Formulaire · Microéconomie

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les définitions, règles d'optimalité et formules essentielles du cours, avec la notation des chapitres correspondants (les numéros d'équations et de théorèmes y renvoient). Chaque formule est suivie de la signification des symboles et de ses conditions de validité; les démonstrations, les exemples chiffrés et les pièges classiques se trouvent dans les chapitres. Conventions: les prix sont en francs suisses, écrits «CHF 12,50», et les pourcentages avec une espace, «12 %»; la demande est notée $Q_{d} (p)$ et l'offre $Q_{s} (p)$ , la demande inverse $p_{d} (Q)$ et l'offre inverse $p_{s} (Q)$ ; on porte, comme il est d'usage en économie, la quantité en abscisse et le prix en ordonnée, de sorte que la «pente» d'une courbe lue sur le graphique est l'inverse de la dérivée $d Q / d p$ ; les grandeurs marginales sont des dérivées ( $C m = C T^{'}$ , $R m = R T^{'}$ , $P m_{L} = \partial q / \partial L$ , $B m = B^{'}$ ) et coïncident avec les différences $Δ$ des tableaux discrets à un décalage d'une demi-unité près; les élasticités sont des rapports de variations relatives, sans dimension, et l'élasticité-prix de la demande $ε$ est comptée négative, de sorte que «demande élastique» signifie $∣ ε ∣ > 1$ ; l'utilité est $U (x, y)$ , le revenu $R$ , le profit $π$ , les surplus $S C$ , $S P$ , $S T$ et la perte sèche $P S$ ; la virgule décimale est utilisée partout, y compris en mathématiques ( $0, 5$ ).

Chapitre 1 – Rareté, choix et méthode économique

co \overset{u}{ˆ} t d’opportunit \overset{e}{ˊ} = d \overset{e}{ˊ} penses mon \overset{e}{ˊ} taires caus \overset{e}{ˊ} es par le choix + valeur du meilleur usage sacrifi \overset{e}{ˊ} des ressources engag \overset{e}{ˊ} es

Coût d'opportunité d'une décision: il inclut le coût implicite du temps et du capital immobilisés, et il exclut les dépenses que l'on aurait engagées de toute façon, en particulier les coûts irrécupérables (déjà payés et non récupérables), qui ne doivent jamais entrer dans une décision tournée vers l'avenir.

co \overset{u}{ˆ} t d’opportunit \overset{e}{ˊ} de x = - f^{'} (x) = - \frac{d y}{d x}, f^{''} < 0 (1.1)

Le long d'une frontière des possibilités de production (FPP) $y = f (x)$ décrivant les combinaisons maximales des deux biens, le coût d'opportunité d'une unité de $x$ est la pente en valeur absolue. Une combinaison est efficace sur la frontière, inefficace strictement en dessous et inatteignable au-delà. La concavité ( $f^{''} < 0$ ) traduit le principe du coût d'opportunité croissant: les ressources ne sont pas également adaptées aux deux usages. Une FPP droite correspond à un coût d'opportunité constant; la croissance ou le progrès technique déplacent la frontière vers l'extérieur.

B m (q^{*}) = C m (q^{*}), B m d \overset{e}{ˊ} croissant, C m croissant ou constant (1.2)

Règle de décision à la marge (théorème 1.1): le niveau d'activité $q^{*}$ qui maximise le bénéfice net $B (q) - C (q)$ égalise bénéfice marginal et coût marginal. Tant que $B m > C m$ , il faut poursuivre; dès que $B m < C m$ , il faut réduire. C'est le patron de toutes les conditions d'optimalité du cours ( $R m = C m$ , , ).

Producteur	Coût d'opportunité d'une unité de $X$	Avantage comparatif
A	$\frac{Δ Y _{A}}{Δ X _{A}}$ (unités de $Y$ sacrifiées)	en $X$ si ce rapport est le plus faible

Avantage absolu (produire plus avec les mêmes ressources) et avantage comparatif (coût d'opportunité plus faible): seul le second commande la spécialisation. Un producteur peut avoir l'avantage absolu dans les deux biens et l'avantage comparatif dans un seul.

\frac{Δ Y _{A}}{Δ X _{A}} < \frac{p _{X}}{p _{Y}} < \frac{Δ Y _{B}}{Δ X _{B}}

Gains à l'échange (théorème 1.2): si les coûts d'opportunité diffèrent, une spécialisation selon l'avantage comparatif suivie d'un échange à un prix relatif strictement compris entre les deux coûts d'opportunité augmente la consommation des deux producteurs. Si les coûts d'opportunité sont égaux, il n'y a aucun gain à l'échange. Un énoncé positif décrit ou prédit un fait vérifiable; un énoncé normatif exprime un jugement de valeur et ne se tranche pas par les données.

Chapitre 2 – Offre et demande

Q_{d} (p) = a - b p ⟺ p_{d} (Q) = \frac{a}{b} - \frac{Q}{b}, Q_{s} (p) = c + d p ⟺ p_{s} (Q) = \frac{Q - c}{d}, b, d > 0 (2.1, 2.3)

Demande et offre linéaires et leurs formes inverses: $a / b$ est le prix de réservation maximal (prix d'étranglement) des acheteurs, $a$ la quantité demandée à prix nul, $- c / d$ le prix minimal exigé par les vendeurs. La demande inverse $p_{d} (Q)$ se lit comme la disposition marginale à payer de la $Q$ -ième unité, l'offre inverse $p_{s} (Q)$ comme le coût marginal de cette même unité. Loi de la demande (théorème 2.1): est décroissante; loi de l'offre (théorème 2.2): est croissante, toutes choses égales par ailleurs.

Q_{d} (p) = i = 1 \sum n q_{i} (p), Q_{s} (p) = i = 1 \sum n q_{s, i} (p) (2.2)

Demande et offre de marché: somme horizontale des courbes individuelles, c'est-à-dire somme des quantités à chaque prix. Attention: on additionne les quantités, jamais les prix (les prix ne s'additionnent que pour un bien public, condition de Samuelson (11.5)).

p^{*} = \frac{a - c}{b + d}, Q^{*} = a - b p^{*} = \frac{a d + b c}{b + d} (2.4)

Équilibre d'un marché linéaire (théorème 2.3), unique dès que $b, d > 0$ et $a > c$ : c'est l'unique prix pour lequel $Q_{d} (p^{*}) = Q_{s} (p^{*})$ . L'échange est effectif () si et seulement si , c'est-à-dire si le prix minimal des vendeurs est inférieur au prix de réservation des acheteurs. Hors équilibre, un prix trop élevé crée un excédent qui pousse le prix à la baisse, un prix trop bas une pénurie qui le pousse à la hausse: l'équilibre est stable.

Choc	Effet sur $p^{*}$	Effet sur $Q^{*}$
Hausse de la demande (déplacement vers la droite)	augmente	augmente
Baisse de la demande	diminue	diminue
Hausse de l'offre	diminue	augmente
Baisse de l'offre	augmente	diminue
Hausse simultanée de l'offre et de la demande	indéterminé	augmente
Hausse de la demande, baisse de l'offre	augmente	indéterminé

Statique comparative: un changement du prix du bien est un déplacement le long de la courbe, tout autre déterminant (revenu, prix des substituts et des compléments, préférences, nombre d'acheteurs; technologie, prix des facteurs, nombre de vendeurs, anticipations) déplace la courbe elle-même. Quand les deux courbes bougent, l'un des deux effets est toujours indéterminé sans information sur les amplitudes.

S C (p) = \int_{0}^{Q_{d} (p)} (p_{d} (Q) - p) d Q = \frac{1}{2} (\frac{a}{b} - p) Q_{d} (p) = \frac{Q _{d} ( p ) ^{2}}{2 b} (2.5, 2.6)

Surplus du consommateur: aire entre la courbe de demande et la droite horizontale du prix, à gauche de la quantité achetée (théorème 2.4 pour la forme fermée, valable pour une demande linéaire et $p \leq a / b$ ). C'est la somme des écarts entre disposition à payer et prix payé.

S P (p) = \int_{0}^{Q_{s} (p)} (p - p_{s} (Q)) d Q = \frac{1}{2} (p + \frac{c}{d}) Q_{s} (p) = \frac{Q _{s} ( p ) ^{2}}{2 d} (2.7, 2.8)

Surplus du producteur: aire entre la droite du prix et la courbe d'offre, à gauche de la quantité vendue. Il n'est pas le profit: il ignore les coûts fixes, et l'on a $S P = π + C F$ (théorème 7.5).

S T = S C + S P = \int_{0}^{Q} (p_{d} (q) - p_{s} (q)) d q, P S = S T (Q^{*}) - S T (Q) (2.9)

Surplus total et perte sèche: le prix disparaît de $S T$ , car il est un pur transfert entre les deux côtés du marché. L'équilibre concurrentiel maximise $S T$ (théorème 2.5, efficacité) sous réserve d'absence de pouvoir de marché, d'externalité, de bien public et d'asymétrie d'information; toute quantité $Q \neq = Q^{*}$ engendre une perte sèche, aire du triangle compris entre les deux courbes, de $Q$ à $Q^{*}$ .

Chapitre 3 – Élasticités

ε_{y, x} = \frac{Δ y / y}{Δ x / x} ou ε_{y, x} = \frac{d y}{d x} \frac{x}{y} (3.1)

Élasticité d'une grandeur $y$ par rapport à $x$ : variation en pourcentage de $y$ provoquée par une hausse de 1 % de $x$ . Nombre sans dimension, indépendant des unités de mesure, contrairement à la pente.

ε = \frac{d Q _{d}}{d p} \frac{p}{Q _{d}} \leq 0, ε_{arc} = \frac{\frac{Q _{2} - Q _{1}}{( Q _{1} + Q _{2} ) /2}}{\frac{p _{2} - p _{1}}{( p _{1} + p _{2} ) /2}} (3.2, 3.3)

Élasticité-prix ponctuelle (en un point de la courbe, pour de petites variations) et élasticité d'arc par la méthode du point milieu (entre deux points observés): cette dernière donne la même valeur dans les deux sens de variation, ce qui n'est pas le cas de la formule naïve utilisant le point de départ.

$∣ ε ∣$	Qualificatif	Courbe	Effet d'une hausse de prix sur $R T$
$0$	parfaitement inélastique	verticale	$R T$ augmente proportionnellement
$0 < ∣ ε ∣ < 1$	inélastique	pentue	$R T$ augmente
$1$

Classification de la demande. Déterminants de $∣ ε ∣$ : existence et proximité des substituts (le déterminant principal), caractère de nécessité ou de luxe, part du budget consacrée au bien, définition large ou étroite du marché, et horizon temporel (la demande est toujours plus élastique à long terme).

ε (p) = - \frac{b p}{a - b p} = - \frac{b p}{Q _{d}} (3.4)

Élasticité le long d'une demande linéaire $Q_{d} = a - b p$ (théorème 3.1): elle varie de $0$ en $p = 0$ à $- \infty$ en $p = a / b$ , alors que la pente est constante. La demande est inélastique pour , unitaire au du segment (, ) et élastique au-dessus.

Q_{d} = A p^{- η} ⟹ ε = - η en tout point, ln Q = ln A - η ln p (3.5)

Demande à élasticité constante (théorème 3.2), avec $A > 0$ et $η > 0$ : c'est la seule forme dont l'élasticité ne dépend pas du prix, d'où son usage en économétrie, où la régression log-log (3.13) $ln Q_{i} = α - η ln p_{i} + γ ln R_{i} + u_{i}$ estime directement les élasticités-prix et revenu par les moindres carrés.

R T (p) = p Q_{d} (p), \frac{d R T}{d p} = Q_{d} (1 + ε), p^{R T} = \frac{a}{2 b}, Q = \frac{a}{2}, R T_{m a x} = \frac{a ^{2}}{4 b} (3.6, 3.7)

Règle de la recette totale (théorème 3.3): une hausse de prix augmente $R T$ si et seulement si la demande est inélastique, la diminue si elle est élastique, la laisse inchangée au premier ordre si l'élasticité est unitaire. Pour une demande linéaire, la recette est donc maximale exactement au point d'élasticité unitaire (théorème 3.4).

ε_{R} = \frac{d Q _{d}}{d R} \frac{R}{Q _{d}}, ε_{x, y} = \frac{d Q _{x}}{d p _{y}} \frac{p _{y}}{Q _{x}} (3.8, 3.9)

Élasticité-revenu: le bien est normal si $ε_{R} > 0$ (de nécessité si $0 < ε_{R} < 1$ , de luxe si $ε_{R} > 1$ ) et si . Élasticité croisée: les biens sont si , si , indépendants si elle est nulle.

ε_{s} = \frac{d Q _{s}}{d p} \frac{p}{Q _{s}} \geq 0, ε_{s} (p) = \frac{d p}{c + d p} = 1 - \frac{c}{Q _{s}} (3.10, 3.11)

Élasticité de l'offre et sa valeur pour une offre linéaire $Q_{s} = c + d p$ (théorème 3.5): toute droite d'offre passant par l'origine ( $c = 0$ ) a une élasticité égale à $1$ quelle que soit sa pente; si $c < 0$ l'offre est élastique partout, si $c > 0$ elle est inélastique partout.

Δ p_{a} = \frac{ε _{s}}{ε _{s} + ∣ ε _{d} ∣} t, Δ p_{v} = \frac{∣ ε _{d} ∣}{ε _{s} + ∣ ε _{d} ∣} t (3.12)

Partage d'une petite taxe unitaire $t$ selon les élasticités évaluées à l'équilibre initial (théorème 3.6): le côté le moins élastique du marché supporte la plus grande part de la taxe, parce qu'il a le moins d'échappatoires. Repris et démontré sous forme algébrique au chapitre 4, (4.3).

Chapitre 4 – Interventions publiques sur les marchés

Intervention	Condition pour être contraignante	Effet quantitatif	Quantité échangée
Prix plafond $p_{m a x}$	$p_{m a x} < p^{*}$	pénurie $Q_{d} (p_{m a x}) - Q_{s} (p_{m a x})$

Contrôle des prix: la quantité échangée est toujours le minimum des quantités offerte et demandée (règle du côté court), et un prix administré du «mauvais» côté de $p^{*}$ n'a aucun effet. La pénurie créée par un plafond est rationnée par des mécanismes non tarifaires (files d'attente, marché noir, baisse de qualité, discrimination), et les effets s'aggravent à long terme, quand l'offre devient plus élastique.

Q_{d} (p_{a}) = Q_{s} (p_{v}), p_{a} - p_{v} = t (taxe unitaire), p_{a} = (1 + τ) p_{v} (taxe ad valorem) (4.1)

Équilibre avec taxe: le coin fiscal $t$ sépare le prix payé par l'acheteur $p_{a}$ du prix reçu par le vendeur $p_{v}$ . Théorème 4.1 (équivalence): les prix, la quantité et la recette sont identiques que la taxe soit prélevée légalement auprès des vendeurs ou des acheteurs. Le redevable légal n'a aucune importance économique.

p_{a} = p^{*} + \frac{d}{b + d} t, p_{v} = p^{*} - \frac{b}{b + d} t, Q_{t} = Q^{*} - \frac{b d}{b + d} t (4.2)

\frac{p _{a} - p ^{*}}{t} = \frac{d}{b + d} = \frac{ε _{s}}{ε _{s} - ε _{d}}, \frac{p ^{*} - p _{v}}{t} = \frac{b}{b + d} = \frac{- ε _{d}}{ε _{s} - ε _{d}} (4.3)

Règle d'incidence fiscale (théorème 4.2) sur un marché linéaire $Q_{d} = a - b p$ , $Q_{s} = c + d p$ , pour une taxe non prohibitive: les deux parts somment à $1$ ; avec et , l'acheteur supporte d'autant plus que l'offre est élastique et la demande inélastique.

T (t) = t Q_{t}, P S (t) = \frac{1}{2} t Δ Q = \frac{1}{2} \frac{b d}{b + d} t^{2} = \frac{t ^{2}}{2 ( \frac{1}{b} + \frac{1}{d} )} (4.4)

Recette fiscale (fonction concave de $t$ : courbe de Laffer, nulle en $t = 0$ et à la taxe prohibitive) et perte sèche d'une taxe unitaire sur un marché linéaire (théorème 4.3). La perte sèche croît comme le carré du taux: doubler la taxe la quadruple, ce qui plaide pour des taux faibles sur des assiettes larges; elle croît aussi avec les élasticités ( $b$ et $d$ grands).

p_{v} - p_{a} = s, co \overset{u}{ˆ} t budg \overset{e}{ˊ} taire = s Q_{s}, P S = \frac{1}{2} s Δ Q, rente de quota = p_{d} (\overset{ˉ}{Q}) - p_{s} (\overset{ˉ}{Q})

Subvention unitaire $s$ : c'est une taxe négative, qui accroît la quantité au-delà de $Q^{*}$ et crée elle aussi une perte sèche, la valeur des unités produites dont le coût dépasse la disposition à payer. Un quota $\overset{ˉ}{Q} < Q^{*}$ ou une licence agit comme une taxe dont la «recette» revient aux détenteurs de droits sous forme de rente, laquelle se capitalise dans le prix de revente du droit.

M = Q_{d} (p_{m}) - Q_{s} (p_{m}), gain \overset{a}{ˋ} l’ouverture = \frac{1}{2} ∣ p_{A} - p_{m} ∣ \cdot ∣ Q_{d} (p_{m}) - Q_{s} (p_{m})∣

Petit pays preneur de prix au prix mondial $p_{m}$ (théorème 4.4): il importe si $p_{m} < p_{A}$ (prix d'autarcie) et exporte si $p_{m} > p_{A}$ . L'ouverture augmente le surplus total du triangle indiqué (courbes linéaires), mais fait des perdants: les producteurs en cas d'importation, les consommateurs en cas d'exportation.

B = \frac{1}{2} τ (Q_{s} (p_{m} + τ) - Q_{s} (p_{m})), D = \frac{1}{2} τ (Q_{d} (p_{m}) - Q_{d} (p_{m} + τ)), recette = τ M_{τ}

Droit de douane $τ$ non prohibitif dans un petit pays importateur (théorème 4.5): le prix intérieur passe à $p_{m} + τ$ , la production intérieure augmente, la consommation diminue, les importations reculent à $M_{τ} = Q_{d} (p_{m} + τ) - Q_{s} (p_{m} + τ)$ . La perte sèche est la somme du triangle de et du triangle de . Un contingent d'importation a les mêmes effets, la recette devenant une rente pour les détenteurs de licences.

Chapitre 5 – Théorie du consommateur

T M S = - \frac{d y}{d x}_{U = const} = \frac{U m _{x}}{U m _{y}} = \frac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y} (5.1, 5.2)

Taux marginal de substitution: quantité de $y$ à laquelle le consommateur renonce pour une unité supplémentaire de $x$ en restant indifférent, égale à la valeur absolue de la pente de la courbe d'indifférence (théorème 5.2, pour $U$ dérivable). Sous les axiomes de complétude, transitivité et monotonie, les courbes d'indifférence sont décroissantes, ne se croisent jamais, et une seule passe par chaque panier; la convexité des préférences les rend convexes, donc à $T M S$ décroissant (théorème 5.1).

Préférences	$U (x, y)$	$T M S$	Demande de $x$
Cobb–Douglas	$x^{α} y^{1 - α}$ , $0 < α < 1$

Fonctions d'utilité usuelles et leurs demandes. Une fonction d'utilité n'est définie qu'à une transformation croissante près: seul l'ordre des paniers a un sens, pas la valeur numérique de $U$ .

p_{x} x + p_{y} y = R ⟺ y = \frac{R}{p _{y}} - \frac{p _{x}}{p _{y}} x (5.3)

Droite de budget: elle joint $(R / p_{x}, 0)$ et $(0, R / p_{y})$ et a pour pente $- p_{x} / p_{y}$ , le prix relatif de . Une hausse de la translate parallèlement vers l'extérieur; une hausse de la fait pivoter autour de l'ordonnée à l'origine.

T M S (x^{*}, y^{*}) = \frac{U m _{x}}{U m _{y}} = \frac{p _{x}}{p _{y}} ⟺ \frac{U m _{x}}{p _{x}} = \frac{U m _{y}}{p _{y}}, p_{x} x^{*} + p_{y} y^{*} = R (5.4)

Condition d'optimalité du consommateur (théorème 5.3), valable pour une solution intérieure avec préférences monotones et convexes et $U$ dérivable: le dernier franc dépensé rapporte la même utilité dans chaque bien. En solution de coin, l'égalité devient une inégalité et le consommateur n'achète qu'un bien.

x^{*} = \frac{α R}{p _{x}}, y^{*} = \frac{( 1 - α ) R}{p _{y}}, ε_{p} = - 1, ε_{R} = 1, ε_{x, p_{y}} = 0 (5.5)

Demandes du consommateur Cobb–Douglas (théorèmes 5.4 et 5.5): les parts de budget sont constantes ( $α$ et $1 - α$ ), quels que soient les prix et le revenu. D'où l'élasticité-prix unitaire, l'élasticité-revenu unitaire (courbe d'Engel linéaire passant par l'origine) et une élasticité croisée nulle.

x = x (p_{x}, p_{y}, R) : \frac{\partial x}{\partial R} > 0 (bien normal), \frac{\partial x}{\partial R} < 0 (bien inf \overset{e}{ˊ} rieur)

Courbe d'Engel: graphe de $x$ en fonction de $R$ à prix constants. Elle est croissante pour un bien normal, décroissante pour un bien inférieur; parmi les biens normaux, elle est plus que proportionnelle pour un bien de luxe ( $ε_{R} > 1$ ) et moins que proportionnelle pour un bien de première nécessité. La courbe prix-consommation joint les paniers optimaux quand $p_{x}$ varie et engendre la courbe de demande individuelle.

x_{B} - x_{A} = effet de substitution (x_{C} - x_{A}) + effet de revenu (x_{B} - x_{C})

Décomposition d'une variation de prix. Hicks: le panier compensé $C$ est optimal aux nouveaux prix pour le revenu $R^{'}$ qui permet tout juste de retrouver l'utilité initiale $U (A)$ . Slutsky: le revenu compensé est $R^{''} = R + x_{A} (p_{x}^{'} - p_{x})$ , celui qui permet de racheter exactement le panier initial; c'est la compensation , utilisée pour indexer un salaire, et celle que mesure l'indice de Laspeyres, qui surestime donc la hausse du coût de la vie (biais de substitution). Les deux décompositions coïncident pour de petites variations de prix.

Théorème 5.6: l'effet de substitution d'une hausse de prix est toujours négatif ou nul; pour un bien normal, l'effet de revenu l'est aussi et la loi de la demande est démontrée; pour un bien inférieur, les deux effets s'opposent, et la demande ne remonte que dans le cas extrême du bien de Giffen. Théorème 5.7: un transfert en espèces d'un montant $S$ vaut au moins autant pour le bénéficiaire qu'un bon d'achat de même valeur, avec égalité si et seulement s'il aurait de toute façon dépensé au moins $S$ dans le bien visé.

c + w ℓ = w T + V, h^{*} = T - ℓ^{*} = (1 - α) T - \frac{α V}{w}; c_{1} + \frac{c _{2}}{1 + r} = m_{1} + \frac{m _{2}}{1 + r} (5.6, 5.7, 5.8)

Deux applications de la même contrainte budgétaire. Choix travail–loisir: le loisir $ℓ$ est un bien dont le prix est le salaire $w$ , $T$ est la dotation en temps et $V$ le revenu hors travail; l'optimum vérifie $T M S_{ℓ, c} = w$ , et pour des préférences Cobb–Douglas avec $V = 0$ les heures travaillées ne dépendent pas de (les effets de substitution et de revenu se compensent). Choix intertemporel: la valeur actuelle de la consommation égale celle des revenus, le prix relatif du présent est , et une hausse du taux fait pivoter la droite autour de la dotation .

E [w] = i \sum π_{i} w_{i}, E [u (w)] = i \sum π_{i} u (w_{i}), u (E C) = E [u (w)], P R = E [w] - E C (5.9, 5.10, 5.11)

Choix en situation d'incertitude. Une loterie se juge par son utilité espérée de von Neumann–Morgenstern, définie à une transformation affine croissante près (la courbure de $u$ a un sens). L'individu est averse au risque si et seulement si $u$ est concave (théorème 5.8); l'équivalent certain $E C$ est la richesse sûre équivalente à la loterie et la prime de risque $P R$ est ce qu'il abandonne pour se défaire du risque. Assurance: avec la perte $L$ de probabilité $p$ et une couverture $K$ au prix $q$ par franc, la richesse vaut $W - q K$ ou ; à prime actuariellement juste (), la couverture optimale est complète, (théorème 5.9), et la prime maximale vaut ; avec un chargement (), la couverture est partielle. La mutualisation de risques indépendants divise l'écart type par tête par . Écart comportemental: avec l'aversion aux pertes, pour un gain et pour une perte (), d'où l'effet de dotation () et les effets de cadrage.

Chapitre 6 – Production et coûts

q = f (L, K), P M_{L} = \frac{q}{L}, P m_{L} = \frac{\partial q}{\partial L} (ou \frac{Δ q}{Δ L}) (6.1, 6.2)

Fonction de production (quantité maximale produite avec $(L, K)$ ), produit moyen et produit marginal du travail. À court terme, le capital est fixe ( $K = \overset{ˉ}{K}$ ) et seul $L$ varie; à long terme, tous les facteurs sont variables. Loi des rendements marginaux décroissants (théorème 6.1): à capital fixe, $P m_{L}$ finit toujours par décroître — c'est une propriété de court terme, à ne pas confondre avec les rendements d'échelle.

P M_{L} croissant ⟺ P m_{L} > P M_{L}, P M_{L} d \overset{e}{ˊ} croissant ⟺ P m_{L} < P M_{L}, max P M_{L} ⟹ P m_{L} = P M_{L}

Relation moyenne–marginale (théorème 6.2), conséquence de $\frac{d}{d L} \frac{f ( L )}{L} = \frac{P m _{L} - P M _{L}}{L}$ : la courbe marginale coupe la courbe moyenne en son maximum. La même mécanique vaut pour les coûts (théorème 6.5) et pour toute paire moyenne–marginale.

T M S T = - \frac{d K}{d L}_{q = q_{0}} = \frac{P m _{L}}{P m _{K}} (6.3)

Taux marginal de substitution technique (théorème 6.3, pour $f$ dérivable et $P m_{K} > 0$ ): pente en valeur absolue de l'isoquante $f (L, K) = q_{0}$ . Les isoquantes sont décroissantes, convexes et ne se coupent jamais; c'est l'analogue exact du $T M S$ du consommateur.

q = A L^{a} K^{b}, P m_{L} = a \frac{q}{L}, P m_{K} = b \frac{q}{K}, T M S T = \frac{a}{b} \frac{K}{L} (6.4, 6.5)

Fonction de Cobb–Douglas et ses produits marginaux ( $A, a, b > 0$ ). Test des rendements d'échelle (théorème 6.4): constants si $a + b = 1$ , croissants si $a + b > 1$ , décroissants si $a + b < 1$ — il suffit de comparer à pour .

C T (q) = C F + C V (q), C M = \frac{C T}{q} = C F M + C V M, C F M = \frac{C F}{q}, C V M = \frac{C V}{q}, C m (q) = \frac{d C T}{d q} = \frac{d C V}{d q} (6.6)

Coûts de court terme, avec $C F = r \overset{ˉ}{K}$ payé même à production nulle et $C V (q) = w L (q)$ . Le coût marginal ne dépend pas du coût fixe. Tous les coûts sont ici des coûts économiques: ils incluent le coût d'opportunité des facteurs apportés par le propriétaire, absent du coût comptable.

C M d \overset{e}{ˊ} croissant ⟺ C m < C M, C M croissant ⟺ C m > C M, min C M ⟹ C m = C M, min C V M ⟹ C m = C V M

Relations coût marginal – coûts moyens (théorème 6.5): $C m$ coupe $C M$ et $C V M$ en leurs minimums respectifs, et $C F M$ décroît toujours. Le minimum de $C V M$ est atteint à une quantité plus faible que celui de $C M$ , et $C M - C V M = C F M \to 0$ quand croît.

C m = \frac{w}{P m _{L}}, C V M = \frac{w}{P M _{L}} (6.7)

Dualité coûts–productivité à court terme, quand le travail est le seul facteur variable payé $w$ (théorème 6.6): les rendements marginaux décroissants ( $P m_{L}$ qui baisse) sont exactement la cause de la croissance du coût marginal, et le minimum de $C V M$ correspond au maximum de $P M_{L}$ .

L, K min w L + r K s.c. f (L, K) = q_{0} ⟹ T M S T = \frac{P m _{L}}{P m _{K}} = \frac{w}{r} ⟺ \frac{P m _{L}}{w} = \frac{P m _{K}}{r} (6.8, 6.9)

Minimisation du coût (théorème 6.7): tangence de l'isoquante et d'une droite d'isocoût $w L + r K = C$ , de pente $- w / r$ ; le dernier franc dépensé doit rapporter la même production dans chaque facteur. Pour une Cobb–Douglas, $K = \frac{b w}{a r} L$ : le est une droite issue de l'origine, et les proportions de facteurs ne dépendent que des prix relatifs.

q = L^{1/2} K^{1/2} ⟹ C T_{L T} (q) = 2 q w r, C M_{L T} = C m_{L T} = 2 w r (6.10)

Fonction de coût de long terme d'une Cobb–Douglas à rendements constants: le coût est linéaire en $q$ , donc coût moyen et coût marginal de long terme sont constants et égaux. Plus généralement, il y a économies d'échelle quand $C M_{L T}$ décroît, déséconomies quand il croît; l'échelle minimale efficace (EME) est la plus petite quantité qui minimise $C M_{L T}$ et détermine le nombre d'entreprises que le marché peut supporter.

Chapitre 7 – Concurrence parfaite

R T (q) = p q, R m (q) = \frac{d R T}{d q} = p = R M (7.1)

Recette marginale d'une entreprise preneuse de prix (théorème 7.1): elle égale le prix, car l'entreprise vend toute quantité sans influencer $p$ . Hypothèses de la concurrence parfaite: atomicité, homogénéité du produit, information parfaite, libre entrée et sortie, mobilité des facteurs. La demande adressée à l'entreprise est horizontale au prix du marché, alors que la demande du marché est décroissante.

π (q) = p q - C T (q), p = C m (q^{*}) avec C m croissant en q^{*}, π (q^{*}) = (p - C M (q^{*})) q^{*} (7.2, 7.3, 7.4)

Condition de maximisation du profit (théorème 7.2, condition du premier ordre $π^{'} = p - C m = 0$ et du second ordre $C m^{'} > 0$ ) et lecture graphique du profit comme un rectangle de base $q^{*}$ et de hauteur , la hauteur étant mesurée , jamais au minimum du coût moyen.

p_{r} = min C M, p_{f} = min C V M, q_{s} (p) = {q tel que C m (q) = p (branche croissante) 0 si p \geq min C V M, si p < min C V M (7.5)

Seuil de rentabilité $p_{r}$ , seuil de fermeture $p_{f}$ et courbe d'offre de court terme de l'entreprise (théorèmes 7.3 et 7.4): l'offre est la partie de la courbe de coût marginal située au-dessus du minimum du coût variable moyen. Entre $p_{f}$ et $p_{r}$ , l'entreprise mais couvre une partie de son coût fixe, ce qui vaut mieux que de fermer; en dessous de , elle ferme et perd exactement .

Q_{s} (p) = i = 1 \sum n q_{i} (p) = n q_{s} (p) (entreprises identiques), S P = \int_{0}^{q^{*}} (p - C m (q)) d q = p q^{*} - C V (q^{*}) = π + C F (7.6, 7.7)

Offre du marché à court terme (somme horizontale, $n$ fixé) et surplus du producteur (théorème 7.5): le surplus du producteur est le profit augmenté du coût fixe; les deux coïncident seulement à long terme, quand tous les coûts sont variables.

p = C m (q^{*}) = C M (q^{*}) ⟹ p = min C M, π = 0, Q_{d} (p) = n q^{*}

Équilibre de long terme en concurrence parfaite (théorème 7.6): la libre entrée et la libre sortie annulent le profit économique (les entreprises couvrent exactement le coût d'opportunité de leurs facteurs), chaque entreprise produit à l'échelle efficace $ar g min C M$ , et la dernière condition détermine le nombre d'entreprises $n$ . L'offre de long terme est horizontale à $p = min C M$ si les coûts ne dépendent pas du nombre d'entreprises.

disposition marginale \overset{a}{ˋ} payer = p = C m (7.8)

Efficacité de la concurrence parfaite: allocative (la dernière unité vaut exactement ce qu'elle coûte à la société) et productive (les coûts marginaux sont égalisés entre entreprises, et chacune produit au minimum de son coût moyen). Premier théorème du bien-être (théorème 7.7, repris au chapitre 12): sans pouvoir de marché, ni externalité, ni bien public, ni asymétrie d'information, l'équilibre concurrentiel est un optimum de Pareto.

Chapitre 8 – Monopole et pouvoir de marché

R m (Q) = p (Q) + Q \frac{d p}{d Q} = p (1 + \frac{1}{ε}) < p (8.1, 8.2)

Recette marginale d'un vendeur qui fait face à une demande décroissante (théorème 8.1): le premier terme est le gain sur l'unité supplémentaire, le second la perte sur toutes les unités déjà vendues, dont le prix doit baisser. On a $R m > 0$ si et seulement si $∣ ε ∣ > 1$ , et $R m = 0$ à l'élasticité unitaire.

p = a - b Q ⟹ R m (Q) = a - 2 b Q (8.3)

Recette marginale d'une demande inverse linéaire (théorème 8.2): même ordonnée à l'origine, pente double; elle coupe l'axe des quantités au milieu du segment découpé par la demande, exactement au point d'élasticité unitaire et de recette maximale (théorème 3.4).

R m (Q_{m}) = C m (Q_{m}), P_{m} = p (Q_{m}), π = (P_{m} - C M (Q_{m})) Q_{m} (8.4)

Règle de tarification du monopole (théorème 8.3), pour $R m$ décroissante et $C m$ croissante ou constante: on détermine d'abord la quantité par $R m = C m$ , puis le prix en remontant sur la demande. L'entreprise produit à court terme si $P_{m} \geq C V M (Q_{m})$ et reste sur le marché à long terme si . Le monopoleur n'a : la quantité dépend de la forme de la demande, pas seulement du prix.

L = \frac{P _{m} - C m}{P _{m}} = \frac{1}{∣ ε ∣} \in [0, 1], P_{m} = \frac{C m}{1 + 1/ ε} = \frac{∣ ε ∣}{∣ ε ∣ - 1} C m (8.5)

Indice de Lerner (théorème 8.4), mesure du pouvoir de marché: nul en concurrence parfaite, il vaut l'inverse de l'élasticité en valeur absolue à l'optimum du monopoleur. Corollaire (théorème 8.5): si $C m > 0$ , le monopoleur produit toujours dans la partie élastique de la demande, $∣ ε (Q_{m})∣ > 1$ .

Q_{c} = \frac{a - c}{b}, Q_{m} = \frac{a - c}{2 b} = \frac{Q _{c}}{2}, P_{m} = \frac{a + c}{2}, P S = \frac{( a - c ) ^{2}}{8 b} (8.6)

Perte sèche du monopole linéaire (théorème 8.6), pour $p = a - b Q$ et un coût marginal constant $c < a$ : le monopole produit la moitié de la quantité concurrentielle. La perte sèche vaut la moitié du profit brut $(a - c)^{2} / (4 b)$ et est égale au surplus des consommateurs sous le monopole. À cette perte s'ajoutent les coûts de la recherche de rente (lobbying, dépenses de protection de la position).

Degré (Pigou)	Information du vendeur	Règle	Effets
Premier (parfait)	disposition à payer de chaque acheteur	$p (Q) = C m (Q)$ unité par unité	$Q = Q_{c}$ , aucune perte sèche, tout le surplus au vendeur
Deuxième (menu)	aucune, mais auto-sélection	menu de tarifs: remises de quantité, versions, tarif binôme	segmentation par l'usage; $S C$ partiellement capté
Troisième (segments)	groupes identifiables	$p_{i} (1 + \frac{1}{ε _{i}}) = C m$

Discrimination par les prix; elle exige un pouvoir de marché, une segmentation possible et l'absence de revente. Théorème 8.7: $R m_{1} (Q_{1}) = R m_{2} (Q_{2}) = C m (Q_{1} + Q_{2})$ , donc implique . optimal face à des clients identiques: fixer le prix unitaire au coût marginal et la redevance fixe au surplus du consommateur qui en résulte (logique de l'abonnement demi-tarif et de l'abonnement général des CFF).

tarification au C m : p = C m ⟹ π = - C F; tarification au C M : p = C M (Q) ⟹ π = 0

Régulation d'un monopole naturel (coût sous-additif, $C M$ décroissant sur toute l'étendue de la demande, donc $C M > C m$ partout). La tarification au coût marginal est efficace (premier rang) mais engendre un déficit égal au coût fixe, qu'il faut couvrir par une subvention; la tarification au coût moyen (second rang) assure un profit nul au prix d'une perte sèche résiduelle faible. Les instruments réels sont la régulation par le taux de rendement et le plafonnement des prix de type $R P I - X$ .

Chapitre 9 – Oligopole et concurrence monopolistique

C R_{4} = i = 1 \sum 4 s_{i}, I H H = i = 1 \sum n s_{i}^{2}, 0 < I H H \leq 10000, I H H = \frac{10 000}{n} si les n parts sont \overset{e}{ˊ} gales (9.1)

Mesures de la concentration, les parts de marché $s_{i}$ étant exprimées en pour cent. L' $I H H$ , contrairement au $C R_{4}$ , tient compte de toutes les entreprises et pénalise l'asymétrie des tailles; $10 000/ I H H$ s'interprète comme un nombre équivalent d'entreprises de même taille.

q_{1} = R_{1} (q_{2}) = \frac{a - c - b q _{2}}{2 b} (9.2)

Fonction de réaction (ou de meilleure réponse) de Cournot pour la demande $p = a - b Q$ et un coût marginal constant $c$ : elle résout $R m_{1} = C m$ sur la demande résiduelle $p = (a - b q_{2}) - b q_{1}$ . Elle est décroissante, de pente : les quantités sont des . En on retrouve la quantité de monopole, en la quantité concurrentielle.

q_{1}^{*} = q_{2}^{*} = \frac{a - c}{3 b}, Q^{*} = \frac{2 ( a - c )}{3 b}, p^{*} = \frac{a + 2 c}{3}, π_{i}^{*} = \frac{( a - c ) ^{2}}{9 b} (9.3)

Équilibre de Cournot–Nash du duopole symétrique (théorème 9.1): chaque quantité est la meilleure réponse à l'autre, $q_{1}^{*} = R_{1} (q_{2}^{*})$ et $q_{2}^{*} = R_{2} (q_{1}^{*})$ . Théorème 9.2: et — l'oligopole se situe strictement entre le monopole et la concurrence parfaite.

q_{i}^{*} = \frac{a - c}{( n + 1 ) b}, Q_{n}^{*} = \frac{n}{n + 1} \cdot \frac{a - c}{b}, p_{n}^{*} = \frac{a + n c}{n + 1}, π_{i}^{*} = \frac{( a - c ) ^{2}}{( n + 1 ) ^{2} b}, L = \frac{p - c}{p} = \frac{1}{n ∣ ε ∣} (9.4, 9.5)

Cournot à $n$ entreprises symétriques (théorème 9.3): pour $n = 1$ on retrouve le monopole, et quand $n \to \infty$ le prix tend vers $c$ et la quantité vers $Q^{C}$ . La marge de Lerner d'un oligopoleur est celle du monopoleur divisée par le nombre d'entreprises.

Bertrand homog \overset{e}{ˋ} ne: p_{1}^{*} = p_{2}^{*} = c, π_{1}^{*} = π_{2}^{*} = 0; q_{i} = α - β p_{i} + γ p_{j} ⟹ p^{*} = \frac{α + β c}{2 β - γ} > c (9.6, 9.8)

Paradoxe de Bertrand (théorème 9.4): avec un bien homogène, des coûts marginaux constants égaux et des capacités illimitées, deux entreprises suffisent à reproduire le prix concurrentiel. Avec des produits différenciés ( $β > γ > 0$ ), la fonction de réaction en prix $p_{1} = R_{1} (p_{2}) = \frac{α + β c + γ p _{2}}{2 β}$ (9.7) est — les prix sont des compléments stratégiques — et l'équilibre symétrique laisse une marge positive, d'autant plus faible que est proche de .

q_{L}^{*} = \frac{a - c}{2 b}, q_{F}^{*} = \frac{a - c}{4 b}, Q^{*} = \frac{3 ( a - c )}{4 b}, p^{*} = \frac{a + 3 c}{4}, π_{L}^{*} = \frac{( a - c ) ^{2}}{8 b}, π_{F}^{*} = \frac{( a - c ) ^{2}}{16 b} (9.9)

Équilibre de Stackelberg (théorème 9.5), obtenu par induction à rebours: le leader choisit sa quantité en anticipant la réaction $R_{F}$ du suiveur, produit la quantité de monopole et gagne davantage qu'en Cournot; le suiveur gagne moins. L'avantage vient de l'engagement irréversible, pas de l'ordre du jeu en soi.

Issue (demande $p = a - b Q$ , coût marginal $c$ , $k = (a - c) / b$ )	$Q$	$p$	Profit total
Cartel (monopole partagé)	$k /2$

Comparaison des structures pour une demande linéaire: la quantité augmente et le prix et le profit total diminuent quand on descend le tableau. Le cartel maximise le profit joint mais n'est pas un équilibre de Nash: chaque membre a intérêt à tricher (dilemme du prisonnier du chapitre 10), d'où l'instabilité des cartels et le rôle de la COMCO.

R m (q^{*}) = C m (q^{*}) et p^{*} = C M (q^{*}) ⟹ π = 0, p^{*} > C m (q^{*}), q^{*} < ar g min C M

Équilibre de long terme en concurrence monopolistique (théorème 9.6): la libre entrée annule le profit, ce qui rend la courbe de demande de l'entreprise tangente à sa courbe de coût moyen. La tangence se produit nécessairement sur la partie décroissante du $C M$ : l'entreprise conserve une capacité excédentaire et une marge positive, prix payé pour la diversité des variétés offertes.

Chapitre 10 – Théorie des jeux

u_{i} (s_{i}^{*}, s_{- i}) > u_{i} (s_{i}, s_{- i}) \forall s_{- i}, \forall s_{i} \neq = s_{i}^{*} (dominance stricte); u_{i} (s_{i}^{*}, s_{- i}^{*}) \geq u_{i} (s_{i}, s_{- i}^{*}) \forall i, \forall s_{i} \in S_{i} (10.1)

Stratégie strictement dominante et équilibre de Nash: à l'équilibre, aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant seul de stratégie; chaque stratégie est une meilleure réponse aux autres. Un jeu sous forme normale est la donnée des joueurs, de leurs ensembles de stratégies $S_{i}$ et de leurs fonctions de gain $u_{i} (s_{i}, s_{- i})$ . Théorème 10.1: si chaque joueur a une stratégie strictement dominante, ce profil est l'unique équilibre de Nash; plus généralement, un profil qui survit seul à l'élimination itérée des stratégies strictement dominées est l'unique équilibre.

	C (coopérer)	D (faire défaut)
C	$(R, R)$	$(S, T)$
D	$(T, S)$	$(P, P)$

Dilemme du prisonnier, caractérisé par $T > R > P > S$ : tentation, récompense, punition, dupe. Théorème 10.2: $D$ est strictement dominante, $(D, D)$ est l'unique équilibre de Nash et il est Pareto-dominé par $(C, C)$ — matrice de la course aux armements, de la publicité, de la surpêche et de la triche dans un cartel.

U_{1} (σ_{1}, σ_{2}) = i \sum j \sum p_{i} q_{j} u_{1} (i, j), q^{*} = \frac{a _{22} - a _{12}}{a _{11} - a _{12} - a _{21} + a _{22}}, p^{*} = \frac{b _{22} - b _{21}}{b _{11} - b _{21} - b _{12} + b _{22}} (10.2, 10.3)

Gain espéré en stratégies mixtes et équilibre mixte d'un jeu $2 \times 2$ sans équilibre en stratégies pures (théorème 10.4), avec $a_{ij}$ les gains du joueur 1 et $b_{ij}$ ceux du joueur 2. La méthode est le principe d'indifférence (théorème 10.3): la probabilité de chaque joueur est choisie de façon à rendre l'autre indifférent entre ses stratégies pures; toute stratégie pure jouée avec une probabilité strictement positive procure le même gain espéré. Théorème de Nash (théorème 10.5): tout jeu fini possède au moins un équilibre en stratégies mixtes.

δ = \frac{ρ}{1 + r}, t \geq 0 \sum δ^{t} g = \frac{g}{1 - δ}, δ \geq δ^{*} = \frac{T - R}{T - P} (10.4)

Jeux répétés. Facteur d'escompte $δ \in] 0, 1 [$ ( $r$ : taux d'intérêt par période, $ρ$ : probabilité que le jeu continue). Théorème 10.7: avec la stratégie du déclencheur (grim trigger), la coopération à chaque période est un équilibre de Nash du dilemme répété indéfiniment si et seulement si $δ \geq δ^{*}$ — il faut valoriser suffisamment l'avenir, ce qui suppose un horizon long, des interactions fréquentes et une détection rapide de la triche. À horizon fini et connu, en revanche, l'induction à rebours impose le défaut à chaque période (théorème 10.6).

induction \overset{a}{ˋ} rebours ⟹ \overset{e}{ˊ} quilibre parfait en sous-jeux (SPE) \subseteq \overset{e}{ˊ} quilibres de Nash

Jeux séquentiels: on résout l'arbre en partant des derniers nœuds de décision et en remontant. Le raffinement élimine les équilibres de Nash reposant sur des menaces non crédibles, comme la guerre des prix promise à un entrant (théorème 10.8). Une menace ne devient crédible que par un engagement qui modifie effectivement les gains (capacité installée, contrat, réputation).

b_{i} = v_{i} est faiblement dominante

Jeu bayésien: chaque joueur a un type $t_{i}$ (coût, valeur) tiré selon une croyance commune; une stratégie $s_{i} (t_{i})$ associe une action à chaque type. Un équilibre bayésien de Nash est un profil où chaque type de chaque joueur maximise son gain espéré compte tenu des stratégies des autres et de sa croyance sur leurs types (définition 10.10); en Cournot, le joueur non informé répond à la quantité espérée de son rival.

Enchère sous pli fermé au second prix (Vickrey, théorème 10.9): enchérir exactement sa valeur privée est faiblement dominant, quelles que soient les offres des autres, car le montant payé ne dépend pas de sa propre enchère; le mécanisme est ainsi révélateur. Ce n'est pas le cas de l'enchère au premier prix, où l'on enchérit strictement en dessous de sa valeur.

Chapitre 11 – Externalités, biens publics et information

C m_{S} (Q) = C m (Q) + D (Q), P (Q^{*}) = C m (Q^{*}) + D (Q^{*}) = C m_{S} (Q^{*}) (11.1, 11.2)

Coût marginal social et quantité socialement optimale (théorème 11.1), pour $P$ décroissante, $C m$ croissante et un dommage marginal externe $D \geq 0$ croissant ou constant. Le marché s'arrête en $Q_{1}$ tel que $P (Q_{1}) = C m (Q_{1})$ : si il , et la perte sèche est l'aire comprise entre et , de à . Une externalité conduit symétriquement à une sous-production, le bénéfice marginal social dépassant le bénéfice privé.

P (Q) = a - Q, C m (Q) = c + Q, D constant ⟹ Q_{1} = \frac{a - c}{2}, Q^{*} = \frac{a - c - D}{2}, P S = \frac{D ^{2}}{4} (11.3)

Cas linéaire de référence: la perte sèche croît comme le carré du dommage marginal, parce que celui-ci augmente à la fois la surproduction et le coût social de chaque unité excédentaire.

t^{*} = D (Q^{*}), P S (t) = \frac{( D - t ) ^{2}}{4} (cas lin \overset{e}{ˊ} aire (11.3)) (11.4)

Taxe pigouvienne (théorème 11.2): une taxe unitaire égale au dommage marginal évalué à l'optimum internalise l'externalité, ramène le marché en $Q^{*}$ et annule la perte sèche; une taxe mal calibrée laisse une perte sèche résiduelle qui croît comme le carré de l'erreur. Théorème 11.3 (équivalence): un système de $Q^{*}$ permis échangeables conduit au même résultat, le prix d'équilibre du permis valant $p_{π} = t^{*}$ ; seule diffère la répartition des recettes selon que les permis sont mis aux enchères ou attribués gratuitement.

droits de propri \overset{e}{ˊ} t \overset{e}{ˊ} d \overset{e}{ˊ} finis + co \overset{u}{ˆ} ts de transaction nuls + peu de parties ⟹ n \overset{e}{ˊ} gociation priv \overset{e}{ˊ} e \to Q^{*}

Théorème de Coase (théorème 11.4): sous ces trois hypothèses, la négociation privée atteint l'allocation efficace quelle que soit la partie à laquelle le droit est attribué; l'attribution ne détermine que la répartition des gains. Le théorème échoue dès que les parties sont nombreuses, mal informées ou incapables de faire respecter leurs accords — d'où le recours aux taxes et aux marchés de droits pour les pollutions diffuses.

i = 1 \sum n B m_{i} (G^{*}) = C m (G^{*}), B m_{i} = B_{i}^{'}, C m = C^{'} (11.5)

Condition de Samuelson pour un bien public (théorème 11.5), avec des préférences quasi linéaires $U_{i} = B_{i} (G) + x_{i}$ , $B_{i}^{'} > 0$ , , et un coût convexe: on les bénéfices marginaux (chaque unité profite à tous simultanément), au lieu de sommer horizontalement les quantités comme pour un bien privé (2.2). Le marché sous-produit à cause du : chacun a intérêt à laisser payer les autres.

	Excluable	Non excluable
Rival	bien privé	ressource commune
Non rival	bien de club	bien public

Typologie des biens. Un bien est rival si sa consommation par une personne réduit la quantité disponible pour les autres, excluable si l'on peut à un coût raisonnable en priver ceux qui ne paient pas. Les deux défaillances sont la sous-fourniture des biens publics et la surexploitation des ressources communes.

H^{'} (N^{*}) = c (optimum), \frac{H ( N _{L} )}{N _{L}} = c (acc \overset{e}{ˋ} s libre), N_{L} > N^{*}

Tragédie des communs (théorème 11.6), pour une production $H (N)$ concave de l'effort $N$ et un coût unitaire $c$ : l'optimum égalise la production marginale au coût, l'accès libre la production moyenne, laquelle dépasse la marginale pour une fonction concave. La ressource est surexploitée et la rente entièrement dissipée; les remèdes sont les droits de propriété, les quotas, les taxes ou la gouvernance communautaire (Ostrom).

Information asymétrique. Sélection adverse: caractéristique cachée avant la transaction (qualité, risque); le prix, fixé sur la qualité moyenne, attire les mauvais risques et peut faire disparaître le marché (marché des «tacots» d'Akerlof). Remèdes: signal émis par la partie informée (garantie, diplôme, expertise), filtrage organisé par la partie non informée (questionnaires, périodes d'essai), assurance obligatoire. Aléa moral: action cachée après la conclusion du contrat (effort de prévention réduit une fois assuré). Remèdes: franchises, quotes-parts, bonus-malus, contrats incitatifs.

Chapitre 12 – Marchés des facteurs et économie du bien-être

V P m_{L} = p \times P m_{L} = p f^{'} (L), R m P_{L} = R m \times P m_{L} (12.1)

Productivité marginale en valeur du travail, en francs par unité de travail, pour une entreprise preneuse de prix sur le marché du produit; si elle a du pouvoir de marché, le concept pertinent est la recette marginale du produit $R m P_{L}$ , inférieure à $V P m_{L}$ . La demande de travail est dérivée de la demande du produit.

p f^{'} (L^{*}) = w ⟺ V P m_{L} (L^{*}) = w (12.2)

Règle d'embauche de l'entreprise concurrentielle (théorème 12.1), pour $f$ croissante à productivité marginale strictement décroissante: la courbe $V P m_{L}$ est la courbe de demande de travail de l'entreprise, décroissante. Elle se déplace avec le prix du produit, le stock de capital et la technologie.

C m_{L} = w (L) + L w^{'} (L) > w (L), V P m_{L} (L_{m}) = C m_{L} (L_{m}) ⟹ w_{m} < V P m_{L} (L_{m}), L_{m} < L_{c}

Monopsone (acheteur unique de travail): pour embaucher une unité de plus, il doit relever le salaire de tous ses employés, de sorte que le coût marginal du travail dépasse le salaire. Il embauche moins et paie moins qu'un marché concurrentiel, avec une perte sèche symétrique de celle du monopole. Conséquence remarquable: un salaire minimum compris entre $w_{m}$ et le salaire concurrentiel $w_{c}$ rend $C m_{L}$ constant et augmente l'emploi.

w_{m} \leq \overset{w}{ˉ} \leq w_{u}, L (\overset{w}{ˉ}) = min (L_{s} (\overset{w}{ˉ}), L_{d} (\overset{w}{ˉ}))

Monopole bilatéral (monopsone face à un syndicat, théorème 12.2): le syndicat seul fixerait $w_{u}$ en égalisant la recette marginale de la demande $V P m_{L}$ au salaire de réserve lu sur l'offre; le salaire négocié $\overset{w}{ˉ}$ est indéterminé dans $[w_{m}, w_{u}]$ et dépend du pouvoir de négociation. L'emploi est le plus petit des quantités offerte et demandée au salaire ; il est maximal, et la perte sèche nulle, en .

V A = \frac{F _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}, V A N = - I + t = 1 \sum T \frac{F _{t}}{( 1 + i ) ^{t}} (12.3)

Valeur actuelle et valeur actuelle nette d'un investissement de coût $I$ rapportant les flux $F_{1}, \dots, F_{T}$ , actualisés au taux $i$ . Critère de la VAN (théorème 12.3): investir si et seulement si $V A N \geq 0$ ; la demande de capital est décroissante en $i$ . Une rente perpétuelle constante vaut , et une rente perpétuelle croissant au taux vaut .

offre fixe \overset{ˉ}{Q} : r^{*} = r_{d} (\overset{ˉ}{Q}), taxe t ⟹ Δ Q = 0, Δ r_{pay \overset{e}{ˊ}} = 0, Δ r_{net} = - t, P S = 0

Incidence d'une taxe sur un facteur à offre parfaitement inélastique (théorème 12.4): elle est intégralement supportée par les propriétaires du facteur et n'engendre aucune perte sèche — c'est le cas limite de la règle d'incidence (4.3) quand $ε_{s} = 0$ , et l'argument de l'impôt foncier de Henry George. La rente économique est l'écart entre la rémunération d'un facteur et son coût d'opportunité; elle est totale pour un facteur à offre fixe, nulle pour un facteur à offre parfaitement élastique. Une quasi-rente est une rente de court terme, qui disparaît quand le facteur devient variable.

G = 2 A = 1 - 2 \int_{0}^{1} L (x) d x, G = 1 - \frac{1}{n} k = 1 \sum n (L_{k - 1} + L_{k}) (12.4, 12.5)

Coefficient de Gini: double de l'aire $A$ entre la diagonale d'égalité parfaite et la courbe de Lorenz $L (x)$ , qui associe à la part $x$ de la population la plus pauvre la part du revenu total qu'elle reçoit ( $L$ croissante et convexe, $L (0) = 0$ , $L (1) = 1$ ). La seconde expression est la formule des trapèzes (théorème 12.5), applicable à $n$ groupes de population égale classés par revenu croissant. On a $G = 0$ en cas d'égalité parfaite et en cas de concentration totale. La redistribution a un coût d'efficacité (le «seau percé» d'Okun), la perte sèche d'un impôt sur le travail croissant comme le carré du taux.

T M S_{A} = T M S_{B} (12.6)

Condition d'optimalité de Pareto dans une économie d'échange (boîte d'Edgeworth): si les $T M S$ diffèrent, un échange mutuellement avantageux reste possible. Le lieu des allocations intérieures vérifiant (12.6) est la courbe des contrats. Une allocation est un optimum de Pareto s'il est impossible d'améliorer la situation d'un agent sans détériorer celle d'un autre; l'optimalité de Pareto ne dit rien sur l'équité de la répartition.

\overset{e}{ˊ} quilibre concurrentiel ⟹ optimum de Pareto; optimum de Pareto + transferts forfaitaires ⟹ \overset{e}{ˊ} quilibre concurrentiel

Les deux théorèmes du bien-être. Premier théorème (théorème 12.6): si tous les agents sont preneurs de prix, ont des préférences monotones, et s'il n'y a ni externalité, ni bien public, ni asymétrie d'information, toute allocation d'équilibre concurrentiel est Pareto-optimale — à l'équilibre, chacun égalise son $T M S$ au même rapport de prix $p_{x}^{*} / p_{y}^{*}$ , d'où (12.6). Second théorème (théorème 12.7): si de plus les préférences sont convexes, toute allocation Pareto-optimale peut être décentralisée comme équilibre concurrentiel après redistribution des dotations initiales par des transferts forfaitaires. C'est le fondement théorique de la séparation entre efficacité et équité; en pratique, les transferts forfaitaires n'existent pas et les défaillances des chapitres 8 à 11 invalident les hypothèses.

Références

Varian, H. R., Introduction à la microéconomie, De Boeck Supérieur, Louvain-la-Neuve: traitement rigoureux et compact du consommateur, du producteur et de l'équilibre général, avec un appendice mathématique par chapitre.
Pindyck, R. S. et Rubinfeld, D. L., Microéconomie, Pearson, Montreuil: résumés et listes de formules en fin de chapitre, nombreuses applications à la tarification, au pouvoir de marché et à la régulation.
Mankiw, N. G. et Taylor, M. P., Principes de l'économie, De Boeck Supérieur, Louvain-la-Neuve: présentation graphique des surplus, des élasticités et des interventions publiques, avec une synthèse des «dix principes».
Polycopiés et notes de cours de microéconomie de HEC Lausanne et de la Faculté d'économie et de management de l'Université de Genève, ainsi que les données et définitions de l'Office fédéral de la statistique (OFS) pour les ordres de grandeur suisses.