Lois de comportement et état critique

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décrire l'état de déformation d'un élément de sol par la déformation volumique $ε_{v}$ et la déformation de cisaillement $ε_{s}$ , et l'état de contrainte par les invariants $p^{'}$ et $q$ ;
utiliser l'élasticité linéaire isotrope ( $E^{'}$ , $ν^{'}$ , $K^{'}$ , $G^{'}$ , module œdométrique) en conditions drainées et non drainées ( $ν_{u} = 0, 5$ , );
expliquer pourquoi la rigidité d'un sol dépend de la contrainte et du niveau de déformation, distinguer modules sécant et tangent, et exploiter le modèle hyperbolique et la décroissance du module de cisaillement depuis $G_{0}$ ;
énoncer les ingrédients d'un modèle élastoplastique (surface de charge, écrouissage, règle d'écoulement) et relier la dilatance à la position de l'état de contrainte;
situer un sol par rapport à la ligne d'état critique dans les plans $(p^{'}, q)$ et $(e, ln p^{'})$ , et prédire l'état ultime d'un essai triaxial drainé ou non drainé sur une argile normalement ou surconsolidée;
reconnaître la surface de charge de Cam-Clay modifié et ses limites d'emploi.

Pourquoi une loi de comportement?

Les chapitres précédents ont traité séparément deux propriétés mécaniques du sol. La compressibilité (chapitre 6) fournit des tassements à partir d'une courbe œdométrique, sans jamais parler de rupture; la résistance au cisaillement (chapitre 7) fournit une charge de rupture par le critère de Mohr-Coulomb, sans jamais parler de déformation. Or un même sol se tasse, se distord et finit par rompre sous une charge croissante, et ces trois comportements sont liés: une argile normalement consolidée est à la fois compressible et contractante au cisaillement, une argile fortement surconsolidée est à la fois raide et dilatante. Une loi de comportement relie, pour tout chemin de chargement, les incréments de contrainte effective aux incréments de déformation. Elle est indispensable dès que l'on calcule un ouvrage par éléments finis, comme c'est aujourd'hui le cas de toute fouille profonde ou de tout tunnel urbain en Suisse, et elle donne un cadre unique pour comprendre les résultats d'essais que nous avons rencontrés.

Ce chapitre construit ce cadre par étapes: la mesure des déformations, l'élasticité, la non-linéarité de la rigidité, la plasticité et enfin l'état critique, qui réunit compressibilité et résistance dans un même modèle.

Déformations et invariants

Convention de signe et déformations principales

En mécanique des sols, on compte positives les compressions, pour les contraintes comme pour les déformations: une éprouvette qui raccourcit a une déformation axiale positive, un sol qui perd du volume a une déformation volumique positive. C'est l'inverse de la convention de la mécanique des structures, et c'est une source d'erreurs de signe à surveiller lorsque l'on utilise un logiciel. Dans l'essai triaxial (chapitre 7), la symétrie de révolution réduit les déformations à deux composantes principales: la déformation axiale $ε_{a} = Δ h / h_{0}$ et la déformation radiale $ε_{r} = Δ r / r_{0}$ .

Déformation volumique et déformation de cisaillement

Le changement de volume et le changement de forme d'un élément de sol ont des origines physiques différentes: le premier traduit le réarrangement des grains et l'expulsion de l'eau, le second leur glissement relatif. On les sépare donc, comme on sépare dans les contraintes la partie moyenne et le déviateur.

Le facteur $2/3$ n'est pas arbitraire. Le travail fourni à un élément de sol par unité de volume s'écrit $δ W = σ_{1}^{'} δ ε_{a} + 2 σ_{3}^{'} δ ε_{r}$ et l'on vérifie qu'il vaut exactement

δ W = p^{'} δ ε_{v} + q δ ε_{s} :

$ε_{v}$ est la déformation qui «travaille» avec $p^{'}$ , $ε_{s}$ celle qui travaille avec $q$ . Grâce à ce choix, $p^{'}$ et d'une part, et d'autre part, forment des couples cohérents dans toute la suite. Le plan a déjà été rencontré au chapitre 7, où la pente de l'enveloppe de rupture y valait .

Dans un essai non drainé sur un sol saturé, l'eau et les grains étant pratiquement incompressibles, $ε_{v} = 0$ : on en déduit $ε_{r} = - ε_{a} /2$ , l'éprouvette se gonfle latéralement de la moitié de son raccourcissement, et $ε_{s} = ε_{a}$ . Dans un essai œdométrique, , donc et : la compression œdométrique combine changement de volume et distorsion.

Question 8.1

Au cours d'un essai triaxial drainé, on mesure $ε_{a} = 2 %$ et une variation de volume $ε_{v} = 1 %$ . Quelles sont la déformation radiale et la déformation de cisaillement?

Élasticité linéaire isotrope

Paramètres élastiques

Pour de petits incréments de charge, loin de la rupture, la plupart des sols se comportent de façon approximativement réversible et l'on peut leur appliquer l'élasticité linéaire isotrope de la mécanique des structures, écrite en contraintes effectives, puisque seules celles-ci déforment le squelette.

L'intérêt du couple $(K^{'}, G^{'})$ est qu'il découple les deux types de déformation:

δ ε_{v} = \frac{δ p ^{'}}{K ^{'}}, δ ε_{s} = \frac{δ q}{3 G ^{'}} . (8.5)

Une compression isotrope ne produit aucune distorsion, un cisaillement à $p^{'}$ constant aucun changement de volume. Ce découplage est propre à l'élasticité isotrope; nous verrons que la plasticité des sols le brise, puisqu'un sol se contracte ou se dilate en se cisaillant.

Le module œdométrique $E_{oe d}$ est supérieur à $E^{'}$ : pour $ν^{'} = 0, 3$ , $E_{oe d} = 1, 35 E^{'}$ . Il correspond au module du chapitre 6 dans la mesure où le sol se comporte élastiquement sur l'intervalle de contrainte considéré, c'est-à-dire en recompression. La relation est en revanche à manier avec prudence: le d'un sol naturel résulte de son histoire plastique, et la formule de Jaky (chapitre 10) le décrit mieux pour les sols normalement consolidés.

Conditions drainées et non drainées

Lorsqu'un sol saturé est chargé sans drainage, l'eau interstitielle, beaucoup plus rigide que le squelette, empêche tout changement de volume. Pour l'ingénieur qui raisonne en contraintes totales, le sol se comporte alors comme un matériau élastique incompressible.

Le module non drainé $E_{u}$ dépasse $E^{'}$ d'au plus 50 % ( $E_{u} / E^{'} = 1, 15$ pour ): la différence entre un calcul drainé et un calcul non drainé ne tient pas au module de cisaillement, qui est le même, mais à l'interdiction du changement de volume. C'est ce qui permet de calculer le d'une fondation sur argile (chapitre 6) avec et , puis le tassement de consolidation avec les paramètres drainés.

Pour un essai triaxial de compression ( $Δ σ_{3} = 0$ , $Δ σ_{1} = Δ q$ ), $Δ p = Δ q /3$ , d'où $Δ u = Δ q /3$ : le paramètre de Skempton (chapitre 7) vaut pour un sol élastique isotrope. Les valeurs mesurées de , de 0,5 à 1 pour les argiles normalement consolidées et négatives pour les argiles fortement surconsolidées, montrent que le comportement réel s'écarte nettement de l'élasticité à l'approche de la rupture: c'est la tendance plastique à la contractance ou à la dilatance qui fait monter ou baisser la pression interstitielle.

Question 8.2

Un sable silteux a un module drainé $E^{'} = 20$ MPa et un coefficient de Poisson $ν^{'} = 0, 25$ . Calculez son module œdométrique $E_{oe d}$ , en MPa.

Rigidité non linéaire

L'élasticité linéaire est une idéalisation commode, mais aucune courbe contrainte-déformation de sol n'est une droite. Deux non-linéarités se superposent: la rigidité croît avec la contrainte moyenne et décroît avec la déformation.

Dépendance à la contrainte

Un sol n'a pas de module propre: c'est un assemblage de grains dont les contacts se raidissent quand on les serre davantage. Nous l'avons vu au chapitre 6, où le module œdométrique sur la droite vierge était proportionnel à la contrainte moyenne (6.6). On décrit couramment cette dépendance par une loi puissance, écrite ici pour le module initial d'un essai triaxial sous la pression de confinement $σ_{3}^{'}$ :

E = E_{r e f} (\frac{σ _{3}^{'}}{p _{r e f}})^{m}, (8.7)

où $p_{r e f}$ est une contrainte de référence (souvent 100 kPa) et l'exposant $m$ vaut environ 0,5 pour les sables et les graves et se rapproche de 1 pour les argiles normalement consolidées. Doubler la profondeur d'une fondation sur une grave augmente donc son module d'environ 40 %; un module mesuré à faible profondeur sous-estime la rigidité des couches profondes. C'est aussi l'idée de la loi d'Ohde et Janbu, qui écrit le module œdométrique comme une puissance de la contrainte verticale.

Modules sécant et tangent

Sur une courbe non linéaire, le «module» dépend de la façon dont on le lit.

Le module sécant convient pour estimer en une fois le tassement sous une charge donnée; le module tangent est celui qu'utilise un calcul incrémental. Sur une même courbe, ils diffèrent d'autant plus qu'on s'approche de la rupture, où le module tangent tend vers zéro.

Le modèle hyperbolique

Kondner (1963) a remarqué que la courbe déviateur-déformation d'un essai triaxial drainé est très bien décrite par une hyperbole, que Duncan et Chang (1970) ont ensuite intégrée dans un modèle de calcul:

q = \frac{ε _{a}}{\frac{1}{E _{i}} + \frac{ε _{a}}{q _{u l t}}}, (8.8)

où $E_{i}$ est le module tangent initial et $q_{u l t}$ l'asymptote horizontale. La rupture survient avant l'asymptote, au déviateur $q_{f}$ donné par le critère de Mohr-Coulomb; le rapport $R_{f} = q_{f} / q_{u l t}$ , compris entre 0,75 et 0,95 pour la plupart des sols, fixe la forme de la courbe (figure 8.1).

Rigidité aux très petites déformations

Les essais triaxiaux classiques mesurent la déformation à l'extérieur de la cellule et ne sont pas fiables en dessous de $1 0^{- 3}$ environ. Des mesures plus fines, par capteurs collés sur l'éprouvette ou par propagation d'ondes, ont révélé dans les années 1980 et 1990 que la rigidité des sols est beaucoup plus élevée aux très petites déformations, et qu'elle décroît fortement entre $1 0^{- 5}$ et $1 0^{- 2}$ .

Au-delà de ce domaine, $G$ décroît avec la distorsion. Une description simple est l'hyperbole de Hardin et Drnevich (1972):

\frac{G}{G _{0}} = \frac{1}{1 + γ / γ _{r}}, (8.11)

où la distorsion de référence $γ_{r}$ est la distorsion pour laquelle $G = G_{0} /2$ . Elle croît avec la plasticité du sol et avec la contrainte moyenne: sous $p^{'} \approx 100$ kPa, les corrélations de Darendeli (2001) donnent environ $3, 5 \cdot 1 0^{- 4}$ pour un sol non plastique et près de pour une argile d'indice de plasticité 50. La valeur retenue dans ce chapitre est un ordre de grandeur didactique, plutôt bas, qui accentue la décroissance; un projet réel doit caler sur des essais (figure 8.2).

La conséquence pratique est importante. Les mesures autour d'ouvrages réels (Jardine et al., 1986; Mair, 1993), reprises par Atkinson (2000), montrent que les déformations dans le sol autour de la plupart des fondations, des parois de fouille et des tunnels en service sont de l'ordre de $1 0^{- 4}$ à $1 0^{- 3}$ (0,01 à 0,1 %), davantage localement près des tunnels et des parois, précisément dans le domaine où $G$ varie le plus. Un module tiré de la pente initiale d'un essai triaxial classique sous-estime alors la rigidité en service, et un calcul élastique avec $G_{0}$ la surestime; c'est l'une des raisons pour lesquelles les tassements calculés avec un module constant sont souvent plus grands que ceux qu'on mesure. Le module se choisit donc pour un niveau de déformation, comme il se choisit pour un niveau de contrainte. Pour un silt de masse volumique t/m³ dont l'onde de cisaillement se propage à m/s, MPa; avec , il ne reste plus que MPa à .

SIA 267 – Paramètres de déformation

La norme SIA 267 demande, comme pour la résistance, de fixer des valeurs caractéristiques des paramètres de déformation, estimées avec prudence à partir des essais et de l'expérience, et cohérentes avec la plage de contraintes et le mode de sollicitation de l'ouvrage. Les vérifications de l'aptitude au service (tassements, déplacements) se font avec ces valeurs caractéristiques, sans facteur partiel, comme dans la SN EN 1997-1 où les facteurs partiels de l'état limite de service valent normalement 1. Les essais de laboratoire correspondants sont normalisés dans la série SN EN ISO 17892 (partie 5 pour l'œdomètre, parties 8 et 9 pour le triaxial), les essais en place dans la série SN EN ISO 22476. Le choix d'un module reste une décision d'ingénieur: la norme ne fixe ni le niveau de déformation ni la loi de comportement à retenir.

Question 8.3

Un essai au cône sismique dans une moraine ( $ρ = 2, 0$ t/m³) mesure une vitesse des ondes de cisaillement $V_{s} = 250$ m/s. Calculez le module de cisaillement aux très petites déformations $G_{0}$ , en MPa.

Éléments de plasticité

L'élasticité, même non linéaire, ne rend compte ni des déformations irréversibles (un sol déchargé ne retrouve pas son volume initial, chapitre 6), ni du couplage entre cisaillement et volume, ni de la rupture. La théorie de la plasticité y ajoute trois ingrédients.

Surface de charge

L'essai œdométrique en a donné la version unidimensionnelle: tant que $σ_{v}^{'}$ reste inférieure à la pression de préconsolidation $σ_{p}^{'}$ , le sol se déforme peu et presque réversiblement (pente $C_{s}$ ); au-delà, il suit la droite vierge et accumule des déformations irréversibles (pente ). La pression de préconsolidation est un . Dans le plan , ce seuil devient une courbe.

Pour les argiles, l'écrouissage se lit sur le plan $(e, ln p^{'})$ : une compression isotrope vierge y suit la ligne de consolidation normale (NCL) de pente $λ$ , et un déchargement-rechargement une ligne de pente $κ$ . Ces deux pentes sont les indices du chapitre 6 exprimés en logarithmes népériens:

λ = \frac{C _{c}}{ln 10} = \frac{C _{c}}{2 , 303}, κ = \frac{C _{s}}{2 , 303} . (8.12)

Pour l'argile lacustre du chapitre 6 ( $C_{c} = 0, 35$ , $C_{s} = 0, 05$ ), $λ = 0, 152$ et $κ = 0, 022$ . Lorsque la surface de charge s'agrandit de à , l'indice des vides diminue plastiquement de : c'est la loi d'écrouissage.

Dilatance et règle d'écoulement

La règle d'écoulement contient la physique de la dilatance rencontrée au chapitre 7. On définit le rapport de dilatance $δ ε_{v}^{p} / δ ε_{s}^{p}$ : il est positif pour un sol qui se contracte en se cisaillant, négatif pour un sol qui se dilate. Il est lié à l'angle de dilatance $ψ$ du chapitre 7, qui en est la version en déformation plane. Avec une règle associée, il découle de la forme de la surface de charge (figure 8.3):

là où la surface est encore montante, pour un rapport $η = q / p^{'}$ inférieur à $M$ , la normale pointe vers les $p^{'}$ croissants: le sol se contracte en se cisaillant;
au sommet de la surface, la normale est verticale: le sol se cisaille à volume constant;
au-delà du sommet, la normale pointe vers les $p^{'}$ décroissants: le sol se dilate.

Le sommet de la surface est donc l'endroit où le sol peut se déformer indéfiniment en cisaillement sans changer de volume ni de contrainte: c'est la définition même de l'état critique rencontré au chapitre 7 pour les sables.

Question 8.4

Dans le modèle de la figure, l'état de contrainte d'un échantillon atteint la surface de charge en un point où $η = q / p^{'}$ est supérieur à $M$ . Que se passe-t-il si l'on continue à le cisailler en conditions drainées?

L'état critique

La ligne d'état critique

Le concept d'état critique, développé à Cambridge par Roscoe, Schofield et Wroth (1958) puis par Schofield et Wroth (1968), part d'une observation expérimentale: quel que soit l'état initial, un sol cisaillé jusqu'à de grandes déformations finit par atteindre un état où il se déforme sans variation de contrainte effective ni de volume. Tous ces états ultimes se rangent sur une même courbe dans l'espace $(p^{'}, q, e)$ .

La CSL réunit les deux propriétés des chapitres 6 et 7: sa projection dans le plan $(p^{'}, q)$ est l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb pour $c^{'} = 0$ et $φ^{'} = φ_{c v}^{'}$ ; sa projection dans le plan dit cette rupture se produit. Un sol ne peut pas atteindre l'état critique à n'importe quelle compacité sous une contrainte donnée: pour chaque , il n'y a qu'un indice des vides critique, , déjà rencontré au chapitre 7 sous le nom .

Pour la suite, l'argile lacustre de référence est décrite par $λ = 0, 152$ , $κ = 0, 022$ , $φ_{c v}^{'} = 25°$ (d'où $M = 0, 984$ ), une NCL isotrope passant par sous kPa et une CSL passant par sous la même contrainte. Ces valeurs sont un jeu didactique cohérent avec le chapitre 6, pas les résultats d'un site particulier.

Côté humide, côté sec: le rôle de la surconsolidation

La position de l'état initial par rapport à la CSL, dans le plan $(e, ln p^{'})$ , gouverne tout le comportement au cisaillement.

Un sol normalement consolidé ou légèrement surconsolidé est plus lâche que l'état critique à la même contrainte: son indice des vides est au-dessus de la CSL. On dit qu'il est du côté humide (wet side), car il contient plus d'eau que l'état critique. Pour l'atteindre, il doit perdre du volume: en drainé, il se contracte; en non drainé, il ne le peut pas, la pression interstitielle augmente et $p^{'}$ diminue jusqu'à la CSL.
Un sol fortement surconsolidé est plus dense que l'état critique à la même contrainte: il est du côté sec (dry side). En drainé, il se dilate après un éventuel pic; en non drainé, la pression interstitielle diminue et $p^{'}$ augmente jusqu'à la CSL.

La frontière entre les deux comportements dépend de la forme de la surface de charge. Pour Cam-Clay modifié et un échantillon déchargé isotropiquement, elle se situe exactement à $R = p_{c}^{'} / p_{0}^{'} = 2$ , puisque le sommet de l'ellipse, sur la CSL, est en $p_{c}^{'} /2$ . Ce critère porte sur la tendance au changement de volume. La surpression mesurée dans un essai de compression contient en outre l'accroissement de la contrainte moyenne totale: en , elle vaut encore (), et elle ne devient négative qu'un peu au-delà, vers pour l'argile de référence. Pour les argiles naturelles, consolidées sous , l'OCR œdométrique ne se confond pas avec et la transition n'est pas nette: on qualifie de fortement surconsolidées celles dont l'OCR dépasse quelques unités. C'est l'explication des paramètres positifs ou négatifs de Skempton (chapitre 7) et de la différence entre court terme et long terme dans les argiles.

Ces résultats ne dépendent que de la CSL, pas de la forme exacte de la surface de charge: ils sont robustes. La première relation est la clé de la différence entre résistances drainée et non drainée. En drainé, la résistance ultime ne dépend que de $p_{0}^{'}$ : deux échantillons sous la même contrainte, l'un normalement consolidé, l'autre surconsolidé, finissent à la même résistance (seul le chemin diffère). En non drainé, elle ne dépend que de l'indice des vides: c'est pourquoi $c_{u}$ croît avec la profondeur (le sol y est plus dense) et avec la surconsolidation, comme l'exprimaient les corrélations (7.11) et (7.12).

La surface de charge de Cam-Clay modifié

Pour décrire le chemin complet et pas seulement l'état ultime, il faut une surface de charge. Le modèle Cam-Clay modifié (Roscoe et Burland, 1968) la choisit elliptique.

Ce modèle, avec cinq paramètres ( $λ$ , $κ$ , $M$ , la position de la NCL et un paramètre élastique), reproduit qualitativement tout ce qui précède: la compressibilité œdométrique, la pression de préconsolidation, la contractance des argiles normalement consolidées et la dilatance des argiles surconsolidées, les chemins non drainés et l'état critique. Il conduit aussi à une loi remarquable pour la résistance non drainée:

\frac{c _{u}}{p _{0}^{'}} = \frac{M}{2} 2^{- Λ} R^{Λ}, Λ = \frac{λ - κ}{λ}, (8.17)

où $R = p_{c}^{'} / p_{0}^{'}$ est le rapport de surconsolidation isotrope. Pour l'argile de référence, $Λ = 0, 855$ : un exposant proche du $m \approx 0, 8$ de la relation SHANSEP (7.12), obtenu ici par la théorie. Proche seulement, car (8.17) est écrite pour un rapport de surconsolidation isotrope et la contrainte moyenne , alors que (7.12) l'est pour l'OCR œdométrique et .

Explorateur 8.1 · Explorateur de l'état critique (Cam-Clay modifié)

Un échantillon de l'argile de référence est consolidé jusqu'à $p_{c}^{'} = R \times 100$ kPa puis ramené à $p_{0}^{'} = 100$ kPa, avant d'être cisaillé en compression triaxiale, drainée (trait plein) ou non drainée (tirets). Augmentez la surconsolidation $R$ : la résistance drainée ultime ne bouge pas, alors que la résistance non drainée et le signe de la surpression interstitielle changent dès que l'échantillon passe du côté sec ( $R > 2$ ). Les paramètres sont didactiques.

Surconsolidation isotrope R = p′_c/p′₀1.00

Angle d'état critique φ′_cv25°

Indice des vides initial e₀

0.950

Drainé: q_f

146,4kPa

Drainé: ε_v (+ = contraction)

7,7%

Non drainé: c_u

27,2kPa

Non drainé: Δu_f

62,9kPa

État initial

côté humide (contractant)

Limites du modèle

Cam-Clay modifié est le modèle de référence pour comprendre les argiles reconstituées et il reste très utilisé dans les calculs d'ouvrages sur argiles molles. Ses limites sont connues:

du côté sec, il surestime le pic de résistance: les argiles fortement surconsolidées rompent en réalité le long de bandes de cisaillement localisées, suivant une enveloppe moins élevée (surface de Hvorslev), et n'atteignent l'état critique que dans la bande;
il ignore l'anisotropie des argiles consolidées sous $K_{0}$ et la structure des argiles naturelles (liaisons, sensibilité), qui se détruit au-delà de la pression de préconsolidation et produit un écrouissage plus brutal que celui de la NCL;
il ne rend pas compte du fluage (chapitre 6) ni de la rigidité aux petites déformations;
il est mal adapté aux sables, dont la NCL n'est atteinte que sous des contraintes très élevées; pour eux, on utilise plutôt la distance verticale entre l'indice des vides actuel et la CSL, le paramètre d'état de Been et Jefferies (1985), qui prédit si le sable se contractera ou se dilatera.

Les logiciels d'éléments finis proposent pour cette raison des modèles plus riches (écrouissage en cisaillement et en compression, rigidité dépendant de la contrainte et de la déformation), qui reprennent tous les ingrédients de ce chapitre. Leur emploi exige de comprendre ce que chaque paramètre représente, et de vérifier que le modèle reproduit les essais disponibles sur le sol du projet.

Question 8.5

Une argile normalement consolidée a $φ_{c v}^{'} = 30°$ . Un échantillon consolidé isotropiquement sous $p_{0}^{'} = 120$ kPa est cisaillé en compression triaxiale drainée jusqu'à l'état critique. Calculez le déviateur ultime $q_{f}$ , en kPa.

Synthèse

On sépare changement de volume et changement de forme: $p^{'} = (σ_{1}^{'} + 2 σ_{3}^{'}) /3$ et $q = σ_{1}^{'} - σ_{3}^{'}$ travaillent avec et ; compressions positives.

Série d'exercices du chapitre 8Exercice 1 sur 5

Question 8.6

Un sol a $E^{'} = 15$ MPa et $ν^{'} = 0, 3$ . Calculez son module de cisaillement $G^{'}$ , en MPa.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 8.1 · Paramètres élastiques tirés d'un essai triaxial

Au début d'un essai triaxial drainé sur une grave sableuse, sous $σ_{3}^{'} = 150$ kPa, un accroissement de déviateur $Δ q = 50$ kPa produit une déformation axiale $ε_{a} = 0, 10 %$ et une déformation volumique (contraction), mesurées par des capteurs locaux. En supposant le comportement élastique sur cet incrément, déterminer , , , , et , puis et le module non drainé . Vérifier la cohérence des résultats.

Exercice 8.2 · Tassement d'une semelle et non-linéarité

Le sable de l'exemple 8.2 ( $E_{i} = 40$ MPa sous $σ_{3}^{'} = 100$ kPa, $q_{u l t} = 300$ kPa, kPa) est sollicité à 50 % puis à 90 % de son déviateur de rupture.

Exercice 8.3 · Rigidité d'une moraine en service

Un essai au cône sismique dans une moraine de fond du Plateau ( $ρ = 2, 0$ t/m³) donne $V_{s} = 250$ m/s. On admet l'hyperbole (8.11) avec $γ_{r} = 2 \cdot 1 0^{- 4}$ et .

Exercice 8.4 · Argile surconsolidée: côté sec

Un échantillon de l'argile de référence ( $λ = 0, 152$ , $κ = 0, 022$ , $M = 0, 984$ , NCL: $e = 0, 95$ sous 100 kPa, CSL: $e_{cs} = 0, 860$ sous 100 kPa) a été consolidé isotropiquement jusqu'à kPa, puis déchargé à kPa.

Références

Schofield, A. N., Wroth, C. P., Critical State Soil Mechanics, McGraw-Hill, Londres, 1968.
Wood, D. M., Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
Atkinson, J. H., «Non-linear soil stiffness in routine design», Géotechnique, 50(5), 2000, p. 487–508.
Jardine, R. J., Potts, D. M., Fourie, A. B., Burland, J. B., «Studies of the influence of non-linear stress–strain characteristics in soil–structure interaction», Géotechnique, 36(3), 1986, p. 377–396.
Mair, R. J., «Developments in geotechnical engineering research: application to tunnels and deep excavations» (Unwin Memorial Lecture 1992), Proceedings of the ICE – Civil Engineering, 97(1), 1993, p. 27–41.
Darendeli, M. B., Development of a new family of normalized modulus reduction and material damping curves, thèse de doctorat, University of Texas at Austin, 2001.
Lang, H.-J., Huder, J., Amann, P., Puzrin, A. M., Bodenmechanik und Grundbau, 9e éd., Springer, Berlin, 2011.
Puzrin, A. M., Constitutive Modelling in Geomechanics: Introduction, Springer, Berlin, 2012.
SIA 267, Géotechnique, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zurich, 2013.

$G / G_{0}$	0,95	0,67	0,29	0,17
$G$ (MPa)	119	83	36	21

Objectifs du chapitre

Pourquoi une loi de comportement?

Déformations et invariants

Convention de signe et déformations principales

Déformation volumique et déformation de cisaillement

Élasticité linéaire isotrope

Paramètres élastiques

Conditions drainées et non drainées

Rigidité non linéaire

Dépendance à la contrainte

Modules sécant et tangent

Le modèle hyperbolique

Rigidité aux très petites déformations

Éléments de plasticité

Surface de charge

Dilatance et règle d'écoulement

L'état critique

La ligne d'état critique

Côté humide, côté sec: le rôle de la surconsolidation

La surface de charge de Cam-Clay modifié

Limites du modèle

Synthèse

Exercices

Références

Indice des vides initial

Contrainte moyenne effective à la rupture

Résistance non drainée

Surpression interstitielle à la rupture