Croissance de long terme · Macroéconomie

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

expliquer pourquoi un écart d'un point de croissance annuelle change tout sur un siècle, utiliser la règle des 70 pour calculer un temps de doublement, et expliquer, avec le modèle malthusien, pourquoi le revenu par habitant n'a guère crû avant 1800;
écrire une fonction de production agrégée $Y = F (K, A L)$ à rendements d'échelle constants, passer à sa forme intensive $y = f (k)$ pour une Cobb-Douglas, et justifier l'ordre de grandeur $α \approx 0, 3$ ;
établir l'équation d'accumulation $Δ k = s f (k) - (δ + n + g) k$ , démontrer l'existence et l'unicité de l'état stationnaire et en calculer la valeur fermée $k^{*}$ ;
analyser l'effet d'une hausse du taux d'épargne et de la croissance démographique, en distinguant un effet de niveau d'un effet de taux de croissance;
déterminer le taux d'épargne de la règle d'or, démontrer qu'il vaut $α$ pour une Cobb-Douglas, et discuter le coût de transition qu'il implique;
décomposer la croissance observée en contributions du capital, du travail et de la productivité globale des facteurs, et discuter ce que Solow explique, ce qu'il ne prédit pas, et ce que les données de convergence lui opposent.

Pourquoi la croissance est le sujet le plus important de la macroéconomie

Un point de croissance, un siècle plus tard

Les chapitres précédents ont installé les instruments de mesure: le produit intérieur brut et sa décomposition (chapitre 2), les prix et l'inflation (chapitre 3), l'emploi et le chômage (chapitre 4). Tous portent sur des grandeurs qui bougent d'une année à l'autre de quelques pourcents. Le présent chapitre change d'échelle de temps. Il ne demande plus «pourquoi la production a-t-elle reculé cette année?» mais «pourquoi le niveau de vie d'un pays est-il aujourd'hui dix fois, ou cinquante fois, celui d'un autre?».

La réponse tient dans une opération d'apparence banale: la capitalisation. Une grandeur qui croît au taux $g$ chaque année est multipliée par $(1 + g)^{T}$ au bout de $T$ années. Sur un an, la différence entre $1 %$ et $2 %$ est imperceptible; sur cent ans, elle est de l'ordre d'un facteur trois.

Ce simple calcul explique pourquoi Robert Lucas écrivait que, une fois qu'on commence à réfléchir aux questions de croissance, il est difficile de penser à autre chose. Aucune politique conjoncturelle, aucun plan de relance, aucune baisse de taux directeur n'a jamais produit un effet comparable à celui d'un demi-point de croissance tendancielle maintenu pendant deux générations. La contrepartie est que les déterminants de la croissance de long terme sont beaucoup plus difficiles à manipuler que le taux directeur de la BNS.

La règle des 70

L'approximation est excellente dans la plage qui nous intéresse. Pour $g = 1 %$ , la règle donne $70$ ans et la valeur exacte est $69, 7$ ; pour $g = 2 %$ , elle donne $35$ ans et la valeur exacte est $35, 0$ ; pour $g = 3 %$ , elle donne contre exactement. Elle se dégrade pour les taux élevés: à , la règle annonce ans contre réellement.

Question 5.1

Le PIB par habitant d'un pays croît de 2,5 % par an. Environ combien d'années faut-il pour qu'il double?

Ce qu'il faut expliquer

Un modèle de croissance doit rendre compte de plusieurs faits stylisés, dégagés par Nicholas Kaldor dans les années 1960 et qui ont plutôt bien résisté depuis:

la production par travailleur croît à un rythme à peu près constant sur de longues périodes dans les économies avancées, sans tendance à l'essoufflement;
le stock de capital par travailleur croît à peu près au même rythme, si bien que le rapport capital/production $K / Y$ reste à peu près stable;
le taux de rendement du capital est à peu près stable, sans tendance marquée à la baisse;
les parts du travail et du capital dans le revenu national sont à peu près constantes — c'est le fait qui a le plus été discuté depuis les années 2000, la part du travail ayant reculé dans plusieurs pays avancés;
les taux de croissance diffèrent fortement entre pays, et ces différences persistent.

Ces régularités ne sont pas des lois de la nature: ce sont des approximations valables sur des décennies, dans un sous-ensemble de pays, et chacune souffre d'exceptions documentées. Mais elles fournissent la cible que le modèle de Solow va viser.

Avant 1800: le régime malthusien

Les faits de Kaldor décrivent les deux derniers siècles. Ils ne décrivent pas l'histoire longue. Pendant des millénaires, jusqu'au tournant du XIXᵉ siècle, le revenu par habitant de l'humanité est resté du même ordre de grandeur: les reconstitutions historiques du revenu par tête, très incertaines dans le détail, s'accordent sur l'absence de croissance soutenue avant la révolution industrielle, puis sur une multiplication par plus de dix depuis 1800 dans les pays aujourd'hui avancés. La croissance moderne est une anomalie récente, et la première question n'est pas «pourquoi les pays croissent-ils à des rythmes différents?» mais «pourquoi ont-ils si longtemps cessé de croître?».

La réponse classique est celle de Thomas Malthus (Essai sur le principe de population, 1798). Elle repose sur deux hypothèses: la terre est un facteur fixe, et la population réagit au niveau de vie.

Le coefficient $γ$ est la part de la terre, comme celle du facteur $R$ que la section sur l'environnement retrouvera plus bas; ce qui distingue Malthus de Solow est que ce facteur fixe pèse lourd et que la population répond au revenu.

Démonstration. Le revenu par habitant $A (R / L)^{γ}$ est strictement décroissant en $L$ . Si $Y / L > \underline{c}$ , alors $n > 0$ , la population augmente et $Y / L$ baisse; si , la population diminue et remonte. Le seul point de repos est , soit et ; il est stable par le raisonnement qui précède. Si devient , l'impact immédiat, à population donnée, est ; le nouveau point de repos est , avec de nouveau . Enfin, si croît au taux , le revenu par habitant reste constant si et seulement si son taux de croissance est nul, soit .

La sortie du piège. Elle tient à la rupture des deux hypothèses à la fois. D'une part, le progrès technique s'accélère avec la révolution industrielle et porte sur des secteurs où la terre compte peu: la part $γ$ du facteur fixe s'effondre, et l'on passe au monde de Solow, où le capital reproductible remplace la terre. D'autre part, la transition démographique casse le lien entre revenu et natalité: au-delà d'un certain niveau de vie, les familles ont moins d'enfants, investissent davantage dans leur éducation, et la croissance de la population cesse d'absorber les gains de productivité. Les théories de la «croissance unifiée» (Oded Galor) cherchent à expliquer, dans un même modèle, la longue stagnation, la sortie et la croissance moderne; le moment et la cause exacte de la sortie — rôle du capital humain, des institutions, du commerce, du charbon — restent débattus par les historiens de l'économie.

Question 5.2

Dans une économie malthusienne où la part de la terre vaut $γ = 0, 5$ , un progrès technique augmente $A$ de 21 %. De combien de pourcents la population de long terme augmente-t-elle?

La fonction de production agrégée

Une usine par pays

L'objet est évidemment une abstraction violente: il n'y a pas plus d'«usine suisse» qu'il n'y a de «consommateur représentatif». Agréger des raffineries, des hôpitaux et des cabinets d'avocats en un seul $K$ et un seul $Y$ suppose que la composition de la production ne change pas trop, ou du moins qu'elle ne change pas de façon à invalider les régularités qu'on cherche à expliquer. La critique est ancienne et sérieuse — elle a occupé la controverse dite «des deux Cambridge» dans les années 1960. On la retient, et on utilise malgré tout l'agrégat parce qu'il organise correctement les ordres de grandeur.

On impose deux propriétés.

Rendements d'échelle constants. Pour tout $λ > 0$ , $F (λ K, λ A L) = λ F (K, A L)$ : doubler simultanément le capital et le travail efficace double la production. L'argument est un argument de réplication — si l'on peut construire une seconde usine identique et l'équiper d'une seconde équipe identique, on double la production. Il exclut implicitement les facteurs fixes non reproductibles (la terre, les ressources naturelles), et c'est une limite dont la section sur l'environnement reparlera.

Productivité marginale décroissante de chaque facteur. À travail efficace donné, chaque unité de capital supplémentaire ajoute moins que la précédente: $\partial F / \partial K > 0$ et $\partial^{2} F / \partial K^{2} < 0$ . Ajouter un ordinateur à un bureau qui n'en a pas transforme le travail; ajouter le douzième ordinateur au même bureau ne change presque rien. C'est cette propriété, et elle seule, qui engendre toute la dynamique du modèle de Solow.

La forme intensive

Les rendements d'échelle constants permettent de diviser par $A L$ et de tout ramener à des grandeurs «par unité de travail efficace». Posons

k = \frac{K}{A L}, y = \frac{Y}{A L}, f (k) = F (k, 1) .

Démonstration. Posons $λ = 1/ (A L)$ dans la propriété d'homogénéité: $F (K, A L) / (A L) = F (K / (A L), 1) = f (k)$ , donc $y = f (k)$ . Pour la Cobb-Douglas, . Les dérivées se calculent directement, et donne quand et quand .

Les conditions d'Inada ne sont pas un raffinement mathématique gratuit: ce sont elles qui garantiront, à la section suivante, qu'un état stationnaire existe et qu'il est unique. Elles disent que le premier kilo de capital est infiniment productif et que le capital finit par ne plus rien rapporter.

Pourquoi $α \approx 0, 3$

La Cobb-Douglas a une propriété remarquable: si les facteurs sont rémunérés à leur productivité marginale, comme dans un marché concurrentiel, alors la part du capital dans le revenu national vaut exactement $α$ . En effet, la rémunération totale du capital est $\frac{\partial Y}{\partial K} K = α K^{α - 1} (A L)^{1 - α} \cdot K = α Y$ , et symétriquement la rémunération du travail vaut .

Cette identité fournit une calibration empirique: il suffit de lire dans les comptes nationaux la part des revenus du capital (excédent brut d'exploitation, revenus mixtes des indépendants pour leur composante capital, loyers imputés) dans la valeur ajoutée. Dans les économies avancées, les comptes nationaux placent la part du travail autour des deux tiers et celle du capital autour d'un tiers; c'est le fondement du choix $α \approx 0, 3$ retenu dans ce cours.

0,3 est un ordre de grandeur, pas une mesure

Retenez $α \approx 0, 3$ comme un ordre de grandeur et non comme une constante physique. Trois difficultés au moins interdisent d'aller au-delà de la première décimale. (1) Le revenu mixte des indépendants et des agriculteurs mélange rémunération du travail et rendement du capital, et sa répartition conventionnelle change les résultats de plusieurs points. (2) Les loyers imputés aux propriétaires de leur logement gonflent la part du capital d'une manière qui dépend du parc immobilier. (3) La part du travail n'est pas constante: les comptes nationaux de nombreux pays avancés montrent un recul sur les dernières décennies, dont l'ampleur et les causes (numérisation, concentration des marchés, mondialisation, mesure du capital intangible) restent débattues. Un chiffre comme « $α = 0, 3$ » est donc une hypothèse de travail déclarée, pas un fait mesuré au centième.

Question 5.3

Dans une économie décrite par $Y = K^{0, 3} (A L)^{0, 7}$ où les facteurs sont payés à leur productivité marginale, que vaut la part des salaires dans le revenu national?

Le modèle de Solow

Le modèle publié par Robert Solow en 1956 (et, la même année, de manière indépendante, par Trevor Swan) est le cadre de référence de toute la théorie de la croissance. Il est construit sur une seule équation d'accumulation et une hypothèse de comportement minimale: une fraction constante $s$ du revenu est épargnée, donc investie.

L'équation d'accumulation

Trois forces agissent sur le stock de capital par unité de travail efficace.

L'investissement accroît le capital. En économie fermée, l'épargne est investie: $I = s Y$ , donc en unités efficaces $i = s f (k)$ .
La dépréciation détruit une fraction $δ$ du stock chaque année: une machine s'use, un logiciel devient obsolète.
La dilution réduit le capital par unité de travail efficace même quand le stock physique ne bouge pas: si la population active croît au taux $n$ et l'efficacité du travail au taux $g$ , le dénominateur $A L$ croît au taux $n + g$ , et il faut investir pour que chaque nouveau travailleur soit équipé comme les anciens.

Démonstration. Le stock physique évolue selon $Δ K = s Y - δ K$ . En temps continu, $\dot{K} / K = s Y / K - δ$ . Comme $k = K / (A L)$ , la dérivée logarithmique donne

\frac{k ˙}{k} = \frac{K ˙}{K} - \frac{A ˙}{A} - \frac{L ˙}{L} = \frac{s Y}{K} - δ - g - n .

En multipliant par $k = K / (A L)$ et en notant $Y / (A L) = f (k)$ , il vient $\dot{k} = s f (k) - (δ + n + g) k$ , dont (5.5) est la version en temps discret avec un pas d'un an.

La figure 5.1 est le cœur du chapitre; presque tout le reste consiste à déplacer l'une de ses trois courbes. Remarquez qu'en $k^{*}$ , la courbe d'épargne coupe la droite de maintien: l'économie investit exactement de quoi compenser l'usure et la dilution, ni plus ni moins.

Existence et unicité de l'état stationnaire

Démonstration. Existence et unicité. Posons $φ (k) = s f (k) - (δ + n + g) k$ sur $] 0, + \infty [$ . On a $φ^{'} (k) = s α k^{α - 1} - (δ + n + g)$ , qui est strictement décroissante en , tend vers quand (condition d'Inada) et vers quand . Donc croît puis décroît: elle est . Comme , est strictement positive au voisinage de et tend vers ; par le théorème des valeurs intermédiaires elle s'annule au moins une fois en un , et la stricte concavité avec interdit un second zéro strictement positif.

Calcul. Résolvons $s k^{α} = (δ + n + g) k$ . En divisant par $k^{α} > 0$ : $s = (δ + n + g) k^{1 - α}$ , d'où et, en élevant à la puissance , la formule (5.7).

Stabilité. Pour $0 < k < k^{*}$ , la stricte concavité de $φ$ avec $φ (0) = φ (k^{*}) = 0$ donne $φ (k) > 0$ , donc et croît vers . Pour , , donc décroît vers . Dans les deux cas, la trajectoire est monotone et bornée par : elle y converge.

Une lecture économique de la démonstration éclaire le résultat. Le rapport $s f (k) / k$ est le taux de croissance brut du capital: comme $f$ est concave et $f (0) = 0$ , ce rapport décroît quand $k$ augmente. Le maintien, lui, coûte un taux constant $δ + n + g$ . Une économie pauvre en capital a donc un rendement du capital élevé, épargne assez pour croître vite, et son rendement baisse à mesure qu'elle s'équipe, jusqu'au point où l'épargne ne fait plus que compenser l'usure et la dilution. Toute la dynamique de Solow est la décroissance de la productivité marginale du capital.

La dynamique hors de l'état stationnaire

Que se passe-t-il si la Sylvanie part d'un capital très inférieur à $k^{*}$ , par exemple après une destruction de guerre? L'équation (5.5) donne le taux de croissance de $k$ :

\frac{Δ k}{k} = s \frac{f ( k )}{k} - (δ + n + g) = s k^{α - 1} - (δ + n + g), (5.8)

et celui de $y$ vaut $α$ fois celui de $k$ , puisque $y = k^{α}$ . Le tableau suivant applique (5.8) au calibrage de la Sylvanie.

$k$ de départ	$y = k^{0, 3}$	Croissance de $k$	Croissance de $y$ (au-delà de $g$ )
1,00	1,000	13,00 %	3,90 %
2,00	1,231	5,31 %	1,59 %
3,00	1,390	2,27 %	0,68 %
4,481	1,568	0,00 %	0,00 %
8,00	1,866	−2,33 %	−0,70 %

Une économie partie d'un capital quatre fois et demie inférieur à son état stationnaire voit son revenu par tête croître de $3, 9$ points au-dessus de $g$ , soit $5, 2 %$ par an au total; aux deux tiers du chemin, ce supplément n'est plus que de $0, 7$ point; à l'état stationnaire, il est nul. C'est la mécanique du rattrapage d'après-guerre: les «trente glorieuses» européennes et japonaises, puis le décollage de la Corée du Sud ou de la Chine, sont d'abord des trajectoires de reconstitution de capital, et le ralentissement qui les suit est prédit par le modèle, pas subi comme un échec.

Pour la Sylvanie, $λ = 0, 7 \times 0, 07 = 0, 049$ , soit $4, 9 %$ par an, et une demi-vie de $ln 2/0, 049 = 14, 1$ ans. Retenez ce chiffre: la section sur la convergence montrera qu'il est environ deux fois trop rapide par rapport à ce que les données suggèrent, et que cet écart est l'un des indices les plus utiles que la théorie de la croissance ait produits.

Question 5.4

Une économie de Solow subit une destruction massive de son stock de capital. Remettez dans l'ordre chronologique les étapes de son ajustement.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Le capital et le revenu par tête croissent nettement plus vite que

g

L'épargne

s f (k)

dépasse largement l'investissement de maintien

(δ + n + g) k

L'économie retrouve

k^{*}

et son revenu par tête croît de nouveau au taux

g

La productivité marginale du capital

f^{'} (k)

devient très élevée

À mesure que

k

remonte, la productivité marginale du capital baisse et la croissance ralentit

Le capital par unité de travail efficace

k

tombe très en dessous de

k^{*}

Statique comparative: épargne et démographie

Une hausse du taux d'épargne

Supposons que la Sylvanie, par une réforme de son système de prévoyance ou par un changement de comportement des ménages, porte durablement son taux d'épargne de $0, 20$ à $0, 30$ . La courbe $s f (k)$ se déplace vers le haut; la droite de maintien ne bouge pas; le point d'intersection se déplace vers la droite.

Par (5.7), le nouvel état stationnaire vaut

k^{**} = (\frac{0 , 30}{0 , 07})^{1, 4286} = 7, 996, y^{**} = (7, 996)^{0, 3} = 1, 866.

Le capital par unité efficace augmente de $78, 5 %$ et le revenu de $19, 0 %$ . Le contraste entre les deux chiffres est instructif: parce que $α$ est petit, il faut une énorme accumulation de capital pour gagner un peu de revenu. C'est la productivité marginale décroissante à l'œuvre.

Démonstration. En état stationnaire, $y = f (k^{*})$ est constant, donc $Y / L = A y^{*}$ croît au taux $\dot{A} / A = g$ , quelle que soit la valeur de : le taux de croissance de long terme ne dépend pas de . En revanche, est strictement croissant en , donc le niveau augmente. Enfin, immédiatement après la hausse de , le stock est encore à son ancienne valeur, si bien que et : pendant toute la transition, croît en plus de , donc le revenu par tête croît à un taux supérieur à , qui décroît vers à mesure que .

Le résultat le plus important — et le plus souvent mal cité — du modèle de Solow

«Épargner plus fait croître plus vite» est faux dans le modèle de Solow, au sens du long terme. Épargner plus rend plus riche — définitivement — mais ne fait croître plus vite que pendant la transition, et cette transition, si rapide soit-elle en théorie, dure des décennies. Confondre les deux conduit à des prédictions absurdes: un pays qui passerait de $20 %$ à $40 %$ d'épargne et y resterait ne croîtrait pas éternellement à un rythme doublé; il rejoindrait un niveau plus élevé, puis reprendrait le rythme $g$ . Inversement, un pays qui croît vite depuis vingt ans grâce à l'accumulation de capital ralentira, et cela ne signalera aucun échec de politique économique. Gardez toujours les deux questions séparées: parle-t-on d'un niveau ou d'une pente?

Question 5.5

Une économie a $α = 0, 3$ , $s = 0, 20$ , $δ = 0, 05$ , $n = 0, 007$ et $g = 0, 013$ . Calculez son capital d'état stationnaire par unité de travail efficace $k^{*}$ .

Une hausse de la croissance démographique

Supposons maintenant que la croissance de la population active de la Sylvanie passe de $0, 7 %$ à $1, 7 %$ par an — par exemple à la suite d'une vague migratoire durable. La droite de maintien pivote vers le haut: chaque année, il faut équiper davantage de nouveaux travailleurs. La courbe d'épargne ne bouge pas, et l'intersection se déplace vers la gauche:

δ + n + g = 0, 08, k^{*} = (\frac{0 , 20}{0 , 08})^{1, 4286} = 3, 702, y^{*} = 1, 481, c^{*} = 1, 185.

Le capital par unité efficace recule de $17, 4 %$ et le revenu par tête de $5, 6 %$ . Mais le taux de croissance du PIB total de long terme passe de $n + g = 2, 0 %$ à $3, 0 %$ : le pays devient plus grand tout en devenant, par tête, un peu plus pauvre que dans le contre-factuel.

Question 5.6

Un pays double durablement son taux d'épargne. Dans le modèle de Solow avec $α = 0, 3$ , quel est l'effet de long terme sur le revenu par unité de travail efficace?

La règle d'or de l'accumulation

Le niveau de capital qui maximise la consommation

Puisque tout taux d'épargne engendre son propre état stationnaire, lequel faut-il préférer? Un taux d'épargne nul donne $k^{*} = 0$ et une consommation nulle; un taux d'épargne de $100 %$ donne un immense stock de capital et une consommation nulle aussi. Entre les deux, il existe un maximum.

Démonstration. La fonction $c^{*} (k) = f (k) - (δ + n + g) k$ est strictement concave (somme d'une fonction strictement concave et d'une fonction linéaire), donc son maximum est caractérisé par la condition du premier ordre $c^{*'} (k) = f^{'} (k) - (δ + n + g) = 0$ , ce qui est (5.11). Les conditions d'Inada garantissent que ce point existe à l'intérieur du domaine: en et en , donc traverse la valeur exactement une fois.

Pour la Cobb-Douglas, $f^{'} (k) = α k^{α - 1}$ , et (5.11) s'écrit $α k_{or}^{α - 1} = δ + n + g$ , soit , ce qui donne la première égalité de (5.12).

Pour le taux d'épargne: en état stationnaire, (5.6) impose $s = (δ + n + g) k^{*} / f (k^{*}) = (δ + n + g) (k^{*})^{1 - α}$ . Évalué en , et en utilisant :

s_{or} = (δ + n + g) \times \frac{α}{δ + n + g} = α . □

La démonstration mérite d'être relue, parce que l'invariance qu'elle établit est contre-intuitive. Modifiez la dépréciation, la démographie, le rythme du progrès technique: le niveau de capital de la règle d'or bouge, la production bouge, la consommation maximale bouge — mais la fraction du revenu qu'il faut épargner pour y parvenir reste collée à $α$ . C'est exactement ce que l'explorateur ci-dessous vous invite à vérifier de vos yeux.

Le coût de la transition, et les limites du critère

L'exemple 5.4 a déjà chiffré la transition: passer de $s = 0, 20$ à $s = 0, 30$ coûte $12, 5 %$ de consommation immédiatement, il faut vingt-sept ans pour revenir au point de départ, et le gain final n'est que de $4, 1 %$ . C'est le cas général: rejoindre la règle d'or depuis la sous-accumulation exige de consommer moins aujourd'hui pour consommer plus demain. Le sens inverse serait indolore — une économie sur-accumulée qui réduit son épargne consomme plus immédiatement et à long terme, ce qui est précisément ce qui rend la sur-accumulation inefficace au sens de Pareto.

La règle d'or n'est pas le seul critère défendable

Le critère de la règle d'or maximise la consommation d'état stationnaire sans pondérer les générations: il traite la consommation d'aujourd'hui et celle de l'an 2200 sur le même pied. Ce n'est pas le seul choix possible, et probablement pas le plus raisonnable.

Le modèle de Ramsey–Cass–Koopmans remplace le taux d'épargne exogène de Solow par un ménage qui choisit sa consommation en maximisant une somme actualisée d'utilités, avec un taux de préférence pure pour le présent $ρ$ . Son état stationnaire, dit règle d'or modifiée, vérifie $f^{'} (k) - δ = ρ + θ g$ où mesure l'aversion à la variation de consommation. Comme , ce niveau de capital est à celui de la règle d'or: une société qui escompte l'avenir, même faiblement, choisit rationnellement de rester en deçà de . Le débat sur le taux d'actualisation à retenir pour les politiques climatiques — la controverse entre Nicholas Stern et William Nordhaus en est l'illustration la plus connue — est exactement ce débat-là.

Explorateur 5.1 · Explorateur du modèle de Solow

Fonction de production intensive $f (k) = k^{0, 30}$ , croissance de la population active n = 0,7 % et progrès technique g = 1,3 % (calibrage fictif de la Sylvanie, dont le taux d'investissement vaut 0,20). Déplacez le taux d'épargne s et le taux de dépréciation δ: l'état stationnaire se déplace, mais le taux d'épargne de la règle d'or reste collé à α = 0,30.

Taux d'épargne s0,20

Dépréciation δ0,050

Capital k*

4,481

Revenu y*

1,568

Consommation c*

1,255

Épargne de la règle d'or

0,30

Consommation maximale c_or

1,306

Écart à la règle d'or

3,9%

Question 5.7

Une économie a $α = 0, 3$ , $δ = 0, 05$ , $n = 0, 007$ , $g = 0, 013$ et un taux d'épargne de la règle d'or. De combien de pourcent sa consommation d'état stationnaire dépasse-t-elle celle d'une économie identique qui n'épargne que 20 %?

Le progrès technique

La seule source de croissance de long terme

Revenons à la définition de l'état stationnaire. En $k^{*}$ , $y = Y / (A L)$ est constant. Le revenu par tête vaut donc $Y / L = A y^{*}$ et croît exactement au rythme de $A$ :

\frac{Δ ( Y / L )}{Y / L} = g, \frac{Δ Y}{Y} = n + g, \frac{Δ K}{K} = n + g . (5.13)

C'est le résultat central du modèle, et il est à la fois puissant et frustrant. Puissant, parce qu'il identifie sans ambiguïté la seule variable qui puisse soutenir une hausse indéfinie du niveau de vie: le progrès technique, au sens large — technologies, méthodes d'organisation, qualité des institutions, compétences. Ni l'épargne, ni la démographie, ni la politique budgétaire ne peuvent faire croître le revenu par tête indéfiniment, parce que toutes se heurtent à la décroissance de la productivité marginale du capital.

Frustrant, parce que $g$ est exogène dans le modèle: Solow explique la croissance de long terme en supposant sa cause. Le modèle nous dit où regarder, mais pas ce que nous y trouverons. C'est précisément la faille dans laquelle s'est engouffrée, trente ans plus tard, la théorie de la croissance endogène.

Le résidu de Solow et la comptabilité de la croissance

Si $g$ n'est pas observable directement, on peut au moins le mesurer par soustraction. Partons de la Cobb-Douglas sous sa forme la plus commode pour la mesure,

Y = A_{PTF} K^{α} L^{1 - α},

où $A_{PTF}$ est la productivité globale des facteurs (PGF ou PTF). En prenant les logarithmes puis les variations relatives:

Démonstration. $ln Y = ln A_{PTF} + α ln K + (1 - α) ln L$ . En différenciant par rapport au temps et en divisant par les niveaux, $\dot{Y} / Y = \dot{A} / A + α \dot{K} / K + (1 - α) \dot{L} / L$ , ce qui est (5.14). La forme par tête s'obtient en retranchant des deux membres.

Question 5.8

Dans une économie où $α = 0, 3$ , le PIB croît de 3,4 % par an, le stock de capital de 4,0 % et l'emploi de 1,0 %. Calculez le résidu de Solow, en points de pourcentage par an.

Convergence: ce que le modèle prédit et ce que l'on observe

Convergence absolue et convergence conditionnelle

Le modèle de Solow prédit la convergence conditionnelle, pas l'absolue. Relisez (5.8): la croissance de $k$ dépend de l'écart entre $k$ et $k^{*}$ , et $k^{*}$ dépend de $s$ et de $n$ . Un pays pauvre parce qu'il a subi une guerre rattrape; un pays pauvre parce qu'il épargne peu ou que ses institutions découragent l'investissement ne rattrape rien du tout: il est déjà à son état stationnaire, qui est simplement bas.

Ce que disent les données

C'est ici que la théorie rencontre la réalité, et le verdict est net.

À l'échelle du monde entier, la convergence absolue est contredite par les données. Sur les décennies d'après-guerre, la corrélation entre le revenu par tête initial d'un pays et sa croissance ultérieure, sur un échantillon large de pays, n'est pas négative comme la convergence absolue l'exigerait; elle est proche de zéro, voire légèrement positive selon la période et l'échantillon. Autrement dit, les pays pauvres n'ont pas, en moyenne, rattrapé les pays riches; l'éventail des revenus par habitant s'est, pour une partie du monde, élargi. Ce résultat est l'un des plus solidement établis de la macroéconomie empirique, et il est répliqué avec les bases de données internationales de comptes nationaux successives.

Sur des sous-échantillons homogènes, en revanche, la convergence apparaît. Entre les pays de l'OCDE, entre les régions d'un même pays (les cantons suisses, les préfectures japonaises, les États américains), entre les pays européens depuis les élargissements, on observe bien que les plus pauvres croissent plus vite. Ces ensembles partagent institutions, technologies accessibles et taux d'épargne comparables: ils ont donc à peu près le même état stationnaire, et la convergence conditionnelle y devient observationnellement équivalente à la convergence absolue.

Le troisième résultat est celui qui a le plus fait avancer la théorie. Lorsqu'on estime la vitesse de convergence sur ces échantillons, en contrôlant les déterminants de l'état stationnaire, la littérature des régressions de croissance rapporte de manière récurrente un ordre de grandeur de 2 % par an — assez stable pour qu'on l'ait surnommée la «loi d'airain de la convergence». Or notre calibrage prédisait $λ = (1 - α) (δ + n + g) = 0, 7 \times 0, 07 = 4, 9 %$ , soit une demi-vie de ans au lieu des ans qu'implique .

Un modèle réfuté par deux chiffres — et c'est instructif

Le modèle de Solow de base échoue sur deux fronts quantitatifs, et il vaut la peine de les nommer précisément plutôt que de dire qu'il est «incomplet».

Premier échec: l'ampleur des écarts. Par (5.7), le rapport des revenus de deux pays vaut $(s_{1} / s_{2})^{α / (1 - α)} = (s_{1} / s_{2})^{3/7}$ . Même un rapport de à entre les taux d'épargne ne produit qu'un rapport de revenu de . Or les écarts de revenu par habitant entre les pays les plus riches et les plus pauvres sont d'un ordre de grandeur bien supérieur — un facteur de plusieurs dizaines selon les comparaisons en parité de pouvoir d'achat des bases de comptes nationaux internationales. Le capital physique et la démographie expliquer l'essentiel de la richesse des nations.

Question 5.9

On observe que, sur un large échantillon de pays, le revenu par habitant initial n'est pas corrélé négativement avec la croissance des décennies suivantes. Qu'en conclure du modèle de Solow?

Au-delà de Solow

Le modèle de Solow laisse deux trous béants: il ne dit pas d'où vient $g$ , et il n'explique quantitativement ni les niveaux ni les vitesses observés. Quatre familles de réponses ont été explorées depuis. Elles sont présentées ici avec leur statut de recherche: certaines sont des extensions bien établies, d'autres des programmes de recherche encore ouverts.

Le capital humain

L'idée est simple: la formation, l'expérience et la santé sont du capital — coûteux à accumuler, productif, susceptible de se déprécier. On écrit alors $Y = K^{α} H^{β} (A L)^{1 - α - β}$ et l'on recommence l'analyse. Formellement, rien ne change: les états stationnaires sont de même nature, mais l'exposant total du capital reproductible passe de $0, 3$ à $0, 5$ – selon les estimations, ce qui, comme on l'a vu, améliore nettement l'ajustement sur les niveaux et sur les vitesses.

Statut: extension bien établie et largement reprise dans l'enseignement. Ses points faibles sont la mesure du capital humain (les années de scolarité captent très imparfaitement ce qui est appris) et le fait que l'ajustement amélioré ne prouve pas la causalité: un pays peut avoir beaucoup d'années de scolarité parce que il est riche.

La croissance endogène

La théorie de la croissance endogène, développée à partir de la fin des années 1980 (Paul Romer, Robert Lucas, Philippe Aghion et Peter Howitt), rend $g$ endogène en faisant des idées un facteur de production d'une nature particulière.

Une idée est non rivale: le fait que je l'utilise ne vous empêche pas de l'utiliser. Une recette, un théorème, un protocole ne s'usent pas à l'usage. Il en découle une conséquence formelle décisive: si la production dépend des facteurs rivaux ( $K$ , $L$ ) avec rendements d'échelle constants, alors en ajoutant le stock d'idées $A$ on obtient des rendements croissants au niveau agrégé. Doubler les hommes et les machines double la production; doubler les hommes, les machines et le stock de connaissances la fait plus que doubler. La décroissance de la productivité marginale, moteur unique de Solow, cesse alors d'être fatale.

Une idée est aussi partiellement excluable: brevets, secret industriel et avance temporelle permettent d'en capter une partie du rendement, sans quoi personne ne financerait la recherche. D'où le rôle central, dans ces modèles, des institutions de la propriété intellectuelle — et l'arbitrage entre l'incitation à créer (qui plaide pour des brevets forts) et la diffusion (qui plaide pour l'inverse).

Statut: cadre théorique majeur et fécond, mais dont la validation empirique reste contestée. Le point le plus discuté est la prédiction des modèles de première génération dite «effet d'échelle»: un pays qui double ses chercheurs devrait doubler son taux de croissance. Les données ne le montrent pas — l'effort de recherche a fortement augmenté dans les pays avancés sans accélération correspondante de la croissance de la PTF. Les modèles ultérieurs (dits semi-endogènes) corrigent ce point en supposant que les idées deviennent de plus en plus difficiles à trouver, ce que plusieurs travaux récents sur la productivité de la recherche défendent. Le débat n'est pas tranché.

Institutions et droits de propriété

Une troisième famille déplace la question: si les idées et les machines sont disponibles, pourquoi certains pays ne les emploient-ils pas? La réponse proposée par les travaux sur les institutions (Douglass North, puis Daron Acemoglu, Simon Johnson et James Robinson) est que l'investissement — en capital physique, humain ou en recherche — n'a lieu que si celui qui le finance peut en récolter le fruit. Cela suppose des droits de propriété protégés, des contrats exécutables, un pouvoir politique contraint, une administration prévisible, une fiscalité non confiscatoire.

Statut: programme de recherche influent, et l'un des rares en macroéconomie à avoir sérieusement affronté le problème de causalité, notamment par des stratégies d'identification historiques. Il reste critiqué sur deux points: la mesure des institutions (les indices utilisés sont souvent construits à partir de perceptions d'experts, elles-mêmes possiblement influencées par la performance économique observée) et la validité des instruments historiques employés. Prenez au sérieux le mécanisme, soyez prudents avec les estimations ponctuelles.

L'ouverture commerciale

L'ouverture agit sur la croissance par plusieurs canaux distincts, qu'il faut distinguer: la spécialisation selon les avantages comparatifs (un effet de niveau, pas de taux), l'accès à des biens d'équipement importés moins chers, la diffusion technologique par l'importation, l'investissement direct étranger et les chaînes de valeur, la pression concurrentielle qui pousse à l'innovation, et la taille du marché accessible qui rend rentable un effort de recherche.

Statut: la direction de l'effet est largement admise, son ampleur beaucoup moins. L'identification est difficile parce que l'ouverture n'est pas distribuée au hasard: les pays qui s'ouvrent réforment souvent tout le reste en même temps. Les revues de littérature concluent en général à un effet positif mais dont la taille reste très incertaine, et la distinction entre effets de niveau et effets de taux est trop souvent escamotée.

Croissance et environnement

La fonction de production $F (K, A L)$ ignore les ressources naturelles et les rejets. Trois positions structurent le débat contemporain, et ce cours les présente sans en trancher aucune.

Le découplage. Ce qui compte pour l'environnement n'est pas le PIB mais l'empreinte matérielle et les émissions. Si l'intensité en carbone du PIB baisse plus vite que le PIB ne croît, les émissions baissent en valeur absolue tout en laissant croître le revenu: c'est le découplage absolu. Plusieurs économies avancées ont réduit leurs émissions territoriales tout en croissant, sur des périodes récentes; les défenseurs de cette position y voient la preuve que la croissance est compatible avec la contrainte climatique, pourvu qu'on tarifie correctement les externalités (taxe CO₂, marchés de permis — chapitre 11 du cours de microéconomie). L'objection principale porte sur la comptabilité: une baisse des émissions territoriales peut refléter la délocalisation de la production plutôt qu'une amélioration réelle, et l'empreinte fondée sur la consommation raconte une histoire moins favorable. L'ampleur du découplage réellement atteint est donc une question de mesure, disputée.

Les limites matérielles. La deuxième position soutient que les rendements d'échelle constants supposent la reproductibilité de tous les facteurs, ce que la biosphère, les métaux critiques et la capacité d'absorption de l'atmosphère ne sont pas. On peut lui donner une forme technique: si la production dépend aussi d'un facteur fixe non reproductible $R$ , alors $Y = K^{α} R^{γ} (A L)^{1 - α - γ}$ présente des rendements décroissants en $(K, A L)$ et le progrès technique doit compenser en permanence la dilution de par tête. La question devient empirique: la substituabilité entre ressources naturelles et capital reproductible est-elle assez forte? Les réponses divergent profondément selon les domaines — elle est élevée pour l'énergie, beaucoup plus faible pour certains services écosystémiques.

La décroissance. La troisième position conteste l'objectif lui-même: si le découplage absolu suffisamment rapide n'est pas atteignable, alors il faut réduire volontairement la production matérielle dans les pays riches, en réorganisant le travail, la protection sociale et la répartition. Ses partisans soulignent que le PIB n'est pas le bien-être (une limite déjà discutée au chapitre 2) et que la croissance au-delà d'un certain niveau améliore peu les indicateurs sociaux. Ses critiques répondent que les transitions envisagées se heurtent à des obstacles macroéconomiques massifs — financement des retraites et de la dette dans une économie qui ne croît plus, chômage, faisabilité politique — et que l'effort devrait porter sur le contenu de la croissance plutôt que sur son taux.

Le cas suisse

La Suisse est un cas intéressant précisément parce qu'elle met en tension plusieurs mécanismes du chapitre. Les traits suivants sont des mécanismes structurels documentés par les statistiques publiques (comptes nationaux et statistiques de la R&D de l'OFS, rapports du SECO); aucun chiffre précis n'est avancé ici.

Petite économie ouverte. Le marché intérieur est étroit; les entreprises exportatrices visent d'emblée le marché mondial, et le taux d'ouverture (somme des exportations et des importations rapportée au PIB) est parmi les plus élevés des pays comparables. Cela joue dans les deux sens: accès à la taille de marché qui rend rentable un effort de recherche coûteux, mais exposition directe aux chocs extérieurs et au taux de change. L'abandon du taux plancher EUR/CHF en janvier 2015 et l'appréciation du franc qui a suivi ont constitué un choc de compétitivité massif pour l'industrie d'exportation; la réponse observée a moins été une contraction qu'une montée en gamme forcée et des gains de productivité — un rappel que la composition de la production répond aux prix relatifs.

Forte intensité en capital humain. Le système de formation duale, les hautes écoles spécialisées et les deux écoles polytechniques alimentent un stock de compétences élevé. Dans le langage de la section précédente, la Suisse est un pays où le terme $H$ pèse lourd — ce qui explique une part de son niveau de revenu bien mieux que son taux d'épargne physique.

R&D privée élevée. La dépense de recherche et développement rapportée au PIB place la Suisse dans le groupe de tête des pays de l'OCDE, avec une particularité: elle est financée et exécutée majoritairement par les entreprises, pharma et machines-outils en tête, davantage que par l'État. C'est cohérent avec les modèles de croissance endogène, où l'effort privé de recherche répond à la perspective de rentes temporaires protégées par les brevets.

Croissance du PIB par habitant modérée, niveau élevé. Ces deux faits vont ensemble et ne se contredisent pas. Le modèle de Solow l'explique directement: un pays proche de son état stationnaire, et proche de la frontière technologique mondiale, ne peut plus croître par rattrapage; il ne croît qu'au rythme du déplacement de la frontière elle-même. Une croissance par tête modeste dans un pays très riche n'est donc pas un symptôme de dysfonctionnement — c'est ce que le modèle prédit.

Immigration: PIB total contre PIB par tête. C'est l'application la plus directe de la statique comparative de la section précédente. La croissance de la population active, alimentée par l'immigration et par la libre circulation, explique une part substantielle de la croissance du PIB total suisse des dernières décennies. Son effet sur le PIB par habitant est bien plus ambigu, et dépend de trois mécanismes qui jouent en sens contraires.

Dilution du capital (effet de Solow, négatif): plus de travailleurs à équiper, à loger, à desservir en infrastructures, à capital donné. Les tensions sur le logement et les transports en sont l'expression concrète.
Composition du capital humain (effet positif ou négatif selon les flux): une immigration à qualification moyenne supérieure à celle de la population résidente relève le stock de compétences par tête; l'inverse le réduit. En Suisse, la structure des flux liés à la libre circulation a été plutôt qualifiée, ce qui joue en faveur du premier cas.
Effets de marché et d'appariement (positif): un bassin d'emploi plus large réduit les tensions de recrutement dans les métiers en pénurie et améliore l'appariement entre postes et compétences, ce qui relève la productivité mesurée.

La leçon méthodologique est plus importante que le verdict: une même politique peut relever un agrégat et abaisser l'autre, et une discussion qui ne précise pas lequel des deux elle commente est vide. C'est aussi pourquoi la croissance du PIB par habitant est le bon indicateur pour parler de niveau de vie, et la croissance du PIB total le bon indicateur pour parler de recettes fiscales, de charge de la dette ou de taille du marché intérieur.

Synthèse

La croissance soutenue du revenu par habitant est récente. Dans un régime malthusien — un facteur fixe, la terre, et une population qui croît dès que le revenu dépasse la subsistance —, le progrès technique se convertit en population et non en niveau de vie: avec $γ = 0, 4$ , un gain de 10 % sur $A$ accroît la population de long terme de 26,9 % et laisse $Y / L$ à la subsistance. La sortie tient à la révolution industrielle et à la transition démographique.
La capitalisation rend la croissance de long terme plus importante que toute politique conjoncturelle: $1 %$ et $2 %$ par an conduisent, sur un siècle, à des revenus par tête dans un rapport de $2, 7$ à $7, 2$ . La convertit tout taux de croissance en temps de doublement.

Série d'exercices du chapitre 5Exercice 1 sur 5

Question 5.10

Dans le modèle de Solow, quelle grandeur croît au taux $n + g$ à l'état stationnaire?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 5.1 · Capitalisation et règle des 70

Le PIB par habitant d'un pays vaut $40000$ UM et croît de $1, 5 %$ par an. Calculez, avec la règle des 70 puis exactement, le nombre d'années nécessaires pour qu'il double.
Calculez son niveau après 40 ans.
Un pays voisin part du même niveau mais croît de $3, 0 %$ par an. Après 40 ans, quel est le rapport des deux revenus par habitant? Commentez.
On entend souvent qu'«un demi-point de croissance en plus ne change pas grand-chose». Évaluez cette affirmation sur 50 ans, en partant de $1, 5 %$ .

Solution

Exercice 5.2 · Un état stationnaire complet

Une économie est décrite par $Y = K^{0, 3} (A L)^{0, 7}$ , avec $s = 0, 24$ , $δ = 0, 06$ , et .

Exercice 5.3 · La règle d'or, démontrée puis appliquée

Démontrez que le niveau de capital qui maximise la consommation d'état stationnaire vérifie $f^{'} (k_{or}) = δ + n + g$ .
Démontrez que, pour $f (k) = k^{α}$ , le taux d'épargne correspondant vaut exactement , quels que soient , et .

Exercice 5.4 · Comptabilité de la croissance

Une économie observe, sur une décennie: PIB réel $+ 3, 2 %$ par an, stock de capital $+ 4, 4 %$ par an, heures travaillées $+ 0, 8 %$ par an. On retient $α = 0, 3$ .

Décomposez la croissance en contributions du capital, du travail et de la PTF, et vérifiez que la somme est exacte.
Calculez la croissance du PIB par heure travaillée et décomposez-la.
Refaites le calcul avec $α = 0, 40$ . Que devient le résidu, et quelle leçon en tirer?

Exercice 5.5 · Le piège malthusien et la transition démographique

Une économie agraire produit $Y = A R^{0, 4} L^{0, 6}$ sur une surface fixe $R = 100$ . Le niveau de subsistance vaut $\underline{c} = 1$ et la croissance de la population suit avec . Initialement, .

Exercice 5.6 · Pourquoi Solow ne suffit pas

Montrez que, dans le modèle de Solow avec Cobb-Douglas, le rapport des revenus d'état stationnaire de deux pays qui ne diffèrent que par leur taux d'épargne vaut $(s_{1} / s_{2})^{α / (1 - α)}$ .
Avec $α = 0, 3$ , quel rapport de taux d'épargne faudrait-il pour expliquer un rapport de revenus de 10? Le chiffre obtenu est-il plausible?

Références

Blanchard, O., Amighini, A. & Giavazzi, F., Macroéconomie, Pearson — chapitres sur le long terme: épargne, capital et croissance, progrès technique.
Mankiw, N. G., Macroéconomie, De Boeck — exposé de référence du modèle de Solow, de la règle d'or et de la comptabilité de la croissance.
Jones, C. I., Macroeconomics, Norton — présentation moderne du modèle de Solow et de la croissance endogène, avec un traitement soigné des idées non rivales.
Burda, M. & Wyplosz, C., Macroéconomie: une perspective européenne, De Boeck — croissance et convergence en Europe.
Comptes nationaux et statistiques de la recherche et développement de l'Office fédéral de la statistique (OFS) — parts des facteurs, formation brute de capital fixe, dépenses de R&D par secteur d'exécution.
Publications du Secrétariat d'État à l'économie (SECO) sur la croissance de la productivité et le potentiel de croissance de l'économie suisse.

Année	$k$	$y$	$c = 0, 7 y$
0	4,481	1,568	1,098
5	5,205	1,640	1,148
10	5,792	1,694	1,186
20	6,636	1,764	1,235
27	7,031	1,795	1,257
50	7,688	1,844	1,291
∞	7,996	1,866	1,306