Rappels de mathématiques et de statistique · Finance d'entreprise

Ce cours emprunte à deux disciplines voisines un petit nombre d'outils, toujours les mêmes. À l'analyse, il prend la série géométrique, qui fait toute la valeur temps de l'argent — annuités, perpétuités, modèle de Gordon-Shapiro —, et le couple logarithme-exponentielle, qui mesure les durées et les taux continus. À la statistique, il prend l'espérance, la variance et la covariance, sur lesquelles reposent le risque et la diversification, puis leurs estimations sur un échantillon, et enfin la régression linéaire qui sert à estimer un bêta. Cette annexe rassemble ces outils, sans rien ajouter à ce dont les chapitres ont besoin.

Une annexe se consulte plus qu'elle ne se lit. Les démonstrations sont données lorsqu'elles sont courtes et qu'elles apprennent quelque chose — celle de la somme géométrique tient en deux lignes, celle du $n - 1$ de la variance d'échantillon en quatre, celle de l'erreur type d'une pente de régression en une demi-page. Elles sont admises, avec la raison, lorsqu'elles relèvent franchement d'un cours de probabilités: c'est le cas de la loi de Student. Les renvois vont dans les deux sens: chaque chapitre qui s'appuie sur un résultat d'ici le cite, et le tableau ci-dessous dit où chaque résultat sert.

Chapitre	Ce qu'il emprunte	Ici
1	somme géométrique finie (annuité), série géométrique (perpétuité), limite exponentielle	théorèmes A.1 à A.3
4	somme géométrique finie (les coupons d'une obligation forment une annuité)	théorème A.1
5	perpétuité croissante de raison $(1 + g) / (1 + r)$ (Gordon-Shapiro)	théorème A.2, exemple A.1
6	variance d'une somme, bilinéarité, $- 1 \leq ρ \leq 1$ , division par $T - 1$	théorèmes A.5 à A.8

Toutes les valeurs numériques de cette annexe ont été recalculées par programme, en fractions exactes lorsque c'était possible. Les données d'exemple sont fictives, y compris celles qui reprennent les historiques inventés des chapitres 6 et 7.

Objectifs

Cette annexe vous permet de:

démontrer la somme d'une suite géométrique finie, énoncer la condition de convergence de la série géométrique et y reconnaître l'annuité, la perpétuité et la perpétuité croissante;
manipuler logarithmes et exponentielles pour trouver une durée ou un taux, et situer la capitalisation continue comme une limite;
calculer l'espérance, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire définie sur quelques scénarios;
calculer une covariance et une corrélation, développer la variance d'une somme par bilinéarité, et démontrer que $- 1 \leq ρ \leq 1$ ;
estimer ces grandeurs sur un échantillon et expliquer pourquoi l'on divise par $n - 1$ ;
ajuster une droite des moindres carrés, lire son $R^{2}$ , calculer l'erreur type de la pente et son intervalle de confiance avec la loi de Student.

Suites et séries géométriques

La somme finie

En finance, la raison est presque toujours un facteur d'actualisation $v = 1/ (1 + r)$ , ou le quotient $(1 + g) / (1 + r)$ d'un facteur de croissance par un facteur de capitalisation. La question qui revient sans cesse est celle de la somme des $n$ premiers termes.

Démonstration. Multiplions $S_{n}$ par $q$ : $q S_{n} = a q + a q^{2} + \dots + a q^{n}$ . Les deux sommes ont en commun tous les termes de à ; en les soustrayant, il ne reste que le premier terme de et le dernier de :

S_{n} - q S_{n} = a - a q^{n}, donc (1 - q) S_{n} = a (1 - q^{n}) .

Comme $q \neq = 1$ , on peut diviser par $1 - q$ . Si $q = 1$ , les $n$ termes valent tous $a$ . $□$

Retenez la forme «premier terme, fois un moins la raison à la puissance du nombre de termes, divisé par un moins la raison». Elle s'applique quel que soit l'indice de départ, pourvu qu'on identifie correctement le premier terme et le nombre de termes: c'est la source d'erreur la plus fréquente, bien plus que la formule elle-même.

La série infinie et sa condition de convergence

Démonstration. Si $∣ q ∣ < 1$ , alors $∣ q^{n} ∣ = ∣ q ∣^{n} \to 0$ quand $n \to \infty$ , et la somme partielle (A.1) tend vers $a (1 - 0) / (1 - q) = a / (1 - q)$ . Si , le terme général vérifie : il ne tend pas vers zéro, ce qui interdit toute convergence, puisque dans une série convergente tend vers .

La condition $∣ q ∣ < 1$ n'est pas un détail technique: c'est elle qui donne une valeur finie à un flux sans fin. Trois cas du cours s'y ramènent.

L'annuité (chapitre 1, théorème 1.5): les $n$ versements $C$ aux dates $1, \dots, n$ valent $\sum_{t = 1}^{n} C v^{t}$ , une somme finie de premier terme $C v$ et de raison . Pour , la raison est différente de 1 et (A.1) s'applique; aucune condition de convergence n'est requise, puisque la somme est finie.

Question A.1

Lequel de ces flux perpétuels, dont le premier versement a lieu dans un an, a une valeur actuelle finie?

Logarithmes et exponentielle

Les règles de calcul

La fonction exponentielle $x \mapsto e^{x}$ est définie sur tous les réels, strictement positive et strictement croissante; le logarithme naturel $ln$ est sa fonction réciproque, définie pour $y > 0$ : $ln y = x$ équivaut à $e^{x} = y$ . Quatre règles suffisent au cours:

e^{a + b} = e^{a} e^{b}, ln (x y) = ln x + ln y, ln (x^{t}) = t ln x, x^{t} = e^{t l n x} (x > 0) . (A.3)

La dernière est la définition même d'une puissance non entière: $1, 0 7^{2, 5}$ n'a de sens que par elle. Deux propriétés d'analyse complètent le tableau: la dérivée de $ln$ en $x$ est $1/ x$ , et $ln (1 + x) \leq x$ pour tout $x > - 1$ , avec lorsque est petit. La seconde se lit sur le graphe: la courbe concave est sous sa tangente en , qui est la droite .

Trouver une durée. Le logarithme sert d'abord à «descendre» un exposant. Combien d'années faut-il pour qu'un capital placé au taux $r$ soit multiplié par $K$ ? On résout $(1 + r)^{t} = K$ en prenant le logarithme des deux membres:

t = \frac{ln K}{ln ( 1 + r )} . (A.4)

Trouver un taux. Inversement, le taux qui multiplie un capital par $K$ en $t$ années est $r = K^{1/ t} - 1 = e^{(l n K) / t} - 1$ : c'est aussi la définition de la moyenne géométrique des rentabilités du chapitre 6.

La capitalisation continue comme limite

Démonstration (esquisse). Pour $m$ assez grand, $ln ((1 + x / m)^{m}) = x \cdot \frac{ln ( 1 + x / m )}{x / m}$ si . Le quotient est le taux d'accroissement de entre et ; il tend vers la dérivée . Le logarithme tend donc vers , et la continuité de l'exponentielle conclut. La démonstration complète est celle du théorème 1.4 du chapitre 1.

Appliqué à un taux nominal $r_{c}$ capitalisé $m$ fois par an, (A.5) dit que le facteur de capitalisation d'une année tend vers $e^{r_{c}}$ lorsque la fréquence devient infinie: c'est la capitalisation continue, avec la correspondance $1 + r = e^{r_{c}}$ , , entre taux effectif et taux continu (relation (1.8) du chapitre 1). À 7 % nominal, le facteur vaut en capitalisation annuelle, en mensuelle, en quotidienne et à la limite.

L'intérêt pratique de l'écriture continue est algébrique: par (A.3), des taux continus successifs s'additionnent, là où des taux effectifs se multiplient. C'est pourquoi on appelle rentabilité logarithmique la quantité $ln (1 + R)$ : sur plusieurs périodes, les rentabilités logarithmiques s'additionnent exactement. Comme $ln (1 + R) \leq R$ , elle est toujours un peu inférieure à la rentabilité simple, et l'écart croît avec $∣ R ∣$ .

Une variable aléatoire sur quelques scénarios

Espérance, variance, écart type

Le cours décrit l'incertitude de la manière la plus simple possible: un nombre fini de scénarios $s = 1, \dots, S$ , de probabilités $p_{s} > 0$ qui somment à 1. Une variable aléatoire $X$ est alors simplement la donnée d'une valeur $X_{s}$ par scénario — la rentabilité d'une action, le flux d'un projet, le dividende de l'an prochain. Tout ce qui suit vaut pour des lois plus générales, en remplaçant les sommes par des intégrales; le cours n'en a pas besoin.

Démonstration. (a) $\sum_{s} p_{s} (a X_{s} + b Y_{s} + c) = a \sum_{s} p_{s} X_{s} + b \sum_{s} p_{s} Y_{s} + c \sum_{s} p_{s}$ , et . (b) Par (a), l'espérance de est , donc son écart à l'espérance est , dont le carré est . (c) On développe et l'on applique (a): . (d) Une somme de termes positifs avec est nulle si et seulement si chaque vaut .

La linéarité (a) ne demande aucune hypothèse d'indépendance: elle ne fait que réordonner une somme finie. C'est elle qui donne immédiatement l'espérance d'un portefeuille (chapitre 6): la rentabilité espérée d'un portefeuille est la moyenne pondérée des rentabilités espérées de ses titres. La variance, elle, n'est pas linéaire, comme le montre déjà (b), et c'est tout le sujet de la section suivante. La formule (c) est commode à la main, mais numériquement fragile: elle soustrait deux grands nombres voisins, et un tableur qui l'applique à des données peu dispersées peut rendre une variance négative par erreur d'arrondi. Pour calculer, préférez la définition.

Exemple A.3 · Deux actions, quatre scénarios

Un analyste décrit l'année à venir par quatre scénarios et y associe les rentabilités de deux actions fictives: $X$ , une action cyclique, et $Y$ , une action défensive. Les rentabilités sont en pour cent.

Scénario	$p_{s}$	$X_{s}$	$Y_{s}$

Covariance et corrélation

Définitions et règles de calcul

Le signe de la covariance dit si les deux variables s'écartent ensemble de leur espérance (produits d'écarts surtout positifs) ou en sens opposés; sa taille dépend des unités, et c'est pourquoi on la normalise en corrélation.

Démonstration. (a) est immédiat sur la définition. (b) Par linéarité de l'espérance, l'écart à l'espérance de $a X + bY + c$ vaut $a (X - μ_{X}) + b (Y - μ_{Y})$ : la constante disparaît. En multipliant par et en prenant l'espérance, la linéarité donne . (c) On développe et l'on prend l'espérance: .

La bilinéarité est l'outil de calcul du chapitre 6: elle permet de développer la covariance d'une combinaison de titres comme on développe un produit de sommes. En particulier, ajouter une constante — un placement sans risque, par exemple — ne change aucune covariance.

La variance d'une somme

Démonstration. Posons $P = \sum_{i} w_{i} X_{i}$ . Par le théorème A.5 (a), $Var (P) = Cov (P, P)$ ; la bilinéarité, appliquée une fois dans chaque argument, donne , qui est (A.8). Pour , les deux termes croisés et sont égaux, d'où le facteur 2 de (A.7).

(A.7) est la formule de la variance d'un portefeuille de deux actifs (théorème 6.1), et (A.8) celle d'un portefeuille quelconque. Sur les $n^{2}$ termes de la double somme, $n$ seulement sont des variances; les $n^{2} - n$ autres sont des covariances. C'est ce décompte qui fait que, dans un grand portefeuille, les covariances l'emportent et que le risque tend vers la covariance moyenne (théorème 6.4).

Indépendance et corrélation nulle

Deux variables sont indépendantes si la probabilité de chaque couple de valeurs est le produit des probabilités: $P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y)$ pour tous $x$ , $y$ . Alors $E [X Y] = \sum_{x, y} x y P (X = x) P (Y = y) = E [X] E [Y]$ , et la covariance est nulle par le théorème A.5 (c). Soit qui vaut , ou avec probabilité chacun, et . Alors et , donc ; pourtant est par . La corrélation ne mesure que le lien . En finance, le cas se présente avec les options, dont le gain dépend du sous-jacent de manière très non linéaire.

Pour des variables indépendantes (ou simplement non corrélées deux à deux), (A.8) se réduit à $\sum_{i} w_{i}^{2} σ_{i}^{2}$ : les variances s'additionnent. C'est ce qui servira pour la moyenne d'un échantillon.

L'encadrement de la corrélation

Démonstration. Si $σ_{X} = 0$ , $X$ est constante (théorème A.4 (d)), sa covariance avec toute variable est nulle et (A.9) est une égalité $0 = 0$ . Supposons $σ_{X} > 0$ . Pour tout réel $λ$ , la variable a une variance positive ou nulle, et par (A.7)

0 \leq Var (Y - λ X) = σ_{Y}^{2} - 2 λ σ_{X Y} + λ^{2} σ_{X}^{2} .

Le membre de droite est un trinôme du second degré en $λ$ , de coefficient dominant positif, qui ne prend jamais de valeur négative: son discriminant est négatif ou nul, $4 σ_{X Y}^{2} - 4 σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2} \leq 0$ , ce qui est (A.9). Diviser par donne l'encadrement de .

Cas d'égalité: $∣ ρ ∣ = 1$ équivaut à un discriminant nul, donc à l'existence d'une racine double $λ^{*} = σ_{X Y} / σ_{X}^{2}$ où $Var (Y - λ^{*} X) = 0$ . Par le théorème A.4 (d), est alors une constante : , et a le signe de , c'est-à-dire de . Réciproquement, si , la bilinéarité donne et le théorème A.4 (b) , d'où .

La démonstration contient davantage que l'inégalité. La valeur $λ^{*} = σ_{X Y} / σ_{X}^{2}$ minimise la variance de $Y - λ X$ , et le minimum vaut

Var (Y - λ^{*} X) = σ_{Y}^{2} - \frac{σ _{X Y}^{2}}{σ _{X}^{2}} = σ_{Y}^{2} (1 - ρ_{X Y}^{2}) . (A.10)

Lorsque $X$ est la rentabilité du marché et $Y$ celle d'un titre, $λ^{*}$ est exactement le bêta du chapitre 7, et (A.10) partage la variance du titre en une part systématique $ρ^{2} σ_{Y}^{2} = β^{2} σ_{X}^{2}$ et une part — la décomposition du risque de la fin du chapitre 6.

Question A.2

Avec les deux actions fictives de l'exemple A.3 ( $σ_{X}^{2} = 319$ , $σ_{Y}^{2} = 24$ , $σ_{X Y} = 81$ , en %²), quelle est la volatilité d'un portefeuille qui place 25 % dans $X$ et 75 % dans $Y$ ? Répondez en pour cent, avec deux décimales.

Estimer sur un échantillon

Moyenne, variance et covariance d'échantillon

Les espérances, variances et covariances «vraies» supposent connues les probabilités des scénarios, ce qui n'est jamais le cas. On les estime à partir d'observations passées $X_{1}, \dots, X_{n}$ — par exemple $n$ rentabilités annuelles —, sous une hypothèse qu'il faut dire: ces observations sont des tirages indépendants d'une même loi, d'espérance $μ$ et de variance $σ^{2}$ . C'est ce qu'on appelle un échantillon (indépendant et identiquement distribué). L'hypothèse est forte pour des rentabilités: elle suppose que la nature du titre n'a pas changé pendant la période observée.

On notera $S_{xx} = \sum_{t} (X_{t} - \overset{ˉ}{X})^{2}$ , et les de carrés et de produits d'écarts, comme au chapitre 7. Alors , , et dans le quotient les facteurs se simplifient: . L'inégalité de Cauchy-Schwarz vaut aussi pour ces sommes (appliquez le théorème A.7 à la loi qui donne le poids à chaque observation), et .

Pourquoi $n - 1$

Démonstration. La première égalité est la linéarité de l'espérance. Pour la deuxième, $\overset{ˉ}{X} = \sum_{t} X_{t} / n$ est une combinaison de variables indépendantes, donc non corrélées, et (A.8) se réduit à $\sum_{t} σ^{2} / n^{2} = σ^{2} / n$ . Pour la troisième, écrivons et élevons au carré en sommant sur ; le terme croisé est nul, parce que les écarts à la moyenne somment à zéro. Il reste l'identité

t = 1 \sum n (X_{t} - \overset{ˉ}{X})^{2} = t = 1 \sum n (X_{t} - μ)^{2} - n (\overset{ˉ}{X} - μ)^{2} .

En espérance, le premier terme vaut $n σ^{2}$ (chaque carré a pour espérance $σ^{2}$ ) et le second $n Var (\overset{ˉ}{X}) = n \cdot σ^{2} / n = σ^{2}$ . D'où .

L'identité dit exactement ce que le chapitre 6 annonçait: mesurés autour de $\overset{ˉ}{X}$ , qui a été calculée sur les mêmes données, les écarts sont plus petits que s'ils étaient mesurés autour de la vraie espérance $μ$ — la moyenne d'échantillon est, par construction, le point qui minimise la somme des carrés des écarts. La perte vaut en moyenne exactement une variance $σ^{2}$ , et diviser par $n - 1$ au lieu de $n$ la compense. On dit que la somme des carrés a $n - 1$ degrés de liberté: les écarts somment à zéro, et le dernier est déterminé par les autres. La même raison impose dans la covariance d'échantillon.

Deux remarques d'honnêteté. D'abord, si l'espérance $μ$ était connue, la division par $n$ de $\sum_{t} (X_{t} - μ)^{2}$ serait sans biais: le $n - 1$ est le prix de l'estimation de . Ensuite, l'absence de biais porte sur , pas sur : la racine étant concave, est légèrement à . L'écart est négligeable pour les tailles d'échantillon de la finance (60 mois et plus), et personne ne le corrige en pratique.

La deuxième égalité de (A.12) est l'erreur type de la moyenne du chapitre 6: l'écart type de $\overset{ˉ}{X}$ vaut $σ / n$ , estimé par $s / n$ . Elle ne décroît qu'en , ce qui explique pourquoi les rentabilités espérées se mesurent si mal.

La régression linéaire simple

La droite des moindres carrés

On dispose de $n$ couples d'observations $(x_{t}, y_{t})$ — au chapitre 7, la rentabilité du marché et celle d'un titre sur le mois $t$ — et l'on cherche la droite $\overset{y}{^} = a + b x$ qui passe «au plus près» du nuage de points. Le critère des mesure l'écart par la somme des carrés des écarts verticaux.

Démonstration. Le chapitre 7 annule les deux dérivées partielles de $Q$ . En voici une autre voie, qui donne aussi le minimum. Pour $b$ fixé, $Q$ est la somme des carrés des écarts des nombres $y_{t} - b x_{t}$ à la constante $a$ ; elle est minimale lorsque $a$ est leur moyenne (c'est l'identité de la démonstration du théorème A.8, avec une constante quelconque à la place de : ), soit . En reportant, , et en développant le carré,

Q = S_{y y} - 2 b S_{x y} + b^{2} S_{xx} = S_{xx} (b - \frac{S _{x y}}{S _{xx}})^{2} + S_{y y} - \frac{S _{x y}^{2}}{S _{xx}} .

Le premier terme est positif et ne s'annule que pour $b = S_{x y} / S_{xx}$ ; le minimum est le second terme. Enfin, $\sum_{t} e_{t} = \sum_{t} (y_{t} - \overset{y}{ˉ}) - b \sum_{t} (x_{t} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ , et .

La pente est le rapport de la covariance d'échantillon à la variance d'échantillon de $x$ : c'est l'estimateur naturel du bêta $Cov (r_{i}, r_{M}) / Var (r_{M})$ du chapitre 7, et la version d'échantillon du $λ^{*}$ du théorème A.7.

Qualité de l'ajustement: le $R^{2}$

Démonstration. Comme $\overset{y}{^}_{t} - \overset{y}{ˉ} = b (x_{t} - \overset{x}{ˉ})$ , on a . Par le théorème A.9, . La somme des deux est . Enfin .

Le $R^{2}$ est la fraction de la variance de $y$ que la droite reproduit; pour une régression de la rentabilité d'un titre sur celle du marché, c'est la part systématique du risque, et $1 - R^{2}$ la part spécifique — la version d'échantillon de (A.10). Un $R^{2}$ faible ne signifie pas que la pente est mal estimée, ni un $R^{2}$ élevé qu'elle l'est bien: la précision de la pente est une autre question, qui demande un modèle.

Le modèle statistique et l'erreur type de la pente

Pour parler de la précision de $b$ , il faut dire d'où viennent les données. Le modèle de la régression linéaire simple suppose que

y_{t} = α + β x_{t} + ε_{t}, t = 1, \dots, n,

où $α$ et $β$ sont des paramètres inconnus — ceux que $a$ et $b$ estiment — et $ε_{t}$ une perturbation aléatoire. Les $x_{t}$ sont traités comme donnés (on raisonne «à $x_{t}$ connus»), et l'on fait les hypothèses suivantes sur les perturbations:

(H1) $E [ε_{t}] = 0$ : la droite est juste en moyenne;
(H2) $Var (ε_{t}) = σ^{2}$ pour tout $t$ : même dispersion à chaque période (homoscédasticité);
(H3) $Cov (ε_{t}, ε_{u}) = 0$ pour : les perturbations de deux périodes ne sont pas corrélées;

Ce sont exactement les conditions que le chapitre 7 énonce en une ligne avant (7.12): des résidus «indépendants, de même variance, et non corrélés au marché».

Démonstration. (a) Posons $c_{t} = (x_{t} - \overset{x}{ˉ}) / S_{xx}$ . Ces poids vérifient $\sum_{t} c_{t} = 0$ , et . Comme , la pente s'écrit , et en y reportant le modèle,

b = α t \sum c_{t} + β t \sum c_{t} x_{t} + t \sum c_{t} ε_{t} = β + t \sum c_{t} ε_{t} .

La pente estimée est la vraie pente plus une combinaison linéaire des perturbations. Par (H1), l'espérance de cette combinaison est nulle; par (H2), (H3) et (A.8), sa variance vaut $\sum_{t} c_{t}^{2} σ^{2} = σ^{2} / S_{xx}$ .

(b) Le modèle donne $\overset{y}{ˉ} = α + β \overset{x}{ˉ} + \overset{ε}{ˉ}$ , donc $y_{t} - \overset{y}{ˉ} = β (x_{t} - \overset{x}{ˉ}) + (ε_{t} - \overset{ε}{ˉ})$ , et les résidus s'écrivent

e_{t} = (y_{t} - \overset{y}{ˉ}) - b (x_{t} - \overset{x}{ˉ}) = (ε_{t} - \overset{ε}{ˉ}) - (b - β) (x_{t} - \overset{x}{ˉ}) .

En élevant au carré et en sommant, le terme croisé fait apparaître $\sum_{t} (x_{t} - \overset{x}{ˉ}) (ε_{t} - \overset{ε}{ˉ}) = \sum_{t} (x_{t} - \overset{x}{ˉ}) ε_{t} = (b - β) S_{xx}$ , par la ligne précédente. D'où

SCR = t \sum (ε_{t} - \overset{ε}{ˉ})^{2} - (b - β)^{2} S_{xx} .

Par (A.12), appliquée aux perturbations, le premier terme a pour espérance $(n - 1) σ^{2}$ ; par (a), le second a pour espérance $S_{xx} Var (b) = σ^{2}$ . Il reste $(n - 2) σ^{2}$ .

La démonstration de (b) est celle du $n - 1$ , une marche plus haut: la moyenne d'échantillon «colle» aux données et leur fait perdre un degré de liberté; la droite des moindres carrés, qui ajuste deux paramètres, leur en fait perdre deux. Les résidus satisfont deux contraintes linéaires (théorème A.9), et il n'en reste que $n - 2$ de libres.

La formule (A.15) dit tout ce qui rend une pente précise: une dispersion résiduelle $s$ faible, un grand nombre d'observations — $S_{xx}$ croît à peu près comme $n$ fois la variance des $x_{t}$ , de sorte que $et (b)$ décroît en $1/ n$ — et des . Au chapitre 7, c'est ce dernier point qui explique qu'une période de marché calme mesure mal un bêta.

Intervalle de confiance et loi de Student

La démonstration demande deux faits de probabilités que ce cours n'établit pas — sous normalité, $b$ est normale et $SCR / σ^{2}$ suit une loi du khi-deux à $n - 2$ degrés de liberté, indépendante de $b$ — et nous l'admettons. L'énoncé demande en revanche d'être lu avec précision. La probabilité de 95 % porte sur la procédure: sur un grand nombre d'échantillons, 95 % des intervalles construits par (A.16) contiendraient $β$ . Une fois l'intervalle calculé sur vos données, $β$ est dedans ou ne l'est pas; dire qu'il y a «95 % de chances que le bêta soit entre 0,45 et 2,11» est un raccourci courant, mais ce n'est pas ce que dit le théorème. Le même quotient $T$ sert à une valeur: si est hors de l'intervalle (A.16), c'est-à-dire si , les données la rejettent au seuil de 5 %.

La loi de Student, en un paragraphe. Si $σ$ était connu, $(b - β) / Var (b)$ suivrait une loi normale centrée réduite, dont le quantile à 97,5 % vaut 1,96. Mais on divise par une estimation de l'écart type, elle-même aléatoire: lorsqu'elle tombe trop bas, le quotient est gonflé. La loi de ce quotient a été calculée en 1908 par William Gosset, statisticien de la brasserie Guinness, qui publiait sous le pseudonyme de «Student». Elle est symétrique et en cloche comme la normale, mais avec des queues plus épaisses, d'autant plus que le nombre $k$ de degrés de liberté est petit; sa variance vaut pour (2 pour , 1,25 pour ), et elle tend vers la loi normale quand . Concrètement, ses quantiles à 97,5 % sont plus grands que 1,96, et d'autant plus que l'échantillon est petit: 2,776 pour 4 degrés de liberté, 2,571 pour 5, 2,228 pour 10, 2,042 pour 30, 2,002 pour 58 (soit 60 mois de données), et 1,960 à la limite. Utiliser 1,96 avec 6 observations donnerait des intervalles trop étroits: pour 4 degrés de liberté, la probabilité que dépasse 1,96 n'est pas de 5 % mais de 12,2 %. L'hypothèse de normalité (H4) est discutable pour des rentabilités, qui présentent plus de mois extrêmes qu'une loi normale ne le prévoit; pour des échantillons de quelques dizaines d'observations, le théorème central limite rend toutefois l'intervalle (A.16) approximativement valable, et c'est ainsi qu'il est employé en pratique.

Question A.3

Une régression sur 60 rentabilités mensuelles donne une pente $b = 0, 90$ , une dispersion résiduelle $s = 5, 0$ % par mois et $S_{xx} = 1125$ (%²). Le quantile de Student à 97,5 % pour 58 degrés de liberté vaut 2,002. Quelle est la borne supérieure de l'intervalle de confiance à 95 % de la pente? Donnez trois décimales.

Les hypothèses que les rentabilités ne respectent pas

L'erreur type (A.15) n'est juste que si (H2) et (H3) le sont, et les rentabilités réelles les respectent mal. Leur volatilité varie dans le temps — les crises sont des périodes de forte dispersion —, ce qui viole (H2); des résidus corrélés d'un mois à l'autre violent (H3). Dans ces deux cas, la pente reste sans biais par (A.14), mais (A.15) ne mesure plus correctement sa dispersion, et le plus souvent la sous-estime: l'intervalle (A.16) paraît alors plus précis qu'il ne l'est. Les praticiens utilisent des erreurs types dites «robustes», qui dépassent ce cours. Un défaut plus grave touche les titres peu échangés, dont le cours réagit avec retard au marché: là, c'est le modèle lui-même qui est faux pour les données, et la pente estimée est biaisée vers le bas (chapitre 7). Retenez que l'intervalle (A.16) est un ordre de grandeur honnête, pas une garantie.

Synthèse

La somme géométrique $a + a q + \dots + a q^{n - 1} = a (1 - q^{n}) / (1 - q)$ se démontre en soustrayant de ; la converge si et seulement si , vers . L'annuité, la perpétuité () et la perpétuité croissante () en sont trois cas.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice A.1 · Une bourse perpétuelle qui commence dans six ans

Une fondation veut financer à perpétuité une bourse de CHF 50 000 par an, dont le premier versement aura lieu à la fin de l'année 6. Le taux d'actualisation est de 4 %.

Écrivez la valeur actuelle comme une série géométrique, identifiez son premier terme et sa raison, et calculez-la.
Retrouvez ce résultat comme la différence entre une perpétuité qui commence à la date 1 et une annuité de cinq ans.
Le conseil de fondation veut indexer la bourse de 2 % par an à partir du premier versement. Quel capital faut-il aujourd'hui? Et pour une indexation de 5 % par an?

Solution

Les versements ont lieu aux dates $6, 7, 8, \dots$ La valeur actuelle est $\sum_{t \geq 6} 50000 \times 1, 0 4^{- t}$ , une série de premier terme et de raison , donc convergente. Par (A.2),

Exercice A.2 · Durées, taux continus et rentabilités logarithmiques

Combien d'années faut-il pour que CHF 10 000 placés à 3 % effectif par an deviennent CHF 25 000?
Quel taux continu est équivalent à 3 % effectif? Vérifiez qu'il donne la même durée qu'en 1.
Une action enchaîne trois années de rentabilités $+ 20 %$ , $- 20 %$ et $+ 10 %$ . Calculez ses trois rentabilités logarithmiques, leur somme, et déduisez-en la rentabilité totale sur trois ans. Comparez avec la somme des rentabilités simples, puis donnez la moyenne géométrique annuelle.

Solution

Par (A.4) avec $K = 2, 5$ : ans (30,9989 exactement).

Exercice A.3 · Un marché, une action, trois scénarios

Trois scénarios fictifs de probabilités $0, 25$ , $0, 50$ et $0, 25$ donnent au marché les rentabilités $M = - 10$ , $6$ et $22$ %, et à une action les rentabilités $B = - 2$ , et %.

Exercice A.4 · Le n − 1, dans le plus petit cas et en général

Pour un échantillon de deux observations, montrez que $\sum_{t} (X_{t} - \overset{ˉ}{X})^{2} = (X_{1} - X_{2})^{2} /2$ , puis, pour des tirages i.i.d. de variance , que . Concluez sur et sur la division par .

Exercice A.5 · Un bêta sur cinq ans, et la régression à l'envers

Sur 60 mois fictifs, les rentabilités d'un indice ( $x_{t}$ ) et d'une action ( $y_{t}$ ) donnent $\overset{x}{ˉ} = 0, 5 %$ , , , et (en %²).

Références

Wooldridge J. M., Introductory Econometrics: A Modern Approach, Cengage — chapitre 2 pour la régression simple, ses hypothèses et la démonstration de l'absence de biais; annexes B et C pour les rappels de probabilités et d'estimation.
Berk J. et DeMarzo P., Finance d'entreprise, Pearson — les chapitres sur la valeur temps (séries géométriques) et sur le risque et la rentabilité, qui utilisent exactement ces outils.
Ross S., A First Course in Probability, Pearson — pour l'espérance, la variance, la covariance et l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur des lois discrètes, avec démonstrations.
Brealey R., Myers S. et Allen F., Principes de gestion financière, Pearson — pour l'estimation du bêta par régression et la lecture de son erreur type en pratique.
Analyse I, sur cette plateforme — chapitre 4, «Séries numériques», pour la démonstration complète des séries géométriques et des critères de convergence.

Récession	0,2	−20	−5	−26	−9
Ralentissement	0,3	0	5	−6	1
Croissance	0,3	10	5	4	1
Expansion	0,2	35	10	29	6

Objectifs

Suites et séries géométriques

La somme finie

La série infinie et sa condition de convergence

Logarithmes et exponentielle

Les règles de calcul

La capitalisation continue comme limite

Une variable aléatoire sur quelques scénarios

Espérance, variance, écart type

Covariance et corrélation

Définitions et règles de calcul

La variance d'une somme

Indépendance et corrélation nulle

L'encadrement de la corrélation

Estimer sur un échantillon

Moyenne, variance et covariance d'échantillon

Pourquoi n−1

La régression linéaire simple

La droite des moindres carrés

Qualité de l'ajustement: le R2

Le modèle statistique et l'erreur type de la pente

Intervalle de confiance et loi de Student

Synthèse

Exercices

Références

Pourquoi $n - 1$

Qualité de l'ajustement: le $R^{2}$