C. C., Germaine, J. T., Lancellotta, R., «New developments in field and laboratory testing of soils», Proc. 11th ICSMFE, San Francisco, vol. 1, 1985, p. 57–153.
• Das, B. M., Principles of Geotechnical Engineering, 8e éd., Cengage, Stamford, 2014.