Équations différentielles ordinaires

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître une équation différentielle ordinaire, son ordre, et traduire un problème d'ingénierie (décroissance, refroidissement, circuit RC, oscillateur) en un problème de Cauchy;
interpréter géométriquement une équation du premier ordre par son champ des directions et approcher sa solution par la méthode d'Euler;
résoudre les équations à variables séparables et discuter l'existence et l'unicité des solutions;
résoudre les équations linéaires du premier ordre par la méthode de variation de la constante;
ramener une équation de Bernoulli ou une équation homogène $y^{'} = f (y / x)$ à une équation linéaire ou à variables séparables par un changement de fonction inconnue;
résoudre les équations linéaires du second ordre à coefficients constants, avec ou sans second membre, et imposer des conditions initiales;
analyser l'oscillateur amorti (pulsation propre, taux d'amortissement, régimes) et le phénomène de résonance;
pour une équation linéaire du second ordre à coefficients variables, utiliser le wronskien, obtenir une seconde solution par réduction de l'ordre et une solution particulière par variation des constantes, et résoudre les équations d'Euler.

Vocabulaire et modélisation

Qu'est-ce qu'une équation différentielle?

L'Analyse I a appris à dériver et à intégrer des fonctions données. Les équations différentielles renversent le point de vue: la fonction est inconnue, et l'on connaît seulement une relation entre elle et ses dérivées. C'est la situation la plus courante en sciences de l'ingénieur, car les lois de la physique (loi de Newton, lois de Kirchhoff, lois de conservation) s'expriment naturellement comme des relations entre une grandeur et sa vitesse de variation.

Le mot «ordinaire» signifie que la fonction inconnue ne dépend que d'une variable; les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des ondes), où l'inconnue dépend de plusieurs variables, relèvent de l'Analyse III. En physique, la variable est souvent le temps, noté $t$ , et les dérivées sont notées $\overset{x}{˙}$ , $\overset{x}{¨}$ ; nous utiliserons librement les deux notations.

Une équation différentielle possède en général une infinité de solutions. Par exemple, $y^{'} = 2 x$ a pour solutions toutes les fonctions $y = x^{2} + C$ , $C \in R$ : chaque constante d'intégration correspond à une solution. Pour une équation d'ordre $n$ , on doit s'attendre à constantes, puisqu'il faut «intégrer fois».

Physiquement, les conditions initiales décrivent l'état du système à l'instant $t_{0}$ (position et vitesse pour un point matériel, charge du condensateur pour un circuit); l'équation différentielle décrit la loi d'évolution. La question centrale du chapitre est: étant donné l'état initial, le futur est-il déterminé, et comment le calculer?

Quelques modèles

Chacune des situations suivantes est décrite par une équation différentielle que nous saurons résoudre à la fin du chapitre.

Décroissance radioactive. Le nombre $N (t)$ de noyaux d'un isotope décroît à un taux proportionnel à $N$ : $N^{'} = - λ N$ , où $λ > 0$ est la constante de désintégration. La solution $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ donne la demi-vie : pour le cobalt 60, ans, donc an.

Les quatre premiers modèles sont du premier ordre, les deux derniers du second ordre. Tous sauf la logistique sont linéaires: l'inconnue et ses dérivées n'y apparaissent qu'au premier degré. Cette distinction structurera le chapitre.

Interprétation géométrique: champ des directions

Considérons une équation du premier ordre résolue $y^{'} = f (x, y)$ . En chaque point $(x, y)$ du plan, l'équation prescrit la pente $f (x, y)$ que doit avoir la tangente à toute courbe solution passant par ce point. Dessiner en chaque point d'une grille un petit segment de pente $f (x, y)$ donne le champ des directions; les graphes des solutions, appelés , sont les courbes tangentes en chacun de leurs points à ce champ. On lit ainsi qualitativement le comportement des solutions sans les calculer.

Les isoclines sont les courbes $f (x, y) = m$ le long desquelles la pente est constante; l'isocline $f (x, y) = 0$ est le lieu des tangentes horizontales, donc des extremums éventuels des solutions.

Sur la figure 1.1, on devine deux propriétés que nous démontrerons: par chaque point passe une seule courbe intégrale, et deux courbes intégrales ne se croisent jamais. Le champ des directions est aussi l'idée de départ de la méthode numérique la plus simple.

La méthode d'Euler

Pour résoudre numériquement le problème de Cauchy $y^{'} = f (x, y)$ , $y (x_{0}) = y_{0}$ , Euler propose de suivre le champ des directions par petits pas rectilignes. On fixe un pas $h > 0$ , on pose , et l'on remplace la courbe sur par sa tangente en , dont la pente est connue:

y_{k + 1} = y_{k} + h f (x_{k}, y_{k}) . (1.1)

C'est exactement l'approximation $y (x + h) \approx y (x) + h y^{'} (x)$ du chapitre 7 d'Analyse I. L'erreur commise à chaque pas est en $h^{2}$ (formule de Taylor, chapitre 9 d'Analyse I); après $n = (b - x_{0}) / h$ pas, l'erreur totale est de l'ordre de : diviser le pas par divise l'erreur par environ.

Question 1.1

Appliquez la méthode d'Euler à $y^{'} = y$ , $y (0) = 1$ , avec le pas $h = 0, 5$ . Quelle valeur approchée de $y (1)$ obtenez-vous?

Question 1.2

Parmi les équations suivantes, laquelle est linéaire?

Équations du premier ordre à variables séparables

La méthode

Démonstration. Puisque $h (y) \neq = 0$ sur $J$ , l'équation (1.2) équivaut à $\frac{y ^{'} ( x )}{h ( y ( x ))} = g (x)$ . Par la règle de dérivation des fonctions composées (chapitre 7 d'Analyse I), le membre de gauche est la dérivée de , et le membre de droite celle de . Deux fonctions dérivables sur l'intervalle ont la même dérivée si et seulement si elles diffèrent d'une constante (chapitre 8 d'Analyse I), d'où l'équivalence avec (1.3).

Exemples fondamentaux

Question 1.3

Une pièce métallique à $80 ° C$ est plongée dans un bain maintenu à $20 ° C$ . Après $10$ minutes, elle est à $50 ° C$ . Au bout de combien de minutes atteindra-t-elle $30 ° C$ ?

Existence et unicité

Les exemples précédents suggèrent que le problème de Cauchy possède une solution et une seule, au moins localement. C'est vrai sous une hypothèse de régularité sur $f$ .

Nous admettons ce théorème, dont la démonstration (par le théorème du point fixe de Picard) relève d'un cours d'équations différentielles ou d'analyse fonctionnelle: elle consiste à écrire le problème sous la forme intégrale $y (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, y (t)) d t$ et à construire la solution comme limite d'approximations successives. La régularité de en est l'hypothèse essentielle: elle assure que (condition de Lipschitz), ce qui empêche deux solutions de se séparer. Géométriquement, le théorème dit que par chaque point du rectangle passe une courbe intégrale et une seule: les courbes intégrales ne se croisent pas, comme sur la figure 1.1.

Question 1.4

Combien le problème de Cauchy $y^{'} = 2 ∣ y ∣$ , $y (0) = 1$ , admet-il de solutions au voisinage de $x = 0$ ?

Équations linéaires du premier ordre

Structure des solutions

Le mot «linéaire» renvoie à la propriété suivante: l'application $L : y \mapsto y^{'} + a y$ vérifie $L (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ L (y_{1}) + μL (y_{2})$ , ce qui découle de la linéarité de la dérivation. C'est elle qui donne à l'ensemble des solutions une structure particulièrement simple.

Démonstration. 1. Si $L (y_{1}) = L (y_{2}) = 0$ , alors $L (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ L (y_{1}) + μL (y_{2}) = 0$ . 2. Si , alors : la somme est solution. Réciproquement, si , alors , donc est solution de l'homogène et .

En résumé: solution générale = solution générale de l'homogène + une solution particulière. La résolution se fait donc en deux temps.

Démonstration. Soit $y$ dérivable sur $I$ et posons $z (x) = y (x) e^{A (x)}$ . Alors $z^{'} = (y^{'} + a y) e^{A}$ , et comme l'exponentielle ne s'annule pas, sur si et seulement si sur , c'est-à-dire si et seulement si est constante (chapitre 8 d'Analyse I), soit . Si de plus , alors .

Cette démonstration ne divise jamais par $y$ : elle évite ainsi la discussion des solutions perdues et prouve d'un coup que (1.7) donne toutes les solutions. On peut aussi retrouver (1.7) par séparation des variables, comme dans l'exemple 1.2, au prix de cette discussion.

Variation de la constante

Pour trouver une solution particulière de l'équation complète, Lagrange propose une idée féconde: chercher $y$ sous la forme (1.7), mais en laissant la «constante» dépendre de $x$ .

Démonstration. Posons $y = C (x) e^{- A (x)}$ . Par la règle du produit, $y^{'} = C^{'} e^{- A} - a C e^{- A}$ , d'où . L'équation équivaut donc à . Cette fonction est continue sur , donc possède des primitives (théorème fondamental, chapitre 10 d'Analyse I), et les choix de diffèrent d'une constante, ce qui redonne exactement la structure du théorème 1.3.

Question 1.5

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution de $y^{'} + a (x) y = b (x)$ par variation de la constante.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Reporter dans l'équation complète et simplifier: il reste

C^{'} (x) = b (x) e^{A (x)}

Poser

y = C (x) e^{- A (x)}

avec

C

fonction dérivable inconnue

Revenir à

y = C (x) e^{- A (x)}

et, s'il y a lieu, fixer la constante avec la condition initiale

Écrire la solution générale de l'équation homogène:

y_{h} = C e^{- A (x)}

Intégrer pour obtenir

C (x)

à une constante près

Choisir une primitive

A

a

sur l'intervalle

I

Exemples

Le problème de Cauchy linéaire

Démonstration. D'après (1.8), les solutions sur $I$ sont les $y = e^{- A} (B + C)$ , où $B$ est une primitive fixée de $b e^{A}$ sur $I$ ; elles sont toutes définies sur entier. La condition s'écrit , équation du premier degré en qui a exactement une solution.

Contrairement à l'exemple 1.3, une équation linéaire n'a jamais de solution qui explose à l'intérieur de l'intervalle où ses coefficients sont continus: c'est l'un des grands conforts des modèles linéaires.

Se ramener à une équation connue: changements de fonction inconnue

Les deux familles que nous savons résoudre — variables séparables et équations linéaires — sont plus vastes qu'elles n'en ont l'air, car beaucoup d'équations s'y ramènent par un changement de fonction inconnue: on pose $z = φ (y)$ , ou $z = y / x$ , et l'on écrit l'équation que vérifie $z$ . Le principe est toujours le même: la règle de dérivation des fonctions composées transforme $y^{'}$ en une expression en $z$ et $z^{'}$ , et le bon choix de fait disparaître la non-linéarité. Nous en étudions les deux cas classiques.

Les équations de Bernoulli

Le terme $y^{α}$ rend l'équation non linéaire. Mais divisons-la par $y^{α}$ : il vient $y^{- α} y^{'} + a (x) y^{1 - α} = b (x)$ , et l'on reconnaît dans la dérivée de , au facteur près. La nouvelle inconnue vérifie donc une équation .

Démonstration. Comme $y > 0$ , $z = y^{1 - α} = e^{(1 - α) l n y}$ est dérivable et $z^{'} = (1 - α) y^{- α} y^{'}$ (règle de dérivation des fonctions composées, chapitre 7 d'Analyse I). Multiplions l'équation de Bernoulli par le facteur , qui ne s'annule pas puisque : l'équation devient , c'est-à-dire . Le facteur étant non nul, les deux équations sont équivalentes. Pour entier, a un sens pour et la même formule de dérivation vaut.

Comme pour les variables séparables, la division par $y^{α}$ peut faire perdre la solution nulle: elle est à ajouter à la main lorsque $α > 0$ .

Question 1.6

Quel changement de fonction inconnue rend linéaire l'équation $y^{'} + 2 y = x y^{3}$ ?

Les équations homogènes $y^{'} = f (y / x)$

Une seconde famille se reconnaît à ce que le second membre ne dépend que du rapport $y / x$ : $y^{'} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y}$ , , etc. Géométriquement, la pente prescrite est la même en tous les points d'une même demi-droite issue de l'origine: le champ des directions est invariant par les homothéties de centre .

Démonstration. On a $y = x u$ , donc $y^{'} = u + x u^{'}$ par la règle du produit. L'équation $y^{'} = f (y / x)$ s'écrit , c'est-à-dire . Elle est de la forme (1.2) avec et .

Les solutions stationnaires $u = u_{*}$ de l'équation en $u$ , où $f (u_{*}) = u_{*}$ , donnent les droites $y = u_{*} x$ : ce sont les demi-droites issues de l'origine le long desquelles le champ des directions est tangent à la demi-droite elle-même. Sur , le même calcul vaut mot pour mot.

Question 1.7

Soit $y$ la solution de l'équation de Bernoulli $y^{'} + y = y^{2}$ avec $y (0) = 1/2$ . Calculez $y (1)$ .

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique

Le théorème 1.3 se transpose mot pour mot: les solutions de l'homogène forment un espace vectoriel, et la solution générale de (1.11) est la somme de la solution générale de l'homogène et d'une solution particulière (la démonstration est identique, avec $L (y) = y^{''} + a y^{'} + b y$ ). Reste à résoudre l'homogène. L'idée est de chercher des solutions exponentielles: $y = e^{r x}$ donne , qui s'annule si et seulement si . Le discriminant distingue trois cas.

Démonstration. Nous travaillons d'abord avec des fonctions à valeurs complexes $y : R \to C$ , dérivées composante par composante; les théorèmes 1.4 et 1.5 restent valables pour de telles fonctions et des coefficients complexes, car leurs preuves n'utilisent que les règles de dérivation et la relation $(e^{r x})^{'} = r e^{r x}$ . Vérifions cette relation pour : d'après le chapitre 2 d'Analyse I, , et en dérivant les deux composantes,

(e^{r x})^{'} = e^{α x} [(α cos β x - β sin β x) + i (α sin β x + β cos β x)] = (α + i β) e^{α x} (cos β x + i sin β x) = r e^{r x} .

Soient $r_{1}, r_{2} \in C$ les racines de $P$ (éventuellement confondues), de sorte que $r_{1} + r_{2} = - a$ et . Pour toute fonction deux fois dérivable, posons . Alors

z^{'} - r_{1} z = y^{''} - (r_{1} + r_{2}) y^{'} + r_{1} r_{2} y = y^{''} + a y^{'} + b y .

Ainsi $y$ est solution de l'homogène si et seulement si $z^{'} - r_{1} z = 0$ , c'est-à-dire (théorème 1.4) $z = K e^{r_{1} x}$ avec , puis si et seulement si . Cette équation linéaire du premier ordre se résout par variation de la constante: avec .

Si $r_{1} \neq = r_{2}$ (cas $Δ \neq = 0$ ): $C (x) = \frac{K}{r _{1} - r _{2}} e^{(r_{1} - r_{2}) x} + C_{2}$ , d'où avec arbitraires (car l'est). (cas ): , donc et .

Il reste à extraire les solutions réelles. Dans les cas 1 et 2, les racines sont réelles et $y$ est réelle si et seulement si $C_{1}, C_{2} \in R$ (évaluer $y$ et $y^{'}$ en ). Dans le cas 3, et . Une solution est réelle si et seulement si ; comme et ne sont pas proportionnelles (leur quotient n'est pas constant), cela impose , et alors . En écrivant avec ,

y = Re [(A - i B) e^{α x} (cos β x + i sin β x)] = e^{α x} (A cos β x + B sin β x),

ce qui est la forme annoncée. Dans les trois cas, les solutions dépendent linéairement de deux paramètres réels, et les deux fonctions de base ne sont pas proportionnelles: l'espace des solutions est de dimension $2$ . Enfin, résoudre $y (x_{0}) = y_{0}$ , $y^{'} (x_{0}) = y_{1}$ revient à résoudre un système linéaire en , dont le déterminant (le , définition 1.8) est non nul: la solution existe et est unique.

Question 1.8

Quelle est la solution générale de $y^{''} + 4 y^{'} + 13 y = 0$ ?

Solution particulière: méthode des coefficients indéterminés

Pour un second membre $f$ quelconque, la méthode de variation des constantes, à deux fonctions inconnues, fournit toujours une solution particulière; nous l'établirons plus loin pour des coefficients quelconques (théorème 1.13). Dans les applications, $f$ est presque toujours un polynôme, une exponentielle, une sinusoïde ou un produit de ceux-ci; on cherche alors $y_{p}$ de la même forme, avec des coefficients à déterminer par identification, comme dans l'exemple 1.8.

Second membre $f (x)$	Forme de $y_{p}$ à essayer	Cas de résonance
polynôme de degré $n$	polynôme de degré $n$	multiplier par $x$ si $P (0) = 0$ (par $x^{2}$ si est racine double)

La résonance se produit lorsque le second membre est lui-même solution de l'équation homogène: la forme naïve échoue (elle donne $0$ en la reportant) et il faut la multiplier par $x$ . Le principe de superposition — si $y_{1}$ et $y_{2}$ sont des solutions particulières pour $f_{1}$ et , alors en est une pour — découle de la linéarité et permet de traiter les seconds membres composés.

L'oscillateur amorti

Revenons au système masse–ressort–amortisseur en l'absence de force extérieure: $m \overset{x}{¨} + c \overset{x}{˙} + k x = 0$ , avec $m, k > 0$ et $c \geq 0$ . En divisant par , on l'écrit sous la forme normalisée

\overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = 0, ω_{0} = \frac{k}{m}, ζ = \frac{c}{2 k m} . (1.12)

Le polynôme caractéristique $r^{2} + 2 ζ ω_{0} r + ω_{0}^{2}$ a pour discriminant réduit $ω_{0}^{2} (ζ^{2} - 1)$ : les trois cas du théorème 1.9 correspondent à trois régimes physiques.

Régime pseudo-périodique ( $0 < ζ < 1$ ). Les racines sont $- ζ ω_{0} \pm i ω_{d}$ avec la pseudo-pulsation $ω_{d} = ω_{0} 1 - ζ^{2}$ , et

x (t) = e^{- ζ ω_{0} t} (C_{1} cos ω_{d} t + C_{2} sin ω_{d} t) = A e^{- ζ ω_{0} t} cos (ω_{d} t - φ) . (1.13)

Le système oscille avec la pseudo-période $T_{d} = 2 π / ω_{d} > T_{0}$ , dans une enveloppe exponentielle de constante de temps $1/ (ζ ω_{0})$ . Le rapport de deux maximums successifs vaut ; son logarithme, le

δ = ln \frac{x ( t )}{x ( t + T _{d} )} = ζ ω_{0} T_{d} = \frac{2 π ζ}{1 - ζ ^{2}}, (1.14)

se mesure directement sur un enregistrement et permet d'estimer $ζ$ : c'est ainsi que l'on caractérise l'amortissement d'une structure réelle.

Régime critique ( $ζ = 1$ ). Racine double $- ω_{0}$ : $x (t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{- ω_{0} t}$ . Le système revient à l'équilibre sans osciller, et c'est le retour le plus rapide: c'est le réglage recherché pour les amortisseurs de véhicules et les appareils de mesure à aiguille.

Régime apériodique ( $ζ > 1$ ). Deux racines réelles négatives $r_{1, 2} = - ζ ω_{0} \pm ω_{0} ζ^{2} - 1$ : , retour à l'équilibre sans oscillation mais plus lent, car la racine la plus proche de tend vers lorsque croît.

Dans tous les cas où $ζ > 0$ , toutes les solutions tendent vers $0$ : l'équilibre est asymptotiquement stable, l'énergie mécanique étant dissipée par l'amortisseur. Pour $ζ = 0$ , on retrouve l'oscillateur harmonique, dont les solutions oscillent indéfiniment.

Explorateur 1.1 · Explorateur de l'oscillateur amorti

Réponse libre de ẍ + 2ζω₀ẋ + ω₀²x = 0 avec x(0) = 1 et ẋ(0) = 0. Faites varier le taux d'amortissement ζ et la pulsation propre ω₀: observez le passage du régime pseudo-périodique au régime apériodique en passant par le régime critique (ζ = 1), qui ramène le système à l'équilibre le plus vite sans oscillation.

Taux d'amortissement ζ0,20

Pulsation propre ω₀3,0rad/s

Régime

pseudo-périodique

Pseudo-pulsation ω_d = ω₀√(1 − ζ²)

2,939rad/s

Pseudo-période T_d = 2π/ω_d

2,138s

Constante de temps 1/(ζω₀)

1,667s

Décrément logarithmique δ

1,283

Question 1.9

Un oscillateur a une masse $m = 0, 5$ kg, une raideur $k = 72$ N/m et un amortissement $c = 3$ N·s/m. Calculez sa pseudo-pulsation $ω_{d}$ en rad/s.

Oscillateur forcé et résonance

Soumettons l'oscillateur à une force sinusoïdale $F (t) = F_{0} cos ω t$ : $\overset{x}{¨} + 2 ζ ω_{0} \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = (F_{0} / m) cos ω t$ . Pour , la solution homogène s'éteint (régime transitoire) et seule subsiste la solution particulière , calculée comme dans l'exemple 1.8. On trouve

X (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ ω _{0} ω ) ^{2}}, tan φ = \frac{2 ζ ω _{0} ω}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}} . (1.15)

Pour $ω \to 0$ , $X \to F_{0} / k$ : c'est la déformation statique. Lorsque $ω$ approche $ω_{0}$ , le premier terme sous la racine s'annule et l'amplitude est limitée seulement par l'amortissement: $X (ω_{0}) = \frac{F _{0} / k}{2 ζ}$ , soit fois la déformation statique pour , et fois pour . Le maximum de est atteint en (pour ) et vaut . C'est la ; pour , on retrouve l'amplitude infinie (croissance linéaire) de l'exemple 1.13. Pour , l'amplitude décroît comme : le système ne suit plus l'excitation, principe de l'isolation vibratoire.

Le circuit RLC série, $L \overset{q}{¨} + R \overset{q}{˙} + q / C = e (t)$ , obéit à la même équation avec $ω_{0} = 1/ L C$ et . Pour mH, nF et : rad/s, soit kHz, et : le circuit est très faiblement amorti, et son amplification à la résonance, , permet de sélectionner une fréquence (accord d'un récepteur radio). La résistance critique vaudrait .

Équations linéaires du second ordre à coefficients variables

Le cadre et le théorème d'existence

Beaucoup d'équations de l'ingénieur sont linéaires sans être à coefficients constants: la flexion d'une poutre de section variable, les vibrations d'une membrane circulaire (équation de Bessel), les contraintes dans un tube épais. On considère donc

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x), (1.16)

où $p$ , $q$ et $f$ sont continues sur un intervalle $I$ . Si l'équation se présente sous la forme $a_{2} (x) y^{''} + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = g (x)$ , on divise par sur un intervalle où il ne s'annule pas, exactement comme au premier ordre. Le théorème 1.3 se transpose sans changement: . Mais la factorisation qui démontrait le théorème 1.9 n'est plus disponible, et il faut un résultat d'existence.

Nous admettons la première phrase. Sa démonstration récrit l'équation comme un système de deux équations du premier ordre pour $(y, y^{'})$ et lui applique la version vectorielle du théorème de Cauchy–Lipschitz; le fait que la solution vive sur tout $I$ , comme au théorème 1.6, vient de la linéarité. Cela relève d'un cours d'équations différentielles. La seconde phrase, elle, se démontre en trois lignes à partir de la première.

Démonstration de la dimension. Notons $S$ l'espace des solutions de l'homogène sur $I$ (c'est un espace vectoriel par linéarité, comme au théorème 1.3) et considérons l'application linéaire $Λ : S \to R^{2}$ , $y \mapsto (y (x_{0}), y^{'} (x_{0}))$ . Elle est surjective, car tout couple est atteint par la solution du problème de Cauchy correspondant; elle est injective, car une solution de données coïncide, par unicité, avec la solution nulle. C'est donc un isomorphisme, et .

Le wronskien

Pour décrire $S$ , il suffit donc de trouver deux solutions indépendantes. L'outil qui le vérifie est un déterminant.

Démonstration. 1. Le calcul est celui de l'exercice 1.8, avec un coefficient variable. Par la règle du produit, $W^{'} = y_{1} y_{2}^{''} - y_{1}^{''} y_{2}$ , et en remplaçant ,

W^{'} = y_{1} (- p y_{2}^{'} - q y_{2}) - (- p y_{1}^{'} - q y_{1}) y_{2} = - p (y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2}) = - p W .

C'est une équation linéaire homogène du premier ordre en $W$ ; le théorème 1.4 donne la formule annoncée, et l'exponentielle ne s'annule jamais.

(b) et (c) sont équivalentes par le point 1. Supposons $W (x_{0}) \neq = 0$ et montrons (a). Soit $y \in S$ . Le système linéaire

c_{1} y_{1} (x_{0}) + c_{2} y_{2} (x_{0}) = y (x_{0}), c_{1} y_{1}^{'} (x_{0}) + c_{2} y_{2}^{'} (x_{0}) = y^{'} (x_{0})

a pour déterminant $W (x_{0}) \neq = 0$ : il possède une unique solution $(c_{1}, c_{2})$ (règle de Cramer). Les solutions $y$ et ont alors les mêmes données de Cauchy en , donc coïncident par le théorème 1.10: engendre , et comme , c'est une base. Réciproquement, si , le même système avec second membre nul possède une solution ; la solution a des données de Cauchy nulles en , donc est identiquement nulle, et , sont liées: ce n'est pas une base.

Question 1.10

Deux solutions $y_{1}$ , $y_{2}$ de $y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = 0$ , avec $p$ et $q$ continues sur $I$ , ont un wronskien qui s'annule en un point $x_{0} \in I$ . Que peut-on en conclure?

La réduction de l'ordre

Il n'existe pas de méthode générale pour trouver une première solution d'une équation à coefficients variables: on la devine (un polynôme, une exponentielle, une puissance), on la tire d'une table ou d'une série. Mais une solution connue suffit pour obtenir la seconde, par une idée de Lagrange encore: chercher $y = v (x) y_{1} (x)$ .

Démonstration. Avec $y = v y_{1}$ , on a $y^{'} = v^{'} y_{1} + v y_{1}^{'}$ et . En reportant,

y^{''} + p y^{'} + q y = v (y_{1}^{''} + p y_{1}^{'} + q y_{1}) + v^{''} y_{1} + v^{'} (2 y_{1}^{'} + p y_{1}) = v^{''} y_{1} + v^{'} (2 y_{1}^{'} + p y_{1}),

puisque $y_{1}$ est solution. Le terme en $v$ a disparu: c'est tout l'intérêt. L'équation en $w = v^{'}$ est linéaire du premier ordre, $w^{'} + (2 y_{1}^{'} / y_{1} + p) w = 0$ ; une primitive du coefficient est , et le théorème 1.4 donne . Pour on obtient , puis . Enfin , qui ne s'annule pas: le théorème 1.11 conclut.

On reconnaît le cas $Δ = 0$ du théorème 1.9. Pour $y^{''} - 2 r_{0} y^{'} + r_{0}^{2} y = 0$ et , on a , donc , et : le facteur de la racine double n'a rien de mystérieux, c'est la réduction de l'ordre qui le produit.

La variation des constantes

Nous pouvons maintenant tenir la promesse faite avec la méthode des coefficients indéterminés: trouver une solution particulière pour n'importe quel second membre continu, dès qu'un système fondamental est connu. L'idée est celle du théorème 1.5 avec deux constantes: on cherche $y = C_{1} (x) y_{1} + C_{2} (x) y_{2}$ . Deux fonctions inconnues pour une seule équation laissent une liberté; on l'utilise pour imposer une condition qui simplifie le calcul de .

Démonstration. Grâce à la première condition, $y_{p}^{'} = C_{1} y_{1}^{'} + C_{2} y_{2}^{'} + (C_{1}^{'} y_{1} + C_{2}^{'} y_{2}) = C_{1} y_{1}^{'} + C_{2} y_{2}^{'}$ : aucune dérivée de n'y figure. En dérivant encore, . Donc

y_{p}^{''} + p y_{p}^{'} + q y_{p} = C_{1} (y_{1}^{''} + p y_{1}^{'} + q y_{1}) + C_{2} (y_{2}^{''} + p y_{2}^{'} + q y_{2}) + C_{1}^{'} y_{1}^{'} + C_{2}^{'} y_{2}^{'} = f

par la seconde condition, les deux parenthèses étant nulles. Le système en $(C_{1}^{'}, C_{2}^{'})$ a pour déterminant $W (x) \neq = 0$ (théorème 1.11), et la règle de Cramer donne les formules annoncées, dont les seconds membres sont continus: et existent. Pour la forme intégrale, on choisit les primitives nulles en , et , et l'on regroupe; alors , et .

En pratique on ne retient pas les formules: on écrit le système, on le résout, on intègre. Si une primitive fait apparaître un multiple de $y_{1}$ ou de $y_{2}$ , on peut l'omettre, puisqu'il appartient à la solution de l'homogène.

Les équations d'Euler

Une famille d'équations à coefficients variables se résout entièrement, parce qu'un changement de variable la ramène aux coefficients constants.

Démonstration. La fonction $x \mapsto ln x$ est une bijection dérivable de $] 0, + \infty [$ sur $R$ , de réciproque $t \mapsto e^{t}$ ; $y$ est deux fois dérivable si et seulement si $z (t) = y (e^{t})$ l'est. Par la règle de dérivation des fonctions composées, , puis . Donc et , et l'équation d'Euler devient

z^{''} - z^{'} + a z^{'} + b z = z^{''} + (a - 1) z^{'} + b z = 0,

de polynôme caractéristique $r^{2} + (a - 1) r + b = Q (r)$ . Le théorème 1.9 donne $z$ ; on revient à $y (x) = z (ln x)$ en remarquant que et .

Le polynôme indiciel se retrouve sans calcul: il exprime que $y = x^{r}$ est solution, puisque $x^{2} (x^{r})^{''} + a x (x^{r})^{'} + b x^{r} = (r (r - 1) + a r + b) x^{r}$ . Sur , on remplace par dans les formules. L'équation d'Euler apparaît dès qu'un problème a la symétrie radiale: le déplacement radial dans la paroi d'un tube épais sous pression vérifie (problème de Lamé), de polynôme indiciel , d'où — deux constantes que fixent les pressions intérieure et extérieure.

Question 1.11

Soit $y$ la solution de l'équation d'Euler $x^{2} y^{''} + x y^{'} - 4 y = 0$ telle que $y (1) = 0$ et $y^{'} (1) = 4$ . Calculez $y (2)$ .

Systèmes et ordre supérieur: ce qui reste à voir

Une équation d'ordre $n$ se ramène à un système de $n$ équations du premier ordre en prenant pour inconnues $y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}$ , et le théorème de Cauchy–Lipschitz s'étend aux systèmes; le théorème 1.10 devient: les solutions d'une équation linéaire homogène d'ordre $n$ à coefficients continus forment un espace vectoriel de dimension $n$ , et le wronskien devient un déterminant $n \times n$ . Les systèmes linéaires à coefficients constants se résolvent par les valeurs propres de la matrice , qui généralisent les racines de l'équation caractéristique, et par l'exponentielle de matrice. Ces outils, ainsi que l'étude qualitative des équations non linéaires que l'on ne sait pas résoudre explicitement — stabilité des équilibres, portraits de phase —, relèvent d'un cours d'équations différentielles qui suppose l'algèbre linéaire acquise; ce chapitre ne les développe pas.

Synthèse

Une équation différentielle d'ordre $n$ possède une solution générale à $n$ constantes; un problème de Cauchy la fixe par $n$ conditions initiales. Le champ des directions donne l'allure des solutions de $y^{'} = f (x, y)$ , et la méthode d'Euler $y_{k + 1} = y_{k} + h f (x_{k}, y_{k})$ les approche avec une erreur en .

Série d'exercices du chapitre 1Exercice 1 sur 5

Question 1.12

Laquelle de ces équations est à la fois du premier ordre, linéaire et à variables séparables?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 1.1 · Séparation des variables

Résoudre les problèmes de Cauchy suivants et préciser l'intervalle de définition de la solution maximale.

$y^{'} = x y^{2}$ , $y (0) = 1$ .
$y^{'} = \frac{1 + y ^{2}}{1 + x ^{2}}$ , .

Exercice 1.2 · Équations linéaires du premier ordre

Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle indiqué.

$y^{'} + 2 x y = x$ sur $R$ , puis la solution vérifiant $y (0) = 2$ .
$x y^{'} + y = sin x$ sur .

Exercice 1.3 · Second ordre et conditions initiales

Résoudre $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0$ avec $y (0) = 1$ , . Mettre la solution sous la forme et donner ses zéros.

Exercice 1.4 · Cuve de mélange

Une cuve contient $1000$ L d'eau dans laquelle sont dissous $50$ kg de sel. À partir de $t = 0$ , on y verse de la saumure à $0, 02$ kg/L au débit de $10$ L/min; le mélange, supposé homogène à chaque instant, s'écoule au même débit. On note $m (t)$ la masse de sel (en kg) dans la cuve à l'instant $t$ (en minutes).

Établir l'équation différentielle vérifiée par $m$ et identifier sa solution stationnaire.

Exercice 1.5 · Bernoulli et équations homogènes

Résoudre $x y^{'} + y = y^{2} ln x$ sur $] 0, + \infty [$ , puis donner la solution telle que $y (1) = 1$ et son intervalle de définition maximal.

Exercice 1.6 · Réduction de l'ordre et variation des constantes

On considère sur $I =] 0, + \infty [$ l'équation

x^{2} y^{''} - x (x + 2) y^{'} + (x + 2) y = x^{3} .

Exercice 1.7 · Équations d'Euler

Résoudre $x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + 4 y = 0$ sur $] 0, + \infty [$ .

Exercice 1.8 · Superposition et wronskien

Soient $a, b \in R$ et $L (y) = y^{''} + a y^{'} + b y$ .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles, chap. 7.
Boyce, W. E. et DiPrima, R. C., Équations différentielles, Chenelière Éducation, Montréal.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2e éd., Wiley, New York, chap. 8.
Rao, S. S., Mechanical Vibrations, 6e éd., Pearson, Harlow, chap. 2–3 (oscillateur amorti et résonance).

$x_{k}$	0	0,25	0,5	0,75	1
$y_{k}$ (Euler)	1	1,25	1,5625	1,9531	2,4414
$e^{x_{k}}$ (exact)	1	1,2840	1,6487	2,1170	2,7183

Objectifs du chapitre

Vocabulaire et modélisation

Qu'est-ce qu'une équation différentielle?

Quelques modèles

Interprétation géométrique: champ des directions

La méthode d'Euler

Équations du premier ordre à variables séparables

La méthode

Exemples fondamentaux

Existence et unicité

Équations linéaires du premier ordre

Structure des solutions

Variation de la constante

Exemples

Le problème de Cauchy linéaire

Se ramener à une équation connue: changements de fonction inconnue

Les équations de Bernoulli

Les équations homogènes $y^{'} = f (y / x)$

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique

Solution particulière: méthode des coefficients indéterminés

L'oscillateur amorti

Oscillateur forcé et résonance

Équations linéaires du second ordre à coefficients variables

Le cadre et le théorème d'existence

Le wronskien

La réduction de l'ordre

La variation des constantes

Les équations d'Euler

Systèmes et ordre supérieur: ce qui reste à voir

Synthèse

Exercices

Références

Mise en équation

Équation homogène

Solution particulière et condition initiale

Temps de charge à 95 %

Objectifs du chapitre

Vocabulaire et modélisation

Qu'est-ce qu'une équation différentielle?

Quelques modèles

Interprétation géométrique: champ des directions

La méthode d'Euler

Équations du premier ordre à variables séparables

La méthode

Exemples fondamentaux

Existence et unicité

Équations linéaires du premier ordre

Structure des solutions

Variation de la constante

Exemples

Le problème de Cauchy linéaire

Se ramener à une équation connue: changements de fonction inconnue

Les équations de Bernoulli

Les équations homogènes y′=f(y/x)

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique

Solution particulière: méthode des coefficients indéterminés

L'oscillateur amorti

Oscillateur forcé et résonance

Équations linéaires du second ordre à coefficients variables

Le cadre et le théorème d'existence

Le wronskien

La réduction de l'ordre

La variation des constantes

Les équations d'Euler

Systèmes et ordre supérieur: ce qui reste à voir

Synthèse

Exercices

Références

Mise en équation

Équation homogène

Solution particulière et condition initiale

Temps de charge à 95 %

Les équations homogènes $y^{'} = f (y / x)$