Options et produits dérivés · Finance d'entreprise

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

distinguer un contrat à terme (forward), un contrat future et une option, et démontrer par l'absence d'arbitrage le prix à terme d'une action et d'une devise;
écrire la valeur à l'échéance et le profit d'un call et d'un put, achetés ou vendus, et les représenter graphiquement;
démontrer la parité call–put par un argument d'arbitrage et exploiter un prix qui la viole;
évaluer une option dans le modèle binomial, à une et à plusieurs périodes, par réplication et par les probabilités neutres au risque, et dire pourquoi la rentabilité espérée de l'action n'intervient pas;
appliquer la formule de Black–Scholes, énoncée sans démonstration, et lire l'effet de chacun de ses paramètres;
utiliser des options pour couvrir un risque, et reconnaître des options dans les décisions de l'entreprise: les fonds propres comme call sur les actifs, les bons de souscription, les obligations convertibles et les options réelles.

Les dix premiers chapitres ont évalué des actifs dont les flux sont linéaires dans le risque: une action rapporte un dividende et un prix de revente, une obligation des coupons et un remboursement, un projet des flux disponibles. Ce chapitre étudie des actifs d'une autre nature, les produits dérivés, dont le flux est une fonction du prix d'un autre actif, l'actif sous-jacent. Un contrat à terme fixe aujourd'hui le prix d'un achat futur; une option donne le droit, sans l'obligation, d'acheter ou de vendre à un prix fixé. Ce droit est asymétrique — on l'exerce quand il rapporte, on l'abandonne sinon — et c'est cette asymétrie qui rend les options à la fois utiles pour la couverture des risques et difficiles à évaluer.

La finance d'entreprise a deux raisons de s'y intéresser. La première est pratique: un trésorier qui encaisse des euros, un fonds de pension qui veut limiter ses pertes, une entreprise qui rémunère ses dirigeants par des options sur ses actions utilisent tous des dérivés. La seconde est conceptuelle, et elle est plus profonde: les titres que l'entreprise émet sont eux-mêmes des options. Les actionnaires d'une société endettée détiennent un call sur ses actifs; une obligation convertible contient une option d'achat d'actions; un projet qu'on peut différer, agrandir ou abandonner vaut plus que sa VAN calculée au chapitre 2. La méthode de ce chapitre — évaluer un actif en le répliquant par des titres dont on connaît le prix — est celle de Modigliani et Miller au chapitre 9, appliquée à des flux non linéaires.

Contrats à terme: forwards et futures

Le contrat à terme de gré à gré

Un contrat à terme n'est pas une option: les deux parties sont obligées. Celui qui a acheté à terme une action à CHF 101 doit la payer CHF 101 même si elle ne vaut plus que CHF 70. Son gain $S_{T} - F_{0}$ est linéaire dans le cours: il gagne autant à la hausse qu'il perd à la baisse. Quel est le bon prix à terme? Pas l'espérance du cours futur, comme on pourrait le penser, mais un prix que l'absence d'arbitrage fixe entièrement.

Démonstration. Comparons deux manières de détenir l'action en $T$ . Stratégie A: acheter l'action aujourd'hui en empruntant $S_{0}$ au taux $r_{f}$ ; en $T$ , on détient l'action et l'on doit $S_{0} (1 + r_{f})^{T}$ . : acheter l'action à terme; en , on paie et l'on reçoit l'action. Aucune des deux ne coûte rien aujourd'hui, et toutes deux livrent l'action en . Elles ne diffèrent que par le montant payé en , qui est certain dans les deux cas.

Si $F_{0} > S_{0} (1 + r_{f})^{T}$ , un arbitragiste emprunte $S_{0}$ , achète l'action et la au prix . En , il livre l'action, encaisse et rembourse : un gain certain de sans mise de fonds (c'est l'arbitrage dit ). , il fait l'inverse: il vend l'action à découvert, place le produit au taux et l'; en , il dispose de , paie pour l'action et restitue celle-ci au prêteur de titres, avec un gain certain de . Aucun des deux cas n'étant compatible avec l'absence d'arbitrage, .

Pour l'action de Säntis, à CHF 100, le prix à terme à un an vaut $100 \times 1, 01 = CHF 101$ . Remarquez ce qui n'apparaît pas dans (11.1): la rentabilité espérée de l'action. Que les investisseurs exigent 7 % ou 12 % de Säntis, le prix à terme est le même, parce qu'il est fixé par une stratégie de réplication sans risque. C'est la première apparition d'une idée qui gouverne tout ce chapitre.

Le même raisonnement s'applique aux devises, à une différence près: une devise placée rapporte un intérêt, au taux de son propre pays. Celui qui achète aujourd'hui un euro au cours au comptant $S_{0}$ (en CHF par EUR) et le place obtient $1 + r_{EUR}$ euros dans un an. En le répliquant comme ci-dessus, on obtient la parité des taux d'intérêt couverte:

F_{0} = S_{0} \frac{1 + r _{CHF}}{1 + r _{EUR}} (pour une \overset{e}{ˊ} ch \overset{e}{ˊ} ance d’un an) . (11.2)

Les contrats futures

Le future et le forward ont la même logique économique, et leurs prix sont très proches lorsque les taux d'intérêt sont peu variables; ils diffèrent par l'organisation. Le forward est taillé sur mesure par une banque pour son client — montant exact, date exacte —, mais il expose chaque partie au risque de défaut de l'autre. Le future est liquide et presque sans risque de contrepartie, mais il ne couvre qu'approximativement un risque qui ne coïncide pas avec ses caractéristiques standard. Les futures et les options sur l'indice SMI et sur les principales actions suisses se négocient sur Eurex, une bourse de dérivés détenue par Deutsche Börse; les couvertures de change des entreprises, elles, sont le plus souvent des forwards conclus avec une banque.

Question 11.1

Le cours au comptant d'une action sans dividende est de CHF 80 et le taux sans risque de 1 % par an. Un analyste prévoit que l'action vaudra CHF 90 dans un an. Quel est le prix à terme à un an?

Les options: définitions et profils de gain

À l'échéance, le détenteur d'un call européen exerce si et seulement si le cours dépasse le prix d'exercice: il achète à $K$ ce qui vaut $S_{T}$ . Sinon, il laisse l'option expirer, et elle ne vaut rien. Le détenteur d'un put exerce si le cours est inférieur à $K$ . Les valeurs à l'échéance sont donc

C_{T} = max (S_{T} - K, 0), P_{T} = max (K - S_{T}, 0) . (11.3)

L'émetteur reçoit la prime et supporte l'exercice: sa position vaut $- C_{T}$ ou $- P_{T}$ à l'échéance. Une option est un jeu à somme nulle entre son acheteur et son vendeur: ce que l'un gagne, l'autre le perd. Le profit d'une position tient compte de la prime payée ou reçue; pour comparer des francs de même date, on capitalise la prime jusqu'à l'échéance au taux sans risque. Le profit de l'acheteur d'un call de prime $C_{0}$ est ainsi $max (S_{T} - K, 0) - C_{0} (1 + r_{f})^{T}$ .

Exemple 11.2 · Profils d'un call et d'un put sur Säntis

Un call et un put européens sur l'action de Säntis (fictive), de prix d'exercice $K = CHF 100$ et d'échéance un an, cotent respectivement CHF 10,40 et CHF 9,41; nous montrerons plus loin que ce sont les prix de Black–Scholes pour une volatilité de 25 %. Capitalisées à 1 %, les primes valent CHF 10,51 et CHF 9,51 à l'échéance.

Cours à l'échéance $S_{T}$	70	90	100	110,51	130
Valeur du call $max (S_{T} - 100, 0)$

Le coude des courbes de la figure 11.1 est ce qui distingue une option d'un contrat à terme, dont le gain est une droite. En combinant options, actions et placements sans risque, on fabrique presque n'importe quel profil. Acheter un call et un put de même prix d'exercice (un straddle, exercice 11.1) rapporte si le cours s'écarte beaucoup de $K$ , dans un sens ou dans l'autre: c'est un pari sur la volatilité, pas sur la direction. Détenir l'action et acheter un put (le put protecteur) garantit un prix de vente minimal: c'est une assurance, que la section sur la couverture chiffre.

Question 11.2

Quelle position perd de l'argent si le cours de l'action monte fortement, et ne peut gagner au mieux que la prime encaissée?

La parité call–put

Un call et un put de même prix d'exercice et de même échéance sur la même action ne peuvent pas avoir des prix quelconques l'un par rapport à l'autre. La relation qui les lie ne demande aucun modèle du cours de l'action: seulement l'absence d'arbitrage.

Démonstration. Considérons deux portefeuilles. Le portefeuille A détient un call et un placement sans risque qui rapportera $K$ en $T$ (une obligation zéro-coupon de valeur nominale $K$ , qui coûte $K / (1 + r_{f})^{T}$ ). Le portefeuille B détient un put et une action. À l'échéance:

	$S_{T} \leq K$	$S_{T} > K$
A: call + zéro-coupon	$0 + K = K$

Les deux portefeuilles valent $max (S_{T}, K)$ dans tous les états. Ils doivent donc avoir la même valeur aujourd'hui, sans quoi on achèterait le moins cher, on vendrait le plus cher, et l'on encaisserait la différence sans aucun risque, les deux flux s'annulant en $T$ . Donc $C_{0} + K / (1 + r_{f})^{T} = P_{0} + S_{0}$ , ce qui est (11.4).

La parité dit qu'un call est un put augmenté d'une position à terme: $C_{0} = P_{0} + S_{0} - K / (1 + r_{f})^{T}$ , et est exactement la valeur aujourd'hui d'un contrat à terme qui livre l'action en contre . Pour Säntis, et : , ce que vérifient les primes de l'exemple 11.2 ().

La parité donne aussi des bornes simples. Comme $P_{0} \geq 0$ , (11.4) implique $C_{0} \geq S_{0} - K / (1 + r_{f})^{T}$ : un call vaut au moins l'action moins la valeur actuelle du prix d'exercice, et cette borne est à la valeur d'exercice immédiat dès que . Conséquence remarquable: un . L'exercer rapporterait , alors que le vendre rapporte au moins , davantage. Il vaut donc exactement le call européen. Ce n'est vrai ni d'un put américain (l'exemple 11.5 montre un exercice anticipé optimal), ni d'un call sur une action qui détache un dividende, qu'on peut avoir intérêt à exercer juste avant le jour ex (chapitre 10).

Question 11.3

Un call européen sur Säntis (cours CHF 100, sans dividende), de prix d'exercice CHF 100 et d'échéance deux ans, cote CHF 14,90. Le taux sans risque est de 1 % par an. Quel doit être le prix du put de mêmes caractéristiques? Répondez en CHF avec deux décimales.

Évaluer une option: le modèle binomial à une période

La parité relie le call au put, mais elle ne dit pas ce que vaut l'un ou l'autre. Pour cela, il faut un modèle de ce que l'action peut faire. Le plus simple qui contienne l'essentiel est dû à Cox, Ross et Rubinstein (1979): sur une période, l'action ne peut prendre que deux valeurs.

Répliquer l'option

Soit une action de cours $S_{0}$ qui vaudra, dans une période, soit $S_{u} = u S_{0}$ (état haut), soit $S_{d} = d S_{0}$ (état bas), avec . Une option vaudra dans l'état haut et dans l'état bas. L'idée, déjà rencontrée avec le levier fait maison du chapitre 9, est de le même flux avec deux titres dont on connaît le prix: actions et un montant placé (ou emprunté, si ) au taux sans risque.

Démonstration. Le portefeuille de $Δ$ actions et $B$ francs placés vaut $Δ S_{u} + B (1 + r_{f})$ dans l'état haut et $Δ S_{d} + B (1 + r_{f})$ dans l'état bas. Il reproduit l'option si

Δ S_{u} + B (1 + r_{f}) = C_{u}, Δ S_{d} + B (1 + r_{f}) = C_{d} .

En soustrayant, $Δ (S_{u} - S_{d}) = C_{u} - C_{d}$ , d'où . En reportant dans la seconde équation, , d'où . Le portefeuille et l'option ont le même flux dans les deux états; s'ils n'avaient pas le même prix, acheter le moins cher et vendre le plus cher rapporterait un gain certain. Donc .

Pour (11.6), on remplace $Δ$ et $B$ par leurs expressions, avec $S_{u} = u S_{0}$ et $S_{d} = d S_{0}$ :

C_{0} = \frac{C _{u} - C _{d}}{u - d} + \frac{C _{d} u - C _{u} d}{( u - d ) ( 1 + r _{f} )} = \frac{C _{u} [ ( 1 + r _{f} ) - d ] + C _{d} [ u - ( 1 + r _{f} ) ]}{( u - d ) ( 1 + r _{f} )},

qui est (11.6) puisque $1 - q = [u - (1 + r_{f})] / (u - d)$ . Enfin $0 < q < 1$ équivaut à ; l'exercice 11.5 montre que cette condition est exactement l'absence d'arbitrage entre l'action et le placement sans risque.

Le nom de $q$ vient de ce que la formule (11.6) ressemble à une évaluation par un investisseur indifférent au risque: une espérance des flux, calculée avec les probabilités $q$ et $1 - q$ , actualisée au taux sans risque. Sous ces probabilités, l'action elle-même rapporte en espérance le taux sans risque: $q u S_{0} + (1 - q) d S_{0} = (1 + r_{f}) S_{0}$ , comme on le vérifie en remplaçant .

La probabilité réelle de hausse n'entre pas dans le prix

Dans l'exemple 11.4, nous n'avons jamais dit avec quelle probabilité Säntis monte. Supposons qu'elle soit de 60 %: la rentabilité espérée de l'action est alors $(0, 6 \times 125 + 0, 4 \times 80) /100 - 1 = 7 %$ . Si elle était de 90 %, la rentabilité espérée serait de 20,5 %. Le prix du call est CHF 11,55 dans les deux cas. Ce n'est pas un oubli: le call est une combinaison d'action et de placement sans risque, et le prix de l'action contient déjà l'opinion du marché sur ses perspectives. Un investisseur plus optimiste que le marché ne peut pas payer le call plus cher sans offrir un arbitrage à quelqu'un d'autre. Et n'est pas une prévision de hausse: c'est une , qui intègre déjà l'aversion au risque. Actualiser des flux espérés sous la probabilité réelle au taux sans risque, ou des flux espérés sous au taux exigé de l'action, sont deux erreurs symétriques.

Question 11.4

Une action cote CHF 50 et vaudra dans un an CHF 60 ou CHF 45. Le taux sans risque est de 1 %. Quelle est la valeur d'un call européen de prix d'exercice CHF 50 et d'échéance un an? Répondez en CHF avec deux décimales.

Plusieurs périodes

Deux états en un an, c'est une caricature. Mais la caricature se raffine: découpons l'année en $n$ périodes, chacune avec deux issues. Après $n$ périodes, l'action peut prendre $n + 1$ valeurs, et l'arbre se rapproche d'une distribution continue. La méthode reste la même, appliquée de droite à gauche: à l'échéance, on connaît la valeur de l'option; à chaque nœud de la période précédente, on l'évalue par (11.6) à partir des deux nœuds qui le suivent, et ainsi de suite jusqu'à la racine.

Démonstration. Par récurrence arrière, la valeur à chaque nœud est l'espérance sous $q$ des deux valeurs suivantes, actualisée d'une période. En composant $n$ fois, la valeur à la racine est l'espérance sous $q$ de la valeur à l'échéance, actualisée de $n$ périodes. Sous $q$ , les hausses sont indépendantes d'une période à l'autre et de probabilité $q$ chacune, donc le nombre $k$ de hausses suit une loi binomiale: le nœud final atteint après $k$ hausses et $n - k$ baisses, où l'action vaut , a la probabilité .

La réplication, elle, doit être ajustée à chaque nœud: le nombre d'actions $Δ$ change avec le cours. C'est une stratégie dynamique qui, à chaque date, se finance elle-même: on ne rajoute ni ne retire d'argent, on réarrange seulement les positions.

Comment choisir $u$ et $d$ pour une action réelle? Cox, Ross et Rubinstein proposent de les tirer de la volatilité $σ$ de l'action: avec $n$ périodes de durée $Δ t = T / n$ , on pose $u = e^{σ Δ t}$ et . L'arbre à une période de l'exemple 11.4, où , correspond ainsi à . Prenons la volatilité de 25 % par an de Säntis et le call à la monnaie à un an, et augmentons le nombre de périodes:

Nombre de périodes $n$	1	2	5	10	50	100	500
Valeur du call (CHF)	12,87	9,27	10,90	10,16	10,35	10,38	10,40

La valeur oscille, puis se stabilise vers CHF 10,40. Cette limite a une formule fermée.

La formule de Black–Scholes

Lorsque le nombre de périodes tend vers l'infini avec le calibrage ci-dessus, le cours de l'action suit à la limite un mouvement log-normal: son logarithme varie de façon continue, avec des accroissements normaux et indépendants de variance $σ^{2}$ par an. Fischer Black et Myron Scholes (1973), avec Robert Merton (1973), ont obtenu dans ce cadre la valeur exacte d'une option européenne. Scholes et Merton ont reçu en 1997 le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel; Black était décédé en 1995. La démonstration demande le calcul stochastique; nous énonçons le résultat et apprenons à l'utiliser.

Avec le taux du cours, $e^{- r T} = 1, 0 1^{- T}$ : le facteur $K e^{- r T}$ est simplement la valeur actuelle du prix d'exercice, $K / (1 + r_{f})^{T}$ . La formule se lit comme la réplication binomiale: on détient actions et l'on emprunte . Les hypothèses sont celles du modèle binomial poussé à la limite: marchés sans frictions, ventes à découvert permises, échange continu, taux sans risque et volatilité , cours qui ne fait pas de sauts.

Ce qui fait la valeur d'une option

La formule permet de mesurer l'effet de chaque paramètre. Partons du call de l'exemple 11.6 (CHF 10,40) et changeons un paramètre à la fois:

Changement	Call	Put	Pourquoi
Cours $S$ de 100 à 110	16,79	5,80	le call se rapproche de l'exercice, le put s'en éloigne
Volatilité de 25 % à 35 %	14,32	13,33	plus de chances d'un gain élevé, la perte reste bornée à la prime
Échéance de 1 à 2 ans	14,90	12,93	plus de temps pour que le cours s'écarte de $K$

Le prix d'exercice agit à l'opposé du cours (un $K$ plus élevé rend le call moins cher et le put plus cher), et un taux d'intérêt plus élevé augmente le call et diminue le put, en réduisant la valeur actuelle de $K$ . L'effet de la volatilité est le plus important pour comprendre la finance d'entreprise: les deux options gagnent de la valeur quand le risque augmente. Le détenteur d'une option profite des grands écarts favorables et ne subit pas les défavorables au-delà de la prime: il aime la variance. Nous retrouverons ce résultat dans les décisions des actionnaires d'une société endettée.

Dans la formule, tous les paramètres sont observables sauf un: la volatilité future. Les praticiens retournent souvent le problème: à partir du prix de marché d'une option, ils cherchent la volatilité qui le reproduit, la volatilité implicite. C'est une mesure de l'incertitude que le marché anticipe; SIX publie ainsi un indice de volatilité implicite des options sur le SMI, le VSMI. Que la volatilité implicite varie selon le prix d'exercice des options d'un même sous-jacent — ce qu'on observe régulièrement — montre que l'hypothèse d'une volatilité constante n'est qu'une approximation.

Explorateur 11.1 · La formule de Black–Scholes

Réglez le cours de l'action, sa volatilité et la durée jusqu'à l'échéance d'un call de prix d'exercice CHF 100 (taux sans risque de 1 %, action fictive sans dividende). La courbe en trait plein est la valeur du call pour chaque cours; la ligne tiretée est ce qu'il vaudrait à l'échéance. Observez que l'écart entre la courbe et la ligne — la valeur temps — grandit avec la volatilité et la durée, et que la différence entre le call et le put ne dépend jamais de la volatilité.

Cours de l'action S (CHF)100

Volatilité σ (% par an)25

Durée T (années)1,0

Call C

CHF 10,40

Put P

CHF 9,41

Delta du call N(d₁)

0,565

Valeur temps du call C − max(S − K, 0)

CHF 10,40

C − P

CHF 0,99

S − K/1,01^T

CHF 0,99

Question 11.5

Le cours de Säntis monte à CHF 110 ( $K = 100$ , $T = 1$ an, $σ = 25 %$ , taux sans risque 1 %). On vous donne $N (d_{1}) = 0, 7075$ et $N (d_{2}) = 0, 6164$ . Quelle est la valeur du call selon Black–Scholes? Répondez en CHF avec deux décimales.

Couvrir un risque avec des options

Un contrat à terme fixe un prix: il supprime le risque dans les deux sens. Une option fixe un plancher ou un plafond: elle supprime le risque défavorable et conserve le favorable, contre une prime. C'est la différence entre se couvrir et s'assurer.

La stratégie inverse, le call couvert (covered call), consiste à détenir l'action et à vendre un call: on encaisse une prime, en échange de quoi l'on renonce aux gains au-dessus du prix d'exercice. C'est une source de revenu en marché calme, pas une protection: la baisse de l'action reste entière, amortie seulement par la prime.

La couverture en delta. Une banque qui vend des options à ses clients ne veut en général pas parier sur le cours: elle se couvre en répliquant l'option qu'elle a vendue. Ayant vendu 1 000 calls de l'exemple 11.6, elle achète $1000 \times N (d_{1}) = 565$ actions. Si le cours passe de 100 à 101, chaque call prend CHF 0,573 et sa position vendeuse perd CHF 573, mais ses 565 actions gagnent CHF 565: le solde n'est que de CHF −8. Si le cours saute à 110 sans qu'elle ait réajusté, le call vaut 16,79 et le solde atteint CHF −737: le delta n'est exact que pour de petits mouvements, et la couverture doit être réajustée au fil du temps, ce qui coûte des frais de transaction. C'est la réplication dynamique de l'arbre binomial, pratiquée pour de vrai.

Forward ou option pour un exportateur? Reprenons Helvetia et ses EUR 10 M de l'exemple 11.1. Le contrat à terme garantit CHF 9,41 M et renonce au gain si l'euro monte. Un put sur l'euro (le droit de vendre ses euros à un cours fixé) garantit un plancher et laisse le gain si l'euro monte, contre une prime payée d'avance (exercice 11.4). Le choix dépend de ce que l'entreprise cherche: si elle a déjà fixé ses prix de vente en euros et veut une marge certaine, le contrat à terme suffit et ne coûte rien à la conclusion; si elle répond à un appel d'offres qu'elle n'est pas sûre de gagner, l'option la protège sans l'obliger à livrer des euros qu'elle n'aura peut-être pas.

Une couverture n'est pas une création de valeur

Une couverture réduit la variance d'un résultat; elle ne crée pas de valeur dans un marché sans frictions. Le contrat à terme de l'exemple 11.1 a une valeur nulle à la conclusion, et le put de l'exemple 11.7 coûte exactement ce qu'il vaut. Pour l'actionnaire diversifié, le risque de change d'Helvetia est en grande partie spécifique et ne lui coûte rien (chapitre 7). Si la couverture crée de la valeur, c'est par un canal qui viole les hypothèses de Modigliani et Miller (chapitre 9): elle réduit la probabilité et donc le coût attendu de la détresse financière, elle stabilise le bénéfice imposable, elle permet de financer de bons projets sans recourir à des émissions coûteuses. Une entreprise qui «se couvre» en vendant des options pour encaisser des primes, elle, ne se couvre pas: elle prend un risque.

Options et finance d'entreprise

Les fonds propres, un call sur les actifs

Revenons à la structure financière du chapitre 9, avec le regard de ce chapitre. Une société a émis une dette zéro-coupon de valeur nominale $F$ , remboursable en $T$ . À l'échéance, si ses actifs valent $V_{T} \geq F$ , elle rembourse et les actionnaires gardent $V_{T} - F$ . Si $V_{T} < F$ , elle fait défaut: grâce à la , les actionnaires abandonnent les actifs aux créanciers et ne perdent pas plus que leur mise. Les actionnaires reçoivent donc : sur les actifs de l'entreprise, de prix d'exercice .

Démonstration. À l'échéance, les actionnaires reçoivent $max (V_{T} - F, 0)$ , le flux d'un call; les créanciers reçoivent le reste, $V_{T} - max (V_{T} - F, 0) = min (V_{T}, F)$ . Par l'absence d'arbitrage, des flux identiques ont des valeurs identiques: et, la valeur totale étant (hypothèses de Modigliani et Miller), . Par la parité call–put (11.4) appliquée aux actifs, . On le voit aussi directement sur les flux: .

Ce point de vue éclaire plusieurs résultats du chapitre 9. Les actionnaires d'une société proche du défaut détiennent un call hors de la monnaie, dont la valeur dépend surtout de la volatilité: ils ont intérêt à des projets risqués, même de VAN négative (substitution d'actifs), et peu d'intérêt à injecter des fonds dont l'essentiel servirait à rembourser les créanciers (sous-investissement). Pour Helvetia, au contraire, la dette de CHF 200 M est petite devant des actifs de CHF 700 M: le call des actionnaires est profondément dans la monnaie, son delta est proche de 1, et ses fonds propres se comportent presque comme les actifs moins une dette sûre. Le modèle de Merton est à la base de plusieurs méthodes de mesure du risque de crédit; ses hypothèses (une seule dette zéro-coupon, des actifs négociables de volatilité constante) en font un outil de raisonnement plus qu'un outil de prévision.

Bons de souscription et obligations convertibles

Un bon de souscription (warrant) est un call émis par l'entreprise elle-même sur ses propres actions: son exercice crée des actions nouvelles, que l'entreprise vend au prix d'exercice. Il diffère donc d'un call négocié entre investisseurs par la dilution: les actions créées partagent la valeur de l'entreprise avec les anciennes, si bien qu'un bon vaut un peu moins qu'un call de mêmes caractéristiques. Les options attribuées aux dirigeants et aux employés sont des bons de ce type; leur coût pour les actionnaires est leur valeur d'option, même si aucune sortie de trésorerie n'a lieu à l'attribution.

Une obligation convertible est une obligation que son détenteur peut échanger contre un nombre fixé d'actions. C'est, en première approximation, une obligation ordinaire plus des calls. Prenons une convertible fictive de Säntis: nominal CHF 1 000, coupon de 0,5 %, échéance cinq ans, convertible en 8 actions — soit un prix de conversion de $1 000/8 = CHF 125$ par action. Si une obligation ordinaire de Säntis de même échéance rapporterait 2 % par an, la partie obligataire vaut $\sum_{t = 1}^{5} 5/1, 0 2^{t} + 1 000/1, 0 2^{5} = CHF 929, 30$ . Les 8 calls de prix d'exercice 125 à cinq ans valent, par Black–Scholes avec , . La convertible vaut donc environ , plus que sa valeur obligataire (929) et plus que sa valeur de conversion immédiate (). L'approximation néglige la dilution, les coupons perdus à la conversion et le droit de remboursement anticipé que se réserve souvent l'émetteur. Elle explique pourtant l'essentiel: le coupon de 0,5 % n'est pas un financement bon marché, l'investisseur accepte un coupon faible parce qu'il reçoit des options. La hiérarchie des financements du chapitre 9 place les convertibles entre la dette et les actions pour cette raison: leur valeur dépend en partie des perspectives de l'action.

Les options réelles

Le critère de la VAN du chapitre 2 compare un projet à son rejet, maintenant ou jamais, avec des flux fixés d'avance. Or beaucoup de décisions d'investissement contiennent des droits sans obligation: différer un projet pour en savoir plus sur la demande, agrandir une usine si le premier marché réussit, abandonner une activité et revendre ses actifs si elle échoue, changer de matière première selon les prix. Ce sont des options réelles. Comme toute option, elles ont une valeur positive, d'autant plus élevée que l'incertitude est grande, et une VAN calculée sans elles sous-estime les projets qui en contiennent. Un projet de VAN légèrement négative peut ainsi valoir la peine d'être lancé s'il ouvre une option d'expansion; un projet de VAN positive peut gagner à être différé si l'attente révèle des informations précieuses. Leur évaluation reprend les arbres de ce chapitre, avec une difficulté supplémentaire: le sous-jacent — la valeur du projet — n'est pas un titre négocié, et l'argument de réplication n'est qu'une approximation. Dans la pratique, l'analyse des options réelles sert surtout à structurer la décision: identifier les choix futurs, les représenter dans un arbre, et se demander ce qu'on est prêt à payer pour garder la possibilité de les exercer.

Question 11.6

Une société très endettée, proche du défaut, peut choisir entre deux projets de même coût: l'un est sûr et de VAN légèrement positive, l'autre très risqué et de VAN négative. Pourquoi ses actionnaires pourraient-ils préférer le second?

Synthèse

Un contrat à terme oblige à acheter ou vendre à un prix fixé; l'absence d'arbitrage impose $F_{0} = S_{0} (1 + r_{f})^{T}$ pour une action sans dividende et $F_{0} = S_{0} (1 + r_{CHF}) / (1 + r_{EUR})$ pour une devise. Le prix à terme ne dépend pas de la rentabilité espérée. Un est un contrat à terme standardisé, coté et réglé chaque jour.

Série d'exercices du chapitre 11Exercice 1 sur 5

Question 11.7

Lequel de ces énoncés sur un call européen acheté est exact?

Problème guidé 11.1 · Les fonds propres de Rigi Composites comme option

Rigi Composites SA (société fictive) a des actifs d'une valeur de CHF 100 M et une dette zéro-coupon de valeur nominale CHF 80 M remboursable dans cinq ans. Le taux sans risque est de 1 % par an. Avec une volatilité des actifs de 30 %, les nombres de Black–Scholes sont $N (d_{1}) = 0, 7710$ et $N (d_{2}) = 0, 5285$ . On applique le modèle de Merton.

1. La valeur actuelle du nominal

Calculez la valeur actuelle, au taux sans risque, des CHF 80 M promis dans cinq ans.

Question

Valeur actuelle sans risque du nominal, en CHF M (deux décimales)

2. Les fonds propres

3. La dette et son rendement promis

4. Le transfert par la volatilité

Exercices

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Exercice 11.1 · Un straddle sur Säntis

Une gérante achète un call et un put européens sur Säntis (fictive), tous deux de prix d'exercice CHF 100 et d'échéance un an, aux prix de l'exemple 11.2 (CHF 10,40 et CHF 9,41). Le taux sans risque est de 1 %.

Écrivez la valeur à l'échéance de la position en fonction de $S_{T}$ et calculez son coût capitalisé à l'échéance.
Entre quels cours la position est-elle perdante? Calculez le profit pour $S_{T} = 70$ , $100$ et .

Exercice 11.2 · Exploiter une violation de la parité

L'action de Säntis cote CHF 100. Un call européen de prix d'exercice CHF 110 à un an cote CHF 6,80, le put correspondant CHF 15,20. Le taux sans risque est de 1 %.

La parité call–put est-elle respectée? Lequel des deux portefeuilles de la démonstration du théorème 11.2 est trop cher?
Construisez un arbitrage, chiffrez le gain aujourd'hui et vérifiez les flux à l'échéance.

Solution

La parité exige $C_{0} - P_{0} = 100 - 110/1, 01 = 100 - 108, 91 = - 8, 91$ . Les cotations donnent . Le portefeuille A (call + zéro-coupon de nominal 110) coûte ; le portefeuille B (put + action) coûte . A est trop cher de 0,51.

Exercice 11.3 · Un put dans l'arbre binomial

Une action cote CHF 80; dans un an, elle vaudra CHF 100 ou CHF 64. Le taux sans risque est de 1 %.

Évaluez un put européen de prix d'exercice CHF 80 à un an par réplication: combien d'actions et quel placement sans risque?
Retrouvez ce prix par la probabilité neutre au risque, puis évaluez le call de même prix d'exercice et vérifiez la parité.
Un analyste estime à 60 % la probabilité de hausse. Quelle rentabilité espérée cela donne-t-il à l'action? Cela change-t-il le prix du put?

Solution

$P_{u} = 0$ , $P_{d} = 16$ . action (vente à découvert) et , d'où placés à 1 %. Prix: .

Exercice 11.4 · Couvrir une créance en euros: forward ou option?

Reprenez Helvetia et sa créance de EUR 10 M payable dans un an (exemple 11.1: cours au comptant 0,95, prix à terme 0,9407 CHF par EUR). Une banque lui propose aussi des puts sur l'euro, de prix d'exercice 0,94 CHF par EUR, au prix de CHF 0,012 par euro couvert, payable aujourd'hui (paramètre de l'exercice).

Combien Helvetia encaisse-t-elle dans un an, en CHF M, sans couverture, avec le contrat à terme et avec les puts (prime capitalisée à 1 % déduite), si le cours au comptant dans un an est de 0,88, de 0,94 ou de 1,00?
Commentez. Dans quelle situation l'option est-elle préférable au contrat à terme?

Solution

Prime totale: $0, 012 \times 10 = 0, 12$ (CHF M), soit $0, 1212$ capitalisés.

Cours dans un an	0,88

Exercice 11.5 · Démonstration: absence d'arbitrage et parité dans l'arbre binomial

On se place dans le modèle binomial à une période: l'action vaut $S_{0}$ , puis $u S_{0}$ ou $d S_{0}$ avec ; le taux sans risque est .

Références

Berk J. et DeMarzo P., Finance d'entreprise, Pearson. Les chapitres sur les options, leur évaluation et leurs applications en finance d'entreprise (fonds propres comme option, options réelles) suivent la même progression que ce chapitre.
Hull J., Options, futures et autres actifs dérivés, Pearson. La référence pour les contrats à terme, les arbres binomiaux, la formule de Black–Scholes et la couverture en delta.
Brealey R., Myers S. et Allen F., Principes de gestion financière, Pearson. Pour les options réelles, les bons de souscription et les obligations convertibles dans la décision d'entreprise.
Cox J., Ross S. et Rubinstein M., «Option Pricing: A Simplified Approach», Journal of Financial Economics, 1979. L'article fondateur du modèle binomial.
Black F. et Scholes M., «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», Journal of Political Economy, 1973; Merton R., «On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates», Journal of Finance, 1974. La formule et son application à la dette d'entreprise.
Vernimmen P., Finance d'entreprise, Dalloz. Pour l'usage européen des options en finance d'entreprise et l'analyse des obligations convertibles.

Opération	Aujourd'hui (CHF)	En $T$ , si $S_{T} \leq 100$	En $T$ , si $S_{T} > 100$
Vendre le call	$+ 11, 00$	0	$- (S_{T} - 100)$
Emprunter $100/1, 01$	$+ 99, 01$	$- 100$	$- 100$
Acheter le put	$- 9, 41$	$100 - S_{T}$	0
Acheter l'action	$- 100, 00$	$S_{T}$	$S_{T}$
Total	$+ 0, 60$	0	0

Cours dans un an	60	80	90	100	120	140
Actions seules (CHF)	60 000	80 000	90 000	100 000	120 000	140 000
Actions + puts, prime déduite (CHF)	85 014	85 014	85 014	95 014	115 014	135 014

Sans couverture	8,8000	9,4000	10,0000
Contrat à terme	9,4069	9,4069	9,4069
Puts à 0,94	9,2788	9,2788	9,8788