Théorie du consommateur · Microéconomie

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décrire les préférences d'un consommateur par des courbes d'indifférence, en justifier les propriétés et calculer un taux marginal de substitution à partir d'une fonction d'utilité;
écrire la contrainte budgétaire d'un ménage, en tracer la droite et prévoir son déplacement lors d'une variation de prix ou de revenu, y compris pour des tarifs non linéaires;
déterminer le panier optimal par la condition de tangence $T M S = p_{x} / p_{y}$ , reconnaître les solutions en coin et résoudre complètement les cas Cobb–Douglas, substituts parfaits et compléments parfaits;
déduire de ce choix les fonctions de demande individuelle, la courbe d'Engel et la demande de marché, et faire le lien avec les élasticités du chapitre 3;
décomposer l'effet d'une variation de prix en effet de substitution et effet de revenu (Hicks et Slutsky) et en tirer la loi de la demande;
appliquer le modèle au choix travail–loisir, au choix intertemporel, à la mesure du coût de la vie et à la comparaison entre aides en nature et en espèces;
évaluer une loterie par son utilité espérée, relier l'aversion pour le risque à la concavité de $u$ , calculer un équivalent certain, une prime de risque et la demande d'assurance, et reconnaître les écarts comportementaux (aversion aux pertes, effet de dotation, cadrage).

Préférences et utilité

Les chapitres 2 à 4 ont pris la courbe de demande comme point de départ. Ce chapitre l'explique: la demande résulte de la confrontation entre ce que le consommateur désire (ses préférences) et ce qu'il peut acheter (sa contrainte budgétaire). Le modèle, développé à Lausanne par Léon Walras et Vilfredo Pareto, est le socle de toute la microéconomie moderne.

Paniers et axiomes

Le consommateur est supposé capable de comparer les paniers. On note $A ≿ B$ (« $A$ est au moins aussi bon que $B$ »), $A ≻ B$ (préférence stricte) et $A \sim B$ (indifférence). Quatre hypothèses structurent ces préférences.

Les deux premiers axiomes rendent les préférences rationnelles: on peut classer tous les paniers. Les deux autres donnent aux courbes d'indifférence la forme que nous allons décrire. La monotonie exclut les «maux» (déchets, bruit): on peut toujours s'y ramener en comptant leur absence comme un bien.

Courbes d'indifférence

Démonstration. (1) découle de la complétude: tout panier est indifférent à lui-même, donc appartient à une courbe, et l'indifférence étant transitive, il n'appartient qu'à une seule. (2) Si l'on augmente $x$ à partir d'un panier $A$ , la monotonie rend le nouveau panier strictement meilleur; pour rester indifférent, il faut diminuer $y$ : la courbe descend. (3) Supposons que deux courbes distinctes se croisent en un panier $A$ . Prenons $B$ sur la première courbe et $C$ sur la seconde, avec $C$ directement au-dessus de $B$ (même $x$ , plus de $y$ ). Alors et , donc par transitivité; mais par monotonie: contradiction. (4) Un panier situé au nord-est de est strictement préféré à par monotonie, et sa courbe d'indifférence, qui ne peut couper celle de , reste au-dessus d'elle. Enfin, si et que les préférences sont convexes, tout point du segment est au moins aussi bon que : ce segment est dans la région préférée, qui est donc convexe, et la courbe qui la borde est convexe.

Le taux marginal de substitution

La pente d'une courbe d'indifférence mesure le «prix psychologique» d'un bien en termes de l'autre.

La convexité des courbes d'indifférence signifie que le TMS décroît le long de la courbe lorsque $x$ augmente: plus on possède de bien 1, moins on est disposé à sacrifier de bien 2 pour en obtenir davantage. Un habitant de Lausanne qui n'a jamais de temps libre donnera beaucoup de francs pour une heure de loisir; s'il en a déjà quarante par semaine, beaucoup moins.

Fonction d'utilité

Il est commode de résumer les préférences par un nombre.

Démonstration. Le long d'une courbe d'indifférence, $U (x, y (x)) = k$ est constante. En dérivant par rapport à $x$ (règle de dérivation des fonctions composées, annexe B), on obtient $U m_{x} + U m_{y} \cdot y^{'} (x) = 0$ , d'où et, par (5.1), .

L'interprétation est directe: gagner $d x$ apporte $U m_{x} d x$ d'utilité; perdre $d y$ en coûte $U m_{y} d y$ ; on reste indifférent si les deux se compensent, c'est-à-dire si $d y / d x = - U m_{x} / U m_{y}$ .

Fonctions d'utilité usuelles

Préférences	Fonction d'utilité	$T M S$	Courbes d'indifférence
Cobb–Douglas	$U = x^{α} y^{1 - α}$ , $0 < α < 1$	$\frac{α}{1 - α} \frac{y}{x}$

Pour la fonction Cobb–Douglas, $U m_{x} = α x^{α - 1} y^{1 - α}$ et $U m_{y} = (1 - α) x^{α} y^{- α}$ , d'où : il décroît bien quand augmente et diminue. Les substituts parfaits décrivent des biens interchangeables à taux fixe (deux marques de sel, un billet acheté au guichet ou sur l'application CFF); les compléments parfaits, des biens consommés en proportions fixes (skis et fixations, café et capsules). L'utilité quasi-linéaire convient lorsqu'un bien occupe une petite part du budget: son TMS ne dépend pas du revenu, ce qui simplifie beaucoup les calculs de surplus (chapitre 2).

Question 5.1

Un consommateur a les préférences $U (x, y) = x^{0, 3} y^{0, 7}$ . Calculez son taux marginal de substitution au panier $(10, 21)$ .

La contrainte budgétaire

La droite de budget

Le consommateur dispose d'un revenu $R$ (en CHF) et fait face aux prix $p_{x}$ et $p_{y}$ , qu'il prend comme donnés (il est trop petit pour les influencer).

Le rapport $p_{x} / p_{y}$ est le prix relatif du bien 1: le nombre d'unités de bien 2 auxquelles il faut renoncer pour acheter une unité de bien 1. C'est le coût d'opportunité du chapitre 1, exprimé par le marché. Deux déplacements sont à connaître (figure 5.2):

une variation d'un prix fait pivoter la droite autour de l'ordonnée à l'origine de l'autre bien: si $p_{x}$ augmente, l'abscisse $R / p_{x}$ recule et la pente se raidit;
une variation du revenu translate la droite parallèlement à elle-même: la pente $- p_{x} / p_{y}$ ne change pas.

Si tous les prix et le revenu sont multipliés par le même facteur $λ$ (une inflation générale, ou un changement de monnaie), la droite $λ p_{x} x + λ p_{y} y = λ R$ est inchangée: seuls les prix relatifs et le revenu réel comptent, jamais les valeurs nominales.

Question 5.2

Le prix de chacun des deux biens double et le revenu double également. Que devient la droite de budget?

Contraintes non linéaires

La droite de budget suppose des prix constants. De nombreux tarifs suisses ne le sont pas: tarifs dégressifs de l'électricité, rabais de quantité chez les grossistes, forfaits de téléphonie, abonnements de transport. L'ensemble de budget est alors bordé par une ligne brisée.

Le choix optimal

La condition de tangence

Le consommateur choisit, parmi les paniers accessibles, celui qu'il préfère: il cherche la courbe d'indifférence la plus élevée qui touche l'ensemble de budget. Sur la figure 5.3, cela se produit au point où une courbe d'indifférence est tangente à la droite de budget.

Démonstration (argument graphique). Le revenu est épuisé par monotonie: un panier strictement à l'intérieur de l'ensemble de budget peut être amélioré en achetant un peu plus de chaque bien. Soit maintenant $A$ un panier de la droite de budget où $T M S > p_{x} / p_{y}$ : le consommateur accepterait de céder $T M S$ unités de $y$ pour une unité de $x$ , mais le marché ne lui en demande que . En achetant un peu plus de et un peu moins de le long de la droite, il gagne donc en utilité: n'est pas optimal. Symétriquement si . Le seul candidat intérieur est le point où la courbe d'indifférence a la même pente que la droite, c'est-à-dire où elles sont tangentes; la convexité garantit que ce point de tangence est bien un maximum et qu'il est unique.

La seconde forme de (5.4) est la plus intuitive: à l'optimum, le dernier franc dépensé rapporte la même utilité marginale quel que soit le bien où il est dépensé. Si un franc en repas rapportait plus qu'un franc en cinéma, il faudrait réallouer le budget vers les repas.

Solutions en coin

Lorsque les courbes d'indifférence ne sont pas strictement convexes, ou lorsque le TMS reste supérieur (ou inférieur) au prix relatif sur toute la droite de budget, l'optimum se trouve à une extrémité: le consommateur n'achète que l'un des deux biens. C'est une solution en coin, pour laquelle (5.4) est remplacée par une inégalité: si $x^{*} = 0$ , alors $T M S \leq p_{x} / p_{y}$ en ce point (le bien 1 est «trop cher» pour valoir un premier achat). Les substituts parfaits en sont le cas typique.

Résolution des cas usuels

Démonstration. Le TMS vaut $\frac{α y}{( 1 - α ) x}$ et la condition (5.4) donne $\frac{α y}{( 1 - α ) x} = \frac{p _{x}}{p _{y}}$ , soit . En reportant dans la contrainte, , d'où et . Puis . La solution est intérieure (), ce qui est cohérent avec (5.4): sur les axes, l'utilité Cobb–Douglas est nulle, donc jamais optimale.

Explorateur 5.1 · Explorateur du choix du consommateur

Utilité Cobb–Douglas d'exposants α sur le bien x et 1 − α sur le bien y, sous contrainte de budget. Déplacez les curseurs: la droite de budget pivote ou se translate, l'optimum reste au point de tangence, et les parts de budget α et 1 − α restent constantes.

Préférence pour x: α0,40

Revenu R1200CHF

Prix p_x20CHF

Prix p_y30CHF

x* = α R / p_x

24,0

y* = (1 − α) R / p_y

24,0

Utilité U(x*, y*)

24,00

Parts de budget x / y

40 % / 60 %

TMS à l'optimum = p_x / p_y

0,667 = 0,667

Question 5.3

Un consommateur a l'utilité $U = x^{0, 6} y^{0, 4}$ , un revenu $R = CHF 1500$ et fait face aux prix $p_{x} = 25$ et $p_{y} = 10$ . Quelle quantité $x^{*}$ choisit-il?

Question 5.4

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution du problème du consommateur par le multiplicateur de Lagrange.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Éliminer

λ

pour obtenir la condition de tangence

U m_{x} / U m_{y} = p_{x} / p_{y}

Annuler les dérivées partielles par rapport à

x

y

λ

Vérifier que la solution est intérieure et que le revenu est épuisé

Former le lagrangien

L = U (x, y) + λ (R - p_{x} x - p_{y} y)

Combiner cette relation avec la contrainte budgétaire pour trouver

x^{*}

y^{*}

Écrire le problème: maximiser

U (x, y)

sous la contrainte

p_{x} x + p_{y} y = R

Demande individuelle et courbes de demande

Fonctions de demande

Résoudre le problème du consommateur pour toutes les valeurs de $(p_{x}, p_{y}, R)$ donne les fonctions de demande $x (p_{x}, p_{y}, R)$ et . Pour le consommateur Cobb–Douglas, (5.5) montre que ne dépend ni de ni de rien d'autre; pour les compléments parfaits de l'exemple 5.5, dépend des deux prix. Ces fonctions sont : multiplier tous les prix et le revenu par ne change pas la demande, comme le quiz précédent l'a montré pour la droite de budget.

Courbe de demande et courbe prix-consommation

Faisons varier $p_{x}$ seul, $p_{y}$ et $R$ étant fixés. La droite de budget pivote et l'optimum se déplace le long d'une courbe du plan $(x, y)$ , la courbe prix-consommation. En reportant, pour chaque $p_{x}$ , la quantité correspondante dans le plan , on obtient la du chapitre 2. La courbe de demande n'est donc pas une hypothèse: c'est la trace du choix optimal lorsque le prix change.

Démonstration. Avec les définitions du chapitre 3, $ε_{p} = \frac{\partial x}{\partial p _{x}} \frac{p _{x}}{x} = - \frac{α R}{p _{x}^{2}} \cdot \frac{p _{x}}{α R / p _{x}} = - 1$ ; ; et .

L'élasticité-prix unitaire signifie que la dépense $p_{x} x = α R$ ne bouge pas quand le prix change: c'est exactement la propriété des parts de budget constantes. Un ménage dont la part alimentaire reste stable malgré les fluctuations de prix se comporte «à la Cobb–Douglas» pour ce poste.

Courbe d'Engel, biens normaux et inférieurs

Faisons maintenant varier $R$ seul. L'optimum décrit la courbe revenu-consommation dans le plan $(x, y)$ , et la relation entre $R$ et $x^{*}$ est la courbe d'Engel du bien $x$ .

Pour la Cobb–Douglas, la courbe d'Engel est la droite $x = (α / p_{x}) R$ passant par l'origine: le bien est normal, ni de luxe ni de nécessité. Les enquêtes de l'OFS sur le budget des ménages montrent qu'en Suisse l'alimentation à domicile a une élasticité-revenu inférieure à $1$ (sa part baisse avec le revenu, de plus de $10 %$ pour les ménages modestes à moins de $6 %$ pour les plus aisés), tandis que les restaurants, les voyages et la culture sont des biens de luxe. Les biens inférieurs sont ceux que l'on abandonne en s'enrichissant: pâtes premier prix, trajets en car longue distance plutôt qu'en train.

Demande de marché

La demande de marché s'obtient en additionnant, pour chaque prix, les quantités demandées par tous les consommateurs: c'est une somme horizontale des courbes individuelles. Si deux consommateurs ont les demandes $q_{1} = 10 - p$ (nulle dès $p \geq 10$ ) et $q_{2} = 24 - 2 p$ (nulle dès ), la demande de marché vaut pour et pour : la courbe est coudée en , là où le premier consommateur quitte le marché. À : . Avec des milliers de consommateurs aux seuils différents, la courbe de marché devient lisse, même si chaque demande individuelle est en escalier ou en coin: c'est ce qui légitime les courbes régulières des chapitres 2 à 4. Notez que si tous les consommateurs sont Cobb–Douglas avec le même , la demande de marché ne dépend que du revenu , pas de sa répartition.

Question 5.5

Quelles affirmations sont correctes? (plusieurs réponses possibles)

Plusieurs réponses possibles

Effets de substitution et de revenu

L'idée de la décomposition

Lorsque $p_{x}$ augmente, deux choses se produisent à la fois: le bien 1 devient relativement plus cher que le bien 2, ce qui incite à le remplacer par le bien 2 (effet de substitution), et le pouvoir d'achat du consommateur diminue, ce qui modifie sa consommation de tous les biens (effet de revenu). Pour séparer les deux, John Hicks propose de raisonner en deux temps: d'abord une variation compensée du prix, qui laisse le consommateur sur sa courbe d'indifférence initiale, puis le retrait de la compensation.

Démonstration. (1) Les paniers $A$ et $C$ sont sur la même courbe d'indifférence, décroissante et convexe. La tangente en $C$ a la pente $- p_{x}^{'} / p_{y}$ , plus raide que la tangente en $A$ , de pente $- p_{x} / p_{y}$ , puisque . Comme le TMS décroît le long de la courbe quand augmente, un TMS plus élevé correspond à un plus petit: . (2) De à , les prix sont fixes et le revenu passe de à (il faut plus d'argent pour retrouver l'utilité initiale à des prix plus élevés); si le bien est normal, sa consommation baisse: . (3) Si le bien est inférieur, la baisse de revenu de à augmente : , et le signe de dépend de l'importance relative des deux effets.

Question 5.6

Avec $U = x^{1/2} y^{1/2}$ , $R = 400$ , $p_{y} = 5$ et un prix $p_{x}$ passant de $5$ à $10$ , calculez la quantité $x_{C}$ du panier compensé de Hicks (celui qui procure l'utilité initiale aux nouveaux prix).

Application: une taxe CO₂ redistribuée

La Confédération prélève une taxe sur le CO₂ des combustibles fossiles ( $CHF 120$ par tonne de CO₂ depuis 2022) et en redistribue la majeure partie à la population, par une réduction uniforme des primes d'assurance maladie. Un litre de mazout émettant environ $2, 65$ kg de CO₂, la taxe renchérit le litre de $2, 65 \times 0, 12 \approx CHF 0, 32$ . Le consommateur qui reçoit en retour ce qu'il a payé est-il gagnant?

Prenons un ménage aux préférences $U = x^{0, 05} y^{0, 95}$ ( $x$ litres de mazout, $y$ le reste en francs), $R = CHF 60000$ par an, $p_{x}$ passant de à . Avant la taxe, il consomme L. Après, L: il paie de taxe. Si on lui restitue exactement cette somme, son revenu devient , il consomme L et : son utilité est fois celle d'avant, soit une perte de . Le remboursement de la taxe ne suffit à le compenser: la variation compensatrice de Hicks vaut ici , soit de plus que la taxe payée. Cet écart est la du chapitre 4, vue du côté du consommateur: la taxe l'a fait dévier de son choix préféré.

Mais la redistribution est par tête, pas au prorata de la taxe payée. Un ménage qui chauffe moins ( $α = 0, 03$ , soit $1500$ L avant la taxe) paie environ $CHF 379$ et reçoit le remboursement moyen des deux ménages, $CHF 505$ : son utilité augmente de $0, 13 %$ . La taxe redistribuée transfère du revenu des gros consommateurs de fossile vers les petits, tout en incitant chacun, par l'effet de substitution, à consommer moins de mazout: c'est précisément son objectif. Le gain environnemental (la réduction des émissions, externalité du chapitre 11) n'apparaît pas dans ces calculs d'utilité privée.

Applications

Choix travail–loisir et offre de travail

Le modèle s'applique à des «biens» qui ne s'achètent pas dans un magasin. Un travailleur dispose de $T$ heures par semaine qu'il partage entre loisir $ℓ$ et travail $h = T - ℓ$ , rémunéré au salaire horaire $w$ . Sa consommation $c$ (en francs, $p_{c} = 1$ ) vaut $w h$ plus un éventuel revenu hors travail (rente, bourse, revenu du conjoint): , soit

c + w ℓ = w T + V . (5.6)

C'est une contrainte budgétaire où le loisir est un bien dont le prix est le salaire: chaque heure de loisir «coûte» $w$ francs de consommation perdue. Le revenu total $w T + V$ est la valeur de la dotation en temps. Le choix optimal vérifie $T M S_{ℓ, c} = w$ .

Avec des préférences Cobb–Douglas $U = ℓ^{α} c^{1 - α}$ , (5.5) donne $ℓ^{*} = α (w T + V) / w$ et donc l'offre de travail

h^{*} = T - ℓ^{*} = (1 - α) T - \frac{α V}{w} . (5.7)

Pour $T = 80$ h, $α = 0, 6$ , $w = CHF 30$ et $V = 0$ : $ℓ^{*} = 48$ h, $h^{*} = 32$ h et . Avec une bourse : h et h: le loisir étant un bien normal, le revenu supplémentaire en achète davantage. Sans revenu hors travail, (5.7) montre que ne dépend du salaire: la hausse de renchérit le loisir (effet de substitution: travailler plus) mais enrichit le travailleur (effet de revenu: acheter plus de loisir), et les deux effets se compensent exactement dans le cas Cobb–Douglas. Pour des préférences générales, l'effet de substitution domine aux bas salaires et l'effet de revenu aux hauts salaires: la courbe d'offre de travail individuelle est , croissante puis décroissante. C'est l'une des explications de la réduction du temps de travail dans les pays riches et un enjeu des débats suisses sur les salaires minimums cantonaux (Genève: environ de l'heure en 2025) et sur l'imposition des couples.

Choix intertemporel: épargne et taux d'intérêt

Un ménage vit deux périodes (aujourd'hui, demain) avec les revenus $m_{1}$ et $m_{2}$ , et peut prêter ou emprunter au taux d'intérêt $r$ . S'il consomme $c_{1}$ aujourd'hui, il épargne $s = m_{1} - c_{1}$ (négatif s'il emprunte) et consommera demain. En éliminant ,

c_{1} + \frac{c _{2}}{1 + r} = m_{1} + \frac{m _{2}}{1 + r} . (5.8)

La contrainte budgétaire intertemporelle dit que la valeur actuelle de la consommation égale la valeur actuelle des revenus. Le prix relatif de la consommation présente est $1 + r$ : renoncer à un franc aujourd'hui en rapporte $1 + r$ demain. Une hausse du taux d'intérêt fait pivoter la droite autour du point de dotation $(m_{1}, m_{2})$ , toujours accessible.

Avec $U = ln c_{1} + β ln c_{2}$ ( $β < 1$ mesure l'impatience), la tangence $T M S = c_{2} / (β c_{1}) = 1 + r$ donne , et (5.8) devient où : . Pour un cadre gagnant avant la retraite et après, avec et : , , soit une épargne (par exemple sur un compte de 3ᵉ pilier) et . Le consommateur sa consommation: elle ne baisse que de d'une période à l'autre, alors que le revenu chute de .

Indices de prix et biais de substitution

Comment mesurer la hausse du coût de la vie? L'indice de Laspeyres compare le coût du panier de l'année de base aux nouveaux prix et aux anciens: $L = \frac{p _{x}^{'} x _{A} + p _{y}^{'} y _{A}}{p _{x} x _{A} + p _{y} y _{A}}$ . C'est la compensation de Slutsky. Mais le consommateur ne conserve pas son panier: il substitue vers les biens devenus relativement moins chers, et l'indice la hausse du coût de la vie. Le «vrai» indice est le rapport des dépenses minimales nécessaires pour atteindre l'utilité initiale, : la compensation de Hicks.

Pour un consommateur Cobb–Douglas ( $α = 0, 5$ , $R = 100$ ) avec des prix passant de $(2, 4)$ à $(4, 4)$ : le panier initial est $(25; 12, 5)$ , dont le coût passe de $100$ à $4 \times 25 + 4 \times 12, 5 = 150$ : . Le vrai indice vaut : la hausse du coût de la vie est de , non de . La différence est le .

Bons d'achat ou espèces?

Beaucoup d'aides sont versées en nature ou sous forme de bons affectés: subsides pour les primes d'assurance maladie, chèques Reka offerts par un employeur pour les vacances, bons de repas. La théorie du consommateur donne une réponse nette à la question de savoir si un transfert en espèces de même montant ne serait pas préférable.

Démonstration. Avec les espèces, l'ensemble de budget est ${p_{x} x + p_{y} y \leq R + S}$ . Avec le bon, le consommateur peut acheter le bien 2 avec son revenu seulement et le bien 1 avec son revenu et le bon: son ensemble de budget est ${p_{x} x + p_{y} y \leq R + S, p_{y} y \leq R}$ , c'est-à-dire l'ensemble précédent du triangle où . Tout panier accessible avec le bon l'est avec les espèces: le maximum d'utilité sur le grand ensemble est au moins égal au maximum sur le petit. Si l'optimum avec espèces vérifie , alors : il appartient aussi au petit ensemble et les deux transferts donnent le même choix. Sinon, l'optimum avec espèces est inaccessible avec le bon, et celui-ci est strictement moins bon.

Un employé aux préférences $U = x^{0, 05} y^{0, 95}$ ( $x$ vacances, $y$ le reste), au revenu mensuel de $CHF 5000$ , recevant $CHF 1000$ en chèques Reka, ne dépenserait librement que $0, 05 \times 6000 = CHF 300$ en vacances: le bon le contraint à et , et son utilité () est inférieure à celle des espèces (). Pourquoi alors ces bons existent-ils? Parce que le donateur ne poursuit pas seulement le bien-être du bénéficiaire tel que celui-ci le conçoit: il veut orienter la consommation (paternalisme, ou externalités: la santé des enfants), éviter les fraudes, ou bénéficier d'un avantage fiscal, comme c'est le cas des chèques Reka jusqu'à un certain montant.

Choix en situation d'incertitude

Jusqu'ici, le consommateur savait exactement ce qu'il achetait et ce qu'il gagnerait. Beaucoup de décisions se prennent pourtant sans connaître l'issue: souscrire ou non une assurance ménage, choisir une franchise LAMal de $CHF 300$ ou de $CHF 2500$ , placer son épargne du 3ᵉ pilier en actions ou sur un compte, se mettre à son compte plutôt que rester salarié. Le consommateur ne choisit plus entre des paniers, mais entre des perspectives risquées. Cette section étend la théorie du choix à ces situations; l'annexe B en rappelle les outils de calcul (espérance, utilité espérée) sur un exemple d'assurance vélo.

Loteries et espérance de gain

Le critère le plus simple consisterait à choisir la loterie d'espérance maximale. Il est démenti par le comportement de presque tout le monde. Proposez à une étudiante le choix entre $CHF 50000$ sûrs et un pile ou face qui lui donne $CHF 10000$ ou $CHF 90000$ : les deux options ont la même espérance, $CHF 50000$ , mais pratiquement personne ne choisit la pièce. Et des millions de ménages suisses paient des primes d'assurance supérieures à la valeur espérée des sinistres qu'elles couvrent, puisque l'assureur doit couvrir ses frais: au critère de l'espérance, ils perdraient de l'argent à chaque contrat. L'espérance ignore la dispersion des issues, à laquelle les gens sont manifestement sensibles.

L'utilité espérée de von Neumann et Morgenstern

John von Neumann et Oskar Morgenstern ont montré en 1944 (dans l'ouvrage qui fonde aussi la théorie des jeux, chapitre 10) que ce critère découle d'axiomes sur les préférences entre loteries — complétude, transitivité, continuité et surtout indépendance: si l'on préfère $L_{1}$ à $L_{2}$ , on doit préférer « $L_{1}$ avec probabilité $t$ , $L_{3}$ sinon» à « avec probabilité , sinon», quelle que soit . Daniel Bernoulli avait proposé l'idée dès 1738, avec , pour résoudre le paradoxe de Saint-Pétersbourg: un jeu d'espérance infinie que personne ne paierait plus de quelques francs.

Aversion pour le risque et concavité

Démonstration (cas de deux issues). Considérons la loterie qui donne $w_{1} < w_{2}$ avec les probabilités $1 - t$ et $t$ , de sorte que $E [w] = (1 - t) w_{1} + t w_{2}$ est un point du segment . L'utilité espérée est la hauteur, au-dessus de , de la qui joint les points et du graphe; est la hauteur du graphe lui-même au même point. Une fonction est strictement concave exactement lorsque son graphe passe strictement au-dessus de toutes ses cordes: pour tous et , ce qui est la définition de l'aversion pour le risque. Pour une fonction deux fois dérivable, la concavité stricte découle de . Les cas affine (graphe confondu avec ses cordes) et convexe (graphe sous ses cordes) se traitent de la même façon. Le passage à issues est l', que nous admettons.

L'intuition est celle de l'utilité marginale décroissante: avec $u (w) = w$ , perdre $CHF 40000$ à partir de $50000$ coûte plus d'utilité ( $50000 - 10000 \approx 123, 6$ ) que n'en rapporte un gain de (). Une loterie équitable, qui fait gagner ou perdre la même somme avec la même probabilité, est donc mauvaise pour l'individu averse au risque.

Question 5.7

Un individu d'utilité $u (w) = w$ fait face à une loterie qui lui donne $CHF 16900$ ou $CHF 4900$ avec probabilité $1/2$ chacune. Calculez sa prime de risque en CHF.

La demande d'assurance

Une assurance transforme une loterie en (presque) certitude: l'assuré paie une prime sûre, et l'assureur rembourse le sinistre s'il survient. Considérons un individu de richesse $W$ qui subit la perte $L$ avec la probabilité $p$ . Il peut acheter une couverture $K$ (le montant remboursé en cas de sinistre) au prix $q$ par franc couvert, soit une prime $q K$ . La prime est actuariellement juste lorsque $q = p$ : l'assureur encaisse alors en moyenne exactement ce qu'il rembourse.

Démonstration. La richesse vaut $a = W - q K$ sans sinistre et $b = W - L + (1 - q) K$ avec sinistre (la couverture $K$ est remboursée, la prime a été payée). L'utilité espérée est $V (K) = (1 - p) u (a) + p u (b)$ , et sa dérivée

V^{'} (K) = - (1 - p) q u^{'} (a) + p (1 - q) u^{'} (b) .

Avec $q = p$ , elle vaut $p (1 - p) [u^{'} (b) - u^{'} (a)]$ . Comme $u^{'}$ est strictement décroissante, exige , c'est-à-dire , soit . Enfin : est concave, et ce point critique est son maximum.

À prime juste, l'assuré élimine tout le risque sans rien perdre en espérance: il égalise sa richesse entre les deux états. En pratique, la prime inclut un chargement pour les frais de gestion et le profit de l'assureur ( $q > p$ ). L'assurance complète n'est alors plus optimale: la même condition $V^{'} (K) = 0$ impose $u^{'} (b) > u^{'} (a)$ , donc , et l'assuré garde une partie du risque, par exemple sous forme de (exercice 5.5). C'est l'arbitrage entre protection et coût que l'on fait en choisissant sa franchise LAMal; le chapitre 11 montrera que la franchise sert aussi à limiter l', et que l'assureur qui ne connaît pas le risque de chaque assuré se heurte à la .

Diversification et mutualisation

Pourquoi l'assureur, lui, accepte-t-il le risque pour une prime à peine supérieure à la perte espérée? Parce qu'il ne joue pas une loterie, mais des milliers de loteries indépendantes. Dans l'exemple 5.9, la perte de la graphiste a une espérance de $CHF 5000$ et un écart type de $50000 0, 1 \times 0, 9 = CHF 15000$ . Si deux indépendantes identiques mettent leurs risques en commun et partagent les pertes, la perte moyenne par personne garde la même espérance, mais son écart type tombe à $15 000/ 2 \approx CHF 10607$ ; dans un portefeuille de risques indépendants, il vaut , soit pour . C'est la : la mutualisation rend la perte par contrat presque certaine, et l'assureur se comporte comme s'il était neutre au risque.

Le même principe fonde la diversification d'un portefeuille: répartir son épargne entre de nombreux titres dont les rendements ne sont pas parfaitement corrélés réduit le risque sans réduire le rendement espéré. Il a deux limites. Les risques corrélés ne se diversifient pas: une crise boursière fait baisser presque toutes les actions à la fois, et une grêle ou une crue frappe toute une région, ce qui explique le rôle de la réassurance et, pour les dommages naturels, celui des établissements cantonaux d'assurance des bâtiments. Et la mutualisation suppose que l'assureur connaisse la probabilité $p$ de chacun, ce que le chapitre 11 remettra en cause.

Les limites comportementales: un cas chiffré

La théorie de l'utilité espérée est une norme de cohérence, et un bon point de départ pour décrire les grandes décisions. Mais des expériences contrôlées, répliquées dans de nombreux pays, montrent des écarts systématiques. En voici trois, réunis autour d'un même mécanisme, l'aversion aux pertes.

Ces résultats sont parmi les mieux établis de l'économie comportementale, mais leur portée se discute. L'ampleur de l'effet de dotation dépend fortement de la procédure (il s'atténue quand les sujets comprennent bien le mécanisme d'enchère et chez les commerçants expérimentés), et le coefficient $λ \approx 2$ est un ordre de grandeur moyen, non une constante. Les conséquences pratiques sont réelles: une option par défaut, perçue comme le point de référence, est rarement abandonnée (affiliation automatique à la prévoyance professionnelle, chapitre 1), et une même réforme est jugée différemment selon qu'on la présente comme un rabais ou une surtaxe. Le chapitre 10 présentera un autre écart documenté, celui du jeu de l'ultimatum, où il tient moins au risque qu'au souci d'équité.

Question 5.8

Un consommateur a un patrimoine de $CHF 200000$ et l'utilité $u (w) = ln w$ . Il refuse un pile ou face où il gagne $CHF 110$ ou perd $CHF 100$ . Quelle interprétation est la plus défendable?

Synthèse

Les préférences complètes, transitives, monotones et convexes se représentent par des courbes d'indifférence décroissantes, convexes, qui ne se croisent pas, et par une fonction d'utilité ordinale, définie à une transformation croissante près. Le $T M S = U m_{x} / U m_{y}$ est la valeur absolue de la pente de la courbe d'indifférence et décroît le long de celle-ci.
La droite de budget $p_{x} x + p_{y} y = R$ a pour pente ; un prix la fait pivoter, le revenu la translate; seuls les prix relatifs et le revenu réel comptent. Les tarifs non linéaires (demi-tarif CFF) créent des contraintes coudées.

Série d'exercices du chapitre 5Exercice 1 sur 5

Question 5.9

Pourquoi deux courbes d'indifférence ne peuvent-elles pas se croiser?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 5.1 · Droite de budget et choix Cobb–Douglas

Un étudiant dispose de $R = CHF 900$ par mois pour des repas ( $x$ , $p_{x} = CHF 15$ ) et des sorties ( $y$ , $p_{y} = CHF 30$ ).

Exercice 5.2 · Quatre types de préférences, mêmes prix

Les prix sont $p_{x} = 8$ , $p_{y} = 4$ et le revenu $R = 240$ . Déterminer le panier optimal et l'utilité atteinte pour chacune des fonctions d'utilité suivantes, en précisant si la solution est intérieure ou en coin.

Exercice 5.3 · Demande quasi-linéaire et élasticités

Un consommateur a les préférences $U (x, y) = 40 ln x + y$ , où $y$ est un bien composite de prix $p_{y}$ .

Déterminer la fonction de demande pour un revenu suffisamment élevé, et préciser la condition sur .

Exercice 5.4 · Offre de travail et revenu hors travail

Une personne dispose de $T = 100$ heures par semaine, a les préférences $U (ℓ, c) = ℓ^{1/2} c^{1/2}$ entre loisir et consommation, et peut travailler au salaire horaire $w$ .

Écrire la contrainte budgétaire avec un revenu hors travail et déterminer , et pour , .

Exercice 5.5 · Assurance contre la grêle et franchise optimale

Un agriculteur dispose d'une richesse de $W = CHF 40000$ (valeur de sa récolte comprise). Une grêle détruirait une partie de la récolte et lui ferait perdre $L = CHF 30000$ avec une probabilité $p = 0, 2$ (données fictives). Son utilité est $u (w) = w$ .

Exercice 5.6 · Démonstration: demandes Cobb–Douglas et invariance ordinale

Soit $U (x, y) = x^{a} y^{b}$ avec $a, b > 0$ , les prix $p_{x}, p_{y} > 0$ et le revenu .

Références

Varian, H. R., Introduction à la microéconomie, 9ᵉ éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 2–8 et 12 (contrainte budgétaire, préférences, utilité, choix, demande, équation de Slutsky; incertitude).
Pindyck, R. S. et Rubinfeld, D. L., Microéconomie, 9ᵉ éd., Pearson, Montreuil, chap. 3–4.
Krugman, P. et Wells, R., Microéconomie, 4ᵉ éd., De Boeck, Louvain-la-Neuve, chap. 10 et son annexe sur les courbes d'indifférence.
Perloff, J. M., Microeconomics, 8ᵉ éd., Pearson, Harlow, chap. 3–5.
Pareto, V., Manuel d'économie politique, Giard et Brière, Paris, 1909 (trad. de l'édition italienne de 1906), chap. III–IV.
Kahneman, D. et Tversky, A., «Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk», Econometrica, 47(2), 1979, p. 263–291; Kahneman, D., Knetsch, J. L. et Thaler, R. H., «Experimental Tests of the Endowment Effect and the Coase Theorem», Journal of Political Economy, 98(6), 1990, p. 1325–1348; Tversky, A. et Kahneman, D., «The Framing of Decisions and the Psychology of Choice», Science, 211(4481), 1981, p. 453–458; Tversky, A. et Kahneman, D., «Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty», Journal of Risk and Uncertainty, 5(4), 1992, p. 297–323.
Office fédéral de la statistique, Enquête sur le budget des ménages et Indice suisse des prix à la consommation: bases méthodologiques, Neuchâtel.
Jensen, R. T. et Miller, N. H., «Giffen Behavior and Subsistence Consumption», American Economic Review, 98(4), 2008, p. 1553–1577.