Poutres

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

rappeler les hypothèses de la poutre d'Euler-Bernoulli, établir l'équation $(E I w^{''})^{''} = q$ à partir de l'équilibre d'une tranche et de la loi moment–courbure, et classer ses conditions aux limites en essentielles (flèche, rotation) et naturelles (effort tranchant, moment);
écrire la formulation faible d'ordre quatre et expliquer pourquoi elle exige des fonctions de forme de classe $C^{1}$ , c'est-à-dire continues avec leur pente;
démontrer les quatre fonctions de forme d'Hermite à partir de leurs conditions nodales, et calculer la matrice de rigidité $4 \times 4$ de l'élément de poutre et ses charges nodales cohérentes;
résoudre la console de référence et une poutre hyperstatique, expliquer pourquoi un seul élément donne la flèche et la rotation exactes aux nœuds mais pas entre eux, et récupérer moments, efforts tranchants et réactions en connaissant leur précision;
assembler un portique plan avec l'élément de portique $6 \times 6$ (barre plus poutre) tourné par la matrice $T$ , et vérifier le résultat par l'équilibre et par la méthode des rotations;
situer la poutre de Timoshenko et le verrouillage en cisaillement, et savoir pourquoi le chapitre 10 y reviendra.

Les chapitres 4 et 5 ont traité des barres: une inconnue de déplacement par nœud et par direction, une équation du deuxième ordre, des fonctions de forme affines. La poutre change trois choses à la fois. L'équation devient du quatrième ordre; la formulation faible fait intervenir des dérivées secondes, ce qui oblige à raccorder les éléments non seulement en valeur mais aussi en pente; et chaque nœud porte désormais deux degrés de liberté, une flèche et une rotation. Tout le reste — formulation faible, Galerkin, assemblage, élimination des appuis, réactions — est exactement ce que vous connaissez déjà, et ce chapitre le montre en le réutilisant tel quel.

La poutre d'Euler-Bernoulli

Hypothèses et cinématique

On considère une poutre droite d'axe $x$ , de longueur $L$ , de module d'Young $E$ et de moment d'inertie $I$ autour de l'axe de flexion. Elle fléchit dans le plan $(x, y)$ sous une charge répartie transversale $q (x)$ , en kN/m, et sous des forces et des couples concentrés. On cherche la flèche $w (x)$ , déplacement transversal de l'axe.

La théorie d'Euler-Bernoulli repose sur trois hypothèses: les déplacements sont petits; le matériau est élastique linéaire; et les sections droites restent planes et perpendiculaires à l'axe déformé (hypothèse de Navier–Bernoulli). La troisième est la plus forte: elle néglige la déformation due à l'effort tranchant, ce qui est justifié pour une poutre élancée, dont la hauteur est petite devant la portée. La dernière section du chapitre dira ce qui se passe quand on la lève.

Fixons une fois pour toutes les conventions de signe du chapitre. La flèche $w$ et la charge $q$ sont positives vers le haut, dans le sens des $y$ croissants; une charge de gravité vaut donc $q < 0$ . Une section tourne de l'angle

θ (x) = w^{'} (x), (6.1)

compté positif dans le sens trigonométrique. Une fibre située à la hauteur $y$ au-dessus de l'axe se déplace axialement de $- y θ$ ; sa déformation vaut donc $ε (x, y) = - y w^{''} (x)$ , et $κ = w^{''}$ est la de l'axe (en petits déplacements). Avec la loi de Hooke , la résultante en moment des contraintes sur la section est

M = - \int_{A} σ y d A = E w^{''} \int_{A} y^{2} d A = E I w^{''}, (6.2)

la loi moment–courbure. Avec ce signe, un moment positif tend la fibre inférieure: c'est le moment de travée d'une poutre simplement appuyée sous son poids. Un moment négatif, qui tend la fibre supérieure, est un moment sur appui.

Équilibre d'une tranche et équation d'ordre quatre

Sur la face droite d'une coupure — la face dont la normale sortante est $+ x$ —, on note $V$ l'effort tranchant, compté positif vers le bas, et $M$ le moment fléchissant, compté positif dans le sens trigonométrique; sur la face gauche, ils agissent en sens opposés. La lettre $V$ est celle de la résistance des matériaux; elle désigne aussi, dans tout le cours, l'espace des fonctions test. Nous gardons les deux usages, que le contexte distingue toujours: un espace de fonctions d'un côté, une force de l'autre. Isolons la tranche $[x, x + d x]$ . L'équilibre vertical et l'équilibre des moments autour de son extrémité gauche donnent, au premier ordre en $d x$ ,

V (x) - V (x + d x) + q d x = 0, M (x + d x) - M (x) - V (x + d x) d x = 0,

c'est-à-dire

V^{'} = q, M^{'} = V . (6.3)

En combinant (6.2) et (6.3), $M^{''} = q$ , d'où l'équation de la poutre:

(E I w^{''})^{''} = q sur (0, L), et, si E I est constant, E I w^{''''} = q . (6.4)

Comme pour la barre au chapitre 1, (6.4) combine une loi d'équilibre (6.3) et une loi de comportement (6.2); la différence est qu'il faut ici deux intégrations pour passer de la charge au moment, et deux autres pour passer du moment à la flèche. L'équation est du quatrième ordre: il faut quatre conditions aux limites, deux à chaque extrémité.

Les conditions aux limites

À chaque extrémité, on impose une condition sur $w$ ou sur l'effort qui lui est associé, $V$ , et une condition sur $θ = w^{'}$ ou sur l'effort qui lui est associé, $M$ . Les appuis usuels se traduisent ainsi:

Extrémité	Conditions	Nature
encastrement	$w = 0$ , $θ = 0$	deux conditions essentielles
appui simple (articulation ou rouleau)	$w = 0$ , $M = 0$	une essentielle, une naturelle
bord libre chargé par $P$ et $C$	$V = - P$ , en

Le signe de $V (L) = - P$ vient de la convention de la face droite: une force $P$ dirigée vers le haut, appliquée sur l'extrémité droite, est équilibrée par un effort tranchant dirigé vers le bas qui vaut $- P$ . On le vérifie sur la console sous sa seule charge en bout: $M (x) = P (L - x)$ , donc $V = M^{'} = - P$ partout.

La formulation faible d'ordre quatre

La démarche est celle du chapitre 2, avec une intégration par parties de plus. Multiplions (6.4) par une fonction test $v$ et intégrons sur $(0, L)$ . Comme $(E I w^{''})^{''} = M^{''}$ , deux intégrations par parties donnent

\int_{0}^{L} M^{''} v d x = [V v]_{0}^{L} - [M v^{'}]_{0}^{L} + \int_{0}^{L} M v^{''} d x,

d'où, avec $M = E I w^{''}$ ,

\int_{0}^{L} E I w^{''} v^{''} d x = \int_{0}^{L} q v d x - [V v]_{0}^{L} + [M v^{'}]_{0}^{L} . (6.5)

Les termes de bord ont un sens physique net. À une extrémité encastrée, on choisit $v$ tel que $v = v^{'} = 0$ , et les deux termes disparaissent — on n'a pas besoin d'y connaître la réaction. À une extrémité libre en $x = L$ chargée par une force $P$ et un couple $C$ , les conditions naturelles $V (L) = - P$ et transforment les termes de bord en : le de la force dans la flèche virtuelle, et du couple dans la rotation virtuelle. C'est exactement le principe des travaux virtuels du chapitre 2, lu sur une poutre.

L'espace $H^{2}$ prolonge d'un cran les espaces $H^{1}$ du chapitre 2. En dimension 1, une fonction de $H^{1}$ est continue; une fonction de $H^{2}$ est donc continue et a une dérivée continue: elle est de classe $C^{1}$ . Les conditions et ont alors un sens ponctuel, et la forme — qui évalue et — est bien définie et continue sur .

Pour un $E I$ strictement positif, $a$ est symétrique, et $a (v, v) = \int E I (v^{''})^{2}$ est l'énergie de flexion, nulle seulement si $v^{''} = 0$ , c'est-à-dire si est affine; avec , cela impose . L'argument du chapitre 2 s'applique donc mot pour mot: la solution du problème faible est l'unique minimum de l'

Π (v) = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} E I (v^{''})^{2} d x - \int_{0}^{L} q v d x - P v (L) - C v^{'} (L) (6.7)

sur $V$ , et la méthode de Galerkin du chapitre 3 consiste à minimiser $Π$ sur un sous-espace $V_{h} \subset V$ de dimension finie. Toute la question est de construire un tel $V_{h}$ avec des fonctions locales.

Pourquoi il faut la continuité $C^{1}$

Pour la barre, $V_{h}$ était formé de fonctions continues et affines par morceaux. Leur dérivée est en escalier, donc de carré intégrable, et la fonction est dans $H^{1}$ ; c'est ce qui rendait l'énergie $\frac{1}{2} \int E A (v^{'})^{2}$ finie. La poutre demande davantage: l'énergie contient , et c'est la qui doit maintenant être continue.

Regardons ce qui se passe sinon. Soit une fonction continue, polynomiale par morceaux, dont la pente saute de $Δ θ$ en un nœud — un pli, comme celui d'une ligne brisée. Lissons ce pli sur une petite largeur $ε$ : la pente y passe linéairement de sa valeur de gauche à sa valeur de droite, de sorte que $v^{''} = Δ θ / ε$ sur cet intervalle. La contribution du pli à $\int (v^{''})^{2}$ vaut

(\frac{Δ θ}{ε})^{2} \cdot ε = \frac{( Δ θ ) ^{2}}{ε},

soit $10 (Δ θ)^{2}$ pour $ε = 0, 1$ , $100 (Δ θ)^{2}$ pour $ε = 0, 01$ , $1000 (Δ θ)^{2}$ pour : elle tend vers l'infini quand on rend le pli net. Un pli coûte une ; la fonction n'est pas dans . Physiquement, c'est une rotule: une poutre continue ne peut pas présenter un angle sans qu'un moment infini l'y oblige.

Une fonction polynomiale par morceaux appartient donc à $H^{2}$ si et seulement si elle est continue avec sa dérivée aux nœuds. Pour assurer ce raccord par l'assemblage, sans contrainte supplémentaire, on donne à chaque nœud deux degrés de liberté: la flèche $w_{i}$ et la rotation $θ_{i}$ . Deux éléments voisins partagent ces deux valeurs, et leurs fonctions se raccordent alors en valeur et en pente. Sur un élément, quatre degrés de liberté — deux flèches, deux rotations — déterminent exactement un polynôme de degré 3: l'élément naturel est cubique.

Question 6.1

On propose de calculer une poutre d'Euler-Bernoulli avec les fonctions chapeau affines par morceaux du chapitre 4, une flèche par nœud. Pourquoi la formulation (6.6) l'interdit-elle?

Les fonctions de forme d'Hermite

Les quatre conditions qui définissent chaque fonction sont celles d'une base duale: $N_{1}$ vaut 1 au nœud 1, 0 au nœud 2, et sa pente $d N_{1} / d x$ est nulle aux deux nœuds; $N_{2}$ est nulle aux deux nœuds, de pente 1 au nœud 1 et 0 au nœud 2; $N_{3}$ et jouent les mêmes rôles au nœud 2. Le théorème suivant en donne l'expression, et c'est la première démonstration exigée du chapitre.

Démonstration. Unicité. Si deux cubiques vérifient les mêmes quatre conditions, leur différence $p$ est une cubique qui s'annule avec sa dérivée en $ξ = - 1$ et en $ξ = 1$ . Elle admet donc $- 1$ et $1$ pour racines doubles, et $(1 - ξ^{2})^{2}$ , de degré 4, la divise; une cubique divisible par un polynôme de degré 4 est nulle.

Existence et expression de $N_{1}$ . $N_{1}$ doit s'annuler avec sa dérivée en $ξ = 1$ : elle est divisible par $(1 - ξ)^{2}$ , donc de la forme . Ses deux autres conditions portent sur :

N_{1} (- 1) = 4 (α - β) = 1, \frac{d N _{1}}{d ξ} (- 1) = [- 2 (1 - ξ) (α + β ξ) + (1 - ξ)^{2} β]_{ξ = - 1} = - 4 (α - β) + 4 β = 0.

La seconde donne $α = 2 β$ , la première $4 β = 1$ : $β = \frac{1}{4}$ , $α = \frac{1}{2}$ , d'où .

Expression de $N_{2}$ . Même divisibilité par $(1 - ξ)^{2}$ ; la condition $N_{2} (- 1) = 0$ impose cette fois $α = β$ , donc . Sa dérivée en vaut , et la condition porte sur la pente : , d'où .

$N_{3}$ et $N_{4}$ par symétrie. Le changement $ξ \mapsto - ξ$ échange les deux nœuds et change le signe des pentes. Donc $N_{3} (ξ) = N_{1} (- ξ)$ et , ce qui donne les deux dernières lignes de (6.8). On vérifie directement, par exemple, , , .

Trois remarques. D'abord, $N_{1} + N_{3} = 1$ — on le vérifie en développant —, de sorte qu'une translation d'ensemble $w_{1} = w_{2} = c$ , est reproduite exactement; et une rotation d'ensemble, , l'est aussi, puisque les quatre fonctions engendrent les cubiques. L'élément contient donc les deux mouvements de corps rigide d'une poutre plane, ce qui est la condition minimale pour qu'il converge. , et portent le facteur : une rotation, en radians, n'a pas l'unité d'une flèche, et c'est qui en a l'unité. Mélanger dans un même vecteur des mètres et des radians n'a rien de choquant, mais il faut s'en souvenir quand on lit les ordres de grandeur d'une matrice. , ces fonctions sont celles de l' cubique (, chapitre 6), et une fonction qui les utilise sur chaque élément est une (, chapitre 7): de classe , mais pas en général. La courbure , et donc le moment, peut sauter d'un élément à l'autre; nous y reviendrons.

La matrice de rigidité de l'élément

Sur un élément, la courbure de $w_{h} = N d^{e}$ vaut $w_{h}^{''} = B d^{e}$ , où est la ligne des dérivées secondes des fonctions de forme. Comme , une dérivation de (6.8) donne

B = (\frac{6 ξ}{L _{e}^{2}}, \frac{3 ξ - 1}{L _{e}}, - \frac{6 ξ}{L _{e}^{2}}, \frac{3 ξ + 1}{L _{e}}) . (6.9)

C'est la matrice déformation–déplacement du tableau de notation, à ceci près que la «déformation» est ici une courbure. Les quatre composantes sont affines en $ξ$ : la courbure, donc le moment $E I w_{h}^{''}$ , varie linéairement sur l'élément.

La contribution de l'élément à $a (w_{h}, v_{h})$ s'écrit $(v^{e})^{T} k^{e} d^{e}$ avec

k^{e} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} B^{T} E I B d x = \frac{E I L _{e}}{2} \int_{- 1}^{1} B^{T} B d ξ,

pour un $E I$ constant sur l'élément. C'est la forme $\int B^{T} D B$ annoncée dans le tableau de notation du cours, avec $D = E I$ .

Démonstration. On a besoin de trois intégrales seulement: $\int_{- 1}^{1} d ξ = 2$ , $\int_{- 1}^{1} ξ d ξ = 0$ et . Notons . Les termes qui ne font intervenir que des flèches valent

k_{11} = \frac{E I L _{e}}{2} \cdot \frac{36}{L _{e}^{4}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 E I}{L _{e}^{3}}, k_{33} = k_{11}, k_{13} = - k_{11},

puisque $B_{3} = - B_{1}$ . Les termes mixtes flèche–rotation:

k_{12} = \frac{E I L _{e}}{2} \cdot \frac{6}{L _{e}^{3}} \int_{- 1}^{1} ξ (3 ξ - 1) d ξ = \frac{3 E I}{L _{e}^{2}} \cdot 2 = \frac{6 E I}{L _{e}^{2}}, k_{14} = \frac{3 E I}{L _{e}^{2}} \int_{- 1}^{1} ξ (3 ξ + 1) d ξ = \frac{6 E I}{L _{e}^{2}},

et $k_{32} = - k_{12}$ , $k_{34} = - k_{14}$ , toujours parce que . Les termes de rotation:

k_{22} = \frac{E I}{2 L _{e}} \int_{- 1}^{1} (3 ξ - 1)^{2} d ξ = \frac{E I}{2 L _{e}} (6 + 2) = \frac{4 E I}{L _{e}}, k_{24} = \frac{E I}{2 L _{e}} \int_{- 1}^{1} (9 ξ^{2} - 1) d ξ = \frac{E I}{2 L _{e}} (6 - 2) = \frac{2 E I}{L _{e}},

et $k_{44} = \frac{E I}{2 L _{e}} \int (3 ξ + 1)^{2} = \frac{4 E I}{L _{e}}$ . La matrice est symétrique par construction, ce qui fournit les six termes restants. En mettant en facteur, on obtient (6.10).

Ces coefficients sont les coefficients de rigidité de la résistance des matériaux: $12 E I / L_{e}^{3}$ est la force qu'il faut appliquer à une extrémité pour la déplacer d'une unité sans la laisser tourner, l'autre étant encastrée; $4 E I / L_{e}$ le couple qui fait tourner une extrémité d'un radian, et $2 E I / L_{e}$ le couple «transmis» à l'extrémité encastrée opposée. La () des ingénieurs repose sur ces mêmes nombres; elle est, à la lettre, la méthode des éléments finis avec un élément d'Hermite par barre.

La matrice (6.10) est symétrique, et semi-définie positive de rang 2. Son noyau est engendré par les deux mouvements de corps rigide: la translation $(1, 0, 1, 0)$ et la rotation autour du nœud 1, $(0, 1, L_{e}, 1)$ . On le vérifie en multipliant: pour la seconde, la deuxième ligne donne $6 L_{e} \cdot 0 + 4 L_{e}^{2} - 6 L_{e} \cdot L_{e} + 2 L_{e}^{2} = 0$ , et de même pour les autres lignes. Un élément de poutre seul, ou une poutre sans appuis, a donc une matrice , exactement comme la barre du chapitre 5 avant ses appuis. Un dernier contrôle physique est commode: le champ de , nul aux deux nœuds, , a pour ddl et pour énergie ; la matrice doit donc donner .

Le code est la transcription de (6.10). Ici comme dans tout le cours, le texte numérote les nœuds et les ddl à partir de 1 et Python à partir de 0: dans les listings de ce chapitre, d[2 * i] contient la flèche du nœud $i + 1$ et d[2 * i + 1] sa rotation.

from fractions import Fraction


def rigidite_poutre(EI, L):
    """Matrice 4 x 4 de l'element de poutre, ddl (w1, theta1, w2, theta2)."""
    a = EI / L**3
    return [[12 * a, 6 * L * a, -12 * a, 6 * L * a],
            [6 * L * a, 4 * L**

[Fraction(0, 1), Fraction(0, 1), Fraction(0, 1), Fraction(0, 1)]
[Fraction(0, 1), Fraction(0, 1), Fraction(0, 1), Fraction(0, 1)]
['16000/9', '8000/3', '-16000/9', '8000/3']

En fractions, les deux mouvements de corps rigide donnent des efforts exactement nuls, et la première ligne vaut $\frac{4000}{27} (12, 18, - 12, 18)$ , soit $1777, 78$ , $2666, 67$ , $- 1777, 78$ et en kN/m et kN/rad. Cette matrice servira dans l'exemple 6.1.

Question 6.2

Cette fonction calcule la matrice de rigidité de l'élément de poutre, mais l'un de ses coefficients a été recopié depuis la diagonale: le couplage entre les deux rotations vaut 4EI/L au lieu de 2EI/L, deux fois. Corrigez-la. Avec EI = 4 000 kN·m² et L = 3 m, le programme doit afficher les quatre lignes de (6.10).

rigidite_poutre.py

Les charges nodales cohérentes

Il reste à discrétiser le second membre $ℓ$ . Sur un élément, la charge répartie contribue à $ℓ (v_{h})$ par $\int q v_{h} d x = (v^{e})^{T} f^{e}$ .

Pour une charge uniforme, il suffit des intégrales $\int_{- 1}^{1} N_{1} d ξ = \frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} (2 - 3 ξ + ξ^{3}) d ξ = 1$ et , les deux autres s'en déduisant par symétrie:

f^{e} = (\frac{q L _{e}}{2}, \frac{q L _{e}^{2}}{12}, \frac{q L _{e}}{2}, - \frac{q L _{e}^{2}}{12})^{T} . (6.12)

Les deux forces se partagent la charge totale $q L_{e}$ , comme on s'y attend. Les deux couples, en revanche, n'ont pas d'équivalent dans une répartition «intuitive» de la charge: ils sont égaux et opposés, et leur somme est nulle, de sorte qu'ils ne changent pas la résultante; mais ils modifient la répartition des moments entre les nœuds.

Leur interprétation est classique. Bloquons les quatre ddl de l'élément: c'est une poutre bi-encastrée sous charge uniforme, dont les réactions d'encastrement valent $q L_{e} /2$ et $q L_{e}^{2} /12$ à chaque extrémité. Le vecteur (6.12) est l'opposé de ces réactions: charger les nœuds par $f^{e}$ revient à libérer les encastrements fictifs. C'est ce que les tables de résistance des matériaux appellent les moments d'encastrement parfait, et c'est ainsi que la méthode des rotations traite les charges en travée. Pour une force $P$ au milieu de l'élément, donne de même , et l'on reconnaît le moment d'encastrement parfait .

Un réflexe fréquent est de remplacer ce vecteur par une charge concentrée aux nœuds: $q L_{e} /2$ à chaque nœud et aucun couple. La résultante est juste, l'énergie ne l'est pas, et la question 6.4 en mesurera le prix.

Question 6.3

Un élément de poutre de longueur $L_{e} = 4$ m porte une force concentrée $P = 24$ kN au quart de sa longueur, à 1 m du nœud 1, c'est-à-dire en $ξ_{P} = - 1/2$ . Que vaut la composante cohérente associée à la rotation $θ_{1}$ , en kN·m (en valeur absolue)?

La console de référence

Nous pouvons calculer la console qui sert de référence aux chapitres 6 et 7.

Ce résultat n'est pas une coïncidence propre aux nombres choisis. Avant d'en donner la raison, mesurons ce qu'il doit aux couples nodaux de (6.12).

Question 6.4

On reprend la console de l'exemple 6.1 sous la seule charge répartie $q = 5$ kN/m, toujours avec un élément, mais avec une charge concentrée aux nœuds: $q L /2$ à chaque nœud et aucun couple. Quelle flèche en bout obtient-on, en millimètres (en valeur absolue)? La valeur exacte est $q L^{4} / (8 E I) = 12, 656$ mm.

L'exactitude nodale

L'exemple 6.1 n'est pas un accident. Le théorème suivant en donne la raison, et il prolonge ce que les chapitres 1 et 4 ont observé pour les éléments linéaires de la barre.

Démonstration. Notons $e = w - w_{h}$ . Comme le second membre $ℓ$ est calculé exactement, la solution discrète est celle de la méthode de Galerkin, et l'orthogonalité de Galerkin du chapitre 3 donne $a (e, v_{h}) = 0$ pour tout $v_{h} \in V_{h}$ .

Soit $x_{k}$ un nœud libre en flèche. Considérons la flèche $G_{k}$ de la même poutre sous une force unité appliquée en $x_{k}$ et sans autre charge: c'est la solution du problème faible $a (G_{k}, v) = v (x_{k})$ pour tout . Elle existe et est unique par le théorème de Lax–Milgram du chapitre 2, car est une forme linéaire continue sur . Sur chaque élément, cette poutre ne porte charge répartie, et y est constant: la loi (6.4) donne , donc est un polynôme de degré 3 sur chaque élément. Aux nœuds, et sont continues — c'est une flèche de poutre —, seul l'effort tranchant sautant d'une unité en ; et vérifie les conditions d'appui. Une fonction cubique par morceaux, de classe , qui vérifie les conditions essentielles est un élément de . Par symétrie de ,

e (x_{k}) = a (G_{k}, e) = a (e, G_{k}) = 0.

Pour la rotation, on remplace la force unité par un couple unité en $x_{k}$ : la fonction $H_{k}$ définie par $a (H_{k}, v) = v^{'} (x_{k})$ est encore cubique sur chaque élément et de classe — seul le moment saute en —, donc , et .

La démonstration dit aussi ce qui pourrait rompre l'exactitude. Si $E I$ varie à l'intérieur d'un élément, les fonctions d'influence $G_{k}$ ne sont plus cubiques et sortent de $V_{h}$ . Si la charge est concentrée aux nœuds au lieu d'être intégrée par (6.11), le second membre n'est plus $ℓ$ , l'orthogonalité de Galerkin est perdue, et la question 6.4 a montré l'effet: un tiers d'erreur avec un élément. Et rien n'est dit entre les nœuds: c'est l'objet de l'exemple suivant.

Le programme suivant assemble la console pour un nombre quelconque d'éléments. La boucle sur les éléments est celle du chapitre 1, à ceci près que chaque nœud porte deux ddl: l'élément $e$ , qui relie les nœuds $e + 1$ et $e + 2$ du texte, envoie ses quatre ddl aux positions 2*e, 2*e + 1, 2*e + 2 et 2*e + 3 du vecteur global. La fonction resoudre est celle du chapitre 1.

def resoudre(K, F):
    """Resout K d = F par elimination de Gauss avec pivot partiel."""
    n = len(F)
    M = [ligne[:] for ligne in K]
    c = list(F)
    for k in range(n - 1):
        p = max(range(k, n), key=lambda i: abs(M[i][k]))
        M[k], M[p] = M[p], M[k]
        c[k], c[p]

def console(n, L, EI, P, q):
    """Console encastree en x = 0, n elements; d[2*i] = fleche du noeud i+1."""
    h, N = L / n, 2 * (n + 1)
    K = [[0.0] * N for _ in range(N)]
    F = [0.0] * N
    for e in range(n):
        noeuds = [2 *

1 -0.035156 m  -0.016875 rad
2 -0.035156 m  -0.016875 rad
4 -0.035156 m  -0.016875 rad

Le raffinement ne change rien en bout, ni d'ailleurs en aucun nœud: c'est le théorème 6.3. Ce n'est pas pour la flèche nodale qu'on raffine une poutre, mais pour la flèche entre les nœuds et, surtout, pour les efforts.

Question 6.5

Cette fonction assemble la console avec n éléments d'Hermite, mais une erreur de signe s'est glissée dans le vecteur des charges cohérentes (6.12). Trouvez-la et corrigez-la. Pour la console de référence avec deux éléments, le programme doit afficher la flèche et la rotation exactes en bout.

console.py

def resoudre(K, F):
  """Resout K d = F par elimination de Gauss avec pivot partiel."""
  n = len(F)
  M = [ligne[:] for ligne in K]
  c = list(F)
  for k in range(n - 1):
      p = max(range(k, n), key=lambda i: abs(M[i][k]))
      M[k], M[p] = M[p], M[k]
      c[k], c[p] = c[p], c[k]
      for i in range(k + 1, n):
          m = M[i][k] / M[k][k]
          for j in range(k, n):
              M[i][j] -= m * M[k][j]
          c[i] -= m * c[k]
  d = [0.0] * n
  for i in range(n - 1, -1, -1):
      s = c[i] - sum(M[i][j] * d[j] for j in range(i + 1, n))
      d[i] = s / M[i][i]
  return d

def rigidite_poutre(EI, L):
  a = EI / L**3
  return [[12 * a, 6 * L * a, -12 * a, 6 * L * a],
          [6 * L * a, 4 * L**2 * a, -6 * L * a, 2 * L**2 * a],
          [-12 * a, -6 * L * a, 12 * a, -6 * L * a],
          [6 * L * a, 2 * L**2 * a, -6 * L * a, 4 * L**2 * a]]

def console(n, L, EI, P, q):
  """Console encastree en x = 0, n elements egaux, force P en bout, charge q.
  Renvoie d = [w1, theta1, w2, theta2, ...]: d[2*i] est la fleche du noeud i+1."""
  h = L / n
  N = 2 * (n + 1)
  K = [[0.0] * N for _ in range(N)]
  F = [0.0] * N
  for e in range(n):
      noeuds = [2 * e, 2 * e + 1, 2 * e + 2, 2 * e + 3]
      ke = rigidite_poutre(EI, h)
      fe = [q * h / 2, q * h**2 / 12, q * h / 2, q * h**2 / 12]
      for a in range(4):
          F[noeuds[a]] += fe[a]
          for b in range(4):
              K[noeuds[a]][noeuds[b]] += ke[a][b]
  F[N - 2] += P
  libres = list(range(2, N))          # w1 = theta1 = 0: on elimine
  Kr = [[K[i][j] for j in libres] for i in libres]
  return [0.0, 0.0] + resoudre(Kr, [F[i] for i in libres])

d = console(2, 3.0, 4000.0, -10.0, -5.0)
print("w = %.3f mm, theta = %.6f rad" % (1000 * d[-2], d[-1]))

Une poutre hyperstatique: la console appuyée

La console est isostatique: on aurait pu calculer ses réactions avant toute flèche. La méthode des éléments finis ne fait pourtant aucune différence entre un ouvrage isostatique et un ouvrage hyperstatique, et c'est l'un de ses grands avantages sur les méthodes de la résistance des matériaux. Voici un exemple où l'équilibre seul ne suffit pas.

Deux enseignements, qui valent bien au-delà de cet exemple. Un élément par travée donne des déplacements nodaux, des réactions et des efforts d'extrémité exacts: c'est ce que fait la méthode des rotations, et c'est suffisant pour dimensionner une poutre continue si l'on sait récupérer les moments. Il ne donne ni la flèche en travée, ni le moment par dérivation. Le guide de ce dernier point est la section suivante.

Moments et efforts tranchants

Deux façons de récupérer les efforts

Une fois les ddl connus, on veut les efforts intérieurs, puisque c'est sur eux qu'on dimensionne. Il y a deux façons de les obtenir.

Par dérivation. Sur chaque élément, $M_{h} = E I w_{h}^{''} = E I B d^{e}$ est affine, et $V_{h} = E I w_{h}^{'''}$ est . C'est la façon «naturelle», celle que fait un programme qui ne sait rien de la statique. Elle a deux défauts visibles: le moment saute d'un élément à l'autre, alors que le moment exact est continu, et sa forme est trop pauvre pour une charge répartie, qui donne un moment parabolique et un effort tranchant affine.

Par l'équilibre de l'élément. Le vecteur $k^{e} d^{e} - f^{e}$ contient les forces et les couples que les nœuds exercent sur l'élément. Avec les conventions de signe du début du chapitre, une face gauche reçoit la force $+ V$ et le couple trigonométrique $- M$ , une face droite la force $- V$ et le couple $+ M$ :

k^{e} d^{e} - f^{e} = (V (x_{1}), - M (x_{1}), - V (x_{2}), M (x_{2}))^{T} . (6.13)

Sur la console de l'exemple 6.1, ce vecteur vaut $(25; 52, 5; - 10; 0)$ : $V (0) = 25$ kN, $M (0) = - 52, 5$ kN·m, $V (L) = 10$ kN et $M (L) = 0$ , . L'exercice 6.5 démontre que c'est général: quand les ddl nodaux sont exacts, les efforts d'extrémité (6.13) le sont aussi. Entre les extrémités, on complète par la statique de l'élément: sous une charge uniforme, le moment exact est la droite qui joint les deux moments d'extrémité, plus la parabole d'une poutre simplement appuyée. Sur la console appuyée, on retrouve ainsi le moment maximal en travée, kN·m en , avec un seul élément.

La précision des efforts obtenus par dérivation

Que vaut l'erreur du moment par dérivation quand on raffine? Puisque les ddl sont exacts, $w_{h}$ est l'interpolant d'Hermite de $w$ sur chaque élément, et sous une charge uniforme l'écart est $\frac{q}{24 E I} (x - x_{1})^{2} (x - x_{2})^{2}$ . En le dérivant deux et trois fois (exercice 6.3), l'erreur sur le moment vaut aux deux extrémités de chaque élément et en son milieu, et l'erreur sur l'effort tranchant vaut aux extrémités. Sur la console de référence, à l'encastrement, avec éléments égaux:

$n$	$M_{h} (0)$ par dérivation (kN·m)	erreur sur $M (0)$	$V_{h} (0)$ (kN)	erreur sur $V (0)$	écart max de flèche (mm)
1	$- 48, 750$

Les valeurs exactes sont $M (0) = - 52, 5$ kN·m et $V (0) = 25$ kN; les flèches nodales, elles, sont exactes dans toutes les lignes. Le tableau, calculé, met en évidence une hiérarchie d'ordres: l'écart de flèche entre les nœuds est divisé par 16 quand $n$ double (ordre 4), l'erreur sur le moment par 4 (ordre 2), l'erreur sur l'effort tranchant par 2 seulement (ordre 1). Chaque dérivation coûte un ordre, comme pour la barre au chapitre 1, où la pente perdait un ordre sur la valeur. Remarquez aussi que la force en bout ne contribue à aucune de ces erreurs: sa flèche est cubique et l'élément la reproduit, moments compris.

Les efforts sont moins précis que les déplacements, et le sont le moins aux nœuds

Un maillage qui donne des flèches excellentes peut donner des moments médiocres et des efforts tranchants mauvais: avec un élément, la console de référence a une flèche exacte en bout et un effort tranchant faux de 30 % à l'encastrement. Et c'est aux nœuds, là où l'on dimensionne — sur appui, à l'encastrement —, que le moment par dérivation est le plus faux ( $∣ q ∣ L_{e}^{2} /12$ , contre $∣ q ∣ L_{e}^{2} /24$ au milieu). Deux remèdes: récupérer les efforts d'extrémité par l'équilibre (6.13), ce que font les logiciels de calcul de structures pour les éléments de poutre; ou raffiner en connaissant l'ordre de chaque grandeur. Ne lisez jamais un effort tranchant sur un maillage où vous n'avez vérifié que la flèche.

L'explorateur reprend la console de référence. Il assemble et résout le système à chaque mouvement du curseur, et trace la flèche et le moment par dérivation, élément par élément.

Explorateur 6.1 · La console avec

n

éléments d'Hermite

Choisissez le nombre d'éléments et le cas de charge. Regardez d'abord la flèche en bout: elle est exacte pour tout $n$ , même avec un seul élément. Sous la charge répartie, la flèche entre les nœuds ne l'est plus, et le moment $E I w_{h}^{''}$ , linéaire par élément, saute d'un élément à l'autre et manque la parabole exacte; sous la force $P$ seule, tout est exact.

Nombre d'éléments n1

Cas de chargeP et q

Flèche en bout, EF

−35,156 mm

Erreur en bout

< 1 0^{- 9}

mm (arrondi)

Erreur max entre les nœuds

0,2637 mm

Moment à l'encastrement, EF / exact

−48,75 / −52,50 kN·m

Trois lectures. D'abord, l'erreur en bout reste au niveau de l'arrondi pour tout $n$ et tout cas de charge: c'est l'invariant de l'explorateur, le théorème 6.3. Ensuite, sous la force $P$ seule, tout est exact, flèche entre les nœuds et moment compris, parce que la solution est cubique: le moment exact est la droite $P (L - x)$ , et chaque élément la reproduit. Enfin, sous la charge répartie, le moment calculé est une suite de segments qui encadrent la parabole exacte en dents de scie: chaque segment est trop faible en valeur absolue à ses deux extrémités, de $∣ q ∣ L_{e}^{2} /12$ , et coupe la parabole entre elles. Avec $n = 1$ , le moment à l'encastrement vaut kN·m au lieu de ; avec , kN·m.

Question 6.6

Une poutre continue est calculée avec un élément d'Hermite par travée et des charges cohérentes. Quelles grandeurs sont exactes, aux erreurs d'arrondi près?

Plusieurs réponses possibles

L'élément de portique

Barre plus poutre

Les éléments d'une structure plane à nœuds rigides — un portique, un cadre de bâtiment, la membrure d'un pont — travaillent à la fois en traction-compression et en flexion. En petits déplacements, les deux comportements sont découplés dans le repère de l'élément: l'effort normal ne dépend que du déplacement axial, comme pour la barre du chapitre 4, et le moment ne dépend que de la flèche et des rotations, comme pour la poutre de ce chapitre. L'élément de portique les juxtapose. Dans le repère local $(x^{'}, y^{'})$ , d'axe $x^{'}$ dirigé du nœud 1 vers le nœud 2, chaque nœud porte trois ddl: le déplacement axial $u^{'}$ , le déplacement transversal et la rotation . Avec les abréviations

k_{a} = \frac{E A}{L _{e}}, k_{1} = \frac{12 E I}{L _{e}^{3}}, k_{2} = \frac{6 E I}{L _{e}^{2}}, k_{3} = \frac{4 E I}{L _{e}}, k_{4} = \frac{2 E I}{L _{e}},

la matrice locale, dans l'ordre $(u_{1}^{'}, v_{1}^{'}, θ_{1}, u_{2}^{'}, v_{2}^{'}, θ_{2})$ , s'obtient en plaçant la matrice de barre sur les ddl axiaux et (6.10) sur les autres:

k_{loc}^{e} = k_{a} 00 - k_{a} 00 0 k_{1} k_{2} 0 - k_{1} k_{2} 0 k_{2} k_{3} 0 - k_{2} k_{4} - k_{a} 00 k_{a} 00 0 - k_{1} - k_{2} 0 k_{1} - k_{2} 0 k_{2} k_{4} 0 - k_{2} k_{3} . (6.14)

Les zéros traduisent le découplage. Ils disparaissent en grands déplacements ou quand un effort normal de compression modifie la raideur de flexion (le flambement), ce qui sort du cadre de ce cours.

Le changement de repère

Les poteaux et la traverse d'un portique ont des directions différentes; pour assembler, il faut exprimer chaque matrice dans le repère global $(x, y)$ . C'est la démarche du chapitre 5 pour les treillis, avec une rotation en plus. Soit $α$ l'angle de l'axe de l'élément avec l'axe $x$ , $c = cos α$ et $s = sin α$ , calculés à partir des coordonnées des nœuds: $c = (x_{2} - x_{1}) / L_{e}$ , . Les déplacements se projettent comme au chapitre 5, et la rotation , perpendiculaire au plan, ne change pas:

u^{'} v^{'} θ = c - s 0 s c 0 001 u v θ, T = (R 0 0 R), d_{loc}^{e} = T d^{e}, (6.15)

où $R$ est la matrice $3 \times 3$ de gauche. Par le même argument d'énergie qu'au chapitre 5 — l'énergie de l'élément ne dépend pas du repère dans lequel on l'écrit, et les forces se transforment comme les déplacements —, la matrice globale de l'élément est

k^{e} = T^{T} k_{loc}^{e} T . (6.16)

La matrice $T$ est orthogonale, $T^{T} T = I$ , ce qui permet de revenir aux efforts locaux après la résolution: $k_{loc}^{e} T d^{e}$ donne l'effort normal, les efforts tranchants et les moments d'extrémité dans le repère de l'élément. La matrice (6.16) a un noyau de dimension 3: les deux translations du plan et la rotation d'ensemble.

Question 6.7

Cette fonction doit renvoyer la matrice 6 × 6 de l'élément de portique en axes globaux, (6.16). Elle construit correctement la matrice locale (6.14) et la matrice T de (6.15), mais elle les combine dans le mauvais ordre. Corrigez-la. Le programme affiche les lignes de u1 et de θ1 pour le poteau de gauche du portique de l'exemple 6.4 (vertical, de (0, 0) à (0, 4) m).

portique.py

from math import sqrt

def produit(A, B):
  return [[sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(len(B))) for j in range(len(B[0]))] for i in range(len(A))]

def transposee(A):
  return [list(ligne) for ligne in zip(*A)]

def rigidite_portique(EA, EI, x1, y1, x2, y2):
  """Matrice 6 x 6 de l'element de portique en axes globaux, ddl (u1, v1, theta1, u2, v2, theta2)."""
  L = sqrt((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)
  c, s = (x2 - x1) / L, (y2 - y1) / L
  a, b, g, p, r = EA / L, 12 * EI / L**3, 6 * EI / L**2, 4 * EI / L, 2 * EI / L
  k = [[a, 0, 0, -a, 0, 0],
       [0, b, g, 0, -b, g],
       [0, g, p, 0, -g, r],
       [-a, 0, 0, a, 0, 0],
       [0, -b, -g, 0, b, -g],
       [0, g, r, 0, -g, p]]
  T = [[0.0] * 6 for _ in range(6)]
  for o in (0, 3):
      T[o][o], T[o][o + 1], T[o + 1][o], T[o + 1][o + 1], T[o + 2][o + 2] = c, s, -s, c, 1.0
  return produit(produit(T, k), transposee(T))

K = rigidite_portique(1134000.0, 16800.0, 0.0, 0.0, 0.0, 4.0)
print(["%.0f" % v for v in K[0]])
print(["%.0f" % v for v in K[2]])

Un portique plan

Le programme qui suit réutilise resoudre et la fonction rigidite_portique de la question 6.7, une fois corrigée; il renvoie les ddl et les efforts $K d - F$ , dont les composantes aux ddl bloqués sont les réactions.

def portique(noeuds, elements, EA, EI, charges, bloques):
    """Assemble et resout; ddl du noeud i (texte: i+1) aux positions 3i, 3i+1, 3i+2."""
    N = 3 * len(noeuds)
    K = [[0.0] * N for _ in range(N)]
    for (i, j) in elements:
        ke = rigidite_portique(EA, EI, *noeuds[i], *noeuds[j])
        ddl = [3 * i,

u2 = 5.116 mm, u3 = 5.063 mm, theta2 = -9.6480e-04
pied 1: -10.036 -5.326 24.125   pied 4: -9.964 5.326 23.917

La déformée de la figure 6.3 se lit comme une vérification. Les poteaux restent perpendiculaires à leur encastrement en pied — la tangente y est verticale —, ils présentent un point d'inflexion à mi-hauteur environ, là où le moment change de signe, et les angles droits des nœuds 2 et 3 sont conservés: le nœud est rigide, la traverse et le poteau y tournent du même angle. Une déformée où un angle de nœud s'ouvre trahirait une rotule involontaire, ou des ddl de rotation non partagés.

Au-delà d'Euler-Bernoulli: Timoshenko et le verrouillage

L'hypothèse de Navier–Bernoulli néglige la déformation d'effort tranchant. Pour une poutre courte ou épaisse, une poutre-cloison, un sandwich à âme souple, elle n'est plus acceptable. La théorie de Timoshenko laisse alors la section tourner d'un angle $θ$ indépendant de la pente $w^{'}$ ; leur écart $γ = w^{'} - θ$ est la distorsion d'effort tranchant, et l'énergie devient

\frac{1}{2} \int_{0}^{L} E I (θ^{'})^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{L} κ_{s} G A (w^{'} - θ)^{2} d x,

où $G$ est le module de cisaillement et $κ_{s}$ un coefficient de correction qui dépend de la forme de la section. Seules les dérivées premières de $w$ et de $θ$ y apparaissent: on peut interpoler $w$ et $θ$ séparément, avec des fonctions continues affines par morceaux, comme pour la barre. La contrainte $C^{1}$ a disparu, et c'est pourquoi les logiciels généralistes proposent aussi, et souvent par défaut, des éléments de poutre de type Timoshenko; leur documentation dit lequel vous utilisez, et c'est à vérifier.

Le prix à payer apparaît sur une poutre élancée. Quand $κ_{s} G A$ est grand devant $E I / L^{2}$ , l'énergie de cisaillement impose presque $w^{'} = θ$ . Avec $w$ et $θ$ affines sur un élément, est constant et affine: la contrainte ne peut être satisfaite partout que si est constant, c'est-à-dire si l'élément . L'élément devient artificiellement raide: c'est le (). Un calcul sur la console de référence sous la force seule, avec la valeur fictive kN, qui rend la poutre très élancée, le montre: la flèche de Timoshenko exacte vaut mm, et quatre éléments linéaires donnent mm — 7,86 % de la valeur exacte. En intégrant le terme de cisaillement avec point de Gauss au lieu de deux — l', dont le chapitre 7 donne les règles —, la contrainte n'est plus imposée qu'au milieu de chaque élément, le verrou saute, et les mêmes quatre éléments donnent mm, soit 98,44 %.

Le chapitre 10 retrouvera exactement ce phénomène sur l'élément quadrilatère bilinéaire en flexion, avec les mêmes remèdes — intégration réduite, et ses modes parasites, modes incompatibles — et la même leçon: un élément peut être consistant, converger en théorie, et donner des résultats inutilisables sur les maillages qu'on emploie réellement.

Synthèse

La poutre d'Euler-Bernoulli obéit à $(E I w^{''})^{''} = q$ : l'équilibre $V^{'} = q$ , $M^{'} = V$ et la loi moment–courbure . Ses conditions aux limites portent sur ou et sur ou ; celles sur et sont , celles sur et .

Série d'exercices du chapitre 6Exercice 1 sur 5

Question 6.8

Une poutre repose en $x = L$ sur un appui simple. Quelles conditions aux limites y écrit-on, et de quelle nature sont-elles?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Charges nodales cohérentes d'une force et d'une charge triangulaire

Un élément de poutre de longueur $L_{e}$ va du nœud 1 au nœud 2.

Une force $P$ est appliquée en son milieu. Calculer $f^{e}$ et le comparer aux réactions d'une poutre bi-encastrée de portée $L_{e}$ chargée en son milieu.

Exercice 6.2 · La poutre bi-encastrée sous charge uniforme, en deux éléments

Une poutre bi-encastrée de portée $L = 8$ m, de rigidité $E I = 50000$ kN·m², porte une charge uniforme de 15 kN/m vers le bas. On la maille avec deux éléments de 4 m.

Écrire le système réduit et le résoudre. Comparer la flèche au milieu à la valeur classique $∣ q ∣ L^{4} / (384 E I)$ .
Calculer les réactions et les moments d'encastrement par .

Exercice 6.3 · L'erreur entre les nœuds, sur le moment et sur l'effort tranchant

On considère un élément $[x_{1}, x_{2}]$ de longueur $L_{e}$ , de rigidité $E I$ constante, sous une charge uniforme , et l'on suppose que coïncide avec la solution exacte en valeur et en pente aux deux nœuds (théorème 6.3).

Exercice 6.4 · Le portique par la méthode des rotations

On reprend le portique de l'exemple 6.4 en supposant les trois barres axialement indéformables: les nœuds 2 et 3 se déplacent du même $Δ$ horizontalement et pas du tout verticalement. Les inconnues sont $θ_{2}$ , $θ_{3}$ et $Δ$ . Toutes les barres ont la même rigidité $E I$ ; m, portée m, kN.

Exercice 6.5 · Les efforts d'extrémité sont exacts quand les ddl le sont

On considère un élément $[x_{1}, x_{2}]$ de rigidité $E I$ constante, chargé par $q$ , et l'on suppose que les quatre ddl $d^{e}$ coïncident avec les valeurs exactes , , , .

Références

Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L. et Zhu, J. Z., The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (formulations d'ordre supérieur et continuité $C^{1}$ , poutres et plaques minces).
Hughes, T. J. R., The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Dover (poutres de Timoshenko, intégration réduite et verrouillage).
Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E. et Witt, R. J., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley (élément de poutre et de portique, charges nodales cohérentes, récupération des efforts).
Fish, J. et Belytschko, T., A First Course in Finite Elements, Wiley (poutres d'Euler-Bernoulli et portiques plans, programmés pas à pas).
Dhatt, G., Touzot, G. et Lefrançois, E., Méthode des éléments finis, Hermès / Lavoisier (en français; éléments de poutre et de portique, interpolation d'Hermite).
Bathe, K. J., Finite Element Procedures, Prentice Hall / K.J. Bathe (éléments de poutre, changement de repère et verrouillage en cisaillement).

Objectifs du chapitre

La poutre d'Euler-Bernoulli

Hypothèses et cinématique

Équilibre d'une tranche et équation d'ordre quatre

Les conditions aux limites

La formulation faible d'ordre quatre

Pourquoi il faut la continuité $C^{1}$

Les fonctions de forme d'Hermite

La matrice de rigidité de l'élément

Les charges nodales cohérentes

La console de référence

L'exactitude nodale

Une poutre hyperstatique: la console appuyée

Moments et efforts tranchants

Deux façons de récupérer les efforts

La précision des efforts obtenus par dérivation

L'élément de portique

Barre plus poutre

Le changement de repère

Un portique plan

Au-delà d'Euler-Bernoulli: Timoshenko et le verrouillage

Synthèse

Exercices

Références

Le second membre au nœud intermédiaire

La rotation sur l'appui intermédiaire

Le moment sur l'appui intermédiaire

La réaction de l'appui intermédiaire

Objectifs du chapitre

La poutre d'Euler-Bernoulli

Hypothèses et cinématique

Équilibre d'une tranche et équation d'ordre quatre

Les conditions aux limites

La formulation faible d'ordre quatre

Pourquoi il faut la continuité C1

Les fonctions de forme d'Hermite

La matrice de rigidité de l'élément

Les charges nodales cohérentes

La console de référence

L'exactitude nodale

Une poutre hyperstatique: la console appuyée

Moments et efforts tranchants

Deux façons de récupérer les efforts

La précision des efforts obtenus par dérivation

L'élément de portique

Barre plus poutre

Le changement de repère

Un portique plan

Au-delà d'Euler-Bernoulli: Timoshenko et le verrouillage

Synthèse

Exercices

Références

Le second membre au nœud intermédiaire

La rotation sur l'appui intermédiaire

Le moment sur l'appui intermédiaire

La réaction de l'appui intermédiaire

Pourquoi il faut la continuité $C^{1}$