Contraintes dans le sol

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• expliquer la notion de contrainte dans un milieu granulaire et énoncer le principe des contraintes effectives de Terzaghi;
• tracer les profils de contrainte totale, de pression interstitielle et de contrainte effective dans un sol stratifié, avec ou sans nappe, frange capillaire ou écoulement;
• estimer la contrainte horizontale au repos à l'aide du coefficient $K_0$;
• représenter l'état de contrainte en un point par le cercle de Mohr et utiliser le pôle;
• calculer l'accroissement de contrainte verticale dû à une surcharge en surface par les solutions de Boussinesq, la méthode de Fadum et la méthode approchée 2:1.

La contrainte dans un milieu granulaire

En mécanique des milieux continus, la contrainte est une force par unité de surface. Dans un sol, la notion demande une précaution: les forces se transmettent de grain à grain par des contacts ponctuels, et l'eau des vides supporte une pression indépendante. Si l'on coupe le sol par un plan fictif, la force normale $N$ qui traverse une surface $A$ de ce plan se décompose en une somme de forces de contact $\sum N_i$ entre grains et en une pression d'eau $u$ agissant sur la partie de la surface occupée par les vides. Les contacts n'occupant qu'une fraction infime de $A$, l'eau agit pratiquement sur toute la surface.

Le principe de Terzaghi

Le principe a une explication physique simple. L'eau est un fluide: elle ne transmet pas de cisaillement et sa pression, isotrope, comprime chaque grain de la même manière de tous côtés, sans le déformer sensiblement ni modifier les forces aux contacts. Si l'on augmente $u$ et $\sigma$ de la même quantité, comme lorsque le niveau d'un lac monte au-dessus d'un fond sableux, rien ne change pour les grains: le sol ne tasse pas et sa résistance reste la même. En revanche, un rabattement de nappe diminue $u$ sans changer $\sigma$: les grains sont davantage serrés les uns contre les autres et le sol tasse. La pression interstitielle est d'ailleurs sans effet sur le cisaillement: la résistance d'un sol est du frottement entre grains, proportionnel aux forces de contact, donc à ${\sigma }^{\prime }$ (chapitre 7).

Contraintes géostatiques

Contrainte verticale et pression interstitielle

En terrain horizontal, sans surcharge, l'état de contrainte à la profondeur $z$ ne résulte que du poids des terres: on parle de contraintes géostatiques. La contrainte verticale totale est le poids de la colonne de sol de section unité située au-dessus du point:

où $z_i$ est l'épaisseur traversée dans chaque couche $i$ de poids volumique ${\gamma }_i$, humide au-dessus de la nappe et saturé en dessous. Dans une nappe au repos dont la surface est à la profondeur $z_w$, la pression interstitielle est hydrostatique:

La contrainte effective verticale s'en déduit par (5.1). Sous la nappe, elle croît avec la profondeur au rythme du poids volumique déjaugé ${\gamma }^{\prime }={\gamma }_{sat}-{\gamma }_w$, deux fois moins vite que la contrainte totale.

Frange capillaire, variations de nappe et écoulement

Au-dessus de la nappe, dans la frange capillaire saturée de hauteur $h_c$, l'eau est en dépression: $u=-{\gamma }_w(z_w-z)$, jusqu'à $-{\gamma }_w{h}_c$ au sommet de la frange. La contrainte totale y est calculée avec (le sol est saturé) et la contrainte effective vaut , c'est-à-dire : la succion la contrainte effective. Dans un silt à frange capillaire de 1,5 m, la contrainte effective est ainsi majorée de 14,7 kPa au sommet de la frange, ce qui explique la tenue des talus provisoires dans ces sols, et leur effondrement lorsqu'ils sont inondés. On néglige souvent cet effet favorable dans les calculs, et l'on prend au-dessus de la nappe.

Les variations de nappe modifient $u$ sans grand changement de ${\sigma }_v$: l'exemple 5.1 montre qu'un abaissement $\Delta z_w$ augmente la contrainte effective sous la nappe d'environ ${\gamma }_w\Delta z_w$, corrigé de la perte de poids du sol désaturé. La nappe du Rhône, en Valais, oscille de plus d'un mètre entre l'étiage hivernal et la fonte des neiges: les contraintes effectives sous les ouvrages de la plaine varient donc de plusieurs kilopascals chaque année, sans conséquence dans les graves mais avec des tassements mesurables là où subsistent des couches fines compressibles.

Lorsque l'eau s'écoule, la pression interstitielle n'est plus hydrostatique: elle se lit sur le réseau d'écoulement (chapitre 4). Pour un écoulement vertical de gradient $i$ dans une couche saturée de sol, la contrainte effective à la profondeur $z$ sous la surface de la couche vaut

le signe moins correspondant à un écoulement ascendant (la force d'écoulement soulève les grains) et le signe plus à un écoulement descendant. On retrouve le gradient critique $i_c={\gamma }^{\prime }/{\gamma }_w$ du chapitre 4 comme la valeur qui annule la contrainte effective.

Contrainte horizontale au repos

Le poids des terres engendre aussi une contrainte horizontale. Dans un massif de sol formé par sédimentation, sans déformation latérale, le rapport des contraintes effectives horizontale et verticale est le coefficient de pression des terres au repos:

Pour les sols normalement consolidés, la formule empirique de Jaky, $K_0=1-\sin {\phi }^{\prime }$, donne 0,4 à 0,5 pour les sables et graves (${\phi }^{\prime }$ de 30 à 36°) et 0,5 à 0,6 pour les argiles. Les sols surconsolidés, qui ont subi par le passé des contraintes plus fortes que les contraintes actuelles (moraines de fond chargées par le glacier, argiles érodées), conservent une partie de la contrainte horizontale acquise: on utilise $K_0=(1-\sin {\phi }^{\prime }){\text{OCR}}^{\sin {\phi }^{\prime }}$, où OCR est le rapport de surconsolidation (chapitre 6). Pour , vaut à l'état normalement consolidé et pour OCR : dans une moraine de fond, la contrainte horizontale peut égaler la contrainte verticale. La contrainte horizontale totale s'obtient en ajoutant la pression interstitielle, qui est isotrope: .

État de contrainte en un point: le cercle de Mohr

Contraintes principales et facette inclinée

L'état de contrainte en un point n'est pas un simple nombre: la contrainte normale $\sigma$ et la contrainte de cisaillement $\tau$ agissant sur une facette dépendent de l'orientation de celle-ci. En déformation plane (cas des talus, murs et semelles filantes), il existe deux orientations perpendiculaires pour lesquelles le cisaillement s'annule: ce sont les plans principaux, sur lesquels agissent les contraintes principales ${\sigma }_1\ge {\sigma }_3$. En terrain horizontal au repos, les plans principaux sont l'horizontale et la verticale, avec ${\sigma }_1={\sigma }_v$ et .

L'équilibre d'un prisme triangulaire découpé dans le sol donne, sur une facette inclinée de $\theta$ par rapport au plan de ${\sigma }_1$:

Dans le plan ($\sigma$, $\tau$), ces équations décrivent un cercle de centre $\left(\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_3}{2},0\right)$ et de rayon : le . Chaque point du cercle représente les contraintes sur une facette; le cisaillement maximal agit sur les facettes à 45° des plans principaux. En mécanique des sols, les compressions sont comptées positives.

Le pôle

Le cercle de Mohr donne les contraintes, le pôle donne les directions. Le pôle $P$ est le point du cercle tel que la droite joignant $P$ au point représentatif d'une facette quelconque est parallèle à cette facette. Pour le construire, on part d'une facette dont on connaît les contraintes et l'orientation: en terrain horizontal, la contrainte ${\sigma }_1$ agit sur une facette horizontale; on trace par le point (${\sigma }_1$, 0) une horizontale, qui recoupe le cercle en $P=({\sigma }_3,0)$. Réciproquement, toute droite passant par coupe le cercle au point représentant la facette parallèle à cette droite. L'angle au centre étant double de l'angle inscrit, on retrouve l'angle des équations (5.6).

Chemins de contraintes

Pour suivre l'évolution de l'état de contrainte au cours d'un chargement, on représente chaque état par un point dans un plan de variables invariantes. En géotechnique, on utilise la contrainte moyenne effective et le déviateur:

ou, en déformation plane, $s^{\prime }=({\sigma }_1^{\prime }+{\sigma }_3^{\prime })/2$ et $t=({\sigma }_1^{\prime }-{\sigma }_3^{\prime })/2$, coordonnées du sommet du cercle de Mohr. La succession des points au cours d'un essai ou d'une construction est le . Pour le point à 6 m de l'exemple 5.1, avec : kPa, kPa, d'où kPa et kPa; la construction d'un bâtiment déplace ce point vers la droite et vers le haut, tandis qu'une excavation le rapproche de l'origine. Ce mode de représentation sera repris pour les essais triaxiaux du chapitre 7.

Contraintes dues aux surcharges

Charge ponctuelle: solution de Boussinesq

Une charge appliquée en surface diffuse dans le sol et s'atténue avec la profondeur. Boussinesq (1885) a résolu le problème d'une force verticale $Q$ appliquée à la surface d'un massif semi-infini, homogène, isotrope et élastique linéaire. L'accroissement de contrainte verticale en un point situé à la profondeur $z$ et à la distance horizontale $r$ de la charge ($R^2=r^2+z^2$) vaut

Cette expression ne dépend ni du module d'élasticité ni du coefficient de Poisson, ce qui explique qu'elle donne des résultats acceptables pour les sols, matériaux pourtant loin d'être élastiques. Sous une charge de 500 kN (un pieu court, une pile de stockage), à 2 m de profondeur, $\Delta {\sigma }_z$ vaut 59,7 kPa à l'aplomb de la charge et 34,2 kPa à 1 m de l'axe ($R=\sqrt{5}=2,236$ m).

Charges réparties

Par intégration de (5.8) sur la surface chargée, on obtient l'accroissement de contrainte sous une charge uniforme $q$.

Charge circulaire de rayon $a$, sur l'axe:

Charge rectangulaire $B\times L$, sous un coin (méthode de Fadum): en posant $m=B/z$ et $n=L/z$ (les deux rôles sont interchangeables),

Lorsque le dénominateur de l'arc tangente est négatif (grandes valeurs de $m$ et $n$), il faut ajouter $\pi$ à l'arc tangente. Le facteur d'influence $I$ croît de 0 vers 0,25 lorsque $m$ et $n$ augmentent; quelques valeurs calculées par (5.10):

La solution sous un coin suffit à traiter tous les cas par superposition: pour un point quelconque, on décompose la surface chargée en rectangles ayant tous un coin à l'aplomb du point et l'on additionne (ou soustrait) leurs contributions. Sous le centre d'une semelle, on somme quatre rectangles de côtés $B/2$ et $L/2$; pour un point extérieur, on ajoute des rectangles fictifs chargés et l'on retranche ceux qui dépassent.

La méthode approchée 2:1

Pour une estimation rapide, on admet que la charge se diffuse dans un tronc de pyramide dont les faces s'inclinent de 2 (vertical) pour 1 (horizontal). À la profondeur $z$, la charge $qBL$ se répartit sur $(B+z)(L+z)$:

La méthode donne une valeur moyenne sur la surface diffusée. Elle sous-estime la contrainte sous le centre pour $z<2B$ et la surestime aux bords; elle est utile pour un avant-projet et pour les tassements de couches profondes, mais ne remplace pas Boussinesq lorsque la précision compte.

Bande chargée et bulbe des pressions

Pour une semelle filante de largeur $B$ (déformation plane), l'intégration de Boussinesq donne, en un point d'où les deux bords de la bande sont vus sous les angles ${\beta }_1$ et ${\beta }_2$ mesurés depuis la verticale,

soit, sous l'axe, $\Delta {\sigma }_z=(q/\pi )(\alpha +\sin \alpha )$ où $\alpha =2\arctan (B/2z)$ est l'angle sous lequel on voit la bande. À la profondeur $z=B$, on obtient .

Les lignes d'égal accroissement de contrainte forment le bulbe des pressions. Par convention, on considère que la zone d'influence d'une fondation s'étend jusqu'à l'isobare $0,1q$: environ $2B$ sous une semelle carrée ou circulaire, environ $6B$ sous une semelle filante. C'est dans cette zone que doivent porter la reconnaissance géotechnique et le calcul de tassement.

Application aux tassements

Le calcul des surcharges n'est pas une fin en soi: il fournit l'accroissement $\Delta {\sigma }_z$ qui, ajouté à la contrainte effective initiale ${\sigma }_{v0}^{\prime }$, détermine le tassement de chaque couche (chapitre 6). Dans les argiles lacustres de la région lémanique, un accroissement de quelques dizaines de kilopascals à 5 ou 10 m de profondeur suffit à provoquer des tassements de plusieurs centimètres; c'est pourquoi le profil de contraintes initial et le bulbe des pressions sont les deux premières pièces de tout calcul de fondation.

Synthèse

• Principe de Terzaghi: ${\sigma }^{\prime }=\sigma -u$; seule la contrainte effective gouverne les déformations et la résistance.
• Contraintes géostatiques: ${\sigma }_v=\sum {\gamma }_i{z}_i$, sous la nappe (négatif dans la frange capillaire), croît au rythme de sous la nappe.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• SIA 267, Géotechnique, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zurich, 2013.
• SN EN 1997-1, Eurocode 7: Calcul géotechnique – Partie 1: Règles générales, SIA, Zurich.
• Terzaghi, K., Erdbaumechanik auf bodenphysikalischer Grundlage, Deuticke, Vienne, 1925.
• Recordon, E., Mécanique des sols, cours EPFL, Presses polytechniques et universitaires romandes.
• Lang, H.-J., Huder, J., Amann, P., Puzrin, A. M., Bodenmechanik und Grundbau, Springer, Berlin.
• Craig, R. F., Knappett, J. A., Craig's Soil Mechanics, 8e éd., Spon Press, Londres, 2012.