Formulation faible

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

passer de la forme forte d'un problème aux limites à sa forme faible en multipliant par une fonction test et en intégrant par parties, pour le problème modèle comme pour une barre de rigidité variable chargée à son extrémité;
distinguer les conditions essentielles, imposées à l'espace des fonctions admissibles, des conditions naturelles, qui apparaissent d'elles-mêmes dans la forme linéaire, et expliquer pourquoi les secondes ne sont satisfaites qu'à la limite par une approximation;
définir les espaces $L^{2} (Ω)$ , $H^{1} (Ω)$ et $H_{0}^{1} (Ω)$ , leurs normes et la semi-norme $H^{1}$ , calculer une , et décider si une fonction affine par morceaux, continue ou non, appartient à ;
démontrer en dimension 1 l'inégalité de Poincaré, puis la continuité et la coercivité de la forme bilinéaire de la barre, et calculer leurs constantes;
démontrer l'équivalence des formulations forte et faible pour une solution régulière, et lire la forme faible comme le principe des travaux virtuels;
démontrer que la solution réalise le minimum de l'énergie potentielle totale quand la forme bilinéaire est symétrique positive, l'appliquer à une fonction d'essai à un paramètre, et énoncer le théorème de Lax–Milgram.

Le chapitre 1 a posé le problème de la barre et montré, sur deux éléments, que minimiser l'énergie donne un système linéaire. Il a laissé deux questions ouvertes: pourquoi la solution exacte minimise-t-elle l'énergie, et dans quel ensemble de fonctions faut-il la chercher pour que ce minimum existe? Ce chapitre y répond. Il est plus théorique que les autres, et c'est voulu: tout ce qui suit dans le cours — la méthode de Galerkin, les éléments, les estimations d'erreur — est une conséquence de la formulation faible et des propriétés de la forme bilinéaire établies ici.

De la forme forte à la forme faible

Multiplier par une fonction test et intégrer

Reprenons le problème modèle (1.7):

- u^{''} (x) = f (x) sur (0, 1), u (0) = u (1) = 0. (2.1)

On l'appelle la forme forte du problème: l'équation doit être vérifiée en chaque point de $(0, 1)$ , ce qui exige que $u$ soit deux fois dérivable. La forme faible remplace cette exigence ponctuelle par une famille d'égalités intégrales, obtenue en trois gestes.

Premier geste: multiplier par une fonction test. Soit $v$ une fonction régulière sur $[0, 1]$ , que l'on choisit nulle aux deux extrémités, là où $u$ est imposée: $v (0) = v (1) = 0$ . On multiplie l'équation par $v$ et l'on intègre:

- \int_{0}^{1} u^{''} v d x = \int_{0}^{1} f v d x .

Si $u$ est solution de (2.1), cette égalité est vraie pour toute fonction $v$ . Réciproquement, nous verrons qu'il suffit qu'elle soit vraie pour toutes les $v$ pour que l'équation soit vérifiée en chaque point: une fonction dont toutes les «moyennes pondérées» sont nulles est nulle. On a échangé une équation en chaque point contre une équation intégrale par fonction test.

Deuxième geste: intégrer par parties. La formule d'intégration par parties (Analyse I, chapitre 11; rappelée dans l'annexe A) donne

- \int_{0}^{1} u^{''} v d x = \int_{0}^{1} u^{'} v^{'} d x - [u^{'} v]_{0}^{1} = \int_{0}^{1} u^{'} v^{'} d x - u^{'} (1) v (1) + u^{'} (0) v (0) .

Les deux termes de bord contiennent les valeurs $u^{'} (0)$ et $u^{'} (1)$ , que l'on ne connaît pas: ce sont, pour la barre, les réactions aux appuis. Mais ils sont multipliés par $v (0)$ et $v (1)$ , qui sont nuls par le choix de $v$ . Ils disparaissent.

Troisième geste: lire le résultat. Il reste

\int_{0}^{1} u^{'} v^{'} d x = \int_{0}^{1} f v d x pour toute v telle que v (0) = v (1) = 0. (2.2)

Le changement est profond. Dans (2.2), $u$ n'est plus dérivée qu'une fois, et la fonction test l'est aussi une fois: la symétrie entre $u$ et $v$ est apparue, et les dérivées secondes ont disparu. Il suffit désormais, pour que (2.2) ait un sens, que $u^{'}$ et $v^{'}$ soient de carré intégrable. Une fonction affine par morceaux, dont la dérivée seconde n'existe pas aux nœuds, devient un candidat légitime: c'est exactement ce dont la méthode des éléments finis a besoin.

On note

a (u, v) = \int_{0}^{1} u^{'} v^{'} d x, ℓ (v) = \int_{0}^{1} f v d x, (2.3)

et le problème devient: trouver $u$ , nulle en 0 et en 1, telle que $a (u, v) = ℓ (v)$ pour toute $v$ nulle en 0 et en 1. L'application $a$ est bilinéaire (linéaire en chacun de ses arguments) et symétrique, $a (u, v) = a (v, u)$ ; l'application $ℓ$ est . Il reste à dire dans quel ensemble on cherche et l'on choisit : ce sera l'espace de la section «Les espaces de fonctions». Retenez dès maintenant que la solution et les fonctions test vivent dans , et que cet espace contient les fonctions affines par morceaux continues.

La barre de rigidité variable, chargée à son extrémité

Le problème modèle a deux conditions de même nature. La barre de l'équation (1.3) en a deux de natures différentes, et c'est là que la forme faible montre son intérêt. Soit une barre de longueur $L$ , de rigidité $E A (x)$ éventuellement variable, encastrée en $x = 0$ , chargée par une force répartie $q (x)$ et par une force $P$ à son extrémité libre:

- (E A u^{'})^{'} = q sur (0, L), u (0) = 0, E A (L) u^{'} (L) = P . (2.4)

Choisissons une fonction test qui s'annule là où le déplacement est imposé, et seulement là: $v (0) = 0$ , $v (L)$ quelconque (figure 2.1). Multiplions et intégrons par parties:

\int_{0}^{L} - (E A u^{'})^{'} v d x = \int_{0}^{L} E A u^{'} v^{'} d x - E A (L) u^{'} (L) v (L) + E A (0) u^{'} (0) v (0) .

Le terme en $x = 0$ contient la réaction inconnue $E A (0) u^{'} (0)$ : il disparaît parce que $v (0) = 0$ . Le terme en $x = L$ contient l'effort normal $E A (L) u^{'} (L)$ , que la condition aux limites : il vaut . On le remplace, on le passe à droite, et il reste

\int_{0}^{L} E A u^{'} v^{'} d x = \int_{0}^{L} q v d x + P v (L) . (2.5)

Trois remarques sur (2.6)–(2.7), qui vont structurer la suite.

La condition $u (0) = 0$ est dans l'espace. On l'impose en cherchant $u$ dans $V$ ; aucune équation ne la rappelle. La condition $E A (L) u^{'} (L) = P$ , elle, n'est nulle part dans l'espace: elle est entrée dans la forme linéaire, par le terme $P v (L)$ . Nous verrons au théorème 2.5 qu'elle est néanmoins satisfaite par la solution faible, si celle-ci est assez régulière.

Le coefficient $E A$ n'est plus dérivé. Dans (2.4), il faut dériver $E A u^{'}$ ; dans (2.7), $E A$ n'apparaît que comme un poids sous l'intégrale. Une rigidité discontinue — la barre étagée des chapitres 4 et 5, dont la section passe brutalement de 600 à 300 mm² — ne pose aucun problème à la forme faible, alors que la forme forte n'a plus de sens au point de discontinuité, où $u^{'}$ saute.

Une force concentrée devient un terme ponctuel. Le terme $P v (L)$ évalue la fonction test en un point. Si une force $F$ agit en un point intérieur $x_{F}$ , le même calcul, fait séparément sur $(0, x_{F})$ et $(x_{F}, L)$ , ajoute simplement à : nous le vérifierons sur la barre étagée à la fin de la section sur l'équivalence. Encore faut-il que la valeur d'une fonction de en un point ait un sens — c'est l'objet du théorème 2.1.

Question 2.1

On écrit la formulation faible d'une barre fixée en $x = L$ ( $u (L) = 0$ ) et chargée en $x = 0$ par une force imposée, $E A (0) u^{'} (0) = - F$ . Quelle est la forme linéaire $ℓ (v)$ , les fonctions test vérifiant $v (L) = 0$ ?

Conditions essentielles et conditions naturelles

La distinction apparue sur la barre est générale, et elle porte un nom.

Pourquoi dit-on que les conditions naturelles «viennent toutes seules»? Parce que la fonction test, libre au bord de Neumann, y «teste» aussi la condition de bord. Le théorème 2.5 le montrera: si $u$ vérifie (2.6) pour toutes les $v$ , alors, en choisissant des $v$ nulles au bord, on récupère l'équation à l'intérieur; puis, en choisissant une $v$ qui ne s'annule pas en $L$ , on récupère $E A (L) u^{'} (L) = P$ . Une condition naturelle n'est donc pas une condition oubliée: c'est une condition contenue dans l'équation intégrale.

La règle pratique s'en déduit. Les conditions essentielles sont imposées explicitement, à l'espace d'approximation: pour une approximation par éléments finis, on fixe la valeur du degré de liberté du nœud d'appui (chapitre 4). Les conditions naturelles ne demandent aucun traitement autre que l'ajout de leur terme dans le second membre: une extrémité libre non chargée, $N = 0$ , ne demande rien du tout; une force $P$ s'ajoute au vecteur des charges du nœud concerné. C'est l'une des raisons de la souplesse de la méthode: les bords libres d'une pièce mécanique, qui sont la majorité de sa surface, ne coûtent rien.

Il y a une contrepartie, que la figure 2.2 rend visible. La condition essentielle est satisfaite exactement par toute approximation construite dans l'espace. La condition naturelle, elle, n'est satisfaite que par la solution exacte; une approximation la satisfait seulement en moyenne, et d'autant mieux que le maillage est fin.

Le calcul derrière la figure est simple. La solution exacte est $u = x - x^{2} /2$ ; les éléments finis linéaires donnent ici les valeurs nodales exactes (la même propriété qu'au chapitre 1, que le chapitre 4 expliquera), donc la pente du dernier élément est la pente de la corde de $u$ entre $1 - h$ et $1$ . Pour une parabole, cette corde a la pente de la tangente au milieu de l'intervalle: $u^{'} (1 - h /2) = h /2$ . L'effort normal calculé à l'extrémité libre vaut donc au lieu de 0, une erreur d'ordre 1 en .

Question 2.2

Remettez dans l'ordre les étapes qui mènent de la forme forte de la barre (2.4) à sa formulation faible (2.6).

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Annuler le terme de bord à l'appui grâce à

v (0) = 0

Intégrer par parties le terme

- (E A u^{'})^{'} v

Écrire le problème: trouver

u \in V

tel que

a (u, v) = ℓ (v)

pour tout

v \in V

Multiplier l'équation

- (E A u^{'})^{'} = q

par une fonction test

v

et intégrer sur

(0, L)

Remplacer l'effort normal

E A (L) u^{'} (L)

par la force imposée

P

Choisir l'espace des fonctions test: nulles là où le déplacement est imposé, libres ailleurs

Les espaces de fonctions

Dans (2.6), il faut que $\int E A u^{'} v^{'}$ et $\int q v$ aient un sens, que $v (L)$ ait un sens, et — on le verra au théorème 2.7 — que l'espace $V$ soit complet, faute de quoi le minimum de l'énergie peut ne pas exister. L'espace des fonctions deux fois dérivables est trop petit: il exclut les fonctions affines par morceaux, et il exclut la solution exacte de la barre étagée. L'espace des fonctions continues est mal adapté: on ne peut pas y définir $v^{'}$ . La bonne réponse est l'espace de Sobolev . Cette section le construit en quatre étapes: les espaces de Hilbert, l'espace , la dérivée faible, et enfin . Les démonstrations sont menées en dimension 1; les définitions valent telles quelles sur un domaine du plan ou de l'espace, ce que le chapitre 8 utilisera.

Produit scalaire et espace de Hilbert

Vous connaissez le produit scalaire de $R^{n}$ et ses propriétés (Algèbre linéaire, chapitre 7). La notion se transporte telle quelle aux espaces de fonctions.

L'inégalité de Cauchy–Schwarz se démontre comme dans $R^{n}$ , à partir de $∥ u + t v ∥_{X}^{2} \geq 0$ pour tout réel $t$ : c'est un polynôme du second degré en $t$ de signe constant, son discriminant est négatif ou nul. Elle sera l'outil de presque toutes les démonstrations de ce chapitre.

La complétude est la propriété subtile. Elle dit que si une suite d'éléments se rapproche indéfiniment d'elle-même, sa limite ne «sort» pas de l'espace. L'exemple familier est celui des rationnels: la suite $1$ ; $1, 4$ ; $1, 41$ ; $1, 414$ ; … est de Cauchy dans $Q$ , mais sa limite $2$ n'est pas rationnelle. En éléments finis, l'exemple est le suivant. Prenons des fonctions qui minimisent de mieux en mieux une énergie dont le minimiseur a un — la déformée d'une barre sous une force concentrée intérieure, par exemple, dont la pente saute au point d'application. Les se rapprochent les unes des autres en énergie, mais leur limite n'est pas régulière: dans l'espace des fonctions , le minimum n'existe pas. Il faut un espace qui contienne les limites de toutes les suites minimisantes. C'est ce que l'espace fournit, et c'est pourquoi on ne peut pas se contenter de fonctions dérivables au sens classique.

L'espace $L^{2}$

Deux précisions honnêtes. D'abord, l'intégrale de (2.9) est l'intégrale de Lebesgue, qui coïncide avec celle de Riemann (Analyse I, chapitre 10) pour toutes les fonctions de ce cours, et qui est nécessaire pour que $L^{2}$ soit complet — fait que nous admettons (théorème de Riesz–Fischer). Ensuite, la convention «égales sauf sur un ensemble de mesure nulle» signifie qu'un élément de $L^{2}$ n'a pas de valeur en un point: changer $v$ en un point ne change pas l'élément. Vous avez déjà rencontré cet espace avec les séries de Fourier, où l'identité de Parseval mesure précisément $∥ v ∥_{L^{2}}$ (, chapitres 6 et 7), et avec les moindres carrés (, chapitre 7).

La norme $L^{2}$ est la mesure naturelle d'une erreur en moyenne quadratique. C'est celle de la dernière colonne du tableau de convergence du chapitre 1: pour $n = 4$ éléments linéaires sur le problème modèle, $∥ u - u_{h} ∥_{L^{2}} = 3, 928 \cdot 1 0^{- 2}$ .

La dérivée faible

Pour définir $H^{1}$ , il faut dériver des fonctions qui ne sont pas dérivables partout, comme $∣ x - \frac{1}{2} ∣$ ou une fonction chapeau. L'idée est de définir la dérivée par la formule d'intégration par parties, en la testant contre des fonctions très régulières.

Si $v$ est continûment dérivable, l'intégration par parties ordinaire montre que sa dérivée classique vérifie (2.10): les termes de bord sont nuls parce que $ψ$ s'annule près du bord. La dérivée faible prolonge donc la dérivée classique. Son intérêt est ailleurs: elle existe pour des fonctions qui ont des points anguleux.

Prenons $v (x) = ∣ x - \frac{1}{2} ∣$ sur $(0, 1)$ , et $g (x) = - 1$ pour $x < \frac{1}{2}$ , pour . En coupant l'intégrale en et en intégrant par parties sur chaque moitié, où est régulière:

\int_{0}^{1} v ψ^{'} = [v ψ]_{0}^{1/2} - \int_{0}^{1/2} (- 1) ψ + [v ψ]_{1/2}^{1} - \int_{1/2}^{1} (+ 1) ψ = - \int_{0}^{1} g ψ,

car les termes de bord en $0$ et en $1$ sont nuls ( $ψ$ y est nulle) et ceux en $\frac{1}{2}$ sont nuls aussi, puisque $v (\frac{1}{2}) = 0$ . Ce dernier point est le cœur de l'affaire: si sautait en , les deux termes de bord ne se compenseraient pas. Le théorème 2.2 le rendra précis.

Les espaces $H^{1}$ et $H_{0}^{1}$

On admet que $H^{1} (Ω)$ , $H_{0}^{1} (Ω)$ et $V$ sont des espaces de Hilbert: la complétude se déduit de celle de $L^{2}$ . La semi-norme porte bien son nom: elle a toutes les propriétés d'une norme sauf une, puisque $∣ v ∣_{H^{1}} = 0$ pour toute constante non nulle. Sur et sur , où les constantes non nulles sont exclues, elle redevient une norme; c'est le contenu de l'inégalité de Poincaré, ci-dessous. Pour la barre, est l'énergie de déformation d'un déplacement à rigidité constante: la semi-norme l'énergie, à un facteur près. C'est pourquoi c'est elle, et non la norme complète, qui reviendra le plus souvent dans ce cours, sous le nom de norme d'énergie .

Une question reste ouverte: en dimension 1, un élément de $H^{1}$ a-t-il une valeur en un point? On a vu qu'un élément de $L^{2}$ n'en a pas. Il en va autrement de $H^{1}$ , et c'est ce qui donne un sens au terme $P v (L)$ de la forme linéaire (2.7).

Démonstration. Nous admettons le point technique suivant: une fonction de $H^{1} (0, L)$ coïncide presque partout avec une primitive de sa dérivée faible, $v (y) = v (x) + \int_{x}^{y} v^{'} (t) d t$ . (C'est vrai par définition pour une fonction continûment dérivable, et le cas général s'en déduit par densité des fonctions régulières dans .) Cette primitive est continue, et pour , l'inégalité de Cauchy–Schwarz (2.8) dans , appliquée aux fonctions et , donne

∣ v (y) - v (x)∣ = \int_{x}^{y} 1 \cdot v^{'} (t) d t \leq (\int_{x}^{y} 1 d t)^{1/2} (\int_{x}^{y} (v^{'})^{2} d t)^{1/2} \leq y - x ∣ v ∣_{H^{1}} . □

Le théorème a deux conséquences pratiques. D'abord, les valeurs $v (0)$ , $v (L)$ , $v (x_{F})$ ont un sens pour $v \in H^{1} (0, L)$ : la condition $v (0) = 0$ qui définit et le terme de sont légitimes, de même qu'une force concentrée en un point intérieur. Ensuite, ce résultat est . Dans le plan, une fonction de peut être non bornée au voisinage d'un point — on le verra au chapitre 11 —, et une force concentrée en un point d'une plaque n'est plus représentable dans la forme linéaire: la solution exacte y est infinie. C'est l'une des sources des singularités que le chapitre 11 étudiera.

Les fonctions affines par morceaux: continues ou non

Voici le résultat qui rend la méthode des éléments finis possible en dimension 1: les fonctions qu'elle utilise sont dans $H^{1}$ , à condition d'être continues.

Démonstration. Soit $ψ \in C_{c}^{\infty} (0, L)$ . Sur chaque élément, $v$ est affine, donc régulière, et l'intégration par parties ordinaire donne

\int_{x_{k - 1}}^{x_{k}} v ψ^{'} = v (x_{k}^{-}) ψ (x_{k}) - v (x_{k - 1}^{+}) ψ (x_{k - 1}) - \int_{x_{k - 1}}^{x_{k}} s_{k} ψ .

En sommant sur $k$ , et en regroupant les termes de bord nœud par nœud, on obtient

\int_{0}^{L} v ψ^{'} = - \int_{0}^{L} g ψ - j = 1 \sum n - 1 [v]_{j} ψ (x_{j}), (2.14)

les termes en $x_{0} = 0$ et $x_{n} = L$ étant nuls parce que $ψ$ s'annule près du bord.

Point 1. Si $v$ est continue, tous les sauts sont nuls, et (2.14) est exactement la définition (2.10) avec la dérivée faible $g$ , qui est en escalier, donc de carré intégrable. Comme $v$ est continue sur un intervalle fermé, elle est aussi dans $L^{2}$ : $v \in H^{1} (0, L)$ .

Point 2. Supposons qu'une dérivée faible $G \in L^{2}$ existe. En comparant (2.10) et (2.14), on obtient

\int_{0}^{L} (G - g) ψ = j \sum [v]_{j} ψ (x_{j}) pour toute ψ \in C_{c}^{\infty} (0, L) .

Choisissons $δ > 0$ plus petit que la distance de $x_{j}$ aux autres nœuds, et une fonction $ψ_{δ} \in C_{c}^{\infty}$ à valeurs dans , nulle hors de et égale à 1 en (une «bosse» régulière). Le membre de droite vaut alors , quel que soit . Le membre de gauche, par Cauchy–Schwarz sur l'intervalle , vérifie

\int_{I_{δ}} (G - g) ψ_{δ} \leq ∥ G - g ∥_{L^{2} (I_{δ})} 2 δ δ \to 0 0,

puisque $∥ G - g ∥_{L^{2} (I_{δ})} \leq ∥ G - g ∥_{L^{2} (0, L)}$ est borné. Donc , ce qui contredit l'hypothèse.

La démonstration dit ce qui manque à une fonction discontinue: sa «dérivée» contient, en plus de la partie en escalier, un terme concentré au nœud, de poids égal au saut — ce qu'on appelle une masse de Dirac, et qui n'est pas une fonction de carré intégrable. Le calcul suivant le rend tangible.

Question 2.3

La fonction normes(x, v) doit renvoyer la norme $L^{2}$ , la semi-norme $H^{1}$ et la norme $H^{1}$ de la fonction affine par morceaux continue qui vaut v[i] au nœud x[i]. Sur un élément de longueur $h$ où $v$ va de $a$ à $b$ , la contribution au carré de la norme $L^{2}$ est $\frac{h}{3} (a^{2} + ab + b^{2})$ , déjà juste dans le code. La contribution au carré de la semi-norme est fausse: elle multiplie le carré de la variation par $h$ au lieu d'intégrer le carré de la pente. Corrigez-la. Pour la fonction chapeau du nœud 0,5 sur quatre éléments, le programme doit afficher 0.408248 2.828427 2.857738.

normes_h1.py

Question 2.4

Lesquelles de ces fonctions, définies sur $(0, 1)$ , appartiennent à $H^{1} (0, 1)$ ? Plusieurs réponses sont possibles.

Plusieurs réponses possibles

L'inégalité de Poincaré

Sur $H_{0}^{1}$ et sur $V$ , la semi-norme contrôle la norme $L^{2}$ : une fonction qui s'annule au bord et dont la pente est petite en moyenne quadratique ne peut pas être grande. C'est l'inégalité de Poincaré, l'outil qui fera de l'énergie une norme.

Démonstration (dimension 1). Soit $v \in H^{1} (0, L)$ avec $v (0) = 0$ . Par le théorème 2.1 et sa démonstration, $v (x) = \int_{0}^{x} v^{'} (t) d t$ pour tout . L'inégalité de Cauchy–Schwarz dans donne

v (x)^{2} = (\int_{0}^{x} 1 \cdot v^{'} (t) d t)^{2} \leq x \int_{0}^{x} (v^{'})^{2} d t \leq x ∣ v ∣_{H^{1}}^{2} .

En intégrant de $0$ à $L$ :

∥ v ∥_{L^{2}}^{2} = \int_{0}^{L} v (x)^{2} d x \leq ∣ v ∣_{H^{1}}^{2} \int_{0}^{L} x d x = \frac{L ^{2}}{2} ∣ v ∣_{H^{1}}^{2} .

On prend la racine carrée. $□$

La constante $L / 2 \approx 0, 707 L$ est correcte, mais pas optimale. La meilleure constante est $L / π \approx 0, 318 L$ sur $H_{0}^{1} (0, L)$ , atteinte par , et quand on impose seulement , atteinte par ; l'exercice 2.4 le vérifie sur ces deux fonctions, et la démonstration de l'optimalité, qui passe par un problème de valeurs propres, est admise. La constante dépend de la longueur, ce qui se comprend: sur une barre plus longue, une pente donnée laisse le déplacement s'accumuler plus loin.

L'hypothèse «nulle sur une partie du bord» est indispensable. Sans elle, la fonction constante $v = 1$ a une semi-norme nulle et une norme $L^{2}$ non nulle: aucune constante $C_{P}$ ne convient. Mécaniquement, c'est la translation d'ensemble d'une barre sans appui, qui ne coûte aucune énergie.

Question 2.5

Pour $v (x) = x (1 - x)$ sur $(0, 1)$ , calculez le rapport $∥ v ∥_{L^{2}} / ∣ v ∣_{H^{1}}$ . Comparez-le à la constante $1/ 2$ démontrée et à la constante optimale $1/ π = 0, 3183$ sur $H_{0}^{1} (0, 1)$ .

Continuité et coercivité de la forme bilinéaire de la barre

Deux propriétés de $a$ décident de tout ce qui suit: elle ne doit pas être «trop grande» (continuité) ni «trop petite» (coercivité) par rapport à la norme de l'espace.

Démonstration. Continuité. Comme $E A \leq E A_{m a x}$ , puis par Cauchy–Schwarz dans $L^{2}$ ,

∣ a (u, v)∣ \leq \int_{0}^{L} E A ∣ u^{'} ∣ ∣ v^{'} ∣ \leq E A_{m a x} \int_{0}^{L} ∣ u^{'} ∣ ∣ v^{'} ∣ \leq E A_{m a x} ∥ u^{'} ∥_{L^{2}} ∥ v^{'} ∥_{L^{2}},

et la semi-norme est majorée par la norme, $∣ v ∣_{H^{1}} \leq ∥ v ∥_{H^{1}}$ .

Coercivité. Comme $E A \geq E A_{m i n}$ , $a (v, v) = \int E A (v^{'})^{2} \geq E A_{m i n} ∣ v ∣_{H^{1}}^{2}$ . Par l'inégalité de Poincaré (théorème 2.3) avec ,

∥ v ∥_{H^{1}}^{2} = ∥ v ∥_{L^{2}}^{2} + ∣ v ∣_{H^{1}}^{2} \leq (\frac{L ^{2}}{2} + 1) ∣ v ∣_{H^{1}}^{2},

d'où la seconde inégalité.

Continuité de $ℓ$ . Par Cauchy–Schwarz puis Poincaré, $\int q v \leq ∥ q ∥_{L^{2}} ∥ v ∥_{L^{2}} \leq \frac{L}{2} ∥ q ∥_{L^{2}} ∣ v ∣_{H^{1}}$ . Par (2.13) avec , et , . On additionne.

Le théorème a une conséquence que l'on utilisera sans cesse: sur $V$ , la norme d'énergie $∥ v ∥_{E} = a (v, v)$ est une norme équivalente à la semi-norme et à la norme $H^{1}$ ,

E A_{m i n} ∣ v ∣_{H^{1}} \leq ∥ v ∥_{E} \leq E A_{m a x} ∣ v ∣_{H^{1}} . (2.16)

Mesurer une erreur en énergie, comme le fait le tableau de convergence du chapitre 1, c'est donc la mesurer en norme $H^{1}$ , à des constantes près qui ne dépendent que du matériau.

Équivalence des formulations forte et faible

Nous pouvons maintenant démontrer que la forme faible ne perd rien: pour une solution régulière, elle est équivalente à la forme forte, conditions aux limites comprises. La démonstration a besoin d'un lemme, qui exprime qu'une fonction continue «orthogonale» à toutes les fonctions test est nulle.

Démonstration. Nous utilisons la formule d'intégration par parties pour $w \in C^{1} ([0, L])$ et $v \in H^{1} (0, L)$ ,

\int_{0}^{L} w v^{'} d x = [w v]_{0}^{L} - \int_{0}^{L} w^{'} v d x, (2.17)

qui est la formule classique quand $v$ est $C^{1}$ et qui s'étend à $H^{1}$ grâce à la représentation $v (x) = v (0) + \int_{0}^{x} v^{'}$ du théorème 2.1 (nous l'admettons sous cette forme).

Point 1. Une fonction $C^{2}$ est dans $H^{1}$ , et $u (0) = 0$ : donc $u \in V$ . Soit $v \in V$ . Par (2.17) avec $w = E A u^{'}$ , qui est ,

a (u, v) = \int_{0}^{L} E A u^{'} v^{'} = E A (L) u^{'} (L) v (L) - E A (0) u^{'} (0) v (0) - \int_{0}^{L} (E A u^{'})^{'} v .

Le deuxième terme est nul car $v (0) = 0$ ; le premier vaut $P v (L)$ par la condition de Neumann; dans le troisième, $- (E A u^{'})^{'} = q$ . Donc $a (u, v) = P v (L) + \int q v = ℓ (v)$ .

Point 2. Posons $r = - (E A u^{'})^{'} - q$ , fonction continue sur $[0, L]$ puisque $u \in C^{2}$ . Le même calcul, lu dans l'autre sens, transforme l'égalité en

\int_{0}^{L} r v d x + (E A (L) u^{'} (L) - P) v (L) = 0 pour tout v \in V . (2.18)

Étape 1: l'équation à l'intérieur. Montrons que $r = 0$ . Supposons $r (x_{0}) > 0$ en un point $x_{0} \in (0, L)$ (le cas $r (x_{0}) < 0$ se traite en changeant en ). Par continuité, il existe tel que et sur cet intervalle. Prenons pour la centrée en , de demi-largeur : elle vaut 1 en , décroît linéairement jusqu'à 0 en et est nulle ailleurs. Elle est affine par morceaux et continue, donc dans (théorème 2.2), et nulle en 0 et en , donc dans , avec . Alors (2.18) donne

0 = \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} r v \geq \frac{r ( x _{0} )}{2} \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} v = \frac{r ( x _{0} )}{2} δ > 0,

une contradiction. Donc $r = 0$ sur $(0, L)$ , et sur $[0, L]$ par continuité: $- (E A u^{'})^{'} = q$ partout.

Étape 2: la condition naturelle. (2.18) se réduit à $(E A (L) u^{'} (L) - P) v (L) = 0$ pour tout $v \in V$ . Avec $v (x) = x / L$ , qui est dans et vaut 1 en , on obtient .

Étape 3: la condition essentielle. $u (0) = 0$ parce que $u \in V$ . $□$

La démonstration montre comment la condition naturelle est récupérée: les fonctions test nulles au bord fournissent l'équation, et une seule fonction test non nulle au bord fournit la condition de Neumann. Elle montre aussi le rôle de la fonction chapeau, qui sert ici d'instrument de mesure local; elle sera, au chapitre 3, la fonction de base de l'approximation.

Ce que la forme faible gagne: la barre étagée

L'hypothèse « $u \in C^{2}$ » du point 2 n'est pas une précaution de style: elle est fausse pour des problèmes d'ingénieur ordinaires, et c'est là que la forme faible devient la formulation. Reprenons la barre étagée de l'exemple 2.3, chargée par une force $F_{2} = 20$ kN au changement de section ( $x = L_{1} = 1, 2$ m) et par kN à l'extrémité libre, toutes deux dans le sens des croissants. La forme linéaire contient deux termes ponctuels,

ℓ (v) = F_{2} v (L_{1}) + F_{3} v (L),

et la forme bilinéaire $a (u, v) = \int_{0}^{L} E A u^{'} v^{'}$ a un coefficient qui saute en $L_{1}$ . Sur chacun des deux segments, est régulière; en , sa dérivée saute. Faisons l'intégration par parties sur et sur , avec :

a (u, v) = - \int_{0}^{L} N^{'} v + (N (L_{1}^{-}) - N (L_{1}^{+})) v (L_{1}) + N (L) v (L) .

En identifiant avec $ℓ (v)$ pour toutes les $v \in V$ , par le même raisonnement qu'au théorème 2.5 (des chapeaux loin de $L_{1}$ , puis un chapeau centré en $L_{1}$ , puis une fonction non nulle en $L$ ), on obtient: $N^{'} = 0$ sur chaque segment, , et

N (L_{1}^{-}) - N (L_{1}^{+}) = F_{2} .

La forme faible contient donc, sans qu'on l'ait écrite, la condition d'interface: l'effort normal saute exactement de la force concentrée appliquée au nœud. Ici $N_{2} = F_{3} = 40$ kN et $N_{1} = N_{2} + F_{2} = 60$ kN, les valeurs fixées pour tout le cours, d'où les contraintes MPa et MPa. Sans force au nœud, l'interface transmettrait l'effort sans saut: continu, discontinu. La forme forte n'aurait rien dit de tout cela; la forme faible le fait d'office.

La réaction se lit aussi sur la forme faible. Testons avec la fonction $v = 1$ , qui n'est pas dans $V$ : le terme de bord en $x = 0$ ne disparaît plus, et il fait apparaître la force exercée par l'encastrement, $R_{1} = - N (0)$ . Comme $v^{'} = 0$ , , et l'égalité complète s'écrit , soit

R_{1} = - (F_{2} + F_{3}) = - 60 kN,

l'équilibre global de la barre. Le chapitre 4 systématisera ce geste: les réactions se calculent en reprenant, après la résolution, les équations des degrés de liberté bloqués.

Le principe des travaux virtuels

L'ingénieur n'a pas attendu les espaces de Sobolev pour écrire (2.6). Il l'écrit sous le nom de principe des travaux virtuels, et il le lit ainsi.

Dans (2.5), remplaçons le nom $v$ par $δ u$ et appelons-le déplacement virtuel: un champ de déplacement fictif, infinitésimal, cinématiquement admissible — c'est-à-dire compatible avec les appuis, $δ u (0) = 0$ . Sa dérivée $δ ε = δ u^{'}$ est la déformation virtuelle. Avec $N = E A u^{'}$ , (2.5) devient

travail virtuel int \overset{e}{ˊ} rieur \int_{0}^{L} N δ ε d x = travail virtuel ext \overset{e}{ˊ} rieur \int_{0}^{L} q δ u d x + P δ u (L) pour tout δ u admissible. (2.19)

Une structure est en équilibre si et seulement si, pour tout déplacement virtuel admissible, le travail virtuel des efforts intérieurs égale celui des forces extérieures. C'est exactement le théorème 2.5, lu par un mécanicien: le point 1 dit qu'une barre en équilibre vérifie (2.19), le point 2 que (2.19) entraîne l'équilibre local et l'équilibre au bord chargé.

Trois correspondances sont à retenir, parce qu'elles servent de guide pour écrire une formulation faible nouvelle — celle de la poutre au chapitre 6, celle de l'élasticité plane au chapitre 9:

la fonction test est un déplacement virtuel, et l'espace $V$ est l'ensemble des déplacements cinématiquement admissibles;
la forme bilinéaire $a (u, δ u)$ est le travail virtuel intérieur, contrainte (ou effort) réelle fois déformation virtuelle;
la forme linéaire $ℓ (δ u)$ est le travail virtuel des charges données; les réactions n'y figurent pas, parce que le déplacement virtuel est nul là où elles agissent.

Le minimum de l'énergie potentielle

Le chapitre 1 a annoncé que l'équilibre minimise l'énergie potentielle totale. Nous pouvons maintenant le démontrer, dans un cadre qui couvre la barre et tous les problèmes symétriques du cours.

Démonstration. Pour $u, w \in V$ et $ε \in R$ , développons $Π (u + εw)$ en utilisant la bilinéarité et la symétrie de $a$ , puis la linéarité de $ℓ$ :

Π (u + εw) = Π (u) + ε (a (u, w) - ℓ (w)) + \frac{ε ^{2}}{2} a (w, w) . (2.21)

1 ⇒ 2. Si $u$ est solution faible, la parenthèse est nulle pour tout $w$ . Avec $ε = 1$ et $w = v - u$ , (2.21) donne $Π (v) = Π (u) + \frac{1}{2} a (v - u, v - u) \geq Π (u)$ , avec égalité seulement si , puisque est définie positive. Le minimum est donc atteint en , et en seulement.

2 ⇒ 1. Si $u$ minimise $Π$ , alors pour tout $w$ fixé la fonction $ε \mapsto Π (u + εw)$ , qui est un polynôme du second degré par (2.21), atteint son minimum en $ε = 0$ . Sa dérivée y est nulle: $a (u, w) - ℓ (w) = 0$ . Comme est arbitraire, est solution faible.

Unicité et valeur. Deux minimiseurs seraient deux solutions faibles; leur différence $d$ vérifierait $a (d, v) = 0$ pour tout $v$ , en particulier $a (d, d) = 0$ , donc $d = 0$ . Enfin, en prenant $v = u$ dans la formulation faible, , et .

La relation (2.21) avec $w = v - u$ mérite d'être lue une seconde fois:

Π (v) - Π (u) = \frac{1}{2} ∥ v - u ∥_{E}^{2} pour tout v \in V . (2.22)

L'excès d'énergie d'un déplacement quelconque est la moitié du carré de son erreur en énergie. Minimiser l'énergie, c'est donc exactement minimiser l'erreur en norme d'énergie: tout le chapitre 3 repose sur cette identité. La figure 2.3 en donne l'image: le long de toute famille $u + εw$ , l'énergie est une parabole dont le minimum est en $ε = 0$ , à la même hauteur $Π (u)$ quelle que soit la direction $w$ ; seule la courbure, $a (w, w)$ , dépend de la direction.

Deux conséquences pratiques, que l'explorateur 2.1 va rendre visibles.

Le théorème de Clapeyron. À l'équilibre, $ℓ (u) = a (u, u)$ : le travail des charges vaut le double de l'énergie de déformation, $W = 2 U$ , et l'énergie potentielle est $Π (u) = - U = - \frac{1}{2} W$ . Pour une charge unique appliquée au point où l'on mesure le déplacement , cela s'écrit .

Une approximation par minimisation est trop raide. Soit $u_{c}$ le minimiseur de $Π$ sur un sous-espace de $V$ — c'est ce que fera la méthode de Ritz. Il est lui-même solution faible sur ce sous-espace, donc $Π (u_{c}) = - \frac{1}{2} ℓ (u_{c})$ , et comme :

ℓ (u_{c}) \leq ℓ (u) . (2.23)

Pour une charge unique, $P u_{c, P} \leq P u_{P}$ : le déplacement calculé au point de charge est trop petit en valeur absolue. Le modèle discret est plus raide que la structure. C'est un fait général des approximations par déplacements, et une règle de contrôle utile: un modèle d'éléments finis «conforme» ne surestime jamais la souplesse d'une structure sous une charge unique.

Explorateur 2.1 · Méthode de Ritz à un paramètre: l'énergie et son minimum

Faites varier l'amplitude $c$ de la fonction d'essai $v = c x (1 - x)$ . En haut, $v$ et la solution exacte $u$ (tiretée); en bas, l'énergie potentielle $Π (c)$ , une parabole dont le minimum est la valeur de Ritz $c^{*}$ . Deux contrôles: le travail des charges vaut exactement le double de l'énergie de déformation au minimum, et l'écart en énergie $∥ u - v ∥_{E}^{2}$ égale $2 (Π (v) - Π (u))$ pour toute valeur de $c$ . Avec $f = 1$ , la solution exacte appartient à l'espace d'essai, et le minimum la retrouve.

Amplitude c2,00

Second membre fπ² sin πx

Valeur de Ritz c*

3,8197

Énergie potentielle Π(c)

−1,8798

Énergie de déformation U

0,6667

Travail des charges W

2,5465

W / 2U

1,910

‖u − v‖²_E (intégrale)

1,1752

2(Π(v) − Π(u))

1,1752

L'explorateur calcule lui-même $a (φ, φ)$ , $ℓ (φ)$ et l'énergie exacte par quadrature, résout le «système» $1 \times 1$ et trace la parabole $Π (c)$ . Trois lectures. D'abord, le minimum est atteint en $c^{*} = 3, 8197$ , et c'est la seule valeur où le rapport $W /2 U$ vaut exactement 1: le théorème de Clapeyron caractérise le minimum sur la droite, comme il caractérise la solution exacte sur tout l'espace. Pour plus petit, la fonction d'essai est trop souple pour les charges (); pour plus grand, trop déformée (). , les deux dernières lectures restent égales quel que soit : l'une intègre directement , l'autre calcule , et leur égalité est l'identité (2.22) observée en direct. C'est l'invariant de l'explorateur. , avec , la solution exacte appartient à la droite d'essai: le minimum est en exactement, l'énergie de Ritz coïncide avec , et l'écart en énergie s'annule. Ritz retrouve la solution exacte chaque fois que l'espace d'essai la contient.

Question 2.6

La fonction ritz(f, phi, dphi) doit renvoyer la valeur de Ritz $c^{*} = ℓ (φ) / a (φ, φ)$ de la fonction d'essai $v = c φ$ sur le problème modèle, en calculant les deux intégrales par la règle de Simpson fournie. Son auteur a dérivé l'énergie en oubliant le facteur $\frac{1}{2}$ de l'énergie de déformation: il minimise $a c^{2} - ℓ c$ au lieu de $\frac{1}{2} a c^{2} - ℓ c$ . Corrigez-le. Pour $f = π^{2} sin π x$ et $φ = x (1 - x)$ , le programme doit afficher 3.819719.

ritz.py

Question 2.7

La fonction energie(x, v, EA, q, P) doit calculer l'énergie potentielle $Π = \frac{1}{2} \int E A (v^{'})^{2} - \int q v - P v (L)$ d'une barre encastrée en x[0], pour un déplacement affine par morceaux de valeurs nodales v. Elle oublie le travail de la force $P$ à l'extrémité — exactement le terme par lequel la condition naturelle entre dans la formulation. Corrigez-la. Pour la tige de l'exemple 2.1 et sa solution aux quatre nœuds d'un maillage de 4 éléments, le programme doit afficher Pi = -35.6725 J.

energie_barre.py

Existence et unicité: le théorème de Lax–Milgram

Le théorème 2.6 dit que si la solution existe, elle minimise l'énergie, et réciproquement. Il ne dit pas qu'elle existe. L'existence est l'objet d'un théorème d'analyse fonctionnelle, que nous énonçons et admettons.

Ce qui est démontrable ici, et ce qui ne l'est pas. L'estimation (2.24) et l'unicité se démontrent en une ligne: avec $v = u$ , $α ∥ u ∥_{V}^{2} \leq a (u, u) = ℓ (u) \leq Λ ∥ u ∥_{V}$ , et une différence de deux solutions est solution avec , donc nulle. L' demande davantage. Dans le cas symétrique, qui est celui de la barre, l'idée est la suivante: par continuité et coercivité, est un produit scalaire sur dont la norme est équivalente à celle de , donc muni de est encore un espace de Hilbert; le affirme alors que toute forme linéaire continue s'écrit pour un unique . C'est ce théorème de Riesz, et sa démonstration par projection orthogonale sur un sous-espace fermé, qui relève d'un cours d'analyse fonctionnelle et que nous admettons; il utilise de manière essentielle la de — d'où l'insistance de ce chapitre sur les espaces de Hilbert. Le cas non symétrique s'y ramène par un argument supplémentaire.

L'application à la barre. Le théorème 2.4 établit exactement les hypothèses de Lax–Milgram sur $V = {v \in H^{1} (0, L) : v (0) = 0}$ : la barre a une solution faible unique pour toute rigidité bornée entre deux constantes positives, même discontinue, et pour toute charge $q \in L^{2}$ et toute force . La forme forte ne permettait pas un énoncé aussi général. En prenant la semi-norme comme norme de , (2.24) donne

∣ u ∣_{H^{1}} \leq \frac{1}{E A _{m i n}} (\frac{L}{2} ∥ q ∥_{L^{2}} + L ∣ P ∣) : (2.25)

la solution dépend continûment des données. Le problème est bien posé, au sens de Hadamard: existence, unicité, stabilité. L'exercice 2.5 confronte cette borne à la solution exacte de la tige suspendue.

Synthèse

La formulation faible s'obtient en multipliant l'équation par une fonction test $v$ et en intégrant par parties: «trouver $u \in V$ tel que $a (u, v) = ℓ (v)$ pour tout $v \in V$ », avec, pour la barre, $a (u, v) = \int E A u^{'} v^{'}$ et . Elle ne dérive qu'une fois et n'exige plus de qu'il soit dérivable.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 2.1 · Le mur avec convection: une condition de Robin dans la forme faible

Un mur d'épaisseur $e$ et de conductivité $k (x) > 0$ est le siège d'une source volumique $s (x)$ . Sa face intérieure est maintenue à la température $T_{0}$ ; sa face extérieure échange avec l'air à $T_{\infty}$ par convection, de coefficient :

Exercice 2.2 · Dérivées faibles et normes de Sobolev

Calculez la dérivée faible de $v (x) = ∣ x - \frac{1}{2} ∣$ sur $(0, 1)$ , puis $∥ v ∥_{L^{2}}$ , et .

Exercice 2.3 · Ritz avec une fonction d'essai linéaire pour la tige suspendue

On reprend la tige de l'exemple 2.1 ( $L = 60$ m, $E A = 1, 05 \cdot 1 0^{8}$ N, $q = 38, 50425$ N/m, kN) et l'on cherche une approximation .

Exercice 2.4 · La constante de Poincaré: démontrée, optimale, et absente

Sur $(0, L)$ , calculez le rapport $∥ v ∥_{L^{2}} / ∣ v ∣_{H^{1}}$ pour , qui est dans .

Exercice 2.5 · Stabilité de la barre: démonstration et vérification

On considère la barre (2.4) avec $0 < E A_{m i n} \leq E A (x)$ , $q \in L^{2} (0, L)$ et une force en .

Références

Hughes, T. J. R., The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Dover, chap. 1 (formulations forte et faible en dimension 1, équivalence, conditions essentielles et naturelles).
Ern, A. et Guermond, J.-L., Theory and Practice of Finite Elements, Springer (espaces de Sobolev, inégalité de Poincaré, théorème de Lax–Milgram).
Quarteroni, A., Numerical Models for Differential Problems, Springer (formulation variationnelle des problèmes elliptiques, rappels d'analyse fonctionnelle).
Strang, G. et Fix, G., An Analysis of the Finite Element Method, Prentice Hall / Wellesley-Cambridge (énergie, méthode de Ritz, théorie de la convergence).
Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L. et Zhu, J. Z., The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann, chap. 3 (formes faibles, principe des travaux virtuels, principes variationnels).
Dhatt, G., Touzot, G. et Lefrançois, E., Méthode des éléments finis, Hermès / Lavoisier (en français; formulation intégrale et travaux virtuels).

$δ$	$∣ v_{δ} ∣_{H^{1}}^{2}$	$∥ v_{δ} - H ∥_{L^{2}}$
$1 0^{- 1}$	$10$	$0, 0913$
$1 0^{- 2}$	$100$	$0, 0289$
$1 0^{- 3}$

Objectifs du chapitre

De la forme forte à la forme faible

Multiplier par une fonction test et intégrer

La barre de rigidité variable, chargée à son extrémité

Conditions essentielles et conditions naturelles

Les espaces de fonctions

Produit scalaire et espace de Hilbert

L'espace $L^{2}$

La dérivée faible

Les espaces $H^{1}$ et $H_{0}^{1}$

Les fonctions affines par morceaux: continues ou non

L'inégalité de Poincaré

Continuité et coercivité de la forme bilinéaire de la barre

Équivalence des formulations forte et faible

Ce que la forme faible gagne: la barre étagée

Le principe des travaux virtuels

Le minimum de l'énergie potentielle

Existence et unicité: le théorème de Lax–Milgram

Synthèse

Exercices

Références

La forme bilinéaire sur la fonction d'essai

L'allongement de Ritz

Les énergies potentielles

L'erreur en énergie

Objectifs du chapitre

De la forme forte à la forme faible

Multiplier par une fonction test et intégrer

La barre de rigidité variable, chargée à son extrémité

Conditions essentielles et conditions naturelles

Les espaces de fonctions

Produit scalaire et espace de Hilbert

L'espace L2

La dérivée faible

Les espaces H1 et H01​

Les fonctions affines par morceaux: continues ou non

L'inégalité de Poincaré

Continuité et coercivité de la forme bilinéaire de la barre

Équivalence des formulations forte et faible

Ce que la forme faible gagne: la barre étagée

Le principe des travaux virtuels

Le minimum de l'énergie potentielle

Existence et unicité: le théorème de Lax–Milgram

Synthèse

Exercices

Références

La forme bilinéaire sur la fonction d'essai

L'allongement de Ritz

Les énergies potentielles

L'erreur en énergie

L'espace $L^{2}$

Les espaces $H^{1}$ et $H_{0}^{1}$