Formulaire · Psychologie générale

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les relations démontrées du cours, les ordres de grandeur qu'il énonce, les repères statistiques nécessaires pour lire un résultat, quatre procédures de calcul et deux tableaux de synthèse: les pièges classiques et le statut probatoire des grands résultats. La notation est celle des chapitres, et les numéros de théorèmes et d'équations y renvoient: $I$ intensité d'un stimulus, $Δ I$ seuil différentiel, $k$ constante de Weber, $S$ ou $ψ$ sensation, $a$ exposant de Stevens, $d^{'}$ sensibilité, $c$ critère, $V$ valeur associative, $α β$ taux d'apprentissage, $λ$ asymptote du renforcement, $d$ et $r$ tailles d'effet, $N$ ou $n$ effectif, $1 - β$ puissance, $I C_{95 %}$ intervalle de confiance, $Φ$ fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et $z (p)$ son quantile d'ordre $p$ . Les temps de réaction sont en millisecondes, les probabilités en fractions ou en pourcentages selon ce qui se lit le mieux.

Un avertissement, qui est la raison d'être de cette annexe. Une formule de psychologie sans son domaine de validité est un piège, et un piège d'autant plus efficace qu'une formule a l'air d'une loi de la nature. Presque toutes les relations rassemblées ici sont de trois espèces, et il faut savoir dans laquelle on se trouve avant de calculer quoi que ce soit. Les premières sont des identités mathématiques — le théorème de Bayes, la relation entre taille d'effet et recouvrement, la formule de la puissance, la solution de la récurrence de Rescorla-Wagner — qui sont exactes une fois leurs hypothèses admises, et dont tout le risque tient à ces hypothèses. Les deuxièmes sont des régularités empiriques valables sur une plage: la loi de Weber décrit bien les intensités moyennes et se dégrade aux extrêmes, la loi de Zipf décrit les rangs sans dire d'où elle vient, la loi d'appariement décrit la répartition d'un choix sans expliquer pourquoi. Les troisièmes sont des maquettes didactiques dont ni les variables ni les paramètres n'ont d'unité physique, et qui servent à rendre un raisonnement explicite et réfutable: le modèle d'évaluation émotionnelle (12.1) l'annonce lui-même, le modèle de typicalité (10.5) aussi.

Aucune entrée ne se lit donc sans les trois lignes qui l'accompagnent: ses hypothèses, ce qu'elle permet de calculer, et son statut probatoire au sens du chapitre 1 — robuste, plausible mais discuté, contesté ou non répliqué. Une formule appliquée hors de son domaine ne produit pas une erreur visible: elle produit un nombre, et c'est bien le problème. Là où le cours refuse un chiffre parce que la littérature n'en autorise pas un, cette annexe donne un ordre de grandeur annoncé comme tel plutôt qu'une fausse précision.

Les relations démontrées

Chapitre 1 — La psychologie scientifique

Théorème 1.1, valeur informative d'une prédiction.

I = - lo g_{2} p (1.1), I (q) = - lo g_{2} (1 - q) bits (1.2)

Hypothèses: $Ω$ est l'ensemble des résultats a priori possibles, muni d'une loi uniforme, et la prédiction $H$ exclut une proportion $q$ de ces résultats, avec $0 \leq q < 1$ . Ce que cela calcule: l'information, en bits, qu'apporte la vérification d'une prédiction — nulle pour une prédiction compatible avec tout ( $q \to 0$ ), infinie à la limite d'une prédiction qui n'autorise presque rien. Une prédiction de direction («le temps de réaction augmentera») vaut $1$ bit, une prédiction de fourchette de $20$ ms sur une plage de ms en vaut . identité mathématique; c'est un outil d'analyse conceptuelle, non un résultat empirique. Ce qu'elle formalise — l'information d'une théorie est la mesure de ce qu'elle interdit — est le critère par lequel le chapitre distingue une affirmation psychologique d'un neuromythe.

Chapitre 2 — Méthodes de recherche et éthique

Théorème 2.1, kappa de Cohen.

P_{e} = k \sum P_{1} (k) P_{2} (k) (2.1), κ = \frac{P _{o} - P _{e}}{1 - P _{e}} (2.2)

Hypothèses: deux observateurs codent indépendamment les mêmes $N$ unités dans les mêmes catégories; $P_{e}$ se calcule à partir des fréquences marginales de chacun. Ce que cela calcule: l'accord entre codeurs corrigé du hasard — $1$ pour un accord parfait, $0$ quand l'accord se réduit à celui qu'on obtiendrait au hasard, négatif quand les codeurs s'accordent moins que le hasard. Les seuils d'usage ( $0, 40$ , $0, 60$ , $0, 80$ ) sont une convention et non un résultat statistique. Statut: identité mathématique; son intérêt méthodologique est robuste, et le chapitre montre qu'un accord brut de peut correspondre à dès que la catégorie codée est rare.

Théorème 2.2, ce que garantit la randomisation.

E [\overset{ˉ}{Z}_{1} - \overset{ˉ}{Z}_{2}] = 0, SD (\overset{ˉ}{Z}_{1} - \overset{ˉ}{Z}_{2}) = σ \frac{2}{n} (2.3)

Hypothèses: affectation aléatoire indépendante de $Z$ , deux groupes de taille $n$ , $Z$ de moyenne $μ$ et d'écart-type $σ$ dans la population. Ce que cela calcule: le déséquilibre résiduel attendu sur n'importe quelle variable parasite, mesurée ou non: nul en espérance, d'écart-type $2/ n$ une fois exprimé en écarts-types. La randomisation n'égalise donc pas les groupes, elle supprime le biais systématique et fait décroître le déséquilibre en . identité mathématique; c'est l'argument qui fait de l'expérimentation le seul devis qui contrôle les confondants inconnus.

Chapitre 3 — Mesure, statistique et réplication

Théorème 3.1, taille d'effet et recouvrement.

d = \frac{X ˉ _{1} - X ˉ _{2}}{s _{commun}} (3.4), P (X_{1} > X_{2}) = Φ (\frac{d}{2}) (3.5), OVL = 2 Φ (- \frac{d}{2})

Hypothèses: deux populations normales de même variance, tirages indépendants. Ce que cela calcule: la traduction d'un $d$ de Cohen en deux quantités imaginables — la probabilité de supériorité et l'aire commune aux deux distributions. Pour un effet «moyen» ( $d = 0, 5$ ): $63, 8 %$ et $80 %$ ; pour un «grand» effet ( $d = 0, 8$ ): $71, 4 %$ et $69 %$ . identité mathématique sous l'hypothèse de normalité, qui n'est ni automatique ni vérifiable sur la seule variable brute. Sa conséquence est la plus utile du chapitre: presque tous les effets dont parle la psychologie sont des déplacements modestes de distributions largement superposées.

Théorème 3.2, puissance et taille d'échantillon.

n \approx \frac{2 ( z _{1 - α /2} + z _{1 - β} ) ^{2}}{d ^{2}} (3.6), n \approx \frac{15 , 7}{d ^{2}} (α = 0, 05; 1 - β = 0, 80) (3.7)

1 - β = Φ (δ - z_{1 - α /2}) + Φ (- δ - z_{1 - α /2}), δ = d \frac{n}{2} (3.8)

Hypothèses: deux groupes indépendants de même effectif et de même variance, test bilatéral, approximation normale (le calcul exact par la loi de Student ajoute une ou deux unités). Ce que cela calcule: l'effectif par groupe requis pour une puissance donnée, et réciproquement la puissance d'un effectif donné. L'effectif varie comme l'inverse du carré de la taille d'effet: diviser l'effet par deux quadruple l'échantillon. Statut: identité mathématique; son importance empirique — la littérature classique est massivement sous-puissante — est un constat robuste, établi par Cohen dès 1962 et confirmé depuis.

Théorème 3.3, valeur prédictive d'un résultat significatif.

P (H_{1} ∣ significatif) = \frac{π ( 1 - β )}{π ( 1 - β ) + ( 1 - π ) α} (3.9)

Hypothèses: une proportion $π$ des hypothèses testées dans le domaine sont vraies, puissance $1 - β$ , seuil $α$ , et aucun $p$ -hacking, HARKing ni biais de publication. Ce que cela calcule: la probabilité qu'un résultat déclaré significatif soit vrai. Avec $π = 0, 10$ , une puissance de $0, 35$ et $α = 0, 05$ , elle vaut : moins d'un résultat publié sur deux est vrai, et ce calcul suppose une honnêteté parfaite. identité mathématique (c'est le théorème de Bayes du chapitre 11 appliqué aux tests); l'argument est celui d'Ioannidis (2005).

Chapitre 4 — Bases biologiques du comportement

Théorème 4.1, codage en fréquence.

f \leq f_{m a x} = \frac{1}{T _{r \overset{e}{ˊ} fractaire}} (4.1)

Hypothèses: loi du tout ou rien (l'amplitude du potentiel d'action ne dépend pas de l'intensité) et période réfractaire absolue $T_{r \overset{e}{ˊ} fractaire}$ incompressible. Ce que cela calcule: le plafond de décharge d'un neurone, et donc la borne du codage en fréquence: $800$ Hz pour $T_{r \overset{e}{ˊ} fractaire} = 1, 25$ ms. Le premier temps de la démonstration est le plus important: l'amplitude ne peut rien coder parce que la fonction est constante, donc non injective. conséquence logique de deux faits physiologiques robustes.

Théorème 4.2, héritabilité.

V_{P} = V_{G} + V_{E} + V_{G \times E} (4.2), h^{2} = \frac{V _{G}}{V _{P}} (4.3)

Hypothèses: un trait quantitatif, une population donnée, une gamme d'environnements donnée, et des composantes supposées non corrélées (modèle additif). Ce que cela calcule: la part de la variance observée attribuable aux différences génétiques — jamais la part génétique du trait chez un individu, question qui est mal formée et non difficile. Une héritabilité élevée n'implique ni l'immuabilité (phénylcétonurie), ni l'absence d'effet de l'environnement, ni quoi que ce soit sur les différences entre groupes. Statut: définition et décomposition mathématique; les estimations empiriques de $h^{2}$ varient avec la population et l'époque, ce qui est une propriété de la grandeur et non un défaut des études.

Chapitre 5 — Sensation et psychophysique

Théorème 5.1, loi de Weber.

\frac{Δ I}{I} = k (5.1), Δ I = k (I + I_{b}) (5.2)

Hypothèses: une modalité donnée, des conditions de mesure fixées, et surtout la plage moyenne des intensités; près du seuil absolu il faut la forme modifiée (5.2), où $I_{b} > 0$ représente le bruit interne, et à très forte intensité des écarts apparaissent par saturation des récepteurs. Ce que cela calcule: le seuil différentiel à partir de l'intensité de référence — $8$ g sur un colis de $400$ g pour $k = 0, 02$ , $50$ g sur un colis de $2, 5$ kg. , vérifiée dans toutes les modalités depuis presque deux siècles, mais pas une loi exacte: il faut annoncer le domaine chaque fois qu'on l'emploie.

Théorème 5.2, fonction de Fechner.

d S = c \frac{d I}{I} (5.4), S = c ln (\frac{I}{I _{0}}) (5.3)

Hypothèses: (i) la loi de Weber est valable sur toute la plage d'intégration et (ii) toute différence juste perceptible correspond au même accroissement de sensation. Ce que cela calcule: une échelle indirecte de sensation, construite à partir de discriminations, nulle au seuil absolu $I_{0}$ . Statut: plausible mais discuté, et pour des raisons précises: l'hypothèse (ii) est postulée et non mesurée — l'argument serait circulaire si l'on prétendait en tirer une mesure —, l'additivité des djp n'est pas garantie (Luce et Edwards, 1958), et l'hypothèse (i) est fausse là où l'on intègre le plus, près de $I_{0}$ .

Théorème 5.3, loi de puissance de Stevens.

ψ = k I^{a} (5.5), lo g ψ = lo g k + a lo g I (5.6), a = \frac{ln ( ψ _{2} / ψ _{1} )}{ln ( I _{2} / I _{1} )} (5.7)

Hypothèses: une tâche d'estimation directe de grandeur, c'est-à-dire une méthode de mesure différente de celle de Fechner — les deux lois ne mesurent pas la même chose, et aucune expérience unique ne peut les départager. Ce que cela calcule: la sensation rapportée, et l'exposant $a$ par la pente en coordonnées log-log; multiplier l'intensité par $μ$ multiplie la sensation par $μ^{a}$ , quel que soit le point de départ. Statut: la forme en puissance des données d'estimation directe est robuste et largement répliquée; la valeur exacte des exposants est plausible mais dépendante de la méthode; l'interprétation de $ψ$ comme «la sensation elle-même» reste une hypothèse de mesure.

Théorème 5.4, sensibilité et critère en détection du signal.

d^{'} = z (H) - z (F), c = - \frac{1}{2} [z (H) + z (F)] (5.8)

Hypothèses: évidence interne normale, de variance $1$ dans les deux distributions, moyenne $0$ sous bruit seul et $d^{'}$ sous signal, réponse «oui» au-dessus d'un critère fixe $λ$ . Ce que cela calcule: la sensibilité, qui ne dépend que de la qualité de l'information sensorielle, et le critère, qui ne dépend que de la politique de réponse — $c > 0$ conservateur, $c < 0$ libéral. Conséquence à retenir: un taux de succès seul ne mesure rien, puisque déplacer le critère change $H$ et en laissant leur différence de quantiles inchangée. le cadre de la détection du signal est et utilisé partout où deux types d'erreur doivent être séparés; l'hypothèse d'égalité des variances est une simplification qui se vérifie sur une courbe ROC.

Chapitre 6 — La perception

Théorème 6.1, angle visuel et invariance taille-distance.

θ = 2 arctan (\frac{S}{2 D}) \approx \frac{S}{D} (6.2), S_{per \overset{c}{¸} ue} = 2 D_{estim \overset{e}{ˊ} e} tan (\frac{θ}{2}) \approx θ \times D_{estim \overset{e}{ˊ} e} (6.3)

Hypothèses: objet perpendiculaire à l'axe visuel et centré sur lui, distance $D$ mesurée depuis le point nodal; l'approximation $θ \approx S / D$ exige $S ≪ D$ et commet une erreur relative d'environ $θ^{2} /12$ — $0, 25 %$ à $10°$ , $2, 3 %$ à . l'angle sous-tendu par un objet, la hauteur de son image rétinienne ( avec mm), et surtout la taille perçue à partir de la distance . Deux objets de même rapport produisent la même image: l'image seule ne les distingue pas. la géométrie est exacte; l'hypothèse d'invariance taille-distance est le cadre de référence des illusions de taille, et c'est l' de chaque illusion particulière (Ponzo, Müller-Lyer, lune) qui va du solidement soutenu au franchement contesté.

Théorème 6.2, fonction chronométrique de la rotation mentale.

T R (φ) = a + \frac{θ}{ω} = a + b θ, θ = min (φ, 360° - φ) (6.5)

Hypothèses: une représentation tournée à vitesse angulaire constante $ω$ , par le chemin le plus court, avant la comparaison; $a$ regroupe encodage, comparaison et réponse. Ce que cela calcule: la vitesse de rotation $ω = 1/ b$ à partir de la pente, et des prédictions de symétrie autour de $180°$ . Statut: la linéarité (Shepard et Metzler, 1971, environ $60°$ par seconde) est robuste; qu'elle prouve un format analogique est discuté (connaissance tacite, non-identifiabilité des formats par les seuls temps de réponse).

Théorème 6.3, loi de Fitts.

T M = a + b \cdot I D, I D = lo g_{2} (\frac{2 D}{W}) (6.6), τ = \frac{θ}{θ ˙} = \frac{D}{v} (6.7)

Hypothèses: pointage vers une cible de largeur $W$ à distance $D$ ; $a$ et $b$ propres à l'effecteur et au dispositif. Pour (6.7), objet qui approche à vitesse constante, petits angles. Ce que cela calcule: le temps de mouvement, qui ne dépend que du rapport $D / W$ — doubler $W$ retire exactement un bit, donc $b$ millisecondes; et le temps avant contact à partir de variables optiques seules. Statut: loi robuste (main, pied, tête, souris, écran tactile), sur des moyennes de conditions; sa dérivation par corrections itératives est didactique et réfutée dans le détail; l'usage exclusif de $τ$ pour régler le freinage est discuté.

Chapitre 7 — Attention et conscience

Théorème 7.1, pentes de la recherche visuelle.

T R (n) = T_{0} + t k (n) (7.1), k_{pr \overset{e}{ˊ} sente} (n) = \frac{n + 1}{2}, k_{absente} (n) = n (7.2)

\frac{pente absente}{pente pr e ˊ sente} = \frac{t}{t /2} = 2 (7.3)

Hypothèses: pour (7.2), un examen sériel, auto-terminé et en ordre aléatoire; pour la pente quasi nulle, une cible définie par un trait élémentaire unique. Ce que cela calcule: le temps de réaction en fonction du nombre d'éléments, et un rapport de pentes qui ne dépend d'aucun paramètre libre — c'est ce qui en fait un test et non un ajustement. Statut: le patron de données (pente quasi nulle pour un trait, pente marquée pour une conjonction) est robuste; l'interprétation dichotomique parallèle / sériel est dépassée — les pentes forment un continuum de $0$ à plus de $50$ ms par élément, et le rapport mesuré est souvent voisin de $1, 5$ plutôt que de $2$ .

Chapitre 8 — L'apprentissage

Théorème 8.1, modèle de Rescorla-Wagner.

Δ V_{i} = α_{i} β (λ - j \sum V_{j}) (8.1), V_{n} = λ [1 - (1 - α β)^{n}] (8.2), n \geq \frac{ln ( 1 - f )}{ln ( 1 - α β )} (8.3)

Hypothèses: la somme $\sum_{j} V_{j}$ porte sur tous les stimuli présents à l'essai; $α_{i} \in] 0, 1]$ , $β \in] 0, 1]$ ; la forme close (8.2) et le nombre d'essais (8.3) supposent en outre un , et constant. la valeur associative essai par essai, l'asymptote , et le nombre d'essais nécessaires pour atteindre une fraction de cette asymptote — nombre qui ne dépend pas de . Le blocage de Kamin en découle sans hypothèse supplémentaire. modèle ; son idée centrale — on n'apprend que ce qui surprend — s'est révélée bien plus générale que son domaine d'origine (erreur de différence temporelle, décharge des neurones dopaminergiques du mésencéphale: phénomène ; l'identification de la dopamine à un pur signal d'erreur de prédiction est ).

Théorème 8.2, loi d'appariement.

\frac{B _{1}}{B _{1} + B _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} (8.4), \frac{B _{1}}{B _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}} (8.6), \frac{B _{1}}{B _{2}} = b (\frac{R _{1}}{R _{2}})^{s} (8.5)

Hypothèses: deux options concurrentes sur des programmes à intervalle variable, mesure à l'équilibre; la forme stricte correspond à $b = 1$ et $s = 1$ . Ce que cela calcule: la répartition des réponses à partir de la répartition des renforcements, et une prédiction réfutable — doubler $R_{1}$ double le rapport des réponses, alors que la forme généralisée le multiplie par $2^{s}$ . Statut: régularité empirique bien reproduite (pigeon, rat, singe, humain, données de terrain) quant à sa forme; l'appariement strict l'est beaucoup moins, le sous-appariement étant la règle. Attention: la loi ne dit pas que l'organisme maximise ses renforcements, et deux paramètres libres rendent (8.5) descriptive avant d'être explicative.

Chapitre 9 — La mémoire

Théorème 9.1, forme de la courbe d'oubli.

R (t) = R_{0} e^{- t / τ} ou R (t) = R_{0} t^{- b} (9.1)

ln R = ln R_{0} - \frac{t}{τ} (9.2), ln R = ln R_{0} - b ln t (9.3)

Hypothèses: $R (t) \in [0, 1]$ pour $t > 0$ ; les deux modèles ont deux paramètres et sont indiscernables à l'œil en coordonnées linéaires. Ce que cela calcule: le critère qui les départage — l'exponentielle se linéarise en semi-logarithmique, la loi de puissance en bi-logarithmique; de façon équivalente, l'exponentielle multiplie la rétention par un facteur constant à chaque accroissement additif du délai, la loi de puissance à chaque multiplication du délai. Conséquence (loi de Jost): pour $b = 0, 2$ , la rétention est divisée par deux chaque fois que le délai est multiplié par $2^{5} = 32$ . la de la courbe d'oubli est ; la reste discutée — sur données agrégées la loi de puissance l'emporte généralement, mais une moyenne d'exponentielles individuelles de différents produit mécaniquement une allure de puissance, et les données ne discriminent souvent pas entre plusieurs décroissantes concaves.

Chapitre 10 — Langage et concepts

Théorème 10.1, loi de Zipf.

f (r) = \frac{C}{r ^{s}}, s \approx 1 (10.1), lo g f (r) = lo g C - s lo g r (10.2), F (n) = C r = 1 \sum n r^{- s} (10.3)

Hypothèses: un grand corpus; la constante $C$ n'est pas libre, la normalisation imposant $C \approx 1/ (ln N + γ)$ pour $s = 1$ et $N$ mots distincts, avec $γ \approx 0, 577$ . Ce que cela calcule: la fréquence d'un mot à partir de son rang, l'exposant par la pente en log-log, et la couverture cumulée — qui croît comme $ln n$ , de sorte que le vocabulaire n'ajoute qu'une quantité constante de couverture. , retrouvée dans toutes les langues comptées et sur des objets qui ne sont pas des langues; son reste discutée, puisqu'au moins trois familles de mécanismes très différents la produisent — dont de simples processus aléatoires. Observer une loi de Zipf ne permet donc pas d'inférer le mécanisme qui l'a produite.

Théorème 10.2, effet de typicalité.

d (x) = j = 1 \sum k w_{j} x_{j} - p_{j} (10.4), T (x) = T_{0} + κ d (x), κ > 0 (10.5)

Hypothèses: une catégorie représentée par un prototype dans un espace de traits gradués, des poids $w_{j} \geq 0$ de somme $1$ , et un temps de vérification affine croissant en la distance au prototype. Ce que cela calcule: l'ordre des temps de réponse, l'écart en millisecondes entre deux exemplaires (le niveau de base $T_{0}$ disparaît par soustraction — d'où la règle de toujours comparer deux conditions), et une prédiction sans paramètre: si $x$ est au moins aussi proche du prototype que $y$ sur trait, alors quels que soient les poids. les comptent parmi les résultats les plus robustes de la psychologie cognitive; la magnitude dépend du matériel et se compte en dizaines de millisecondes. Les constantes et des exemples sont illustratives: le théorème prédit un ordre, pas des valeurs absolues.

Chapitre 11 — Raisonnement, jugement et décision

Théorème 11.1, théorème de Bayes et taux de base.

P (H ∣ D) = \frac{P ( D ∣ H ) P ( H )}{P ( D ∣ H ) P ( H ) + P ( D ∣ \neg H ) P ( \neg H )} (11.1), VPP = \frac{S e p}{S e p + ( 1 - S p ) ( 1 - p )} (11.2)

Hypothèses: $P (H) > 0$ et $P (D) > 0$ ; pour (11.2), $S e$ et $S p$ sont estimées dans une population comparable à celle où le test est appliqué, et $p$ est la prévalence de cette population-là. Ce que cela calcule: la probabilité a posteriori, qui dépend du taux de base autant que de la qualité du test. Avec $p = 1 %$ , et , la VPP vaut alors que la VPN vaut : le même test est excellent pour rassurer et médiocre pour alarmer. identité mathématique. La qui en est le corollaire psychologique est un résultat , de même que le bénéfice du format en (Gigerenzer et Hoffrage, 1995), effet répliqué y compris chez des médecins.

Théorème 11.2, asymétrie gains-pertes.

v (x) = {x^{α} - λ (- x)^{β} si x \geq 0, si x < 0, 0 < α, β \leq 1, λ > 1 (11.4)

G = (λ L^{β})^{1/ α}, \frac{G}{L} = λ^{1/ α} lorsque α = β (11.5)

Hypothèses: une fonction de valeur définie sur les écarts au point de référence (et non sur les niveaux de richesse), et la valeur d'une perspective comme moyenne pondérée des valeurs des issues. Ce que cela calcule: le refus d'un pari symétrique à espérance nulle — refusé quel que soit son montant dès que $α = β$ — et le gain minimal qui rend acceptable une perte possible $L$ . Statut: l'asymétrie gains-pertes est un phénomène robuste, retrouvé dans de nombreux paradigmes et plusieurs disciplines; mais la valeur numérique de $λ$ n'est pas une constante — le fameux $2, 25$ est la médiane d'un ajustement sur un matériel particulier —, la généralité de l'aversion aux pertes est débattue (Gal et Rucker; Plott et Zeiler sur l'effet de dotation), et l'effet est solide alors que son explication par un paramètre psychologique stable l'est beaucoup moins.

Théorème 11.3, tour de Hanoï.

∣ espace ∣ = 3^{n}, M (n) = 2 M (n - 1) + 1 = 2^{n} - 1 (11.6), disque de rang k : 2^{n - k} d \overset{e}{ˊ} placements

Hypothèses: trois piquets, $n$ disques, un disque à la fois, jamais un disque sur un plus petit. Ce que cela calcule: la taille de l'espace problème et la longueur de la solution minimale; la borne inférieure vient de ce qu'au premier et au dernier déplacement du grand disque, les $n - 1$ autres sont tous sur le troisième piquet. Statut: résultat mathématique. Ce qu'il illustre psychologiquement — la difficulté dépend de la représentation (isomorphes de Kotovsky, Hayes et Simon) et l'escalade échoue quand le chemin exige un détour — est robuste.

Chapitre 12 — Émotion, motivation et stress

Théorème 12.1, intensité émotionnelle et évaluation.

I = k E (1 - C), k > 0 (12.1), contr \overset{o}{ˆ} le ≻ enjeu ⟺ E > 10 (1 - C) (12.2)

Hypothèses: enjeu perçu $E \in [0, 10]$ , ressources de contrôle perçues $C \in [0, 1]$ , forme multiplicative choisie pour traduire l'idée «enjeu $\times$ impuissance»; la comparaison (12.2) confronte deux interventions de même ampleur relative, $Δ E = - 1$ et $Δ C = + 0, 1$ . les deux dérivées partielles, le rapport d'intensité entre deux personnes évaluant différemment la même situation, et le seuil au-delà duquel agir sur le contrôle perçu réduit davantage l'intensité qu'agir sur l'enjeu — c'est-à-dire, en pratique, quand l'enjeu est élevé et le contrôle faible. . Ni , ni , ni n'ont d'unité physique, et la forme multiplicative n'a pas été sélectionnée contre une forme additive par un ajustement de données. C'est une maquette de mécanisme — contrairement à Rescorla-Wagner, qui a été ajusté à des données d'apprentissage.

Les ordres de grandeur

Chaque ligne porte son statut. Là où le cours refuse une valeur précise, cette annexe donne une plage annoncée comme telle plutôt qu'un chiffre rassurant et faux.

Grandeur	Ordre de grandeur	Chapitre	Statut
Constante de Weber $k$ , hauteur d'un son (région médiane)	$\approx 0, 003$	5	ordre de grandeur; compilations classiques, dépend de la plage, de la durée et de l'observateur
Constante de Weber $k$ , choc électrique	$\approx 0, 01$	5	idem; classement grossier solide, valeurs à un facteur deux près
Constante de Weber $k$ , poids soulevé	$\approx 0, 02$	5	idem

Les repères statistiques

Question	Réponse compacte	Chapitre
Ce qu'une valeur $p$ est	$P (donn \overset{e}{ˊ} es au moins aussi extr \overset{e}{ˆ} mes ∣ H_{0})$	3
Ce qu'elle n'est pas (1)	la probabilité que $H_{0}$ soit vraie:

Question A.1

Vous voulez appliquer la fonction de Fechner $S = c ln (I / I_{0})$ à des intensités proches du seuil absolu. Quelles affirmations sont exactes?

Plusieurs réponses possibles

Les procédures

1. Calculer une sensibilité et un critère (chapitre 5). Données: un taux de succès $H$ et un taux de fausses alarmes $F$ , tous deux strictement compris entre $0$ et $1$ .

Vérifier que le dispositif fournit bien les deux taux: un taux de succès seul ne mesure rien, puisque répondre «oui» systématiquement en donne $100 %$ .
Convertir chaque taux en quantile de la loi normale centrée réduite: $z (H)$ et $z (F)$ , avec $z (p) > 0$ pour $p > 0, 5$ et $z (1 - p) = - z (p)$ .

2. Itérer Rescorla-Wagner et trouver un nombre d'essais (chapitre 8). Données: $α$ , $β$ , $λ$ , et la liste des stimuli présents à chaque essai.

Poser $V_{i} = 0$ pour tous les stimuli au départ, sauf ceux dont le pré-entraînement est donné.
À chaque essai, calculer d'abord l'erreur de prédiction $λ - \sum_{j} V_{j}$ , la somme portant sur tous les stimuli présents à cet essai — c'est là que se joue le blocage.

3. Départager une exponentielle et une loi de puissance sur des données de rétention (chapitre 9). Données: des couples $(t_{i}, R_{i})$ avec $t_{i} > 0$ .

Porter les points dans les trois systèmes de coordonnées: $(t, R)$ , $(t, ln R)$ et $(ln t, ln R)$ .
L'exponentielle donne une droite dans le deuxième, de pente $- 1/ τ$ ; la loi de puissance donne une droite dans le troisième, de pente $- b$ .
Ajuster les deux modèles par moindres carrés sur les données transformées, puis comparer les résidus sur une même échelle — ne pas se fier à l'œil, les deux courbes se ressemblent en coordonnées linéaires.
Test équivalent, lisible directement sur un tableau: l'exponentielle multiplie la rétention par un facteur constant à chaque accroissement additif égal du délai; la loi de puissance à chaque multiplication du délai par un même facteur.
Extrapoler avec prudence: c'est que les deux modèles divergent le plus. Ajustés sur à un jour et à sept jours, ils prédisent et à soixante jours.

4. Calculer une valeur prédictive positive, puis la reformuler en fréquences naturelles (chapitre 11). Données: une prévalence $p$ , une sensibilité $S e$ , une spécificité $S p$ .

Vérifier que $p$ est la prévalence de la population testée, et non celle d'une population clinique de référence: c'est l'erreur la plus fréquente en dépistage de masse.
Calculer $VPP = \frac{S e p}{S e p + ( 1 - S p ) ( 1 - p )}$ , et contrôler avec $VPN = \frac{S p ( 1 - p )}{( 1 - S e ) p + S p ( 1 - p )}$ .

Question A.2

Remettez dans l'ordre les étapes d'un calcul de valeur prédictive positive correctement conduit, du chapitre 11.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Former le rapport des vrais positifs au total des positifs

Calculer les vrais positifs

S e p

et les faux positifs

(1 - S p) (1 - p)

Énoncer le résultat en fréquences naturelles, format dont le bénéfice est robuste et répliqué

Identifier les trois entrées: prévalence

p

, sensibilité

S e

, spécificité

S p

Reformuler le même calcul en effectifs sur

10000

personnes et vérifier la concordance

Vérifier que la prévalence retenue est celle de la population effectivement testée

Les pièges

Ce tableau rassemble les avertissements des douze chapitres. Chacun a été rencontré dans un chapitre au moins, et plusieurs y reviennent sous deux formes.

Piège	Ce qu'on croit	Ce qui est vrai
La valeur $p$ (ch. 3)	« $p = 0, 03$ : il y a $3 %$ de chances que l'effet n'existe pas»	$p$ est $P (donn \overset{e}{ˊ} es ∣ H_{0})$ , jamais ; inverser une conditionnelle est une erreur logique

Question A.3

Vous appliquez $n \approx 15, 7/ d^{2}$ pour dimensionner une expérience. Quelle condition d'application est la plus souvent oubliée, et la plus lourde de conséquences?

Le statut des grands résultats

Les trois catégories sont celles du chapitre 1: robuste (répliqué, méta-analysé, taille d'effet connue et stable), plausible mais discuté (effet réel, magnitude contestée ou modérateurs mal compris), contesté ou non répliqué (le résultat d'origine n'a pas survécu, ou repose sur une méthode compromise). Un résultat de la troisième catégorie n'est pas retiré du cours: il en est souvent la partie la plus instructive. La colonne «Pourquoi» reprend la justification du chapitre qui le traite.

Résultat	Statut	Pourquoi
Effet d'espacement (ch. 9)	robuste	Établi depuis Ebbinghaus, retrouvé sur des centaines d'expériences, chez l'enfant comme chez l'adulte, sur du matériel verbal, moteur et mathématique; avantage moyen d'environ un demi-écart-type, croissant avec le délai avant le test
Effet de test (ch. 9, 1)	robuste	L'un des mieux répliqués de la discipline; méta-analyses sur plusieurs centaines de comparaisons, effet moyen autour de $g \approx 0, 5$ , renforcé par la rétroaction
Forme de la courbe d'oubli (ch. 9)	robuste dans sa forme, discuté dans sa fonction	La chute rapide puis lente est retrouvée sur des matériaux, des mesures et des populations très différents; la fonction exacte reste ouverte, une moyenne d'exponentielles produisant mécaniquement une allure de puissance
Loi de Weber (ch. 5)	robuste dans son domaine	Vérifiée dans toutes les modalités depuis presque deux siècles, mais sur la plage moyenne des intensités: écarts systématiques près du seuil et à saturation
Théorie de la détection du signal (ch. 5)	robuste	Cadre de mesure séparant sensibilité et critère, utilisé partout où les deux types d'erreur ne sont pas symétriques; sa force est de montrer qu'un taux de succès seul ne mesure rien
Rotation mentale linéaire (ch. 6)	robuste comme effet, discutée comme preuve de format	Fonction linéaire retrouvée depuis Shepard et Metzler (1971); la connaissance tacite et la demande expérimentale expliquent une partie de certains effets d'imagerie, et les temps de réponse seuls ne départagent pas les formats
Loi de Fitts (ch. 6)	robuste	Retrouvée avec de nombreux effecteurs et dispositifs, ajustements linéaires expliquant typiquement plus de $90 %$ de la variance des moyennes; ses constantes ne se transposent pas d'un dispositif à l'autre

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice A.1 · D'un taux de succès à un effectif de réplication

Un laboratoire lausannois évalue un opérateur chargé de repérer, sur une image de contrôle, une anomalie présente dans la moitié des essais. Sur un grand nombre d'essais, il obtient un taux de succès $H = 0, 90$ et un taux de fausses alarmes $F = 0, 20$ . On donne $z (0, 90) = 1, 2816$ et $z (0, 20) = - 0, 8416$ .

Exercice A.2 · D'une prévalence à une décision

Un service de médecine du travail envisage de proposer à l'ensemble de ses employés un test de dépistage d'une affection dont la prévalence, dans cette population, est de $2 %$ . Le test annoncé a une sensibilité $S e = 95 %$ et une spécificité $S p = 90 %$ .

Calculez la valeur prédictive positive, puis reformulez le calcul en fréquences naturelles sur $10000$ personnes.
La note de service affirme: «le test étant fiable à $95 %$ , un résultat positif signifie que l'employé est presque certainement atteint». Analysez cette phrase.

Exercice A.3 · Deux courbes d'oubli et une décision de révision

Un enseignant genevois teste ses étudiants sur un même chapitre à deux délais. La proportion retenue vaut $55 %$ après un jour et $40 %$ après sept jours.

Ajustez une exponentielle $R (t) = R_{0} e^{- t / τ}$ sur ces deux points et donnez et .

Références

Gazzaniga, M., Heatherton, T. et Halpern, D., Psychological Science, Norton (chapitres de méthode, sensation et mémoire).
Schacter, D., Gilbert, D. et Wegner, D., Psychologie, De Boeck (manuel de référence en français).
Goldstein, E. B., Sensation and Perception, Cengage (psychophysique, détection du signal, perception).
Baddeley, A., Eysenck, M. et Anderson, M., Memory, Psychology Press (mémoire de travail, oubli, faux souvenirs).
Kahneman, D., Système 1 / Système 2: les deux vitesses de la pensée, Flammarion (jugement et décision, à lire avec les réserves du chapitre 11).
Open Science Collaboration, «Estimating the reproducibility of psychological science», Science, 349, 2015 (le constat de départ de la crise de la réplication).