Lois continues usuelles et loi normale

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître la situation que modélisent la loi uniforme continue, la loi exponentielle, la loi gamma, la loi de Weibull, la loi normale et la loi log-normale, et écrire leur densité;
calculer l'espérance et la variance de chacune de ces lois par intégration, et retrouver les formules sans les avoir apprises par cœur;
démontrer et interpréter l'absence de mémoire de la loi exponentielle, et la relier au processus de Poisson;
standardiser une variable normale, lire la table de $Φ$ dans les deux sens et calculer un quantile $z_{γ}$ ;
appliquer la règle des 68–95–99,7 et les transformations linéaires de la loi normale;
approcher une loi binomiale par une loi normale avec la correction de continuité, en sachant quand cette approximation est licite et quand elle ne l'est pas.

Le chapitre 5 a mis en place tout l'outillage: densité, fonction de répartition, espérance et variance par intégration, quantiles, changement de variable. Nous nous en servons ici sans le redémontrer. Ce chapitre est le pivot du cours: la loi normale, la standardisation et la table qui sont établies ici serviront au théorème central limite (chapitre 8), aux intervalles de confiance (chapitre 11) et aux tests d'hypothèses (chapitre 12).

La loi uniforme continue

Situation modélisée

La loi uniforme continue traduit l'idée d'un tirage «au hasard» dans un intervalle, sans qu'aucune région ne soit favorisée: seule la longueur d'un sous-intervalle décide de sa probabilité. Elle décrit l'instant d'arrivée d'un voyageur sur un quai lorsqu'il ignore l'horaire, l'erreur d'arrondi commise par un appareil de mesure qui affiche au dixième de millimètre, la position d'un défaut le long d'un câble, ou encore le nombre pseudo-aléatoire que produit un générateur informatique — c'est à partir de cette loi que l'on simule toutes les autres.

Cette fonction est bien une densité: elle est positive, et son intégrale vaut $\frac{1}{b - a} (b - a) = 1$ . La densité est constante sur $[a, b]$ : son graphe est un rectangle de base $b - a$ et de hauteur $1/ (b - a)$ .

Fonction de répartition, espérance, variance

En intégrant la densité de $- \infty$ à $x$ on obtient immédiatement

F_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{x - a}{b - a} 1 si x < a, si a \leq x \leq b, si x > b . (6.2)

La fonction de répartition est donc affine sur $[a, b]$ : elle monte de $0$ à $1$ à pente constante. Il en découle que pour $a \leq u \leq v \leq b$ ,

P (u \leq X \leq v) = \frac{v - u}{b - a},

c'est-à-dire exactement la proportion de longueur occupée par $[u, v]$ dans $[a, b]$ — la traduction analytique de l'idée de départ.

Démonstration. Par la définition de l'espérance d'une variable à densité (chapitre 5),

E [X] = \int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} d x = \frac{1}{b - a} [\frac{x ^{2}}{2}]_{a}^{b} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 ( b - a )} = \frac{a + b}{2},

en utilisant $b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$ . Le résultat était prévisible: la densité est symétrique par rapport au milieu de $[a, b]$ , qui est donc à la fois la moyenne et la médiane.

Pour la variance, calculons d'abord le moment d'ordre deux:

E [X^{2}] = \int_{a}^{b} \frac{x ^{2}}{b - a} d x = \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3 ( b - a )} = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3},

grâce à $b^{3} - a^{3} = (b - a) (b^{2} + ab + a^{2})$ . La formule de König–Huygens donne alors

Var (X) = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3} - \frac{( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{4 a ^{2} + 4 ab + 4 b ^{2} - 3 a ^{2} - 6 ab - 3 b ^{2}}{12} = \frac{a ^{2} - 2 ab + b ^{2}}{12} = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} . □

Retenez la structure plus que la formule: la variance ne dépend que de la largeur $b - a$ de l'intervalle, jamais de sa position, ce qui est la traduction du fait qu'une translation ne change pas la dispersion. Le facteur $12$ n'a rien de mystérieux, c'est le $12$ du dénominateur commun ci-dessus; il donne $σ_{X} \approx 0, 289 (b - a)$ , soit un peu moins du tiers de la largeur.

Question 6.1

Le temps d'attente $T$ à l'arrêt de bus suit la loi $U ([0, 12])$ , en minutes. Que vaut $P (3 \leq T \leq 7)$ ?

La loi exponentielle

Situation modélisée

La loi exponentielle décrit le temps d'attente avant un événement qui ne vieillit pas: le délai jusqu'au prochain appel dans un centre d'appels, jusqu'à la prochaine désintégration d'un noyau radioactif, jusqu'à la prochaine panne d'un composant électronique dont le taux de défaillance est constant. C'est la loi continue la plus simple après l'uniforme, et de loin la plus utilisée en fiabilité et en théorie des files d'attente.

C'est bien une densité: elle est positive et

\int_{0}^{+ \infty} λ e^{- λ x} d x = [- e^{- λ x}]_{0}^{+ \infty} = 0 - (- 1) = 1.

Le paramètre $λ$ a la dimension de l'inverse d'un temps: c'est un taux (par minute, par heure, par an). Le même calcul, arrêté en $x$ , donne la fonction de répartition

F_{T} (x) = 1 - e^{- λ x} (x \geq 0), F_{T} (x) = 0 (x < 0), (6.5)

et donc la fonction de survie, qui est la forme la plus commode en fiabilité:

P (T > x) = e^{- λ x}, x \geq 0. (6.6)

La densité est maximale en $0$ et décroît strictement: les attentes courtes sont les plus probables, et la probabilité d'une attente longue décroît géométriquement. La médiane s'obtient en résolvant $1 - e^{- λm} = 1/2$ , soit

m = \frac{ln 2}{λ} \approx \frac{0 , 693}{λ},

toujours inférieure à la moyenne $1/ λ$ : la loi exponentielle est asymétrique à droite, tirée vers le haut par de rares attentes très longues.

Espérance et variance

Démonstration. Une intégration par parties (Analyse I, chapitre 11) donne, pour $A > 0$ ,

\int_{0}^{A} x λ e^{- λ x} d x = [- x e^{- λ x}]_{0}^{A} + \int_{0}^{A} e^{- λ x} d x = - A e^{- λ A} + \frac{1 - e ^{- λ A}}{λ} .

Comme $A e^{- λ A} \to 0$ lorsque $A \to + \infty$ (croissances comparées, Analyse I, chapitre 5), on obtient $E [T] = 1/ λ$ .

De même, deux intégrations par parties donnent

E [T^{2}] = \int_{0}^{+ \infty} x^{2} λ e^{- λ x} d x = \frac{2}{λ} \int_{0}^{+ \infty} x λ e^{- λ x} d x \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{λ ^{2}},

où l'on a reconnu, après la première intégration par parties, l'intégrale qui vaut $E [T] = 1/ λ$ . D'où

Var (T) = E [T^{2}] - E [T]^{2} = \frac{2}{λ ^{2}} - \frac{1}{λ ^{2}} = \frac{1}{λ ^{2}} . □

Une manière plus rapide de retenir ces résultats: si $T \sim E (λ)$ alors $λ T \sim E (1)$ (changement de variable affine, chapitre 5), et pour $E (1)$ on a $E = Γ (2) = 1$ et $E [T^{2}] = Γ (3) = 2$ . Tout se déduit ensuite par homogénéité.

L'absence de mémoire

Démonstration. Sens direct. Soit $T \sim E (λ)$ . Comme ${T > s + t} \subset {T > s}$ , la définition de la probabilité conditionnelle (chapitre 2) donne

P (T > s + t ∣ T > s) = \frac{P ( T > s + t )}{P ( T > s )} = \frac{e ^{- λ (s + t)}}{e ^{- λ s}} = e^{- λ t} = P (T > t) .

Tout repose sur l'identité $e^{- λ (s + t)} = e^{- λ s} e^{- λ t}$ : la fonction exponentielle transforme les sommes en produits, ce qui est précisément la structure exigée par (6.8).

Réciproque. Posons $G (t) = P (T > t)$ . La relation (6.8) s'écrit $G (s + t) = G (s) G (t)$ pour tous $s, t \geq 0$ : c'est l'équation fonctionnelle de Cauchy multiplicative. La fonction $G$ est décroissante, donc mesurable, avec . Si pour un , alors donc pour tout , et serait nulle partout par décroissance, ce qui contredit et la continuité. Donc et l'on peut poser , qui vérifie et est décroissante. Une fonction additive et monotone sur est linéaire: avec . On obtient , c'est-à-dire la loi exponentielle dès que (le cas correspond à presque sûrement, exclu).

Le passage «additive et monotone donc linéaire» est le seul point technique: on montre d'abord $h (q) = q h (1)$ pour tout rationnel $q > 0$ par additivité, puis on étend à tous les réels par monotonie, en encadrant un réel par deux suites de rationnels. Ce raisonnement est classique et n'utilise rien d'autre que l'Analyse I.

La figure 6.1 donne la lecture géométrique de ce théorème. Conditionner par ${T > t_{0}}$ revient à ne garder que la portion de la densité à droite de $t_{0}$ , puis à la renormaliser en la divisant par son aire $e^{- λ t_{0}}$ :

f_{T - t_{0} ∣ T > t_{0}} (u) = \frac{f _{T} ( t _{0} + u )}{P ( T > t _{0} )} = \frac{λ e ^{- λ (t_{0} + u)}}{e ^{- λ t_{0}}} = λ e^{- λ u}, (6.9)

c'est-à-dire, exactement, la densité de départ. Avec $λ = 3$ et $t_{0} = 0, 4$ , on vérifie point par point: $f (0, 4) /0, 301194 = 0, 903558/0, 301194 = 3 = f (0)$ , et de même en tout autre point.

Sans mémoire est une hypothèse, pas un fait de la nature

L'absence de mémoire dit qu'un composant «usagé» est aussi bon qu'un composant neuf. C'est raisonnable pour un composant électronique en régime de vie utile, ou pour un noyau radioactif — un noyau de carbone 14 vieux de mille ans a exactement la même probabilité de se désintégrer dans la prochaine heure qu'un noyau fraîchement formé. C'est faux pour un roulement à billes, une courroie, une batterie ou un être vivant, qui s'usent. Si vous modélisez une durée de vie par une loi exponentielle, vous affirmez que le taux de défaillance est constant: c'est une hypothèse forte, à justifier ou à réfuter par les données, pas une commodité de calcul. Les lois gamma et de Weibull de la section suivante existent précisément pour les cas où elle est fausse.

Le lien avec le processus de Poisson

Démonstration. Il suffit de calculer la fonction de survie de $T$ . Pour $t \geq 0$ , dire que l'on attend encore après la durée $t$ , c'est dire qu'aucune arrivée n'a eu lieu dans $[0, t]$ :

{T > t} = {N_{t} = 0} .

Les deux événements sont le même événement, décrit une fois par un temps et une fois par un comptage. Or la loi de Poisson $P (λ t)$ donne (chapitre 4)

P (N_{t} = 0) = e^{- λ t} \frac{( λ t ) ^{0}}{0 !} = e^{- λ t} .

Donc $P (T > t) = e^{- λ t}$ , soit $F_{T} (t) = 1 - e^{- λ t}$ : c'est (6.5), la fonction de répartition de . En dérivant on retrouve la densité (6.4).

Le même argument, appliqué à partir d'un instant quelconque, montre que tous les intervalles entre arrivées successives suivent $E (λ)$ et sont indépendants: c'est l'autre façon de définir un processus de Poisson, et c'est celle qu'on utilise pour le simuler. Notez aussi que le théorème 6.3 devient transparent sous cet éclairage: l'absence de mémoire du temps d'attente n'est que l'indépendance des comptages sur des intervalles disjoints.

Pour le centre d'appels, $λ = 3$ par minute: sur une minute, $P (N_{1} = 0) = e^{- 3} = 0, 0498$ , et l'on retrouve bien $P (T > 1) = 0, 0498$ de l'exemple 6.2. Les deux points de vue, comptage et attente, donnent le même nombre parce qu'ils décrivent le même événement.

Question 6.2

Les appels arrivent au taux $λ = 3$ par minute. Quelle est la probabilité que le prochain appel se fasse attendre plus de 40 secondes?

Deux généralisations: gamma et Weibull

La loi exponentielle impose un taux de défaillance constant. Deux familles la généralisent, dans des directions différentes, et couvrent l'essentiel des modèles de durée de vie utilisés en ingénierie.

Le sens de la loi gamma est le suivant: lorsque $k$ est un entier, $Γ (k, λ)$ est la loi de la somme de $k$ temps exponentiels indépendants de même taux $λ$ , donc le temps d'attente jusqu'à la $k$ -ième arrivée d'un processus de Poisson. Pour le centre d'appels, le temps d'attente jusqu'au troisième appel suit $Γ (3, 3)$ , d'espérance $3/3 = 1$ minute et de variance $3/9 = 1/3$ min². On l'utilise en hydrologie pour les cumuls de précipitations, en assurance pour les montants agrégés de sinistres, et comme loi d'un taux en statistique bayésienne.

L'intérêt de Weibull tient à son taux de défaillance instantané $h (x) = f (x) / (1 - F (x)) = β x^{β - 1} / η^{β}$ : il est décroissant si $β < 1$ (mortalité infantile, défauts de fabrication qui se révèlent tôt), constant si (le cas exponentiel), croissant si (usure). C'est la loi de référence en fiabilité mécanique et en analyse des ruptures de matériaux fragiles; on la rencontre aussi pour les vitesses de vent, où vaut typiquement entre 1,5 et 2,5 selon le site. Avec et ans, par exemple, : près d'une pièce sur deux a cédé avant quatre ans, et le taux de défaillance croît linéairement avec l'âge.

Nous n'irons pas plus loin: ces deux lois sont nommées ici pour que vous sachiez qu'elles existent et à quoi elles répondent. Leur estimation fait l'objet des cours de fiabilité.

Question 6.3

Un roulement à billes s'use: plus il a tourné, plus sa probabilité de céder dans l'heure qui vient est grande. Quelle loi de durée de vie est adaptée?

La loi normale

Situation modélisée

La loi normale, ou loi de Laplace–Gauss, décrit les grandeurs qui résultent de l'accumulation d'un grand nombre de petites contributions indépendantes: l'erreur d'une mesure physique, qui somme les imperfections de l'appareil, de l'opérateur et de l'environnement; la cote d'une pièce usinée, qui somme les jeux de la machine, les variations de température et l'hétérogénéité du matériau; la moyenne d'un échantillon, qui somme les observations. Le théorème central limite du chapitre 8 expliquera pourquoi cette accumulation produit toujours la même courbe. Pour l'instant, prenons-la comme un objet à étudier pour lui-même.

La constante de normalisation

Pourquoi le facteur $1/ (σ 2 π)$ ? Parce qu'il est exactement ce qu'il faut pour que l'intégrale de la densité vaille 1. Posons $u = (x - μ) / σ$ , d'où $d x = σ d u$ :

\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (x) d x = \frac{1}{σ 2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- u^{2} /2} σ d u = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- u^{2} /2} d u .

Tout se ramène donc à l'intégrale de Gauss. Posons $u = t 2$ :

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- u^{2} /2} d u = 2 \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = 2 π = 2 π,

ce qui donne bien $1$ . Reste l'identité

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = π . (6.14)

Cette intégrale est remarquable: la fonction $e^{- t^{2}}$ n'a aucune primitive élémentaire, et pourtant son intégrale sur $R$ tout entier est un nombre simple. Le calcul se fait en passant au plan: on élève l'intégrale au carré, on la lit comme une intégrale double sur $R^{2}$ , et le passage en coordonnées polaires la rend immédiate. C'est fait en détail au chapitre 9 d'Analyse II (intégrales doubles), et nous l'admettons ici en renvoyant à cette démonstration.

Espérance, variance, forme

Démonstration. Espérance. Avec le changement de variable $u = (x - μ) / σ$ , donc $x = μ + σ u$ :

E [X] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f_{X} (x) d x = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} (μ + σ u) e^{- u^{2} /2} d u = μ = 1 \int_{- \infty}^{+ \infty} φ (u) d u + σ = 0 \int_{- \infty}^{+ \infty} u φ (u) d u .

La deuxième intégrale est nulle parce que $u φ (u)$ est une fonction impaire intégrable: sa contribution sur $] - \infty, 0]$ annule celle sur $[0, + \infty [$ . D'où $E [X] = μ$ . (L'intégrabilité est acquise: $\int_{0}^{+ \infty} u e^{- u^{2} /2} d u = 1$ est finie.)

Variance. Toujours avec $u = (x - μ) / σ$ ,

Var (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - μ)^{2} f_{X} (x) d x = \frac{σ ^{2}}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} u^{2} e^{- u^{2} /2} d u .

Intégrons par parties en écrivant $u^{2} e^{- u^{2} /2} = u \cdot (u e^{- u^{2} /2})$ , la seconde parenthèse ayant pour primitive :

\int_{- A}^{A} u^{2} e^{- u^{2} /2} d u = [- u e^{- u^{2} /2}]_{- A}^{A} + \int_{- A}^{A} e^{- u^{2} /2} d u A \to + \infty 0 + 2 π,

car $A e^{- A^{2} /2} \to 0$ . Donc $Var (X) = σ^{2} \cdot 2 π / 2 π = σ^{2}$ .

La densité (6.12) a trois propriétés géométriques qu'il faut savoir lire directement sur la formule.

Symétrie. $f_{X} (μ + h) = f_{X} (μ - h)$ pour tout $h$ , puisque seul $(x - μ)^{2}$ intervient. La droite est un axe de symétrie; moyenne, médiane et mode coïncident donc en .

f_{X}^{''} (x) = \frac{u ^{2} - 1}{σ ^{2}} f_{X} (x),

qui s'annule en changeant de signe pour $u = \pm 1$ , c'est-à-dire en $x = μ \pm σ$ . L'écart-type se lit donc directement sur le graphe: c'est la distance du sommet aux deux points où la courbe cesse de creuser vers le bas et commence à s'aplatir. C'est le seul moyen visuel fiable de comparer deux cloches.

La règle des 68–95–99,7

Ces trois nombres se calculent une fois pour toutes sur la loi centrée réduite et valent ensuite pour toute loi normale, puisque l'intervalle $[μ - k σ, μ + k σ]$ se standardise en $[- k, k]$ :

P (μ - k σ \leq X \leq μ + k σ) = Φ (k) - Φ (- k) = 2Φ (k) - 1.

$k$	Aire centrale $2Φ (k) - 1$	En pourcentage	Masse dans chaque queue
1	$0, 682689$	$68, 27 %$	$15, 87 %$
2	$0, 954500$	$95, 45 %$

La dernière ligne s'énonce aussi ainsi: une observation sur $1/ (1 - 0, 9973) = 370$ tombe hors de l'intervalle à trois écarts-types. C'est l'origine des cartes de contrôle à limites $\pm 3 σ$ en maîtrise statistique des procédés: si le procédé est stable et normal, une alarme sur 370 points est une fausse alarme.

Question 6.4

La résistance à la compression d'un béton suit $N (38, 16)$ , en MPa. Quel est son quantile d'ordre $0, 90$ , c'est-à-dire la valeur dépassée par seulement 10 % des éprouvettes?

Standardisation, table et quantiles

Le théorème de standardisation

Démonstration. Calculons la fonction de répartition de $Z$ . Comme $σ > 0$ , l'inégalité $Z \leq z$ équivaut à $X \leq μ + σ z$ , donc

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (X \leq μ + σ z) = \int_{- \infty}^{μ + σ z} \frac{1}{σ 2 π} exp [- \frac{1}{2} (\frac{x - μ}{σ})^{2}] d x .

Le changement de variable $u = (x - μ) / σ$ , croissant et de classe $C^{1}$ , transforme $d x$ en $σ d u$ et la borne supérieure $μ + σ z$ en $z$ :

F_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{z} \frac{1}{2 π} e^{- u^{2} /2} d u = Φ (z) .

$Z$ a donc la fonction de répartition de $N (0, 1)$ , donc sa loi. La formule (6.17) s'obtient en écrivant $a \leq X \leq b$ sous la forme $(a - μ) / σ \leq Z \leq (b - μ) / σ$ .

Le nombre $z = (x - μ) / σ$ s'appelle le score standardisé, ou cote $z$ , de la valeur $x$ : il mesure, en nombre d'écarts-types, la distance de $x$ à la moyenne. Il est sans dimension, ce qui permet de comparer des grandeurs qui n'ont rien à voir: un béton à $z = - 2$ et une pièce usinée à $z = - 2$ sont également atypiques, chacun dans son procédé.

La table de Φ et ses symétries

Une table de la loi normale donne $Φ (z)$ pour $z \geq 0$ , avec deux décimales en entrée: la ligne fixe le chiffre des unités et des dixièmes, la colonne celui des centièmes. Onze colonnes de quatre décimales ne tiennent pas dans la largeur d'une colonne de lecture: comme à l'annexe A, la table est coupée en deux moitiés de cinq colonnes, les centièmes $0, 00$ à $0, 04$ d'abord, $0, 05$ à $0, 09$ ensuite, les lignes étant les mêmes des deux côtés. En voici six lignes, calculées avec la fonction d'erreur.

Centièmes 0,00 à 0,04

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945

Centièmes 0,05 à 0,09

$z$	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
1,0	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,2	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,6	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,9	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,5	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952

Pour lire $Φ (1, 26)$ : seconde moitié, ligne «1,2», colonne «0,06», on trouve $0, 8962$ . La table complète figure à l'annexe A.

Pourquoi les valeurs négatives sont-elles absentes? Parce que la symétrie de $φ$ les rend inutiles.

Démonstration. La densité $φ$ est paire: $φ (- u) = φ (u)$ . Le changement de variable $u \mapsto - u$ donne

Φ (- z) = \int_{- \infty}^{- z} φ (u) d u = \int_{z}^{+ \infty} φ (v) d v = 1 - \int_{- \infty}^{z} φ (v) d v = 1 - Φ (z) .

En faisant $z = 0$ on obtient $Φ (0) = 1 - Φ (0)$ , donc $Φ (0) = 1/2$ . La deuxième relation est le passage au complémentaire, et la troisième s'écrit $P (∣ Z ∣ \leq z) = Φ (z) - Φ (- z) = Φ (z) - (1 - Φ (z))$ .

Ainsi $Φ (- 1, 26) = 1 - 0, 8962 = 0, 1038$ , sans quitter la moitié positive de la table.

Les quantiles: la table lue à l'envers

Les valeurs classiques ne se retiennent pas, elles se calculent. Voici la bisection qui produit $z_{0, 975}$ : on part de l'encadrement $0 \leq z_{0, 975} \leq 3$ (légitime puisque $Φ (0) = 0, 5 < 0, 975 < 0, 9987 = Φ (3)$ ), et à chaque étape on coupe l'intervalle en deux en gardant la moitié qui contient la solution.

Itération	Milieu $m$	$Φ (m)$	Comparaison à 0,975	Nouvel intervalle
1	1,50000	0,933193	trop petit	$[1, 5; 3]$
2	2,25000	0,987776	trop grand	$[1, 5; 2, 25]$
3	1,87500	0,969604	trop petit	$[1, 875; 2, 25]$

Chaque itération divise la largeur par deux; après quarante itérations la précision est celle de la machine, et l'on obtient $z_{0, 975} = 1, 959964$ . La même procédure donne le tableau de référence suivant, que nous utiliserons dans tout le cours.

$γ$	0,75	0,90	0,95	0,975	0,99	0,995
$z_{γ}$	0,6745	1,2816	1,6449	1,9600	2,3263	2,5758

Les trois valeurs en gras sont celles que vous rencontrerez le plus: $1, 645$ pour un test unilatéral à $5 %$ ou un fractile à $5 %$ ; $1, 96$ pour un intervalle de confiance bilatéral à $95 %$ ; $2, 576$ pour un intervalle à $99 %$ . Par symétrie, $z_{1 - γ} = - z_{γ}$ : ainsi et .

Pour une loi normale quelconque, on dé-standardise: le quantile d'ordre $γ$ de $N (μ, σ^{2})$ est

x_{γ} = μ + σ z_{γ} . (6.20)

Explorateur 6.1 · Explorateur de la loi normale

Déplacez μ et σ, puis les bornes a et b. L'aire ombrée est P(a ≤ X ≤ b); elle est recalculée à chaque mouvement. Les deux affichages P(a ≤ X ≤ b) et Φ(z_b) − Φ(z_a) restent toujours égaux: c'est la standardisation. Remarquez aussi que la courbe s'aplatit quand σ grandit — l'aire totale vaut 1 quoi qu'il arrive.

Moyenne μ20,0

Écart-type σ2,50

Borne a17,0

Borne b23,0

P(a ≤ X ≤ b)

0,7699

z_a = (a − μ)/σ

−1,200

z_b = (b − μ)/σ

1,200

Φ(z_b) − Φ(z_a)

0,7699

Variance σ²

6,25

Densité au sommet 1/(σ√2π)

0,1596

Question 6.5

Remettez dans l'ordre les étapes du calcul de $P (a \leq X \leq b)$ pour $X \sim N (μ, σ^{2})$ à l'aide d'une table.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Lire

Φ (z_{b})

Φ (z_{a})

dans la table, en utilisant

Φ (- z) = 1 - Φ (z)

pour les valeurs négatives

Standardiser les deux bornes:

z_{a} = (a - μ) / σ

z_{b} = (b - μ) / σ

Vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1 et cohérent avec la règle des 68–95–99,7

Écrire les paramètres

μ

σ

de la loi, en vérifiant si l'énoncé donne la variance ou l'écart-type

Soustraire:

P (a \leq X \leq b) = Φ (z_{b}) - Φ (z_{a})

Transformations linéaires et stabilité

Transformation affine

Démonstration. Traitons $α > 0$ (le cas $α < 0$ est analogue, l'inégalité changeant de sens). Posons $Y = α X + β$ . Alors

F_{Y} (y) = P (α X + β \leq y) = P (X \leq \frac{y - β}{α}) = Φ (\frac{( y - β ) / α - μ}{σ}) = Φ (\frac{y - ( α μ + β )}{α σ}),

qui est la fonction de répartition de $N (α μ + β, α^{2} σ^{2})$ . $□$

Le théorème 6.6 en est le cas particulier $α = 1/ σ$ , $β = - μ / σ$ . Réciproquement, $X = μ + σ Z$ : toute variable normale est une transformée affine de la variable centrée réduite, ce qui est la raison profonde pour laquelle une seule table suffit.

Attention: la stabilité vaut pour les transformations affines, pas pour n'importe quelle fonction. Si $X$ est normale, $X^{2}$ ne l'est pas: pour $Z \sim N (0, 1)$ , le carré $Z^{2}$ suit une loi du khi-deux à un degré de liberté (chapitre 9). Et $e^{X}$ n'est pas normale non plus — elle suit la loi log-normale ci-dessous.

Somme de variables normales indépendantes

Démonstration. Admise ici. La loi d'une somme de deux variables indépendantes à densité est le produit de convolution de leurs densités, notion introduite au chapitre 7 (vecteurs aléatoires); la démonstration consiste à calculer cette convolution de deux gaussiennes, ce qui se fait en complétant un carré sous l'exponentielle. Elle est faite au chapitre 7, où l'on dispose des lois conjointes. $□$

Deux remarques pour ne pas se tromper d'énoncé.

Les paramètres s'additionnent parce que l'espérance est linéaire et que la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances (chapitre 7): cette partie-là ne demande pas la normalité. Ce que le théorème ajoute, et qui est spécifique à la loi normale, c'est que la somme est encore normale. Cette propriété est rare: la somme de deux variables uniformes n'est pas uniforme (elle a une densité en toit d'usine), et la somme de deux exponentielles n'est pas exponentielle (elle suit $Γ (2, λ)$ ).
L'hypothèse d'indépendance est indispensable dans (6.22). Si $X_{2} = - X_{1}$ , la somme vaut $0$ et n'a pas de densité du tout. Attention aussi à la variance d'une différence: $Var (X_{1} - X_{2}) = σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}$ , une , jamais une différence.

Une conséquence immédiate, que le chapitre 8 exploitera sans relâche: si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes et de même loi $N (μ, σ^{2})$ , alors la moyenne empirique vérifie

\overset{ˉ}{X}_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n}), (6.24)

en appliquant (6.23) avec $c_{i} = 1/ n$ : la variance vaut $n \cdot (1/ n)^{2} σ^{2} = σ^{2} / n$ . L'écart-type de la moyenne est donc — le fameux «en racine de » qui gouverne toute la précision statistique: pour diviser l'incertitude par deux, il faut quadrupler l'échantillon.

La loi log-normale

La raison d'être de cette loi tient en une ligne: là où la loi normale décrit une somme de petits effets, la log-normale décrit un produit de petits facteurs, puisque le logarithme transforme les produits en sommes. Dès qu'une grandeur résulte d'une suite de variations relatives indépendantes — un revenu qui croît de quelques pour cent par an, la taille des particules après plusieurs concassages successifs, la concentration d'un polluant diluée par étapes, la durée de réparation d'une panne — c'est la log-normale, et non la normale, qui est la candidate naturelle.

Elle est toujours asymétrique à droite et strictement positive, deux propriétés que la normale n'a pas. Avec $m = 1$ et $s^{2} = 0, 25$ , par exemple: la médiane vaut $e^{1} = 2, 718$ , la moyenne $e^{1, 125} = 3, 080$ et le mode . Mode, médiane et moyenne sont , signature d'une distribution étalée vers la droite.

L'approximation normale de la loi binomiale

L'énoncé et ses conditions

Le calcul exact de $P (X \leq k)$ pour $X \sim B (n, p)$ demande la somme de $k + 1$ coefficients binomiaux: praticable avec un ordinateur, pénible à la main dès que $n$ dépasse quelques dizaines, et longtemps impossible. D'où l'idée, due à de Moivre (1733) puis Laplace, de remplacer la loi binomiale par la loi normale de mêmes moments.

Le chapitre 8 démontrera cet énoncé: c'est un cas particulier du théorème central limite, appliqué à la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes. Nous l'utilisons ici comme un outil, en le vérifiant numériquement.

Les conditions np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5 sont une règle de pouce, pas un théorème

On lit partout qu'il faut $n p \geq 5$ et $n (1 - p) \geq 5$ , parfois $\geq 10$ , parfois $n p (1 - p) \geq 9$ . Aucune de ces conditions n'est un théorème: ce sont des qui tentent de garantir une erreur d'approximation de l'ordre de quelques millièmes, et les manuels ne s'accordent ni sur le seuil ni sur la quantité à seuiller. Le vrai énoncé mathématique est asymptotique ( à fixé) et ne dit rien sur un donné. Ce que les règles traduisent correctement, c'est l'intuition: l'approximation échoue quand la loi binomiale est fortement asymétrique, c'est-à-dire quand est proche de 0 ou de 1 et que la masse s'écrase contre une borne. Dans ce cas, si est petit et modéré, c'est la qu'il faut utiliser (chapitre 4), pas la normale. Annoncez toujours la règle que vous appliquez, et si l'enjeu est réel, comparez au calcul exact — un ordinateur le fait en une milliseconde.

Pourquoi la correction de continuité

On approche une loi discrète par une loi continue. La loi binomiale met une masse $P (X = k)$ sur le point $k$ ; la loi normale met une densité sur un intervalle. La correction consiste à remplacer chaque point $k$ par le segment $[k - 0, 5, k + 0, 5]$ , c'est-à-dire à voir le diagramme en bâtons comme un histogramme de rectangles de largeur 1. Sans elle, on ampute l'approximation d'un demi-rectangle à chaque extrémité, et l'on sous-estime systématiquement les probabilités d'intervalles.

La règle pratique tient en trois lignes: on élargit toujours l'intervalle dont on veut la probabilité.

On veut	On calcule
$P (X \leq k)$	$Φ ((k + 0, 5 - n p) / σ)$
$P (X \geq k)$	$1 - Φ ((k - 0, 5 - n p) / σ)$

La dernière ligne mérite qu'on s'y arrête: sans correction, $P (X = k)$ serait approché par $0$ , puisqu'une loi continue ne charge pas les points. La correction de continuité est donc ce qui rend l'approximation utilisable pour une valeur isolée.

Un exemple complet, exact et approché

Tout n'est pas normal

La loi normale est si commode qu'on la plaque partout. C'est une erreur de modélisation courante et coûteuse. Trois familles de grandeurs pour lesquelles elle est fausse:

Les durées de vie et les temps d'attente. Ils sont positifs et asymétriques à droite; une normale leur attribuerait une probabilité non nulle d'être négatifs. Utilisez l'exponentielle (taux constant), la loi gamma (attente d'un cumul) ou la loi de Weibull (usure ou rodage).
Les revenus, les patrimoines, les tailles de fichiers, les durées de réparation. Ils résultent d'effets multiplicatifs et présentent une queue droite épaisse: la moyenne y est bien au-dessus de la médiane. Utilisez la loi log-normale, ou une loi de Pareto quand la queue est encore plus lourde.
Les comptages d'événements rares: nombre d'accidents à un carrefour dans le mois, nombre de défauts sur une plaque, nombre de sinistres. Ils sont entiers, positifs et souvent de petite espérance. Utilisez la loi de Poisson (chapitre 4); la normale n'a de sens qu'à espérance élevée.

Le test est simple: demandez-vous si votre grandeur peut raisonnablement être négative, et si elle est symétrique autour de sa moyenne. Si la réponse est non à l'une des deux questions, la loi normale n'est pas le bon modèle — même si l'histogramme «a l'air d'une cloche».

Deux applications complètes

Synthèse

La loi uniforme $U ([a, b])$ répartit la probabilité proportionnellement à la longueur: $E = (a + b) /2$ et $Var = (b - a)^{2} /12$ . Sa variance ne dépend que de la largeur de l'intervalle.
La loi exponentielle $E (λ)$ a pour survie , pour moyenne et pour écart-type , et pour médiane , toujours inférieure à la moyenne. Elle est la loi continue sans mémoire, et c'est la loi du temps d'attente d'un processus de Poisson de taux . Ses généralisations sont la loi gamma (attente d'un cumul) et la loi de Weibull (taux de défaillance variable).

Série d'exercices du chapitre 6Exercice 1 sur 5

Question 6.6

Sachant que $Φ (1, 25) = 0, 8944$ , que vaut $Φ (- 1, 25)$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Loi uniforme: répartition, moments et probabilité d'un événement

Soit $X \sim U ([- 1, 3])$ .

Écrivez la densité et la fonction de répartition de $X$ .
Calculez $E [X]$ , $Var (X)$ et $σ_{X}$ .

Exercice 6.2 · Durée de vie exponentielle d'un capteur

La durée de vie $T$ d'un capteur de température installé sur une installation de chauffage à distance est modélisée par une loi exponentielle de moyenne 4 ans (données fictives).

Déterminez $λ$ et écrivez la fonction de survie.
Calculez $P (T > 6)$ et $P (T \leq 2)$ .
Un capteur fonctionne depuis 4 ans. Quelle est la probabilité qu'il tienne encore 6 ans?
Calculez la médiane et commentez l'écart avec la moyenne.
Le fabricant affirme que ses capteurs «s'améliorent avec le rodage». Cette affirmation est-elle compatible avec le modèle exponentiel? Sinon, que proposeriez-vous?

Solution

Exercice 6.3 · Tolérance d'usinage et capabilité

Un atelier usine des axes dont le diamètre $D$ suit $N (20, 00; 0, 0025)$ , en millimètres (données fictives). L'intervalle de tolérance imposé par le client est $[19, 90; 20, 10]$ mm.

Quel est l'écart-type du procédé?
Quelle proportion de pièces est conforme?
La machine se dérègle et la moyenne passe à $20, 02$ mm, l'écart-type restant inchangé. Quelle est la nouvelle proportion de conformes?
Revenant à une moyenne centrée, quel écart-type maximal garantirait que $99, 73 %$ des pièces soient conformes?

Exercice 6.4 · Retrouver les paramètres à partir de deux quantiles

La charge de rupture $X$ d'un câble d'acier est supposée normale (données fictives). Deux essais de laboratoire ont établi que $10 %$ des câbles rompent en dessous de 12 kN et que $95 %$ rompent en dessous de 30 kN.

Écrivez les deux équations que vérifient $μ$ et $σ$ .
Résolvez le système et donnez $μ$ et $σ$ .
Vérifiez votre solution.
Calculez $P (X \geq 25)$ .

Exercice 6.5 · Approximation normale d'un dépouillement

Une votation cantonale oppose deux options. On suppose (hypothèse de travail, données fictives) que l'électorat est exactement partagé, $p = 0, 50$ , et l'on dépouille un lot de $n = 1000$ bulletins tirés au hasard. Soit $X$ le nombre de bulletins favorables à la première option.

Donnez la loi exacte de $X$ , son espérance et son écart-type.
Vérifiez les conditions de l'approximation normale.
Approchez $P (X \geq 520)$ avec et sans correction de continuité, et comparez à la valeur exacte .

Références

Ross, S., Initiation aux probabilités, PPUR, Lausanne — chapitre 5 (variables aléatoires continues), pour les lois uniforme, exponentielle et normale et leurs applications.
Morgenthaler, S., Introduction à la statistique, PPUR, Lausanne — pour la loi normale, la standardisation et l'usage des tables dans un cours d'école polytechnique.
Saporta, G., Probabilités, analyse des données et statistique, Technip, Paris — pour le panorama des lois continues, y compris gamma, Weibull et log-normale.
Wackerly, D., Mendenhall, W. et Scheaffer, R., Mathematical Statistics with Applications, Cengage — chapitre 4, pour l'approximation normale de la binomiale et la correction de continuité traitées en détail.
Dodge, Y., Statistique — dictionnaire encyclopédique, Springer — pour les entrées «loi normale», «loi exponentielle» et «correction de continuité», avec leurs notes historiques.

Question	Calcul	Valeur
Attendre plus d'une minute	$e^{- 3}$	$0, 0498$
Attendre au plus 20 s	$1 - e^{- 1}$	$0, 6321$
Attendre au plus 10 s	$1 - e^{- 0, 5}$	$0, 3935$
Attendre entre 10 s et 30 s	$e^{- 0, 5} - e^{- 1, 5}$	$0, 3834$
Attendre plus de 24 s	$e^{- 1, 2}$	$0, 3012$

Probabilité cherchée	Valeur exacte	Sans correction	Erreur	Avec correction	Erreur
$P (X \leq 25)$	0,179926	0,153717	0,0262	0,179163	0,00076
$P (X \leq 35)$	0,868318	0,846283	0,0220	0,869214	0,00090
$P (25 \leq X \leq 35)$	0,738913	0,692566	0,0463	0,738428	0,00049
$P (X \geq 40)$	0,029300	0,020613	0,0087	0,026240	0,00306
$P (X = 30)$	0,081197	0,000000	0,0812	0,081293	0,00010

Probabilité cherchée	Valeur exacte	Sans correction	Avec correction
$P (X \leq 12)$	0,868412	0,814453	0,868224
$P (8 \leq X \leq 12)$	0,736824	0,628907	0,736448
$P (X = 10)$	0,176197	0,000000	0,176937

Objectifs du chapitre

La loi uniforme continue

Situation modélisée

Fonction de répartition, espérance, variance

La loi exponentielle

Situation modélisée

Espérance et variance

L'absence de mémoire

Le lien avec le processus de Poisson

Deux généralisations: gamma et Weibull

La loi normale

Situation modélisée

La constante de normalisation

Espérance, variance, forme

La règle des 68–95–99,7

Standardisation, table et quantiles

Le théorème de standardisation

La table de Φ et ses symétries

Les quantiles: la table lue à l'envers

Transformations linéaires et stabilité

Transformation affine

Somme de variables normales indépendantes

La loi log-normale

L'approximation normale de la loi binomiale

L'énoncé et ses conditions

Pourquoi la correction de continuité

Un exemple complet, exact et approché

Deux applications complètes

Synthèse

Exercices

Références

Le comptage sur une minute

Le temps d'attente moyen

Une attente longue, et l'absence de mémoire

Sur 240 intervalles, une approximation normale