Tables statistiques

Cette annexe rassemble les quatre tables dont le cours se sert: la fonction de répartition $\Phi$ de la loi normale centrée réduite, puis les quantiles des lois de Student, du khi-deux et de Fisher. Elle est faite pour être consultée, pas lue d'un bout à l'autre — mais les paragraphes qui accompagnent chaque table méritent une lecture, parce qu'ils disent par quelle porte on entre et avec quelle précision on a le droit de lire.

Un avertissement de convention avant toute chose. Dans tout ce cours, un quantile est indexé par son ordre, c'est-à-dire par l'aire qu'il laisse à sa gauche:

Ainsi $z_{0,975}=1,9600$ et $t_{39;0,975}=2,0227$. Une partie de la littérature indexe au contraire par l'aire à droite et écrit $z_{0,025}$ le même . Les nombres ne changent pas, l'indice change; toutes les tables de cette annexe suivent (A.1) sans exception.

Pourquoi des tables, alors que tout ordinateur sait calculer

La question est légitime: aucune des quatre lois n'a de fonction de répartition élémentaire, mais toutes sont implémentées dans le moindre tableur et dans toute bibliothèque scientifique. Pourquoi imprimer encore des colonnes de chiffres?

D'abord parce qu'une table est un objet de pensée. Lire une ligne de la table de Student, c'est voir les $t_{\nu ;0,975}$ descendre de $12,706$ à $1,9600$ quand $\nu$ va de 1 à l'infini, et comprendre du même coup que la loi de Student est la loi normale corrigée du coût de l'estimation de $\sigma$. Un appel de fonction ne montre jamais cela: il rend un nombre isolé, sans ses voisins. Les deux colonnes extrêmes d'une table sont une démonstration visuelle.

Ensuite parce qu'une table protège des erreurs de convention. La faute la plus fréquente en statistique appliquée n'est pas un arrondi, c'est un facteur 2 sur le risque: un quantile unilatéral employé dans un test bilatéral, ou l'inverse. Une table dont l'en-tête dit «aire à gauche» oblige à formuler ce que l'on cherche avant de le chercher. Les fonctions des tableurs, dont les unes prennent l'aire à gauche et les autres l'aire à droite, ne l'obligent pas — et la confusion se lit tous les jours dans des rapports professionnels.

Enfin parce qu'un examen se passe sans machine. Un tableau de nombres est un outil autorisé partout, et savoir s'en servir fait partie du métier. Retenez cependant la hiérarchie honnête: la table sert à contrôler, à comprendre et à composer; le calcul exact, lui, se fait avec la fonction de répartition elle-même. Quand les deux divergent, c'est la table qui a tort, parce qu'elle a été arrondie.

Comment ces tables ont été produites

Aucune valeur de cette annexe n'a été recopiée d'un ouvrage. Toutes ont été calculées par un programme Python n'utilisant que la bibliothèque standard — ni scipy ni numpy, qui ne sont pas supposés disponibles — selon le schéma suivant.

Les quantiles sont ensuite obtenus par bissection sur la fonction de répartition, poussée jusqu'à une largeur d'intervalle relative de $10^{-12}$; les développements en fraction continue sont itérés jusqu'à une variation relative de $3\cdot 10^{-16}$, c'est-à-dire la précision de la double précision. L'erreur des valeurs imprimées est donc entièrement celle de l'arrondi d'affichage: une demi-unité du dernier chiffre écrit, et rien d'autre.

Les deux lignes «$\infty$» ne sont pas des extrapolations. Pour Student, $t_{\infty ;\gamma }=z_{\gamma }$ exactement, puisque $t_{\nu }\to \mathcal{N}(0,1)$. Pour Fisher, on utilise les identités exactes

qui découlent de $F_{{\nu }_1,{\nu }_2}=({\chi }_{{\nu }_1}^2/{\nu }_1)/({\chi }_{{\nu }_2}^2/{\nu }_2)$ et de la convergence en probabilité de vers 1.

Table de la loi normale centrée réduite

La table donne $\Phi (z)=\mathbb{P}(Z\le z)$ pour $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$, de $z=0,00$ à $z=3,49$ par pas de , à quatre décimales. : la case (ligne , colonne ) est .

Les valeurs négatives sont absentes parce qu'elles sont inutiles: la densité $\phi$ étant paire,

Onze colonnes de quatre décimales ne tiennent pas dans la largeur d'une colonne de lecture: la table est donc coupée en deux moitiés de cinq colonnes, la première pour les centièmes $0,00$ à $0,04$, la seconde pour $0,05$ à $0,09$. Les lignes sont les mêmes des deux côtés; on choisit la moitié d'après le deuxième chiffre après la virgule.

Centièmes 0,00 à 0,04

Centièmes 0,05 à 0,09

Au-delà de $z=3,49$ la table s'arrête, non par paresse mais parce qu'elle n'y sert plus à rien: $\Phi (3,49)=0,9998$ et toutes les cases suivantes s'arrondiraient à $1,0000$. Pour les queues lointaines, retenez $1-\Phi (4)=3,17\cdot 10^{-5}$ et , et calculez-les plutôt que de les lire.

Les quantiles usuels

La table lue à l'envers donne les quantiles. Les six ordres qui reviennent sans cesse:

Le trio à retenir est $1,645$ (test unilatéral à $5\%$), $1,960$ (intervalle bilatéral à $95\%$) et $2,576$ (intervalle bilatéral à $99\%$). Notez que $z_{0,999}=3,0902$ est le seuil «trois sigma» à une queue, et celui de la règle des .

Comment lire cette table

Table de la loi de Student

La table donne les quantiles $t_{\nu ;\gamma }$ définis par $\mathbb{P}(T_{\nu }\le t_{\nu ;\gamma })=\gamma$. Pour un intervalle de confiance ou un test de niveau , la colonne à employer est — donc pour , et non . Pour un test de niveau , c'est .

La loi de Student est symétrique, d'où $t_{\nu ;1-\gamma }=-t_{\nu ;\gamma }$: les ordres inférieurs à $1/2$ s'obtiennent en changeant le signe, exactement comme pour la loi normale.

La dernière ligne est la loi normale: $t_{\infty ;\gamma }=z_{\gamma }$. Elle rend visible ce que la loi de Student coûte. À $\nu =1$, le quantile bilatéral à $95\%$ vaut $12,706$, soit six fois et demie ; à il ne vaut plus que , à au-dessus; à , , à . , ce qui est le prix décroissant de l'estimation de .

Comment lire cette table

Table de la loi du khi-deux

La table donne les quantiles ${\chi }_{\nu ;\gamma }^2$ définis par $\mathbb{P}({\chi }_{\nu }^2\le {\chi }_{\nu ;\gamma }^2)=\gamma$.

La loi du khi-deux vit sur $\left]0,+\infty \right[$ et n'est pas symétrique: il n'existe aucune relation du type ${\chi }_{\nu ;1-\gamma }^2=-{\chi }_{\nu ;\gamma }^2$, et les deux queues doivent donc être tabulées séparément. C'est pourquoi la table porte six colonnes, trois basses et trois hautes: un intervalle de confiance bilatéral pour une variance demande , deux nombres sans rapport l'un avec l'autre.

Les deux premières cases de la table sont écrites à cinq décimales et perdent des chiffres significatifs: les valeurs exactes sont ${\chi }_{1;0,005}^2=0,0000393$, ${\chi }_{1;0,025}^2=0,000982$ et . Elles servent rarement.

Comment lire cette table

Table de la loi de Fisher

La table donne les quantiles $F_{{\nu }_1,{\nu }_2;\gamma }$ définis par $\mathbb{P}(F_{{\nu }_1,{\nu }_2}\le F_{{\nu }_1,{\nu }_2;\gamma })=\gamma$, où est le degré de liberté du et celui du . — l'ordre des deux indices n'est pas commutatif, et c'est la source d'erreur numéro un de cette table: tandis que .

Une table de Fisher a trois entrées et ne tient pas sur une page. Avec deux degrés de liberté et un ordre, il faudrait un volume. L'usage est donc de fixer l'ordre et de n'imprimer que les deux degrés de liberté; nous donnons ici $\gamma =0,95$, puis une table plus courte à $\gamma =0,975$. Même ainsi, la grille complète des quinze colonnes demandées déborderait largement la largeur de lecture: nous la coupons en deux moitiés, ${\nu }_1=1$ à $6$ puis ${\nu }_1=7$ à l'infini, qui se lisent ligne par ligne comme une seule table.

Quantiles d'ordre 0,95, première moitié: ${\nu }_1=1$ à $6$

Quantiles d'ordre 0,95, seconde moitié: ${\nu }_1=7$ à l'infini

Quantiles d'ordre 0,975

Cette seconde table sert aux tests bilatéraux à $5\%$ sur un rapport de variances, où chaque queue reçoit $2,5\%$. Elle est volontairement plus courte.

La relation de réciprocité, ou comment retrouver la queue manquante

Les tables de Fisher n'impriment jamais les ordres bas ($0,05$, $0,025$), et ce n'est pas un oubli: ils s'en déduisent. Si $F\sim F_{{\nu }_1,{\nu }_2}$, alors $1/F\sim F_{{\nu }_2,{\nu }_1}$, puisque le rapport devient son propre inverse quand on échange les deux lois. En passant aux quantiles, l'inversion retourne l'ordre:

Démonstration. Posons $q=F_{{\nu }_2,{\nu }_1;1-\gamma }$, de sorte que $\mathbb{P}(1/F\le q)=1-\gamma$ avec . Comme est presque sûrement strictement positive, , donc , c'est-à-dire (la loi étant continue), c'est-à-dire .

Ainsi le quantile d'ordre $0,05$ de $F_{5,10}$, absent de nos tables, se lit à l'envers: $F_{10,5;0,95}=4,74$ (seconde moitié, colonne ${\nu }_1=10$, ligne ), donc

contre $0,21119$ par bissection: l'écart vient uniquement des deux décimales de la table.

Comment lire cette table

Interpoler entre deux lignes

Les tables de quantiles sautent des lignes: après $\nu =30$ viennent $40$, $50$, $60$. Or le fil rouge de ce cours travaille sur $n=40$, donc $\nu =39$. Que faire?

La règle de sécurité d'abord. Si vous ne voulez pas interpoler, prenez la ligne inférieure en degrés de liberté — ici $\nu =30$. Les quantiles de Student et du khi-deux (colonne haute) décroissent avec $\nu$, si bien que la ligne inférieure donne un quantile plus grand, donc un intervalle plus large et un test plus difficile à faire rejeter. L'erreur est alors conservatrice: vous annoncez moins que ce que vos données permettent, jamais plus. Prendre la ligne supérieure fait l'inverse, et c'est une faute.

L'interpolation linéaire en $\nu$ est le réflexe naturel, et elle est acceptable:

contre $2,0227$ exactement: cinq dix-millièmes d'écart, soit $0,02\%$.

L'interpolation linéaire en $1/\nu$ est nettement meilleure, et elle ne coûte presque rien. La raison est le développement asymptotique de la loi de Student: l'excès $t_{\nu ;\gamma }-z_{\gamma }$ décroît comme $1/\nu$, si bien que $t_{\nu ;\gamma }$ est presque une fonction affine de , et pas du tout de . Avec , et , le poids est

d'où

On retrouve la valeur exacte à $10^{-5}$ près. C'est cette valeur que les chapitres 11 et 12 emploient pour l'intervalle $[19,9852;20,0203]$ mm et pour le test de la machine A.

Le khi-deux se comporte moins bien, parce que ses quantiles croissent à peu près linéairement en $\nu$ mais avec une courbure non négligeable. L'interpolation linéaire en $\nu$ donne

contre $23,654$ et $58,120$ exactement — une erreur relative de $6\cdot 10^{-4}$. Reportée dans l'intervalle de confiance pour la variance de l'échantillon A, elle donne $[0,0020204;0,0049600]$ au lieu de $[0,0020199;0,0049631]$: identique aux trois premiers chiffres significatifs, ce qui est amplement suffisant.

Pour la loi de Fisher, interpolez en $1/{\nu }_1$ ou $1/{\nu }_2$, pour la même raison que pour Student. Sur l'exemple A.4, avec $\theta =(1/12-1/14)/(1/12-1/15)=0,7143$,

contre $3,3588$: quatre dix-millièmes, alors que la table elle-même n'est écrite qu'à deux décimales.

Références

• Ross, S., Initiation aux probabilités, PPUR, Lausanne — définitions des lois de Student, du khi-deux et de Fisher et de leurs quantiles.
• Morgenthaler, S., Introduction à la statistique, PPUR, Lausanne — usage des tables dans un cours d'école polytechnique.
• Saporta, G., Probabilités, analyse des données et statistique, Technip, Paris — tables et intervalles pour la variance et la proportion.
• Dodge, Y., Statistique — dictionnaire encyclopédique, Springer — entrées «table statistique», «quantile» et «degré de liberté», avec les deux conventions d'indexation.
• Press, W. H. et al., Numerical Recipes, Cambridge University Press — fraction continue de Lentz pour les fonctions bêta et gamma incomplètes, qui est l'algorithme employé ici.
• Abramowitz, M. & Stegun, I. A., Handbook of Mathematical Functions, Dover — approximations classiques de la fonction d'erreur et des fonctions incomplètes.