Variables aléatoires continues

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

expliquer pourquoi une grandeur mesurée en continu ne peut pas être décrite par une loi discrète, et reconnaître la densité comme la limite d'un histogramme dont les classes rétrécissent;
manipuler la fonction de répartition d'une variable continue, en tirer la conséquence centrale que tout point est de probabilité nulle, et en déduire que les inégalités strictes et larges y donnent la même probabilité;
calculer une constante de normalisation, une probabilité comme aire, une espérance, une variance et un moment par intégration, et discuter la convergence de ces intégrales;
reconnaître une loi qui n'a pas d'espérance — la loi de Cauchy — et dire ce que cela signifie pour une moyenne d'observations;
déterminer les quantiles d'une loi continue, notamment la médiane et les quartiles, en lisant la densité ou en inversant la fonction de répartition;
déterminer la loi de $Y = g (X)$ par la méthode de la fonction de répartition puis, lorsque $g$ est monotone, par la formule du changement de variable, et simuler une loi quelconque à partir d'un tirage uniforme.

De l'histogramme à la densité

Pourquoi le discret ne suffit plus

Le chapitre 3 a construit toute la théorie des variables aléatoires discrètes autour d'un objet unique: la fonction $k \mapsto P (X = k)$ , définie sur un ensemble de valeurs fini ou dénombrable, positive et de somme $1$ . Tout en découlait: la fonction de répartition en escalier, l'espérance comme somme pondérée, la variance, les lois usuelles du chapitre 4.

Essayons de faire de même pour une grandeur mesurée en continu — le temps d'attente à un guichet, le diamètre d'un axe usiné, la tension d'une pile, la durée de vie d'un roulement. Le temps d'attente d'un client peut valoir $1, 2$ minute, $1, 23$ minute, $1, 2317 \dots$ minute; l'ensemble des valeurs possibles est un intervalle de $R$ , qui n'est pas dénombrable. Supposons un instant que la description discrète soit encore possible et que $P (X = x) = p_{x}$ pour chaque d'un intervalle .

Deux cas se présentent, et aucun n'est acceptable. Si tous les $p_{x}$ sont nuls, la fonction $x \mapsto p_{x}$ ne contient plus aucune information: elle ne distingue pas une attente typique d'une minute d'une attente typique d'une heure. Si au contraire un nombre infini de valeurs porte une probabilité strictement positive, disons $p_{x} \geq 1/ n$ pour parcourant un ensemble , alors contient au plus éléments (sans quoi la somme des probabilités d'éléments deux à deux distincts dépasserait ), et l'ensemble est une réunion dénombrable d'ensembles finis: il est dénombrable. Autrement dit, une variable aléatoire ne peut charger qu'un ensemble de points. Si nous voulons que la probabilité soit répartie sur tout un intervalle sans privilégier aucun point, il faut renoncer à comme objet de base.

Ce n'est pas une difficulté technique, c'est un changement de point de vue. En physique, la même chose s'est produite avec la masse: on ne décrit pas une barre homogène par la masse de chacun de ses points (elle est nulle), mais par une masse linéique $ρ (x)$ , et la masse d'un tronçon est $\int_{a}^{b} ρ (x) d x$ . La densité de probabilité jouera exactement ce rôle, et l'analogie mécanique — masse totale $1$ , centre de gravité, moment d'inertie — restera fidèle jusqu'au bout du chapitre.

L'histogramme et son passage à la limite

Comment fabriquer cette densité à partir de données? Reprenons la démarche de la statistique descriptive. On dispose de $n$ observations $x_{1}, \dots, x_{n}$ d'une même grandeur. On découpe l'axe en classes de largeur $h$ , on compte l'effectif $n_{j}$ de chaque classe, et l'on trace un histogramme.

Le point délicat est le choix de l'échelle verticale. Si l'on porte l'effectif $n_{j}$ , les hauteurs dépendent de $n$ et de $h$ : en divisant $h$ par deux, on divise les effectifs par deux environ, et l'histogramme s'écrase. Portons plutôt la hauteur de densité

d_{j} = \frac{n _{j}}{n h} . (5.1)

L'aire de la barre $j$ vaut alors $h \cdot d_{j} = n_{j} / n$ , c'est-à-dire la fréquence de la classe. L'aire totale de l'histogramme vaut donc $1$ , quelle que soit la largeur de classe, et l'aire d'un groupe de barres est la fréquence des observations qui y tombent. C'est cette convention — et elle seule — qui permet de comparer des histogrammes de finesses différentes.

Sur la figure 5.1, le premier panneau ne montre qu'une silhouette très grossière; le deuxième laisse deviner un sommet vers $1$ minute et une décroissance lente; le troisième, malgré le bruit d'échantillonnage inévitable sur $1000$ observations, épouse une courbe bien identifiable. Deux limites se superposent en réalité: celle où l'effectif $n$ tend vers l'infini, qui remplace les fréquences par des probabilités (c'est la loi des grands nombres, chapitre 8), et celle où la largeur $h$ tend vers $0$ , qui remplace l'escalier par une courbe. La courbe obtenue au bout de ces deux passages est la densité de probabilité de la variable.

Retenons dès maintenant la propriété qui en fait tout l'intérêt: sur un histogramme en échelle de densité, une probabilité est une aire. Cette phrase, lue une première fois, semble anodine; elle est en fait le cœur du chapitre, et c'est elle qu'il faudra avoir en tête chaque fois qu'apparaîtra une intégrale.

La fonction de répartition d'une variable continue

Définition et propriétés générales

La fonction de répartition, elle, garde exactement le même sens que dans le cas discret. C'est l'objet commun aux deux mondes, et c'est pourquoi nous commençons par elle.

Démonstration. Pour 1, si $a \leq b$ alors ${X \leq a} \subset {X \leq b}$ et la croissance de la probabilité (chapitre 1) donne $F_{X} (a) \leq F_{X} (b)$ . Pour 4, les événements et sont disjoints et leur réunion est ; l'additivité donne .

Les points 2, 3 et 5 reposent sur la continuité monotone de la probabilité, démontrée au chapitre 1: si $(B_{n})$ décroît vers $B$ , alors $P (B_{n}) \to P (B)$ . Pour 3, prenons $B_{n} = {X \leq x + 1/ n}$ , suite décroissante d'intersection : donc , ce qui est la continuité à droite. Pour 5, prenons , suite décroissante d'intersection : donc . Le point 2 s'obtient de même avec qui décroît vers et qui croît vers . La réciproque, qui construit la loi à partir de , relève de la théorie de la mesure et est admise ici.

Le point 5 mérite qu'on s'y arrête. Au chapitre 3, la fonction de répartition d'une variable discrète était un escalier: constante entre deux valeurs possibles, elle sautait de $P (X = k)$ à chaque valeur $k$ . Les sauts sont la loi. Si nous voulons qu'aucun point ne soit privilégié, il faut donc une fonction de répartition sans saut, c'est-à-dire continue.

Démonstration. Le point 5 du théorème 5.1 donne $P (X = x) = F_{X} (x) - F_{X} (x^{-}) = 0$ puisque est continue. Les quatre probabilités de (5.2) diffèrent alors au plus des deux événements et , de probabilité nulle; par additivité elles sont donc égales, et la quatrième vaut par le point 4.

Probabilité nulle ne veut pas dire impossible

C'est le premier grand changement de régime du cours, et il heurte l'intuition construite au chapitre 3.

Un événement impossible est l'ensemble vide: il ne se réalise dans aucune situation. Un événement de probabilité nulle peut parfaitement se réaliser. Lorsque vous attendez au guichet, une durée d'attente se produit bel et bien: l'événement «l'attente vaut exactement cette durée-là» s'est réalisé, et il était de probabilité nulle. Ce qui est nul, ce n'est pas la possibilité, c'est le poids: sur un continuum de valeurs, chaque valeur individuelle pèse zéro, exactement comme un point d'une barre homogène a une masse nulle sans que la barre soit vide.

Deux conséquences pratiques:

les inégalités strictes et larges donnent la même probabilité pour une variable continue, par (5.2). Écrire $P (X \leq 2)$ ou $P (X < 2)$ revient au même. C'est l'inverse exact de ce qui se passait au chapitre 3, où $P (X \leq 2)$ et diffèrent de , souvent le terme le plus gros de la somme. Ne transportez pas mécaniquement d'un chapitre à l'autre une habitude qui y était juste;

Question 5.1

Soit $X$ une variable aléatoire continue de fonction de répartition $F$ . Laquelle de ces affirmations est FAUSSE?

La densité

Définition

La continuité de $F_{X}$ interdit les sauts, mais elle ne suffit pas à rendre le calcul praticable: il existe des fonctions de répartition continues et pourtant non dérivables presque partout, comme l'escalier de Cantor, qui ne se décrivent par aucune densité. Nous nous restreignons donc à la classe — largement suffisante pour ce cours et pour la pratique — des variables dont la fonction de répartition est une intégrale.

Une variable à densité est continue: le théorème fondamental de l'analyse (Analyse I, chapitre 10) assure que l'intégrale de (5.3) est une fonction continue de sa borne supérieure. La réciproque est fausse, mais toutes les lois de ce cours et du chapitre 6 sont à densité.

La densité s'obtient par dérivation. En tout point $x$ où $f_{X}$ est continue, le théorème fondamental de l'analyse donne

F_{X}^{'} (x) = f_{X} (x) . (5.4)

Aux points de discontinuité de $f_{X}$ — typiquement les bornes d'un intervalle, où la densité tombe brutalement à zéro — la fonction $F_{X}$ peut ne pas être dérivable, et la valeur qu'on y attribue à $f_{X}$ est libre: deux densités qui diffèrent en un nombre fini de points donnent la même intégrale, donc la même loi. On dit qu'une densité est définie à un ensemble négligeable près. En pratique, on choisit la formule la plus lisible et l'on ne s'inquiète pas des bornes.

Démonstration. Si $f$ vérifie (5.5), la fonction $F (x) = \int_{- \infty}^{x} f$ est croissante (l'intégrale d'une fonction positive croît avec sa borne supérieure), continue, de limite $0$ en $- \infty$ et $1$ en $+ \infty$ : c'est une fonction de répartition par la réciproque du théorème 5.1. Inversement, si est une densité de , sa positivité est requise par la définition et . Enfin (5.6) résulte de (5.2) et de la relation de Chasles: .

La figure 5.2 dit visuellement ce que (5.6) dit algébriquement: $F_{X}$ est une primitive de $f_{X}$ , donc l'aire sous la densité entre deux abscisses est l'accroissement de $F_{X}$ entre ces deux abscisses. C'est le théorème fondamental de l'analyse, appliqué à une situation où il porte un sens probabiliste. Tout le calcul des probabilités continues tient dans cette phrase.

Un exemple complet: une densité triangulaire

Question 5.2

Pour le temps d'attente de l'exemple 5.1, calculez $P (0, 5 \leq X \leq 1, 5)$ .

Explorateur 5.1 · Explorateur: l’aire sous la densité est une probabilité

Loi triangulaire sur [0, 3] de mode m (temps d'attente fictif, en minutes). Déplacez les bornes a et b, puis le mode m. L'aire hachurée est calculée par une quadrature de Simpson, et F(b) − F(a) par les primitives exactes: les deux nombres sont obtenus indépendamment et coïncident, au reste de quadrature près. La hauteur maximale de la densité, elle, ne bouge jamais.

Borne a0,80min

Borne b2,00min

Mode m1,0min

Aire hachurée (Simpson, 2000 pas)

0,6200

F(b) − F(a) (primitives exactes)

0,6200

Écart (erreur de quadrature)

1,1 × 10⁻¹⁶

Hauteur maximale f(m)

0,6667

Espérance E[X] = (0 + m + 3)/3

1,333min

Médiane

1,268min

L'explorateur ci-dessus calcule deux fois la même probabilité, et par deux chemins volontairement indépendants: d'un côté l'aire hachurée, obtenue par une quadrature numérique de Simpson à $2000$ pas; de l'autre la différence $F_{X} (b) - F_{X} (a)$ , obtenue par les primitives exactes. Les deux nombres coïncident, et le readout d'écart dit à quel prix: il est nul à l'arrondi machine près, de l'ordre de $1 0^{- 16}$ , tant que l'intervalle ne franchit pas le sommet de la densité — la méthode de Simpson est exacte sur une fonction linéaire — et il monte à quelques unités du septième chiffre décimal lorsque l'intervalle enjambe le point anguleux, que la quadrature ne sait pas franchir sans erreur. C'est l'ordre de grandeur d'une erreur de quadrature, non celui d'un désaccord: l'aire et la probabilité sont bien la même chose. Observez aussi le readout qui : quelle que soit la position du mode, la hauteur maximale de la densité reste , parce que l'aire du triangle, elle, doit rester . Déplacer le mode déforme la loi sans changer sa hauteur; c'est la contrainte de normalisation qui l'impose.

Espérance, variance et théorème de transfert

L'espérance

Dans le cas discret, $E [X] = \sum_{k} k P (X = k)$ : une moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités. Le passage au continu remplace la somme par une intégrale et la probabilité ponctuelle par $f_{X} (x) d x$ .

La condition de convergence n'est pas une précaution d'écriture. Elle porte sur $∣ x ∣ f_{X} (x)$ et non sur $x f_{X} (x)$ , exactement comme la sommabilité d'une série exige la convergence absolue (Analyse I, chapitre 4): sans elle, la valeur de l'intégrale dépendrait de la manière dont on fait tendre les bornes vers l'infini, et une «espérance» qui dépend de l'ordre des calculs n'est pas une grandeur. Nous verrons au paragraphe suivant que cette situation n'est pas une curiosité de manuel.

Lorsque la densité est nulle hors d'un intervalle borné $[α, β]$ , la question ne se pose pas: $∣ x ∣ f_{X} (x)$ est intégrable sur un compact dès qu'elle est bornée, et $E [X] = \int_{α}^{β} x f_{X} (x) d x$ existe toujours.

L'interprétation mécanique est exacte: si l'on répartit sur l'axe une masse totale $1$ avec la densité linéique $f_{X}$ , alors $E [X]$ est l'abscisse du centre de gravité. Une densité symétrique autour de $μ$ dont l'espérance existe a donc pour espérance $μ$ , et la démonstration tient en une ligne: le changement de variable $x = μ + u$ donne $\int (x - μ) f_{X} (x) d x = \int u f_{X} (μ + u) d u$ , intégrale d'une fonction impaire convergente, donc nulle.

Le théorème de transfert

Comment calculer $E [X^{2}]$ , ou $E [e^{X}]$ , sans passer par la loi de $X^{2}$ ou celle de $e^{X}$ ? La réponse est la même qu'au chapitre 3.

Démonstration (cas monotone). Le cas général demande la théorie de la mesure et est admis; mais le cas où $g$ est de classe $C^{1}$ et strictement croissante sur un intervalle contenant les valeurs de $X$ se traite avec les seuls outils d'Analyse I, et il contient toute l'idée. Nous verrons au théorème 5.6 que $Y = g (X)$ a alors pour densité $f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) (g^{- 1})^{'} (y)$ sur . Donc, par la définition (5.7) appliquée à ,

E [Y] = \int_{g (I)} y f_{X} (g^{- 1} (y)) (g^{- 1})^{'} (y) d y .

Le changement de variable $y = g (x)$ , licite car $g$ est un $C^{1}$ -difféomorphisme (Analyse I, chapitre 11), transforme $d y$ en $g^{'} (x) d x$ et $(g^{- 1})^{'} (y)$ en ; les deux se simplifient et il reste .

L'intérêt pratique est considérable: on n'a jamais besoin de la loi de $g (X)$ pour en calculer l'espérance. Cela vaut en particulier pour tous les moments, $E [X^{k}] = \int x^{k} f_{X} (x) d x$ .

Variance et formule de König–Huygens

Démonstration. L'existence de l'espérance vient de l'inégalité $∣ x ∣ \leq \frac{1}{2} (1 + x^{2})$ : si $\int x^{2} f_{X}$ converge, aussi. Posons . Le théorème de transfert appliqué à et la linéarité de l'intégrale donnent

Var (X) = \int (x^{2} - 2 μx + μ^{2}) f_{X} (x) d x = \int x^{2} f_{X} - 2 μ \int x f_{X} + μ^{2} \int f_{X} = E [X^{2}] - 2 μ^{2} + μ^{2},

où l'on a utilisé $\int f_{X} = 1$ et $\int x f_{X} = μ$ . D'où (5.10). $□$

Les propriétés d'invariance sont identiques au cas discret et se démontrent de la même façon par transfert: pour $a, b \in R$ ,

E [a X + b] = a E [X] + b, Var (a X + b) = a^{2} Var (X), σ_{a X + b} = ∣ a ∣ σ_{X} . (5.11)

Une translation déplace le centre de gravité sans changer la dispersion; une dilatation de facteur $a$ multiplie l'écart-type par $∣ a ∣$ et la variance par $a^{2}$ . C'est cette relation qui rendra possible, au chapitre 6, la standardisation $Z = (X - μ) / σ$ , d'espérance $0$ et de variance $1$ .

Question 5.3

Une variable $X$ a pour densité $f (x) = 2 x$ sur $[0, 1]$ et $0$ ailleurs. Calculez son écart-type $σ_{X}$ .

Une loi sans espérance: la loi de Cauchy

Voici la page que l'on a le plus intérêt à ne pas sauter. Elle montre qu'une loi parfaitement inoffensive — une densité continue, paire, en cloche, sans aucune singularité — peut n'avoir ni espérance ni variance, et que ce défaut a des conséquences très concrètes.

C'est bien une densité. Elle est positive, et une primitive de $1/ (1 + x^{2})$ est $arctan$ (Analyse I, chapitre 10), donc

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d x}{π ( 1 + x ^{2} )} = \frac{1}{π} [arctan x]_{- \infty}^{+ \infty} = \frac{1}{π} (\frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = 1.

Sa fonction de répartition est explicite:

F (x) = \frac{1}{2} + \frac{arctan x}{π} . (5.13)

D'où vient-elle. Elle n'est pas un contre-exemple artificiel. Imaginez une source ponctuelle placée à une distance $1$ d'un mur rectiligne, qui émet un rayon dans une direction d'angle $Θ$ choisie uniformément dans $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ . Le rayon frappe le mur à l'abscisse . Alors, pour tout réel,

F_{X} (x) = P (tan Θ \leq x) = P (Θ \leq arctan x) = \frac{arctan x + π /2}{π} = \frac{1}{2} + \frac{arctan x}{π},

car $tan$ est strictement croissante sur $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ et $Θ$ y est uniforme. En dérivant, on retrouve (5.12). C'est la méthode de la fonction de répartition, que nous formaliserons dans deux sections.

Elle n'a pas d'espérance. Regardons la condition de convergence de la définition. Par parité,

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ x ∣ f (x) d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{2}{π} A \to + \infty lim [\frac{1}{2} ln (1 + x^{2})]_{0}^{A} = A \to + \infty lim \frac{ln ( 1 + A ^{2} )}{π} = + \infty.

L'intégrale diverge. Elle diverge logarithmiquement, c'est-à-dire très lentement, et c'est précisément ce qui rend le phénomène perfide. Les valeurs de l'intégrale tronquée $ln (1 + A^{2}) / π$ le montrent:

$A$	10	100	1000	$1 0^{6}$	$1 0^{12}$
$\int_{- A}^{A} ∣ x ∣ f (x) d x$

Passer de $A = 10$ à $A = 1 0^{12}$ ne multiplie l'intégrale que par douze. Sur un écran d'ordinateur, on peut simuler des millions de valeurs de Cauchy sans jamais «voir» la divergence.

L'intégrale symétrique ne sauve rien. On serait tenté d'écrire $\int_{- A}^{A} x f (x) d x = 0$ par imparité, puis de conclure que l'espérance vaut $0$ par symétrie. C'est un raisonnement faux, et il vaut la peine de voir pourquoi. Cette quantité s'appelle une valeur principale; elle dépend de la façon dont on fait tendre les bornes vers l'infini. En intégrant de $- A$ à $2 A$ , on obtient

\frac{1}{2 π} [ln (1 + x^{2})]_{- A}^{2 A} = \frac{1}{2 π} ln \frac{1 + 4 A ^{2}}{1 + A ^{2}} A \to + \infty \frac{ln 4}{2 π} \approx 0, 2206,

et en intégrant de $- A$ à $k A$ on obtiendrait $ln (k^{2}) / (2 π)$ , c'est-à-dire n'importe quel nombre réel en choisissant $k$ convenablement. Une grandeur qui vaut ce qu'on veut selon l'ordre du calcul n'est pas une espérance. La convergence absolue exigée dans la définition est là pour interdire exactement cela.

Ce que la loi a quand même. L'absence d'espérance n'est pas l'absence de tout indicateur. La loi de Cauchy est symétrique, sa fonction de répartition est explicite, et ses quantiles existent parfaitement: par (5.13), $F (0) = 1/2$ , donc la médiane vaut $0$ ; et $F (1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ , , donc les quartiles sont exactement et . L'écart interquartile vaut . Ces nombres, eux, sont solides. C'est une raison de fond pour laquelle la statistique dispose d'indicateurs de position et de dispersion , fondés sur les quantiles: ils survivent aux lois à queues lourdes, ce que la moyenne et l'écart-type ne font pas.

Et les queues sont bel et bien lourdes: $P (∣ X ∣ > 1) = 1/2$ mais aussi $P (∣ X ∣ > 10) = 1 - \frac{2}{π} arctan 10 \approx 0, 0635$ , soit une chance sur seize de dépasser dix fois l'écart interquartile en valeur absolue. Aucune loi à variance finie ne se comporte ainsi.

Quantiles

Définition

L'espérance résume une loi par son centre de gravité. Les quantiles la résument autrement: en découpant la masse de probabilité par le haut.

Les quantiles portent des noms selon leur ordre: la médiane est $q_{0, 5}$ , les quartiles sont $q_{0, 25}$ , $q_{0, 5}$ et $q_{0, 75}$ (notés , , ), les sont les , les les . L' est : c'est une mesure de dispersion qui, contrairement à l'écart-type, existe toujours et ne dépend pas des valeurs extrêmes.

Pour une loi générale — discrète, ou continue avec un palier — $F_{X}$ n'est pas inversible et la définition ci-dessus peut avoir plusieurs solutions, ou aucune au sens strict. On se ramène toujours à un choix canonique par l'inverse généralisé

F_{X}^{- 1} (α) = in f {x \in R : F_{X} (x) \geq α}, (5.15)

qui coïncide avec l'inverse usuel quand celui-ci existe. C'est cette formule qui sera utilisée dans la section sur la simulation.

La figure 5.3 met en évidence la relation d'inversion. La densité répond à la question «quelle probabilité y a-t-il à gauche de $q$ ?»; la fonction quantile répond à la question inverse, «quelle abscisse laisse la proportion $α$ à sa gauche?». Sur la fonction de répartition, ces deux questions sont la lecture du graphe dans les deux sens.

Une détermination complète

Question 5.4

La médiane d'une variable continue $X$ est $m$ . Que vaut $P (X > m)$ ?

Changement de variable: la loi de Y = g(X)

Dans les applications, on mesure rarement la grandeur qui intéresse. On mesure un rayon et l'on veut une surface, une tension et l'on veut une puissance, une durée et l'on veut son logarithme. Il faut donc savoir passer de la loi de $X$ à celle de $Y = g (X)$ .

La méthode de la fonction de répartition

Elle est universelle, elle ne demande aucune hypothèse sur $g$ , et il faut la connaître avant toute formule. Elle tient en trois étapes.

La formule pour une transformation monotone

Quand $g$ est monotone, l'étape 2 est toujours la même et l'on peut en tirer une formule.

Démonstration. Comme $g^{'}$ est continue et ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ , elle y garde un signe constant (théorème des valeurs intermédiaires): $g$ est donc strictement monotone, et $g^{- 1}$ est dérivable sur $J$ avec $(g^{- 1})^{'} (y) = 1/ g^{'} (g^{- 1} (y))$ (Analyse I, chapitre 7).

Cas croissant. Pour $y \in J$ , l'inéquation $g (x) \leq y$ équivaut à $x \leq g^{- 1} (y)$ , donc

F_{Y} (y) = P (X \leq g^{- 1} (y)) = F_{X} (g^{- 1} (y)) .

En dérivant par la règle de composition, $f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) (g^{- 1})^{'} (y)$ , et coïncide avec sa valeur absolue.

Cas décroissant. Cette fois $g (x) \leq y$ équivaut à $x \geq g^{- 1} (y)$ , donc, $X$ étant continue,

F_{Y} (y) = P (X \geq g^{- 1} (y)) = 1 - F_{X} (g^{- 1} (y)),

et en dérivant, $f_{Y} (y) = - f_{X} (g^{- 1} (y)) (g^{- 1})^{'} (y)$ . Ici , donc et l'on retrouve (5.17).

Dans les deux cas $f_{Y} \geq 0$ , et le changement de variable $y = g (x)$ donne $\int_{J} f_{Y} = \int_{I} f_{X} = 1$ : c'est bien une densité.

Le facteur $∣(g^{- 1})^{'} (y)∣$ est un jacobien: il corrige la dilatation locale des longueurs. Là où $g$ étire l'axe, la probabilité se dilue et la densité baisse; là où $g$ le comprime, elle se concentre. C'est exactement le rôle du facteur $∣ d x / d y ∣$ dans un changement de variable d'intégrale.

Question 5.5

Remettez dans l'ordre les étapes de la méthode de la fonction de répartition pour trouver la loi de $Y = g (X)$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Dériver

F_{Y}

par rapport à

y

pour obtenir la densité

f_{Y}

Vérifier que l'intégrale de

f_{Y}

vaut 1

Déterminer l'ensemble des valeurs possibles de

Y

Résoudre l'inéquation

g (x) \leq y

pour traduire l'événement en un événement sur

X

Exprimer

F_{Y}

à l'aide de

F_{X}

Écrire

F_{Y} (y) = P (g (X) \leq y)

Simuler une loi: la transformation inverse

Le théorème

Un ordinateur ne sait produire qu'une chose: des nombres qui imitent un tirage uniforme sur $[0, 1]$ . Comment en tirer une loi quelconque? La réponse est d'une simplicité remarquable, et elle repose entièrement sur la fonction quantile.

Démonstration. Rappelons d'abord que $U \sim U ([0, 1])$ signifie $P (U \leq u) = u$ pour $u \in [0, 1]$ . Soit $x$ un réel. Comme $F$ est strictement croissante et continue, elle est bijective sur son domaine et $F^{- 1}$ est croissante; l'équivalence

F^{- 1} (u) \leq x ⟺ u \leq F (x)

en résulte (appliquer $F$ , croissante, au membre de gauche, et $F^{- 1}$ au membre de droite). Donc

P (X \leq x) = P (F^{- 1} (U) \leq x) = P (U \leq F (x)) = F (x),

la dernière égalité parce que $F (x) \in [0, 1]$ . C'est bien la fonction de répartition annoncée.

Pour la réciproque, soit $u \in] 0, 1 [$ . En posant $x = F^{- 1} (u)$ , la même équivalence donne

P (F (X) \leq u) = P (X \leq F^{- 1} (u)) = F (F^{- 1} (u)) = u,

ce qui est la fonction de répartition de la loi uniforme sur $[0, 1]$ . $□$

L'énoncé reste vrai sans l'hypothèse de stricte croissance, en remplaçant $F^{- 1}$ par l'inverse généralisé (5.15); la démonstration est la même, l'équivalence $F^{- 1} (u) \leq x ⟺ u \leq F (x)$ étant alors une propriété de l'infimum. C'est ce qui permet de simuler aussi des lois discrètes et des lois mixtes.

C'est ainsi qu'un ordinateur tire au sort

Une bibliothèque de simulation procède en deux temps. D'abord un générateur pseudo-aléatoire produit une suite de bits déterministe mais statistiquement indiscernable d'un tirage uniforme (Mersenne Twister, PCG, xoshiro), à partir d'une graine: la même graine redonne exactement la même suite, ce qui rend les simulations reproductibles. Ensuite, une transformation convertit ces uniformes en la loi voulue — transformation inverse quand $F^{- 1}$ est explicite, méthodes plus rusées sinon (la loi normale, dont la fonction de répartition n'a pas d'expression élémentaire, se tire par la méthode de Box-Muller ou par rejet).

L'échantillon de la figure 5.1 a été fabriqué exactement ainsi: $1000$ tirages uniformes issus d'un générateur ensemencé par une graine fixée, puis passés dans la fonction quantile (5.16) de la loi triangulaire. Voilà pourquoi la figure est identique à chaque chargement de la page — et pourquoi elle est honnête: l'histogramme et la courbe qu'il approche viennent bien de la même loi.

Ni tout à fait discrète, ni tout à fait continue

Le chapitre 3 et celui-ci décrivent deux types purs. La réalité produit des mélanges, et il faut savoir les reconnaître.

Une loi mixte

Considérons l'attente $X$ d'un client dans un service où, avec probabilité $0, 25$ , un guichet est libre et l'attente est exactement nulle, tandis que dans les $75 %$ de cas restants l'attente suit une loi exponentielle de moyenne $2$ minutes (données fictives). La fonction de répartition vaut alors

F_{X} (t) = 0, 25 + 0, 75 (1 - e^{- t /2}), t \geq 0,

et $F_{X} (t) = 0$ pour $t < 0$ . Elle présente un saut de $0, 25$ en $0$ — donc $P (X = 0) = 0, 25$ , conformément au point 5 du théorème 5.1 — puis croît continûment. Une telle loi n'est ni discrète (elle est continue ailleurs qu'en ) ni à densité (aucune densité ne peut produire un saut). On dit qu'elle est , et on la décrit comme une combinaison convexe: une masse ponctuelle de poids et une loi à densité de poids .

Les calculs se font en séparant les deux parties:

E [X] = 0, 25 \times 0 + 0, 75 \times 2 = 1, 5 minute, P (X \leq 1) = 0, 25 + 0, 75 (1 - e^{- 0, 5}) \approx 0, 5451.

Les lois mixtes sont partout dès qu'un mécanisme produit une valeur privilégiée: le montant d'un sinistre annuel (nul avec forte probabilité), la consommation d'un service (nulle pour les non-utilisateurs), la précipitation quotidienne (nulle les jours secs). Les traiter comme continues conduirait à écrire $P (X = 0) = 0$ , ce qui est ici faux et important.

Une loi tronquée

Autre situation fréquente: on n'observe une variable que conditionnellement à un événement. Si $X$ a la densité $f_{X}$ et que l'on se restreint à ${X > c}$ , la loi conditionnelle a pour fonction de répartition

F_{X ∣ X > c} (x) = P (X \leq x ∣ X > c) = \frac{F _{X} ( x ) - F _{X} ( c )}{1 - F _{X} ( c )}, x > c,

et donc, en dérivant, pour densité

f_{X ∣ X > c} (x) = \frac{f _{X} ( x )}{1 - F _{X} ( c )}, x > c, (5.21)

nulle ailleurs. On retrouve la structure de la probabilité conditionnelle du chapitre 2: on garde la forme de la densité au-dessus de $c$ et l'on renormalise par la masse restante. C'est la loi qui décrit un composant déjà en service depuis $c$ heures, ou un revenu au-dessus du seuil d'imposition, ou une mesure tronquée par le seuil de détection de l'appareil. Nous l'utilisons tout de suite.

Deux applications chiffrées

Durée de vie d'un composant

Un fabricant modélise la durée de vie $T$ , en heures, d'un module de puissance par la densité

f_{T} (t) = \frac{2 t}{θ ^{2}} e^{- (t / θ)^{2}}, t \geq 0, θ = 4000 heures

(données fictives; il s'agit d'une loi de Weibull d'indice $2$ , très employée en fiabilité). Le facteur $t$ devant l'exponentielle traduit un composant qui vieillit, par opposition à la loi exponentielle du chapitre 6 qui décrit une panne purement accidentelle.

C'est bien une densité, et sa répartition est explicite. La primitive saute aux yeux si l'on remarque que $(- e^{- (t / θ)^{2}})^{'} = \frac{2 t}{θ ^{2}} e^{- (t / θ)^{2}}$ . Donc

F_{T} (t) = 1 - e^{- (t / θ)^{2}}, t \geq 0, (5.22)

et $F_{T} (+ \infty) = 1$ : l'intégrale de la densité vaut $1$ , ce que nous avons aussi vérifié par quadrature.

Fiabilité. La fonction de survie est $R (t) = 1 - F_{T} (t) = e^{- (t / θ)^{2}}$ . Avec $θ = 4000$ :

P (T > 2000) = e^{- 0, 25} \approx 0, 7788, P (T > 3000) = e^{- 0, 5625} \approx 0, 5698, P (T > 5000) = e^{- 1, 5625} \approx 0, 2096.

Espérance et variance. Le changement de variable $u = t / θ$ puis $v = u^{2}$ donne

E [T] = \int_{0}^{+ \infty} t \frac{2 t}{θ ^{2}} e^{- (t / θ)^{2}} d t = 2 θ \int_{0}^{+ \infty} u^{2} e^{- u^{2}} d u = 2 θ \cdot \frac{π}{4} = \frac{θ π}{2} \approx 3544, 9 h,

en utilisant l'intégrale de Gauss $\int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u = π /2$ et une intégration par parties. Le moment d'ordre est immédiat par la substitution :

E [T^{2}] = \int_{0}^{+ \infty} θ^{2} v e^{- v} d v = θ^{2} = 16 \cdot 1 0^{6} h^{2},

d'où, par König–Huygens,

Var (T) = θ^{2} (1 - \frac{π}{4}) \approx 3, 4336 \cdot 1 0^{6} h^{2}, σ_{T} \approx 1853 h .

Médiane et garantie. Par inversion de (5.22), $F_{T} (t) = α$ donne $t = θ - ln (1 - α)$ . Donc

Q_{2} = θ ln 2 \approx 3330 h, q_{0, 05} = θ - ln 0, 95 \approx 906 h .

La médiane ( $3330$ h) est inférieure à la moyenne ( $3545$ h): asymétrie à droite, une fois de plus. Et si le fabricant veut qu'au plus $5 %$ des modules tombent en panne pendant la garantie, il doit fixer celle-ci à environ $900$ heures — bien loin de la durée de vie moyenne. C'est le genre d'écart qui surprend et qui coûte cher quand on le découvre après coup.

Le vieillissement, vu par la loi tronquée. Un module a survécu $2000$ heures. Quelle est sa probabilité de tenir $3000$ heures de plus? Par (5.21), ou directement par la définition de la probabilité conditionnelle,

P (T > 5000 ∣ T > 2000) = \frac{R ( 5000 )}{R ( 2000 )} = \frac{e ^{- 1, 5625}}{e ^{- 0, 25}} = e^{- 1, 3125} \approx 0, 2691.

Pour un module neuf, la probabilité de tenir $3000$ heures était $P (T > 3000) \approx 0, 5698$ . Elle est tombée à $0, 2691$ : le module usagé est plus fragile que le neuf, il a vieilli. Le taux de défaillance instantané, $h (t) = f_{T} (t) / R (t) = 2 t / θ^{2}$ , le confirme: il vaut par heure à h et par heure à h, cinq fois plus. Le chapitre 6 montrera que la loi exponentielle est la seule pour laquelle ce rapport reste constant — c'est la propriété d'absence de mémoire, et c'est aussi pourquoi elle est un mauvais modèle pour un composant qui s'use.

Erreur de mesure

Une balance de laboratoire affiche une masse entachée d'une erreur $X$ , en grammes, de densité triangulaire symétrique sur $[- 0, 4; 0, 4]$ (données fictives):

f_{X} (x) = \frac{0 , 4 - ∣ x ∣}{0 , 16}, ∣ x ∣ \leq 0, 4,

et $0$ ailleurs. Cette forme n'est pas arbitraire: la somme de deux erreurs d'arrondi indépendantes et uniformes a exactement une densité triangulaire, résultat que le chapitre 7 démontrera par le produit de convolution.

Normalisation. L'aire du triangle de base $0, 8$ et de hauteur $f_{X} (0) = 0, 4/0, 16 = 2, 5$ vaut $0, 8 \times 2, 5/2 = 1$ . La densité vaut donc bien $2, 5$ par gramme au maximum — un nombre supérieur à , ce qui ne pose aucun problème.

Centre et dispersion. La densité est paire, donc $E [X] = 0$ : la balance est juste (sans biais). La variance vaut, par symétrie puis intégration par parties élémentaire,

Var (X) = 2 \int_{0}^{0, 4} x^{2} \frac{0 , 4 - x}{0 , 16} d x = \frac{2}{0 , 16} [\frac{0 , 4 x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{0, 4} = \frac{0 , 4 ^{2}}{6} = 0, 02667 g^{2},

soit $σ_{X} = 0, 4/ 6 \approx 0, 1633$ g. La règle générale, $Var = a^{2} /6$ pour une triangulaire symétrique sur , vaut la peine d'être retenue. L'erreur , elle, se calcule par transfert avec et vaut g: plus petite que l'écart-type, comme toujours.

Probabilités d'intervalle. La queue au-delà de $x \geq 0$ est un triangle de base $0, 4 - x$ et de hauteur $(0, 4 - x) /0, 16$ , donc

P (X > x) = \frac{( 0 , 4 - x ) ^{2}}{0 , 32}, 0 \leq x \leq 0, 4.

D'où, par symétrie, $P (∣ X ∣ \leq 0, 2) = 1 - 2 \times \frac{0 , 2 ^{2}}{0 , 32} = 1 - 0, 25 = 0, 75$ : trois mesures sur quatre sont correctes à g près.

Un intervalle de tolérance. Cherchons $t$ tel que $P (∣ X ∣ \leq t) = 0, 90$ , c'est-à-dire une queue de $0, 05$ de chaque côté. Il faut $(0, 4 - t)^{2} /0, 32 = 0, 05$ , donc et

t = q_{0, 95} \approx 0, 2735 g .

Neuf mesures sur dix s'écartent donc de moins de $0, 274$ g de la vraie masse. Notez la formulation, qui sera celle de tout le cours d'estimation: on ne dit pas «l'erreur vaut $0, 274$ g», on dit «l'erreur reste dans cet intervalle dans $90 %$ des cas». C'est une affirmation sur la procédure de mesure, pas sur une mesure particulière — distinction que le chapitre 11 reprendra mot pour mot à propos des intervalles de confiance.

Synthèse

Une variable continue a une fonction de répartition continue, donc $P (X = x) = 0$ pour tout $x$ : aucun point ne porte de probabilité, les inégalités strictes et larges donnent le même résultat, et «probabilité nulle» ne veut pas dire «impossible».
Une variable à densité vérifie $F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{X}$ , avec et ; une probabilité est alors une , , et là où c'est licite. Une densité n'est pas une probabilité: elle peut dépasser et même être non bornée.

Série d'exercices du chapitre 5Exercice 1 sur 5

Question 5.6

Parmi ces fonctions, laquelle est une densité de probabilité?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 5.1 · Une densité polynomiale

Soit $X$ de densité $f (x) = c x^{2}$ sur $[0, 2]$ et $0$ ailleurs.

Déterminer $c$ et la fonction de répartition $F$ .

Exercice 5.2 · Partir de la fonction de répartition

Soit $X$ la variable aléatoire de fonction de répartition

F (x) = {0, 1 - (1 + x) e^{- x}, x < 0, x \geq 0.

Exercice 5.3 · Trois changements de variable

Soit $X$ de densité $f_{X} (x) = 2 x$ sur $[0, 1]$ , nulle ailleurs. Déterminer la loi (densité et domaine) de:

$Y = X^{2}$ ;

Exercice 5.4 · Loi de Pareto et simulation

Une loi de Pareto de paramètre $α > 0$ et de seuil $1$ a pour fonction de répartition $F (x) = 1 - x^{- α}$ pour $x \geq 1$ et sinon. On prend .

Exercice 5.5 · L'espérance comme aire sous la survie

Soit $X$ une variable aléatoire positive de densité $f$ et de fonction de répartition $F$ . On note $R (t) = 1 - F (t) = P (X > t)$ sa fonction de survie.

Références

Ross, S., Initiation aux probabilités, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chapitres sur les variables aléatoires continues.
Saporta, G., Probabilités, analyse des données et statistique, Technip, Paris.
Morgenthaler, S., Introduction à la statistique, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Rice, J. A., Mathematical Statistics and Data Analysis, Duxbury, Belmont, chapitres 2 et 3.
Dodge, Y., Statistique — dictionnaire encyclopédique, Springer, Paris (entrées «densité», «quantile», «loi de Cauchy»).
Devroye, L., Non-Uniform Random Variate Generation, Springer, New York (référence sur la simulation par transformation inverse et ses alternatives).

Objectifs du chapitre

De l'histogramme à la densité

Pourquoi le discret ne suffit plus

L'histogramme et son passage à la limite

La fonction de répartition d'une variable continue

Définition et propriétés générales

La densité

Définition

Un exemple complet: une densité triangulaire

Espérance, variance et théorème de transfert

L'espérance

Le théorème de transfert

Variance et formule de König–Huygens

Une loi sans espérance: la loi de Cauchy

Quantiles

Définition

Une détermination complète

Changement de variable: la loi de Y = g(X)

La méthode de la fonction de répartition

La formule pour une transformation monotone

Simuler une loi: la transformation inverse

Le théorème

Ni tout à fait discrète, ni tout à fait continue

Une loi mixte

Une loi tronquée

Deux applications chiffrées

Durée de vie d'un composant

Erreur de mesure

Synthèse

Exercices

Références

La loi du rayon

La loi de la surface, par la fonction de répartition

L'espérance de la surface, calculée deux fois

Médiane et dispersion