Formulaire · Méthode des éléments finis

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, ce qu'il faut avoir sous les yeux pour réviser ou pour écrire un programme d'éléments finis: les formulations faibles, les espaces et leurs normes, le système de Galerkin, les fonctions de forme, les matrices élémentaires et les vecteurs de charges, les quadratures, la transformation isoparamétrique, les estimations d'erreur, les matrices de masse et les schémas en temps — chacun avec ses hypothèses et avec le bloc du chapitre qui l'énonce ou le démontre. Les démonstrations, les exemples chiffrés et les pièges sont là-bas, pas ici.

Comment lire les renvois. Dans chaque chapitre, les équations numérotées, les définitions, les théorèmes et les exemples forment des séries distinctes: l'équation (4.10) et le théorème 4.1 qui la contient sont deux numéros différents. Ici, un numéro entre parenthèses désigne toujours une équation, un numéro précédé d'un mot («définition 2.6», «théorème 3.4», «exemple 6.1») toujours le bloc qui porte ce nom. Les rappels de calcul — intégration par parties, divergence et formule de Green, jacobien, matrices symétriques définies positives, conditionnement, quadratures, coordonnées barycentriques — sont rassemblés à l'annexe A; le vocabulaire allemand et anglais à l'annexe C.

Une matrice élémentaire sans son ordre de ddl est un piège. Le même $k^{e}$ change de signe sur des termes entiers si l'on permute deux degrés de liberté, si la flèche est comptée vers le bas au lieu du haut, ou si les nœuds d'un triangle tournent dans le sens horaire. Chaque ligne ci-dessous dit dans quel ordre et avec quel signe la formule est écrite, et il faut la lire.

Notation, et les symboles qui servent deux fois

Objet	Notation du cours
Domaine, bord	$Ω$ ; $\partial Ω = Γ_{D} \cup Γ_{N}$ (et $Γ_{R}$ au ch. 8); en 1D

Les réutilisations à connaître

Le cours suit la notation de chaque littérature plutôt qu'une notation uniforme. Un même symbole y désigne donc des objets différents selon le chapitre:

Symbole	Sens, et où
$N$	effort normal (ch. 1, 2, 4, 5); fonction de forme $N_{a}$ (ch. 4 à 12); dimension de $V_{h}$ (ch. 3); nombre de divisions $N \times N$ de la plaque (ch. 8, 10, 11, annexe A); nombre de ddl (ch. 11)
$M$

Cohérent, pas consistant. Le vecteur des charges $\int q N^{T}$ s'appelle partout vecteur des charges cohérent («charges nodales cohérentes», dites aussi équivalentes au chapitre 4), et la matrice $\int ρ A N_{a} N_{b}$ matrice de masse cohérente (ch. 12): c'est chaque fois l'intégrale contre les fonctions de forme, qui fait le même travail virtuel que la charge ou la masse réparties (allemand konsistent, anglais consistent). Le mot consistant est réservé à la consistance d'un schéma aux différences finies (définition 1.4).

1. Du problème physique au modèle numérique

N^{'} (x) + q (x) = 0, N = E A u^{'}, - (E A u^{'})^{'} = q sur (0, L), E A (L) u^{'} (L) = P

Équilibre d'une tranche (1.1), loi de comportement (1.2), équation de la barre (1.3) et force en bout (1.4). Une condition sur la valeur de $u$ est de Dirichlet, une condition sur le flux $E A u^{'}$ de Neumann (définition 1.2). Mêmes équations pour la conduction dans un mur, $- (k T^{'})^{'} = s$ (1.5), et pour la membrane tendue, $- T Δ w = p$ (1.6), où est la tension.

- u^{''} (x) = f (x) sur (0, 1), u (0) = u (1) = 0

Le problème modèle (1.7), définition 1.3. Ses deux seconds membres de référence: $f = 1$ , $u = \frac{1}{2} x (1 - x)$ ; $f = π^{2} sin π x$ , . Ses valeurs fixées sont rassemblées à la fin de ce formulaire.

\frac{- u _{i - 1} + 2 u _{i} - u _{i + 1}}{h ^{2}} = f (x_{i}), τ_{i} = - \frac{h ^{2}}{12} u^{(4)} (ξ_{i}), i max u (x_{i}) - u_{i} \leq \frac{M _{4}}{96} h^{2}

Schéma aux différences finies à trois points (1.8), erreur de troncature (1.9) et consistance d'ordre 2 (1.10), théorème 1.1; convergence d'ordre 2 (1.13), théorème 1.2, pour $u \in C^{4}$ et $M_{4} = max ∣ u^{(4)} ∣$ . La matrice du schéma est $\frac{1}{h ^{2}} tridiag (- 1, 2, - 1)$ (1.11).

Π = \frac{1}{2} v^{T} K v - v^{T} F, K_{ij} = \int_{0}^{1} φ_{i}^{'} φ_{j}^{'} d x, F_{i} = \int_{0}^{1} f φ_{i} d x, k^{e} = \frac{1}{h _{e}} (1 - 1 - 1 1)

L'idée des éléments finis en une ligne: énergie discrète (1.15), système $K d = F$ (1.16), matrice élémentaire (1.17) du problème modèle; maillage, nœud, élément et ddl à la définition 1.5. Sources d'erreur d'une analyse: modélisation, discrétisation, arrondi, utilisateur. Sur un maillage uniforme, la matrice des différences finies (1.11) vaut $K / h$ : les deux méthodes ne diffèrent que par le second membre, $h f (x_{i})$ (la «charge nodale») contre $\int f φ_{i}$ (la charge exacte), et c'est la charge exacte qui rend les nœuds exacts.

2. Formulation faible

trouver u \in V tel que a (u, v) = ℓ (v) \forall v \in V, a (u, v) = \int_{0}^{L} E A u^{'} v^{'} d x, ℓ (v) = \int_{0}^{L} q v d x + P v (L)

Formulation faible de la barre (2.6)–(2.7), définition 2.1, avec $V = {v \in H^{1} (0, L) : v (0) = 0}$ ; pour le problème modèle, $a (u, v) = \int_{0}^{1} u^{'} v^{'}$ et (2.2)–(2.3). On l'obtient en multipliant (2.4) par et en intégrant par parties (2.17). (sur la valeur): imposées à l'espace, et là où elles portent; (sur le flux): elles entrent dans par un terme de bord et la solution faible les satisfait d'elle-même (définition 2.2). Une condition de Robin en ajoute à et à (exercice 2.1).

∥ v ∥_{L^{2}} = (\int_{Ω} v^{2})^{1/2}, ∣ v ∣_{H^{1}} = ∥ v^{'} ∥_{L^{2}}, ∥ v ∥_{H^{1}} = (∥ v ∥_{L^{2}}^{2} + ∥ v^{'} ∥_{L^{2}}^{2})^{1/2}, ∥ v ∥_{E} = a (v, v)

Espace $L^{2}$ (2.9), définition 2.4; dérivée faible (2.10), définition 2.5; $H^{1}$ , sa norme (2.11) et sa semi-norme (2.12), définition 2.6; $H_{0}^{1}$ = fonctions de $H^{1}$ nulles sur tout le bord. En 1D, une fonction de $H^{1}$ est continue et (2.13), théorème 2.1. Une fonction affine par morceaux est dans (théorème 2.2): c'est la condition de conformité de tout le cours.

∥ v ∥_{L^{2}} \leq C_{P} ∣ v ∣_{H^{1}}, C_{P} = \frac{L}{2} sur (0, L) avec v (0) = 0

Inégalité de Poincaré (2.15), théorème 2.3, démontrée avec $L / 2$ ; les constantes optimales sont $L / π$ sur $H_{0}^{1} (0, L)$ et avec seulement (exercice 2.4). C'est elle qui fait de une norme sur .

∣ a (u, v)∣ \leq M ∥ u ∥_{V} ∥ v ∥_{V}, a (v, v) \geq α ∥ v ∥_{V}^{2}, E A_{m i n} ∣ v ∣_{H^{1}} \leq ∥ v ∥_{E} \leq E A_{m a x} ∣ v ∣_{H^{1}}

Continuité et coercivité, définition 2.7 (constantes $M$ , $α$ , et $Λ$ pour $ℓ$ ); pour la barre avec $0 < E A_{m i n} \leq E A \leq E A_{m a x}$ : , en norme (théorème 2.4), et l'équivalence des normes (2.16). (théorème 2.7, admis): si est continue et coercive et continue, la solution existe, est unique et vérifie (2.24); n'a pas besoin d'être symétrique.

Π (v) = \frac{1}{2} a (v, v) - ℓ (v), Π (v) - Π (u) = \frac{1}{2} ∥ v - u ∥_{E}^{2}, Π (u) = - \frac{1}{2} a (u, u)

Énergie potentielle totale (2.20), définition 2.8, $Π = U - W$ . Pour $a$ symétrique définie positive, $u$ est solution faible si et seulement si $u$ minimise $Π$ sur $V$ (théorème 2.6), et l'excès d'énergie est la moitié du carré de l'erreur en énergie (2.22). Le principe des travaux virtuels (2.19), $\int N δ ε = \int q δ u + P δ u (L)$ , est la même équation lue par un ingénieur. Forte ⇒ faible toujours, faible ⇒ forte si (théorème 2.5).

3. La méthode de Galerkin

u_{h} \in V_{h} : a (u_{h}, v_{h}) = ℓ (v_{h}) \forall v_{h} \in V_{h}, u_{h} = j = 1 \sum N d_{j} φ_{j}, K_{ij} = a (φ_{j}, φ_{i}), F_{i} = ℓ (φ_{i})

Approximation de Galerkin (3.2), définition 3.1, conforme car $V_{h} \subset V$ ; système $K d = F$ (3.4). Notez l'ordre des indices: $K_{ij} = a (φ_{j}, φ_{i})$ , ligne = fonction test, ce qui ne change rien quand est symétrique. Pour symétrique et coercive, (minimiser sur , définition 3.2) et coïncident, et (3.6), théorème 3.1. Base de Ritz (3.8) et sa matrice exacte (3.9).

a (u - u_{h}, v_{h}) = 0 \forall v_{h} \in V_{h}, ∥ u - u_{h} ∥_{E}^{2} = a (u, u) - F^{T} d, ∥ u - u_{h} ∥_{E} = v_{h} \in V_{h} min ∥ u - v_{h} ∥_{E}

Orthogonalité de Galerkin (3.11) et identité de Pythagore (3.12), théorème 3.2; meilleure approximation en énergie (3.13), théorème 3.3, pour $a$ symétrique. Le lemme de Céa général (3.14), théorème 3.4: $∥ u - u_{h} ∥_{V} \leq \frac{M}{α} min_{v_{h}} ∥ u - v_{h} ∥_{V}$ , et si est symétrique. L'erreur de Galerkin est une erreur d', pas de méthode.

K = \frac{1}{h} tridiag (- 1, 2, - 1), λ_{k} = \frac{4}{h} sin^{2} \frac{k π h}{2}, κ_{2} (K) = cot^{2} \frac{π h}{2} \approx \frac{4}{π ^{2} h ^{2}}

Matrice des fonctions chapeau sur un maillage uniforme (3.10), ses valeurs propres (3.15) et son conditionnement (3.16), théorème 3.6: il croît comme $h^{- 2}$ . $K$ est symétrique si $a$ l'est, définie positive si $a$ est coercive (théorème 3.5). Des fonctions de base à support local donnent une matrice creuse et bande (définition 3.3): $3 N - 2$ coefficients non nuls en 1D; sur le maillage triangulaire de la plaque, sept positions par ligne dans la structure creuse, mais cinq coefficients non nuls seulement, les couplages diagonaux étant nuls (ch. 8, exemple A.6).

4. Éléments finis unidimensionnels

N_{1} (ξ) = \frac{1 - ξ}{2}, N_{2} (ξ) = \frac{1 + ξ}{2}, x (ξ) = \frac{x _{i} + x _{j}}{2} + \frac{h _{e}}{2} ξ, \frac{d N _{a}}{d x} = \frac{2}{h _{e}} \frac{d N _{a}}{d ξ}

Élément de référence linéaire (4.3)–(4.4), définition 4.2, et règle de dérivation (4.5); en coordonnée physique, $N_{1}^{e} = (x_{j} - x) / h_{e}$ et $N_{2}^{e} = (x - x_{i}) / h_{e}$ (4.1). Un élément est décrit par la et la (premier nœud , second nœud , ; définition 4.1).

k^{e} = \frac{E A}{h _{e}} (1 - 1 - 1 1), f^{e} = \frac{h _{e}}{6} (2 q_{1} + q_{2} q_{1} + 2 q_{2}), f^{e} = \frac{q h _{e}}{2} (11) si q est constant

Théorème 4.1, (4.10)–(4.11), à partir de (4.9). Si $E A$ varie sur l'élément, remplacer $E A$ par sa moyenne $\overline{E A}_{e}$ ; une force $P$ en $ξ_{P}$ contribue $P (N_{1} (ξ_{P}), N_{2} (ξ_{P}))^{T}$ .

K = e \sum Z_{e}^{T} k^{e} Z_{e}, F = e \sum Z_{e}^{T} f^{e} + F_{nod}, v^{T} K d = a (u_{h}, v_{h})

Assemblage (4.12)–(4.13), théorème 4.2, avec la matrice de localisation $Z_{e}$ de la définition 4.3. En pratique: ajouter $k_{ab}^{e}$ en position (nœud global de $a$ , nœud global de $b$ ).

K_{f f} d_{f} = F_{f} - K_{f p} d_{p}, R = K_{p f} d_{f} + K_{pp} d_{p} - F_{p}, K_{k k} \leftarrow K_{k k} + α, F_{k} \leftarrow F_{k} + α \overset{ˉ}{d}

Conditions de Dirichlet par élimination (4.14)–(4.15) et réactions (4.16), lues dans les lignes éliminées; par pénalisation (4.17), définition 4.4, avec $α$ très grand devant les termes de $K$ (erreur relative de l'ordre de $K_{k k} / α$ , et le conditionnement se dégrade).

ε_{e} = \frac{u _{j} - u _{i}}{h _{e}}, σ_{e} = E ε_{e}, N_{e} = \overline{E A}_{e} ε_{e}

Post-traitement (4.18): déformation, contrainte et effort normal constants par élément, les plus précis au milieu de l'élément. Exactitude nodale (théorème 4.3): avec $E A$ constant par élément et la charge intégrée exactement, $u_{h} (x_{k}) = u (x_{k})$ en tout nœud — par la fonction de Green, qui est dans $V_{h}$ ; l'exercice 3.5 en donne la version par l'interpolant. Elle se perd si un saut de section, une interface de matériaux ou une force ponctuelle tombe deux nœuds.

5. Barres et treillis

L_{e} = (x_{j} - x_{i})^{2} + (y_{j} - y_{i})^{2}, c = \frac{x _{j} - x _{i}}{L _{e}}, s = \frac{y _{j} - y _{i}}{L _{e}}, T = (c 0 s 0 0 c 0 s)

Repère local d'une barre $i \to j$ et cosinus directeurs (5.1), définition 5.2; projection des déplacements (5.2) et matrice de passage (5.3). Deux ddl par nœud, $(u_{k x}, u_{k y})$ , dans l'ordre $(u_{i x}, u_{i y}, u_{j x}, u_{j y})$ .

k^{e} = T^{T} k_{loc}^{e} T = \frac{E A}{L _{e}} t t^{T}, t = - c - s c s, k^{e} = \frac{E A}{L _{e}} c^{2} cs - c^{2} - cs cs s^{2} - cs - s^{2} - c^{2} - cs c^{2} cs - cs - s^{2} cs s^{2}

Barre en axes globaux, théorème 5.1, (5.5)–(5.6), avec $k_{loc}^{e}$ de (5.4). Inverser le sens de parcours $i \to j$ change le signe de $c$ et de $s$ , pas la matrice.

N_{e} = \frac{E _{e} A _{e}}{L _{e}} (c (u_{j x} - u_{i x}) + s (u_{j y} - u_{i y})), R = K d - F, d^{T} K d = e \sum \frac{E _{e} A _{e}}{L _{e}} δ_{e}^{2} \geq 0

Effort normal (5.10), positif en traction; réactions (5.11); énergie d'un treillis (5.8), théorème 5.2. Sans appuis, $K$ est singulière: les deux translations et la rotation infinitésimale $u_{k x} = - y_{k}$ , $u_{k y} = x_{k}$ sont des modes à énergie nulle (définition 5.3), et le rang est au plus . est définie positive le treillis appuyé n'a pas de mécanisme (théorème 5.3): un pivot nul signale un mécanisme ou un appui manquant.

N_{e} = \frac{E _{e} A _{e}}{L _{e}} δ_{e} - E_{e} A_{e} α Δ T_{e}, f_{th}^{e} = E_{e} A_{e} α Δ T_{e} - c - s c s, K_{f f} d_{f} = F_{f} - K_{f s} d_{s}

Charge thermique (5.12)–(5.13): un treillis isostatique se dilate sans effort, un treillis hyperstatique non (exemple 5.4). Tassement d'appui imposé $d_{s}$ (5.14).

6. Poutres

θ = w^{'}, M = E I w^{''}, V^{'} = q, M^{'} = V, (E I w^{''})^{''} = q

Conventions (6.1)–(6.4): $w$ et $q$ positifs vers le haut, $θ$ trigonométrique, $M$ positif s'il tend la fibre inférieure, $V$ positif vers le bas sur la face de normale $+ x$ . Avec la convention «flèche vers le bas» de nombreux manuels, $q$ et $w$ changent de signe ensemble et l'équation est la même.

a (w, v) = \int_{0}^{L} E I w^{''} v^{''} d x, ℓ (v) = \int_{0}^{L} q v d x + P v (L) + C v^{'} (L)

Forme faible de la console (6.6), définition 6.1, sur $V = {v \in H^{2} (0, L) : v (0) = v^{'} (0) = 0}$ : conditions essentielles sur $w$ et , sur et . L'énergie fait intervenir : il faut des fonctions , d'où les éléments d'Hermite.

N_{1} N_{3} = \frac{1}{4} (1 - ξ)^{2} (2 + ξ), = \frac{1}{4} (1 + ξ)^{2} (2 - ξ), N_{2} N_{4} = \frac{L _{e}}{8} (1 - ξ)^{2} (1 + ξ), = \frac{L _{e}}{8} (1 + ξ)^{2} (ξ - 1)

Fonctions de forme d'Hermite (6.8), théorème 6.1, dans l'ordre $d^{e} = (w_{1}, θ_{1}, w_{2}, θ_{2})$ (définition 6.2), avec . Courbure avec de (6.9).

k^{e} = \frac{E I}{L _{e}^{3}} 12 6 L_{e} - 12 6 L_{e} 6 L_{e} 4 L_{e}^{2} - 6 L_{e} 2 L_{e}^{2} - 12 - 6 L_{e} 12 - 6 L_{e} 6 L_{e} 2 L_{e}^{2} - 6 L_{e} 4 L_{e}^{2}, f^{e} = q L_{e} /2 q L_{e}^{2} /12 q L_{e} /2 - q L_{e}^{2} /12

Matrice de l'élément de poutre (6.10), théorème 6.2; charges nodales cohérentes d'une charge uniforme (6.12), cas particulier de $f^{e} = \int q N^{T}$ (6.11), définition 6.3. Une force $P$ en $ξ_{P}$ donne $P N (ξ_{P})^{T}$ .

k^{e} d^{e} - f^{e} = (V (x_{1}), - M (x_{1}), - V (x_{2}), M (x_{2}))^{T}

Efforts d'extrémité par l'équilibre de l'élément (6.13), exacts quand les ddl le sont (exercice 6.5). Exactitude nodale (théorème 6.3): avec $E I$ constant par élément et des charges cohérentes exactes, $w_{h}$ et $w_{h}^{'}$ sont exacts en tout nœud. Par dérivation, $M_{h} = E I B d^{e}$ est affine et constant par élément: sous charge uniforme, l'erreur sur le moment vaut aux extrémités et au milieu, celle sur l'effort tranchant — ordres 4, 2 et 1 pour la flèche, le moment et l'effort tranchant.

k_{a} = \frac{E A}{L _{e}}, k_{1} = \frac{12 E I}{L _{e}^{3}}, k_{2} = \frac{6 E I}{L _{e}^{2}}, k_{3} = \frac{4 E I}{L _{e}}, k_{4} = \frac{2 E I}{L _{e}}

k_{loc}^{e} = k_{a} 00 - k_{a} 00 0 k_{1} k_{2} 0 - k_{1} k_{2} 0 k_{2} k_{3} 0 - k_{2} k_{4} - k_{a} 00 k_{a} 00 0 - k_{1} - k_{2} 0 k_{1} - k_{2} 0 k_{2} k_{4} 0 - k_{2} k_{3}

Élément de portique (6.14), ordre $(u_{1}^{'}, v_{1}^{'}, θ_{1}, u_{2}^{'}, v_{2}^{'}, θ_{2})$ en axes locaux — le chapitre 5 notait l'axe local . Rotation (6.15) avec , (l'angle s'appelle ici, étant la rotation), , et (6.16).

7. Éléments d'ordre supérieur et intégration numérique

x (ξ) = a = 1 \sum p + 1 x_{a}^{e} N_{a} (ξ), J (ξ) = \frac{d x}{d ξ}, k_{ab}^{e} = \int_{- 1}^{1} E A \frac{d N _{a}}{d ξ} \frac{d N _{b}}{d ξ} \frac{d ξ}{J}, f_{a}^{e} = \int_{- 1}^{1} q N_{a} J d ξ

Transformation isoparamétrique (7.1), définition 7.1, et intégrales sur l'élément de référence (7.4) par (7.3); en 1D, $J$ est un nombre. Élément linéaire: $J = h_{e} /2$ (7.2).

N_{1} = \frac{ξ ( ξ - 1 )}{2}, N_{2} = 1 - ξ^{2}, N_{3} = \frac{ξ ( ξ + 1 )}{2}

Élément quadratique (7.5), nœuds $- 1$ , $0$ , $1$ dans l'ordre géométrique — le nœud milieu est le nœud 2 en 1D, alors qu'en 2D les sommets passent avant les milieux (définition 10.1). Élément de Lagrange de degré $p$ , nœuds équidistants, $N_{a} (ξ_{b}) = δ_{ab}$ (définition 7.2); fonctions cubiques en (7.6). Partition de l'unité et reproduction des polynômes de degré (théorème 7.1).

k_{p = 2}^{e} = \frac{E A}{3 h} 7 - 8 1 - 8 16 - 8 1 - 8 7, f_{p = 2}^{e} = \frac{q h}{6} 141

k_{p = 3}^{e} = \frac{E A}{40 h} 148 - 189 54 - 13 - 189 432 - 297 54 54 - 297 432 - 189 - 13 54 - 189 148, f_{p = 3}^{e} = \frac{q h}{8} 1331

Matrice et charges de l'élément quadratique (7.7)–(7.8), exemple 7.1, de longueur $h$ et nœud milieu au milieu; élément cubique, juste après l'exemple 7.1. Les charges sont les poids de Simpson et de la règle des trois huitièmes.

\int_{- 1}^{1} g (ξ) d ξ \approx i = 1 \sum n w_{i} g (ξ_{i}), \int_{e} G (x) d x \approx i = 1 \sum n w_{i} G (x (ξ_{i})) J (ξ_{i})

Formule de quadrature et degré d'exactitude (7.9), définition 7.3; transport sur un élément (7.10). Gauss–Legendre à $n$ points: degré d'exactitude $2 n - 1$ , et aucune formule à $n$ points ne fait mieux (théorème 7.2, démontré pour $n = 2$ ; annexe A, théorème A.13).

$n$	points $ξ_{i}$	poids $w_{i}$	degré exact
1	$0$	$2$	1
2	$\pm 1/ 3 = \pm 0, 5773502692$

Combien de points. On compte le degré de l'intégrande sur l'élément de référence, transformation affine: rigidité d'un élément de degré $p$ à $E A$ constant, degré $2 p - 2$ , donc $n = p$ (intégration complète, définition 7.4; réduite: $n = p - 1$ ); masse $\int ρ A N_{a} N_{b}$ , degré , donc points; poutre d'Hermite, deux points. Règle de stabilité: nombre de points × composantes de déformation par point nombre de ddl − nombre de modes rigides, sinon des apparaissent (exercice 7.4). Si n'est pas constant, rend l'intégrande rationnelle et aucune règle n'est exacte.

J (ξ) = \frac{x _{3}^{e} - x _{1}^{e}}{2} + ξ (x_{1}^{e} - 2 x_{2}^{e} + x_{3}^{e}) > 0 sur [- 1, 1] ⟺ x_{1}^{e} + \frac{h}{4} < x_{2}^{e} < x_{3}^{e} - \frac{h}{4}

Jacobien de l'élément quadratique (7.11), théorème 7.3: le nœud milieu doit rester dans la moitié centrale. Condensation statique du nœud intérieur (7.12): $k_{c} = k_{bb} - k_{bi} k_{ib} / k_{ii}$ , . Ordres sur le problème modèle avec des éléments de degré : en énergie, en .

8. Problèmes bidimensionnels

ϕ = - k \nabla u, - \nabla \cdot (k \nabla u) = f dans Ω, - k \frac{\partial u}{\partial n} = \overset{ˉ}{ϕ} sur Γ_{N}, - k \frac{\partial u}{\partial n} = h_{c} (u - u_{\infty}) sur Γ_{R}

Loi de Fourier (8.1), bilan (8.2), équation de la conduction (8.3); problème complet (8.4), définition 8.1, avec $u = g$ sur $Γ_{D}$ et la normale sortante $n$ .

\iint_{Ω} \nabla \cdot F d A = \oint_{\partial Ω} F \cdot n d s, - \iint_{Ω} \nabla \cdot (k \nabla u) v d A = \iint_{Ω} k \nabla u \cdot \nabla v d A - \oint_{\partial Ω} k \frac{\partial u}{\partial n} v d s

Théorème de la divergence dans le plan (8.5), théorème 8.1, et formule de Green (8.6), théorème 8.2 (aussi (A.4)–(A.5), annexe A).

a (u, v) ℓ (v) = \iint_{Ω} k \nabla u \cdot \nabla v d A + \int_{Γ_{R}} h_{c} u v d s, = \iint_{Ω} f v d A - \int_{Γ_{N}} \overset{ˉ}{ϕ} v d s + \int_{Γ_{R}} h_{c} u_{\infty} v d s

Formulation faible de la conduction stationnaire (8.7), définition 8.2, avec $V = {v \in H^{1} : v = 0 sur Γ_{D}}$ et $g = 0$ ; équivalence avec la forme forte pour $u \in C^{2}$ (théorème 8.3); énergie (8.8). Le signe moins devant vient de la convention du flux .

2 A = (x_{2} - x_{1}) (y_{3} - y_{1}) - (x_{3} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}), a_{i} = x_{j} y_{k} - x_{k} y_{j}, b_{i} = y_{j} - y_{k}, c_{i} = x_{k} - x_{j}

N_{i} = L_{i} = \frac{a _{i} + b _{i} x + c _{i} y}{2 A}, \nabla N_{i} = \frac{1}{2 A} (b_{i} c_{i}), k_{ij}^{e} = \frac{k}{4 A} (b_{i} b_{j} + c_{i} c_{j})

Triangle linéaire, sommets dans le sens trigonométrique, $(i, j, k)$ permutation circulaire de $(1, 2, 3)$ : coordonnées d'aire (8.9), définition 8.3; fonctions de forme et gradients (8.10)–(8.11); matrice élémentaire (8.12), théorème 8.4, symétrique, à lignes de somme nulle. Forme angulaire: $k_{ij}^{e} = - \frac{k}{2} cot θ_{k}$ (8.13), et pour un côté intérieur (8.18): les couplages ne sont négatifs que si , le critère de (définition 8.4).

\iint_{T} N_{i} d A = \frac{A}{3}, \iint_{T} N_{i} N_{j} d A = \frac{A}{12} (1 + δ_{ij}), k^{R} = \frac{h _{c} L}{6} (2112), f^{R} = \frac{h _{c} u _{\infty} L}{2} (11)

Intégrales des coordonnées d'aire (8.14), théorème 8.5 (forme générale (A.8), théorème A.14); une source uniforme donne $f A /3$ par nœud; côté convectif de longueur $L$ (8.15). Un flux imposé uniforme $\overset{ˉ}{ϕ}$ sur un côté de longueur $L$ donne $- \overset{ˉ}{ϕ} L /2$ à chacun de ses deux nœuds.

R_{i} = j \sum K_{ij} u_{j} - F_{i} (i \in Γ_{D}), i \in Γ_{D} \sum R_{i} = - \iint_{Ω} f d A

Réactions nodales (8.17) et bilan global exact, théorème 8.6: le flux évacué par les parois se lit dans les réactions, plus précisément que par le gradient d'un élément de bord. Sur la grille de la plaque, l'équation d'un nœud intérieur est le schéma à cinq points $4 u_{13} - u_{8} - u_{12} - u_{14} - u_{18} = h^{2}$ (8.16). Une se traite comme un bord isolé, : condition naturelle, rien à programmer.

9. Élasticité plane

ε = ε_{x} ε_{y} γ_{x y} = \partial u / \partial x \partial v / \partial y \partial u / \partial y + \partial v / \partial x, σ = σ_{x} σ_{y} τ_{x y} = D ε

Déformations (9.1) avec le glissement de l'ingénieur $γ_{x y}$ (le double de $ε_{x y}$ ), ordre de Voigt $(x, y, x y)$ ; équilibre (9.2), traction sur le bord $σ n$ (9.3), loi de Hooke (9.4) avec $G = E / (2 (1 + ν))$ .

D_{σ} = \frac{E}{1 - ν ^{2}} 1 ν 0 ν 10 00 \frac{1 - ν}{2}, D_{ε} = \frac{E}{( 1 + ν ) ( 1 - 2 ν )} 1 - ν ν 0 ν 1 - ν 0 00 \frac{1 - 2 ν}{2}

Contraintes planes (9.5): plaque mince, $σ_{z} = 0$ , $ε_{z} = - \frac{ν}{1 - ν} (ε_{x} + ε_{y})$ . (9.6): section courante d'un corps long, , , tranche m (définition 9.1). Le chapitre écrit les deux matrices ; les indices et sont ceux de ce formulaire.

a (u, v) = \int_{Ω} t ε (v)^{T} D ε (u) d A, ℓ (v) = \int_{Ω} t v^{T} f d A + \int_{Γ_{N}} t v^{T} p d s

Formulation faible (9.7), théorème 9.1 = travaux virtuels; $a (v, v) = 0$ seulement pour un mode rigide, et la coercivité sur $V$ est l'inégalité de Korn (admise).

B = \frac{1}{2 A} b_{1} 0 c_{1} 0 c_{1} b_{1} b_{2} 0 c_{2} 0 c_{2} b_{2} b_{3} 0 c_{3} 0 c_{3} b_{3}, k^{e} = t A B^{T} D B, σ^{e} = D B d^{e}

Triangle à déformation constante (CST), définition 9.2, ddl $(u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}, u_{3}, v_{3})$ , coefficients , du chapitre 8 et : matrice (9.9), rigidité (9.10), théorème 9.2, contraintes constantes par élément (9.13). Le bloc des nœuds , :

k_{ij}^{e} = \frac{t}{4 A} (D_{11} b_{i} b_{j} + D_{33} c_{i} c_{j} D_{12} c_{i} b_{j} + D_{33} b_{i} c_{j} D_{12} b_{i} c_{j} + D_{33} c_{i} b_{j} D_{22} c_{i} c_{j} + D_{33} b_{i} b_{j})

Le CST reproduit exactement les modes rigides et les déformations constantes (théorème 9.3); sa matrice a trois valeurs propres nulles, et il est trop raide en flexion.

f^{e} = \int_{e} t N^{T} f d A + \int_{Γ_{N} \cap \partial e} t N^{T} p d s, f_{i} = \frac{t ℓ}{6} (2 p_{i} + p_{j}), f_{j} = \frac{t ℓ}{6} (p_{i} + 2 p_{j})

Forces nodales cohérentes (9.11), avec $N$ la matrice $2 \times 6$ des fonctions de forme; traction linéaire sur un côté de longueur $ℓ$ (9.12) — ici $ℓ$ n'est pas la forme linéaire. Traction uniforme: $tp ℓ /2$ à chaque nœud; poids propre: un tiers du poids de l'élément par nœud.

σ_{vM} = σ_{x}^{2} - σ_{x} σ_{y} + σ_{y}^{2} + 3 τ_{x y}^{2}

Contrainte de von Mises en contraintes planes (9.14), définition 9.3 (en déformations planes, garder $σ_{z}$ ). Les contraintes d'un CST sont constantes par élément; on les moyenne aux nœuds pour tracer des isovaleurs.

10. Éléments isoparamétriques et familles d'éléments

Éléments de référence (définition 10.1): triangle $\hat{T}$ de sommets $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , d'aire $\frac{1}{2}$ ; carré , d'aire 4. : les sommets dans le sens trigonométrique depuis ou , puis les milieux, celui du côté 1–2 en premier, puis le nœud central. Espaces (degré total) et (degré par variable); un élément est s'il contient , et c'est ce degré qui fixe l'ordre de convergence (définition 10.2).

L_{1} = 1 - ξ - η, L_{2} = ξ, L_{3} = η, N_{a}^{T6} = L_{a} (2 L_{a} - 1), N_{4} = 4 L_{1} L_{2}, N_{5} = 4 L_{2} L_{3}, N_{6} = 4 L_{3} L_{1}

T3 ( $N_{a} = L_{a}$ ) et T6, (10.1)–(10.2), milieux $4 = (\frac{1}{2}, 0)$ , , .

N_{a}^{Q4} = \frac{1}{4} (1 + ξ_{a} ξ) (1 + η_{a} η), N_{1}^{Q9} = \frac{1}{4} ξ η (ξ - 1) (η - 1), N_{5}^{Q9} = \frac{1}{2} (1 - ξ^{2}) η (η - 1), N_{9} = (1 - ξ^{2}) (1 - η^{2})

Q4 (10.3), espace $Q_{1}$ ; Q9 (10.4), produit tensoriel des fonctions quadratiques (7.5), espace $Q_{2}$ , nœud central à fonction bulle.

N_{a}^{Q8} = \frac{1}{4} (1 + ξ_{a} ξ) (1 + η_{a} η) (ξ_{a} ξ + η_{a} η - 1), N_{5} = \frac{1}{2} (1 - ξ^{2}) (1 - η), N_{6} = \frac{1}{2} (1 + ξ) (1 - η^{2})

Serendipity Q8, théorème 10.1, (10.5), espace $S_{2} = Q_{2}$ privé de $ξ^{2} η^{2}$ (définition 10.3); milieux $5 = (0, - 1)$ , , , , et , par symétrie. Charges d'une source uniforme sur un élément non déformé d'aire (exemple 10.1): Q8, par sommet et par milieu; Q9, , , de ; T6, aux sommets et par milieu. La somme des charges vaut toujours .

Élément	Nœuds	Espace	Complet de degré	Monômes en plus
T3	3	$P_{1}$	1	—
T6	6	$P_{2}$	2	—
Q4	4	$Q_{1}$	1	$ξ η$

x = a \sum x_{a} N_{a}, y = a \sum y_{a} N_{a}, J = (\partial x / \partial ξ \partial y / \partial ξ \partial x / \partial η \partial y / \partial η) = a \sum (x_{a} y_{a}) (\frac{\partial N _{a}}{\partial ξ} \frac{\partial N _{a}}{\partial η})

Transformation isoparamétrique (10.6) et matrice jacobienne (10.7), définition 10.4 — même convention que la définition A.2 de l'annexe A. Certains ouvrages et logiciels appellent $J$ la transposée de (10.7); le déterminant est le même, mais la formule suivante s'écrit alors $J^{- 1} \nabla_{ξ} N$ (texte qui suit la définition 10.4).

\nabla_{x} N = J^{- T} \nabla_{ξ} N, J^{- T} = \frac{1}{det J} (\partial y / \partial η - \partial x / \partial η - \partial y / \partial ξ \partial x / \partial ξ), d A = det J d ξ d η

Dérivées et élément d'aire (10.8)–(10.9), théorème 10.2, pour une transformation bijective avec $det J > 0$ . Matrice de conduction sur le carré de référence (10.10):

k_{ab}^{e} = \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} k (J^{- T} \nabla_{ξ} N_{a}) \cdot (J^{- T} \nabla_{ξ} N_{b}) det J d ξ d η

En élasticité, $B = (B_{1} B_{2} B_{3} B_{4})$ avec $B_{a}$ formé de et comme au CST, ddl , et , , n'étant plus constante. Pour un carré et , la matrice du Q4 vaut fois sur la diagonale, entre sommets voisins et entre sommets opposés, indépendante de la taille (texte qui suit (10.10)).

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} g d ξ d η \approx i = 1 \sum n j = 1 \sum n w_{i} w_{j} g (ξ_{i}, ξ_{j}), det J^{Q4} = c_{0} + c_{1} ξ + c_{2} η

Règle de Gauss $n \times n$ (10.11), exacte sur $Q_{2 n - 1}$ ; jacobien du Q4 affine (10.12), théorème 10.3: $det J > 0$ partout si et seulement si le quadrilatère, numéroté dans le sens trigonométrique, est strictement convexe, et $det J (- 1, - 1) = \frac{1}{4} (x_{2} - x_{1}) \land (x_{4} - x_{1})$ .

Élément	Points pour la rigidité (transformation affine)
T3	1 point $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ , poids $\frac{1}{2}$ (exact au degré 1)

Test de la pièce (définition 10.5): un champ affine imposé au bord d'une pièce d'éléments irréguliers doit être reproduit exactement. Les éléments isoparamétriques conformes à jacobien positif le passent (théorème 10.4). Verrouillage (définition 10.6): une contrainte cinématique rend l'élément trop raide; pour le Q4 complet en flexion pure, une couche d'éléments $2 a \times 2 b$ ,

\frac{δ _{Q4}}{δ _{exact}} = \frac{1 - ν ^{2}}{1 + \frac{1 - ν}{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2}}

(10.13), $0, 674$ pour des carrés et $ν = 0, 3$ . Remèdes nommés: intégration réduite (avec ses modes en sablier, définition 10.7), modes incompatibles.

11. Convergence, erreur et maillage

∣ u ∣_{m} = u^{(m)}_{L^{2}}, ∣ u - I_{h} u ∣_{1} \leq \frac{h}{2} ∣ u ∣_{2}, ∥ u - I_{h} u ∥_{L^{2}} \leq \frac{h ^{2}}{4} ∣ u ∣_{2}

Semi-normes $H^{m}$ (11.1), définition 11.1; interpolant affine par morceaux $I_{h} u$ , définition 11.2; estimation d'interpolation des éléments linéaires en 1D (11.2)–(11.3), théorème 11.1 (constante démontrée $\frac{1}{2}$ ; optimale $\frac{1}{π}$ ; asymptotique , exemple 11.1). Par Céa: (11.4).

∥ u - u_{h} ∥_{E} \leq C h^{p} ∣ u ∣_{p + 1}, ∥ u - u_{h} ∥_{L^{2}} \leq C^{'} h^{p + 1} ∣ u ∣_{p + 1}

Estimation a priori des éléments de Lagrange de degré $p$ (11.5)–(11.6), théorème 11.2: problème elliptique symétrique, éléments conformes non dégénérés, quadrature de degré au moins $2 p - 2$ , $u \in H^{p + 1}$ ; le gain d'un ordre en $L^{2}$ exige un problème régulier (intervalle, polygone convexe). En dimension $d$ , $N \sim h^{- d}$ et une erreur en décroît comme .

p_{obs} = \frac{ln ( e _{k} / e _{k + 1} )}{ln ( h _{k} / h _{k + 1} )}, p_{obs} = \frac{ln ( ( u _{2} - u _{1} ) / ( u _{3} - u _{2} ) )}{ln r}, u^{*} \approx u_{3} + \frac{u _{3} - u _{2}}{r ^{p} - 1}

Ordre observé avec une erreur connue (11.7), définition 11.3, et sans elle, sur trois maillages de rapport $r$ , avec l'extrapolation de Richardson (11.8).

u = r^{α} sin (α θ), α = \frac{k π}{ω}, ∥ u - u_{h} ∥_{E} \leq C h^{m i n (p, α)}, μ > \frac{p}{α}

Solutions près d'un coin d'angle $ω$ (11.9), exposant de singularité $α < 1$ et gradient en $r^{α - 1}$ (définition 11.4); ordre $min (p, α)$ sur maillages uniformes, quel que soit $p$ si $α < 1$ , et ordre optimal $N^{- p /2}$ rétabli par un maillage gradué avec (11.10), théorème 11.3. Coin rentrant à 270°: ; fissure: .

θ_{eff} = \frac{η}{∥ u - u _{h} ∥ _{E}}, η_{e} = \frac{h _{e}}{π} ∥ f ∥_{L^{2} (e)}, ∥ u - u_{h} ∥_{E} \leq (e \sum η_{e}^{2})^{1/2}

Indicateur, estimateur, indice d'efficacité (11.11), définition 11.5 (fiable, efficace, asymptotiquement exact); borne garantie en 1D (11.12)–(11.13), théorème 11.4, pour le problème modèle à charge exacte.

η_{K}^{2} = h_{K}^{2} ∥ f + Δ u_{h} ∥_{L^{2} (K)}^{2} + \frac{1}{2} E \subset \partial K \sum h_{E} [\frac{\partial u _{h}}{\partial n}]_{L^{2} (E)}^{2}, η_{e}^{ZZ} = ∥ G - u_{h}^{'} ∥_{L^{2} (e)}

Indicateur de résidu en 2D (11.14), constantes inconnues; reconstruction de Zienkiewicz et Zhu (11.15), avec $G$ la pente continue reconstruite aux nœuds — asymptotiquement exacte, mais aveugle sur un maillage qui rate le phénomène. Boucle adaptative: résoudre, estimer, marquer (Dörfler: les plus grands $η_{e}^{2}$ , en nombre minimal, jusqu'à une fraction $θ$ du total), raffiner. Vérification (résout-on bien les équations?) et validation (résout-on les bonnes?), définition 11.6.

12. Dynamique et problèmes transitoires

M \ddot{d} + K d = F (t), M_{ij} = \int_{0}^{L} ρ A N_{i} N_{j} d x, C \dot{u} + K u = F (t), C_{ij} = \int_{0}^{e} ρ c_{p} N_{i} N_{j} d x

Semi-discrétisation de la barre vibrante (12.1), (12.3)–(12.4) et de la conduction transitoire (12.2), (12.5). $M$ est ici la matrice de masse, et non le moment du chapitre 6 ni la constante de continuité du chapitre 2.

m_{coh}^{e} = \frac{ρ A h _{e}}{6} (2112), m_{conc}^{e} = \frac{ρ A h _{e}}{2} (1001)

Masses cohérente (12.6) et concentrée (12.7), définition 12.1; capacités idem avec $ρ c_{p}$ . Les deux sont symétriques définies positives et de masse totale $\int ρ A$ ; la diagonale concentrée est la somme des lignes de la cohérente (théorème 12.1). Ce n'est plus vrai pour tous les éléments: la somme des lignes du Q8 donne $- \frac{1}{12}$ de la masse aux sommets.

K ϕ = ω^{2} M ϕ, ϕ_{k}^{T} M ϕ_{l} = δ_{k l}, ϕ_{k}^{T} K ϕ_{l} = ω_{k}^{2} δ_{k l}, ω_{k} = \frac{( 2 k - 1 ) π}{2 L} \frac{E}{ρ}

Problème aux valeurs propres généralisé (12.8), définition 12.2 — pulsation $ω$ en rad/s, fréquence $f = ω /2 π$ , période $T = 1/ f$ ; à l'annexe A (théorème A.9), la valeur propre s'appelle $λ = ω^{2}$ . Orthogonalité par rapport à $M$ et à $K$ (12.10), théorème 12.2; superposition modale (12.11). Pulsations exactes de la barre encastrée–libre (12.9).

ω_{h, coh}^{2} = \frac{6 c ^{2}}{h ^{2}} \frac{1 - cos κ _{k} h}{2 + cos κ _{k} h}, ω_{h, conc}^{2} = \frac{4 c ^{2}}{h ^{2}} sin^{2} \frac{κ _{k} h}{2}, κ_{k} = \frac{( 2 k - 1 ) π}{2 L}, c = E / ρ

Pulsations discrètes de la barre sur maillage uniforme (12.12), exercice 12.5. La masse cohérente surestime la fréquence fondamentale (théorème 12.3, par le quotient de Rayleigh); pour la barre linéaire, la concentrée la sous-estime. Les fréquences convergent à l'ordre 2 avec des éléments linéaires, et seules les plus basses sont fiables.

d_{j + 1} = d_{j} + Δ t v_{j} + \frac{Δ t ^{2}}{2} [(1 - 2 β) a_{j} + 2 β a_{j + 1}], v_{j + 1} = v_{j} + Δ t [(1 - γ) a_{j} + γ a_{j + 1}]

Schéma de Newmark (12.13), avec $M a_{j + 1} + K d_{j + 1} = F (t_{j + 1})$ : ordre 2 si et seulement si $γ = \frac{1}{2}$ , inconditionnellement stable si . Accélération moyenne , ; différences centrées , , explicites avec la masse concentrée, stables pour (12.14), inégalité stricte, soit à peu près pour la barre (condition de Courant–Friedrichs–Lewy, exemple 12.3).

(C + θ Δ t K) u^{j + 1} = (C - (1 - θ) Δ t K) u^{j} + Δ t (θ F^{j + 1} + (1 - θ) F^{j})

Schéma $θ$ (12.20), définition 12.3: $θ = 0$ Euler explicite, $θ = \frac{1}{2}$ Crank–Nicolson, $θ = 1$ Euler implicite.

R (z) = \frac{1 - ( 1 - θ ) z}{1 + θ z}, z = λ_{k} Δ t, Δ t \leq \frac{2}{( 1 - 2 θ ) λ _{m a x}} (0 \leq θ < \frac{1}{2}), Δ t \leq \frac{2}{λ _{m a x}} (θ = 0)

Stabilité du schéma $θ$ , théorème 12.4, (12.21), avec $λ_{m a x}$ la plus grande valeur propre de $K ψ = λ C ψ$ (12.18): inconditionnelle pour $θ \geq \frac{1}{2}$ ; mais Crank–Nicolson a pour les grands et laisse osciller les modes raides, ce qu'Euler implicite amortit.

Question B.1

Un élément serendipity Q8 carré de 2 m de côté, non déformé, est le siège d'une source de chaleur uniforme $s = 300$ W/m². Quelle charge nodale cohérente, en W, reçoit chacun de ses sommets?

Question B.2

Un modèle de conduction transitoire a pour plus grande valeur propre $λ_{m a x} = 400 s^{- 1}$ (problème $K ψ = λ C ψ$ ). Quel est le plus grand pas de temps, en secondes, pour lequel le schéma $θ$ avec $θ = 1/4$ est stable?

Question B.3

Avec la matrice jacobienne $J$ du cours, dont les colonnes sont $\partial x / \partial ξ$ et $\partial x / \partial η$ , comment obtient-on le gradient physique $\nabla_{x} N$ d'une fonction de forme à partir de $\nabla_{ξ} N$ ?

Les problèmes de référence du cours, rassemblés

Ces valeurs sont communes à tous les chapitres qui les utilisent; elles ont été recalculées pour ce formulaire. Les données de chaque autre exemple restent propres à son chapitre.

Problème modèle (ch. 1 à 4, 7, 11): $- u^{''} = π^{2} sin π x$ sur $(0, 1)$ , $u (0) = u (1) = 0$ , $u = sin π x$ , . Éléments linéaires, maillage uniforme de éléments, charge intégrée exactement, . Avec : , et pour le système est avec la charge de référence, .

$n$	erreur nodale max	$∥ u - u_{h} ∥_{E}$	rapport	$∥ u - u_{h} ∥_{L^{2}}$

Nœuds exacts à l'arrondi près (théorème 4.3), ordre 1 en énergie, ordre 2 en $L^{2}$ .

Barre étagée en acier (ch. 4, 5): encastrée en $x = 0$ ; $L_{1} = 1, 2$ m, $A_{1} = 600$ mm²; $L_{2} = 0, 8$ m, mm²; GPa; 20 kN au nœud 2 et 40 kN au nœud 3, vers .

Grandeur	Valeur	Où
Rigidités	$k_{1} = 1, 05 \cdot 1 0^{8}$ N/m, $k_{2} = 7, 875 \cdot 1 0^{7}$ N/m

Deux éléments donnent la solution exacte: l'effort normal exact est constant par segment.

Treillis à trois barres (ch. 5, annexe A): nœuds 1 $(0, 0)$ articulé, 2 $(4, 0)$ m sur rouleau ( $u_{2 y} = 0$ ), 3 $(0, 3)$ m libre; barres 1–2, 2–3, 1–3; $E = 210$ GPa, $A = 1000$ mm², kN; au nœud 3, kN et kN.

Grandeur	Valeur	Où
Déplacements	$u_{2 x} = 0, 3810$ mm; $u_{3 x} = 0, 9643$ mm, $u_{3 y} = - 0, 2143$ mm

Isostatique: les efforts ne dépendent pas de $E A$ et se vérifient par la méthode des nœuds (exemple 5.3).

Poutre console (ch. 6, 7): encastrée en $x = 0$ , $L = 3$ m, $E I = 4000$ kN·m² (section fictive); $P = 10$ kN en bout et $q = 5$ kN/m, tous deux vers le bas — $P = - 10$ kN et kN/m avec la convention du chapitre 6.

Grandeur	Valeur	Où
Flèche en bout	$\frac{P L ^{3}}{3 E I} + \frac{q L ^{4}}{8 E I} = 22, 5 + 12, 656 = 35, 156$ mm vers le bas

Un seul élément d'Hermite donne la flèche et la rotation nodales exactes; la flèche entre les nœuds sous $q$ ne l'est pas (exemple 6.2).

Plaque carrée (ch. 8, 10, 11): $- Δ u = 1$ sur $(0, 1)^{2}$ , $u = 0$ au bord, $u (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = 0, 0736713533$ . Triangles linéaires sur une grille , diagonales du coin inférieur gauche au coin supérieur droit, charge par nœud.

$N$	inconnues	$u_{h} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Ordre 2 au centre, approché par en dessous. Interprétation thermique (ch. 8): plaque chauffée uniformément, parois à température imposée, en variables sans dimension.

2	$\approx 1 0^{- 16}$	0,96685	—	$1, 509 \cdot 1 0^{- 1}$	—
4	$\approx 1 0^{- 16}$	0,49851	1,939	$3, 928 \cdot 1 0^{- 2}$	3,841
8	$\approx 1 0^{- 16}$	0,25118	1,985	$9, 921 \cdot 1 0^{- 3}$	3,960
16	$\approx 1 0^{- 15}$	0,12583	1,996	$2, 487 \cdot 1 0^{- 3}$	3,990
32	$\approx 1 0^{- 14}$	0,06295	1,999	$6, 220 \cdot 1 0^{- 4}$	3,997

2	1	0,0625 $(= 1/16)$	$1, 117 \cdot 1 0^{- 2}$	—
4	9	0,0703125 $(= 9/128)$	$3, 359 \cdot 1 0^{- 3}$	3,33
8	49	0,0727826 $(= 1267/17408)$	$8, 887 \cdot 1 0^{- 4}$	3,78
16	225	0,0734458	$2, 256 \cdot 1 0^{- 4}$	3,94